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• Alis Masabanda

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Ecuaciones de Lagrange y Clairaut Historia En el estudio de las ecuaciones diferenciales ordinarias existen diferentes tipos de ecuaciones diferenciales de primer orden. Prácticamente se dividen en 2 tipos, resueltas respecto a la derivada y no resueltas a la derivada. Las ecuaciones de Lagrange y Clairaut son un caso particular de él segundo tipo, no resueltas respecto a la derivada. Ecuación de Lagrange Son de la forma 𝑦 = 𝑥𝑓(𝑦 ′ ) + 𝑔(𝑦 ′ ) donde 𝑓(𝑦 ′ ) no puede ser igual 𝑦 ′ . Se resuelven derivando y llamando 𝑦 ′ = 𝑝 con lo que obtenemos 𝑝 = 𝑓(𝑝) + [𝑥𝑓 ′ (𝑝) + 𝑔′ (𝑝)]𝑝′ esta ecuación es lineal y se integra tomando 𝑥 como función de 𝑝. Ecuación de Lagrange: 𝑦 + 𝑥𝑓(𝑦 ′ ) + 𝑔(𝑦 ′ ) = 0 (𝟏) Solucion: Para resolver la ecuación diferencial de Lagrange se trasformar en otra ecuación diferencial lineal en 𝑥 como función de 𝑝, haciendo donde 𝑑𝑦 = 𝑝𝑑𝑥. Sustituimos

𝑑𝑦 𝑑𝑥

= 𝑝 en la ecuación (1) 𝑦 = 𝑥𝑓(𝑝) + 𝑔(𝑝) (2) Diferenciamos la ecuación 𝑑𝑦 𝑑𝑝 𝑑𝑝 = 𝑓(𝑝) + 𝑥𝑓′(𝑝) + 𝑔′(𝑝) 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑦 = 𝑓(𝑝)𝑑𝑥 + 𝑥𝑓′(𝑝)𝑑𝑝 + 𝑔′(𝑝)𝑑𝑝 (3) Reemplazamos 𝑑𝑦 = 𝑝𝑑𝑥 en (3) se tiene: 𝑝𝑑𝑥 = 𝑓(𝑝)𝑑𝑥 + 𝑥𝑓′(𝑝)𝑑𝑝 + 𝑔′(𝑝)𝑑𝑝 (4)

La ecuación (4) se puede expresar de la forma: 𝑑𝑥 𝑓(𝑝) 𝑔′(𝑝) + 𝑥= 𝑑𝑝 𝑓(𝑝) − 𝑝 𝑓(𝑝) − 𝑝

𝑑𝑦 𝑑𝑥

= 𝑝 de

Que es una ecuación diferencial lineal en 𝑥, cuya solucion general es 𝑥 = 𝜑(𝑝, 𝑐) donde 𝒑𝑑𝑠 un parámetro y la solucion general de la ecuación (1) se da en forma paramétrica 𝑥 = 𝜑(𝑝, 𝑐) , 𝒑 Es un parámetro { 𝑦 = 𝜑(𝑝, 𝑐)𝑓(𝑝) + 𝑔(𝑝)

Ecuación de Clairaut 𝑦 = 𝑥𝑦′ + 𝑔(𝑦 ′ ) Donde 𝑔(𝑥) es una función continuamente diferenciables en interés que presenta este tipo de ecuaciones se debe al hecho de que tiene como solucion de suma familia de rectas. Además, la envolvente, es decir, la curva cuyas tangentes están dadas por la familia, también es solucion, en este caso una solucion singular, de la ecuación de Clairaut. La solucion de la ecuación diferencial de Clairaut se obtiene siguiendo el mismo procedimiento del caso de la ecuación diferencial de Lagrange. Ejemplos Resolver la siguiente Ecuación de Clairaut 𝑦 = 𝑥𝑦 ′ +

3 2𝑦 ′

(1)

Sustituimos 𝑝=

𝑑𝑦 𝑑𝑥

(2)

Remplazamos (2) en (1) 𝑦 = 𝑥𝑝 +

3 2𝑝

(3)

