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UNIVERSIDAD PONTIFICIA BOLIVARIANA MONTERÍA Bernoulli, Riccati, Clairaut y Lagrange

Profesor: A Arrieta V.

 Una ecuación diferencial de primer orden de la forma 𝑑𝑦 + 𝑝(𝑥)𝑦 = 𝑄(𝑥)𝑦 𝑛 𝑑𝑥 Donde 𝑝 𝑦 𝑄 son funciones reales continuas definidas en algún intervalo abierto ; 𝑛 es un número real, 𝑛 ≠ 0, 𝑛 ≠ 1 es una ecuación de BERNOULLI. Para resolver una ecuación de éste tipo se divide por 𝑦 𝑛 , para obtener 𝑦 −𝑛

𝑑𝑦 + 𝑝(𝑥)𝑦1−𝑛 = 𝑄(𝑥) 𝑑𝑥

y luego hacemos la sustitución 𝑢 = 𝑦1−𝑛 , para obtener una ecuación lineal, la cual se resuelve por la fórmula general.  Una ecuación diferencial de primer orden de la forma 𝑑𝑦 + 𝑝(𝑥)𝑦 = 𝑄(𝑥)𝑦 2 + 𝑅(𝑥) 𝑑𝑥 donde 𝑝 𝑦 𝑄 son funciones reales continuas definidas en algún intervalo abierto ; es una ecuación de RICCATI. Para resolver una ecuación de éste tipo debemos tener una solución particular, digamos 𝑦𝑝 = 𝜑(𝑥) y efectuamos el cambio de variable 𝑦 = 𝜑(𝑥) + z , obteniendo una ecuación de Bernoulli en z, con 𝑛 = 2.

 Una ecuación diferencial de primer orden de la forma 𝑦 = 𝑥𝑦 ′ + 𝑓(𝑦 ′ ) se denomina ecuación de CLAIRAUT. La solución se obtiene haciendo la sustitución 𝑦 ′ = 𝑢 y la solución general toma la forma 𝑦 = 𝑐𝑥 + 𝑓(𝑐) También puede obtenerse una solución singular eliminando 𝑢 del sistema {

𝑦 = 𝑥𝑢 + 𝑓(𝑢) 𝑥 + 𝑓 ′ (𝑢) = 0

 Una ecuación diferencial de primer orden de la forma 𝑦 = 𝑥𝑓(𝑦 ′ ) + 𝑔(𝑦 ′ ) se denomina ecuación de LAGRANGE. La solución se obtiene haciendo la sustitución 𝑦 ′ = 𝑢, entonces la ecuación se convierte en 𝑦 = 𝑥𝑓(𝑢) + 𝑔(𝑢) Derivamos ambos miembros con respecto a x resultando una ecuación en la variable x que puede ser lineal o de variable separable. La solución queda en forma paramétrica y pueden existir soluciones singulares de la forma 𝑦 = 𝑥𝑓(𝑐) + 𝑔(𝑐), donde c es una raíz de la ecuación 𝑐 = 𝑓(𝑐).

Ejercicios. 1. Resolver las siguientes ecuaciones y PVI de Bernoulli. a) 𝑦 ′ + 𝑦 = 𝑦 2 b) 7𝑥𝑦 ′ − 2𝑦 = −

𝑦 ′ − 2𝑦 = 𝑥𝑦 3 e) { 𝑦(0) = 2√2

𝑥2 𝑦6 1 𝑥

c) 𝑥 2 𝑦 ′ + 2𝑦 = 2𝑒 𝑦 d) (1+𝑥 2 )𝑦 ′ + 2𝑥𝑦 =

1 2

1 (1+𝑥 2 )𝑦

3 2

′

f) {𝑦 − 𝑥𝑦 = 𝑥𝑦 𝑦(1) = 4 𝑥𝑦 ′ + 𝑦 = 𝑥 4 𝑦 4 g) { 1 𝑦(1) = 2

2. Resolver las siguientes ecuaciones de Riccati. a) 𝑦 ′ = 1 + 𝑥 − (1 + 2𝑥)𝑦 + 𝑥𝑦 2 ; 𝑦𝑝 = 1 b) 𝑦 ′ = 𝑒 2𝑥 + (1 − 2𝑒 𝑥 )𝑦 + 𝑦 2 ; 𝑦𝑝 = 𝑒 𝑥 c) 𝑥𝑦 ′ = 2 − 𝑥 + (2𝑥 − 2)𝑦 − 𝑥𝑦 2 ; 𝑦𝑝 = 1 d) 𝑥𝑦 ′ = 𝑥 3 + (1 − 2𝑥 2 )𝑦 + 𝑥𝑦 2 ; 𝑦𝑝 = 𝑥 3. Resolver las siguientes ecuaciones de Clairaut ′

a) 𝑦 = 𝑥𝑦 ′ − 𝑒 𝑦 b) 𝑦 = 𝑥𝑦 ′ + 𝑦 ′ 2 c) 𝑦 = 𝑥𝑦 ′ + 3𝑦 ′ d) 𝑦 = 𝑥𝑦 ′ +

𝑦′ 2

′

e) 𝑦 = 𝑥𝑦 + √1 − 𝑦 ′ f) 𝑦 = 𝑥𝑦 ′ + g) 𝑦 = 𝑥𝑦 ′ +

2

1 𝑦′ 5

2

𝑦′

4. Resolver las siguientes ecuaciones de Lagrange a) 𝑦 = 2𝑥𝑦 ′ − 2𝑦 ′ + 1 b) 2𝑦 = 𝑥𝑦 ′ + 𝑦 ′ ln(𝑦 ′ ) c) 𝑦 = 2𝑥𝑦 ′ 𝑠𝑒𝑛(𝑦 ′ )

d) 𝑦 = 1.5𝑥𝑦 ′ + 𝑒 𝑦

′