Aplicaciones de Las Derivadas
Aplicaciones de la derivada: Problemas 11.3 de Matemática para la Administración y Economía de Haeussler, número 9 y 20.
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Aplicaciones de la derivada: Problemas 11.3 de Matemática para la Administración y Economía de Haeussler, número 9 y 20. 1.- (9) Ingreso-educación Los sociólogos han estudiado la relación entre el ingreso y el número de años de educación en miembros de un grupo urbano particular. Encontraron que una persona con x años de educación, antes de buscar empleo regular puede esperar recibir un ingreso anual medio y anual, donde 5/ 2
y=5 x + 5900 4 ≤ x ≤ 16 Encuentre la razón de cambio del ingreso con respecto al número de años de educación. Evalúela cuando x=9 . dy 5 5 /2−2 /2 25 3 /2 =5 x = x dx 2 2
()
dy dx
|
=
x=9
2.- (20)
25 3 /2 25 3 25 25 ( 9 ) = √ 9 = ∗9 √ 9= ∗27=337.5 2 2 2 2 c´
representa el costo promedio por cada unidad, que es una
función del número q de unidades producidas. Encontrar la función de costo marginal y el costo marginal para los valores indicados de q. c´ =5+
2000 q=25, q=50 q
(
C=´c∗q C= 5+
2000 q C=5 q+ 2000 q
)
dc =5 Costo Marginal dq Ya que la derivada es una constante el costo marginal será el mismo sea para uno u otro valor de q.
dc dq
|
=5
q=25
dc dq
|
=5
q=50
Problemas 11.5 de Matemática para la Administración y Economía de Haeussler, números 69, 82 y 71. 3.- (69) Ecuación de demanda Suponga que
p=100−√ q2 +20
es una
ecuación de demanda para el producto de un fabricante. (a) Encuentre la razón de cambio de p con respecto a q. p=100−( q 2+20 )
−1/2 dp −1 2 = ( q +20 ) ( 2 q ) dq 2
1/ 2
¿−
q √ q +20 2
(b) Calcule la razón de cambio relativa de p con respecto a q. d ' (p) p −q dp dq √ q2 +20 = p 100− √q 2+ 20
¿−
q
√ q +20 ( 100−√ q +20 ) 2
2
¿−
q 100 √ q +20−q2 −20 2
(c) Determine la función de ingreso marginal. r= pq Ingreso
r=( 100−√ q 2+ 20 ) q
r=100 q−q √q 2 +20 r=100 q−q ( q2 +20 )
1/ 2
{[
−1/ 2 1 /2 dr 1 =100− q ( q2 +20 ) ( 2 q ) + ( q2 +20 ) ( 1 ) dq 2
¿ 100−q
(
q+ q2 +20 √ q2 +20
)
¿ 100−
]}
{ [√
¿ 100− q
q 3+ q2 +20 q Ingreso Marginal √q 2+ 20
q 2
q +20
+ √ q +20 2
]}
4.- (82) Negocios Un fabricante determinó que, para su producto, el costo promedio diario (en cientos) está dado por c´ =
324 5 19 + + 2 √ q +35 q 18
(a) Conforme la producción diaria crece, el costo promedio se aproxima a una cantidad constante. ¿Cuál es esta cantidad? Llevamos al límite el costo promedio cuando q tiende a infinito: lim
q→∞
(
324
5 19 324 5 19 + + = + + √ q +35 q 18 ∞ ∞ 18
)
2
c´ =0+ 0+
19 18
c´ =
19 =1.06 18
Al crecer la producción diaria, el costo promedio se aproxima a 1.06, es decir $106. (b) Determine el costo marginal del fabricante cuando se producen 17 unidades por día. c=´c∗q
c=
c=
c=
(
324 5 19 + + q 2 √q +35 q 18
)
324 q 19 +5+ q 2 18 √ q +35 324 q 2
( q +35 )
1/ 2
+5+
19 q 18
Costo marginal: dc = dq
[
1/ 2 −1 /2 ( q 2+35 ) ( 324 )−324 q 1 ( q2 +35 ) ( 2 q )
2
1/ 2 2
[ ( q +35 ) ] 2
]
+
19 18
¿
2
324 q √ q2 +35
324 √ q 2 +35− 2
q +35
2
+
19 18
324 q +11340−324 q +19/18 ( q2 +35 ) √ q2 +35
¿
11340 19 + 2 ( q +35 ) √ q +35 18
324 ( q 2 +35 )−324 q2
√ q2 +35
¿
2
q +35
+
2
¿
2
19 18
Costo marginal cuando q = 17 ¿
11340 19 + 2 ( 17 + 35 ) √ 17 +35 18
¿
11340 19 + 324 √324 18
¿
11340 +19/18 ( 289+35 ) √ 289+35
¿
35 19 54 + = 18 18 18
2
¿
11340 19 + 324 (18 ) 18
¿3
El costo marginal del fabricante cuando produce 17 unidades es $300.
(c) El fabricante determina que si la producción y las ventas se incrementaran a 18 unidades diarias, el ingreso crecería a $275. ¿Deberá realizar este aumento? ¿Por qué? De acuerdo a lo que se obtuvo en (b) una unidad de producción adicional significa un costo adicional de $300. Dado que los ingresos sólo aumentan en $275 no debería realizarse dicho incremento en la producción, pues en utilidades se estarían perdiendo $25 realmente (275 – 300 = -25). 5.- (71) Función de costo El costo c de producir q unidades de un producto está dado por c=5500+12 q+ 0.2q
2
Si el precio de p unidades está dado por la ecuación q=900−1,5p utilice la regla de la cadena para encontrar la razón de cambio del costo con respecto al precio unitario cuando p = 85. Regla de la cadena: dc ∗dq dc dq = dp dp 2
c=5500+12 q+ 0.2q ⇒
dc =12+0.4 q dq
dc ∗dq dc d q = =( 12+0.4 q ) (−1.5 ) dp dp Luego, cuando
q=900−1.5 p ⇒
dq =−1.5 dp
dc =−18−0.6 q dp
p=85 ⇒ q=900−1.5 ( 85 ) =900−127.5=772.5
Así, la razón de cambio del costo con respecto al precio unitario, cuando p=85 , es: dc dp
|
p=85
=−18−0.6 ( 772.5 )=−481.5