Derivamos (3) 𝑑𝑦 = 𝑝𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑝 −

3 𝑑𝑝 2𝑝2

(3) = (2) 𝑝𝑑𝑥 = 𝑝𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑝 −

3 𝑑𝑝 2𝑝2

Agrupamos los términos 𝑑𝑝 (𝑥 −

3 )=0 2𝑝2

Analizamos la igualdad Primer termino 𝑑𝑝 = 0 Solucion General 𝑦 = 𝑐𝑥 +

3 2𝑐

Segundo termino 𝑥=

3 2𝑝2

(4)

Determinamos despejando 𝑝 de (4) y reemplazamos en (3) 𝑦 2 = 2𝑎𝑥 Resolver la siguiente Ecuación de Lagrange 𝑦 = 𝑥(𝑦 ′ )2 + 𝑦 ′

(1)

Sustituimos 𝑝=

𝑑𝑦 𝑑𝑥

(2)

Remplazamos (2) en (1) 𝑦 = 𝑥(𝑝)2 + 𝑝

(3)

Derivamos (3) 𝑑𝑦 = 𝑝2 𝑑𝑥 + 2𝑝𝑥𝑑𝑝 − 𝑑𝑝 (3) = (2) 𝑝𝑑𝑥 = 𝑝2 𝑑𝑥 + 2𝑝𝑥𝑑𝑝 − 𝑑𝑝 Agrupamos los términos (2𝑥𝑝 − 1)𝑑𝑝 = 𝑝(1 − 𝑝)𝑑𝑥 Determinamos el factor integrante

𝑑𝑦 2 1 + 𝑥= 𝑑𝑥 𝑝 − 1 𝑝(𝑝 − 1) Identificamos el factor integrante 𝜇(𝑝) = 𝑒

2 ∫𝑝−1𝑑𝑝

2

= 𝑒 ln(𝑝−1) = (𝑝 − 1)2

Definimos la integral. (𝑝 − 1)2 (𝑝 − 1) ∫ 𝑑[𝑥(𝑝 − 1) ] = = 𝑑𝑝 𝑝(𝑝 − 1) 𝑝 2

∫ 𝑑[𝑥(𝑝 − 1)2 ] = ∫

(𝑝 − 1) 𝑝

𝑥(𝑝 − 1)2 = 𝑝 − 𝑙𝑛|𝑝| + 𝑐 𝑥=

𝑝 − 𝑙𝑛|𝑝| + 𝑐 (𝑝 − 1)2

Ejercicios propuestos Resolver las diferentes ecuaciones de Lagrange y Clairaut 1) 𝑦 = −𝑥(𝑦 ′ )2 + (𝑦 ′ )2 + 1

(1)

Sustituimos 𝑝=

𝑑𝑦 𝑑𝑥

(2)

Remplazamos (2) en (1) 𝑦 = −𝑥(𝑝)2 + (𝑝)2 + 1

(3)

Derivamos (3) 𝑑𝑦 = −𝑝2 𝑑𝑥 + 2𝑝𝑥𝑑𝑝 + 2𝑝𝑑𝑝 (3) = (2) 𝑝𝑑𝑥 = −𝑝2 𝑑𝑥 + 2𝑝𝑥𝑑𝑝 + 2𝑝𝑑𝑝 Agrupamos los términos (−2𝑥𝑝 + 2𝑝)𝑑𝑝 = (𝑝2 + 𝑝)𝑑𝑥 Definimos la integral.

∫

𝑑𝑥 2 =∫ 𝑑𝑝 𝑥−1 𝑝+1

ln(1 − 𝑋) + 𝐶 = (1 + 𝑝)2 Respuesta: 𝑦 = 1 + (𝑐 − √1 − 𝑥)2 2) 𝑦 = 𝑥𝑦 ′ + (𝑦 ′ )2

(1) Sustituimos 𝑝=

𝑑𝑦 𝑑𝑥

(2)

Remplazamos (2) en (1) 𝑦 = 𝑥𝑝 + (𝑝)2

(3)

Derivamos (3) 𝑑𝑦 = 𝑝𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑝 + 2𝑝𝑑𝑝 (3) = (2) 𝑝𝑑𝑥 = 𝑝𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑝 + 2𝑝𝑑𝑝 Agrupamos los términos 0 = (𝑥 + 2)𝑑𝑝 Analizamos la igualdad. 𝑑𝑝 = 0 Respuesta: 𝑦 = 𝑐𝑥 + 𝑐 2