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TRABAJO DE INVESTIGACIÓN (LAGRANGE)

RICHARD ALEXANDER DUQUE DURANGO HERMAN LEONARDO ALARCON

UNIVERSIDAD CATÓLICA DE PEREIRA FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS E INGENIERÍAS INGENIERÍA DE SISTEMAS Y TELECOMUNICACIONES MATEMATICAS III

PEREIRA 06-05-2015 TRABAJO DE INVESTIGACIÓN (LAGRANGE)

RICHARD ALEXANDER DUQUE DURANGO HERMAN LEONARDO ALARCON

CARLOS ANDRÉS BEDOYA PARRA

UNIVERSIDAD CATÓLICA DE PEREIRA FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS E INGENIERÍAS INGENIERÍA DE SISTEMAS Y TELECOMUNICACIONES

MATEMATICAS III PEREIRA 06-05-2015 Contenido 1.

TEORÍA DEL MÉTODO LAGRANGE...............................................................4

1.1.

¿CÓMO FUNCIONA?................................................................................ 4

1.2.

¿PARA QUE TIPOS DE PROBLEMAS SE UTILIZA?......................................6

2.

BIOGRAFÍA................................................................................................. 6

3.

TRES EJEMPLOS DE APLICACIÓN DEL METODO LAGRANGE.......................7

3.1.

EJEMPLO 1.............................................................................................. 7

3.2.

EJEMPLO 2............................................................................................ 10

3.3.

EJEMPLO 3............................................................................................ 11

3.4.

EJEMPLO 4............................................................................................ 14

4.

BIBLIOGRAFÍA.......................................................................................... 16

1. TEORÍA DEL MÉTODO LAGRANGE En los problemas de optimización, los Multiplicadores de Lagrange, nombrados así en honor a Joseph Louis Lagrange, son un método para trabajar con funciones de varias variables que nos interesa maximizar o minimizar, y está sujeta a ciertas restricciones. Este método reduce el problema restringido en n variables en uno sin restricciones de n + 1 variables cuyas ecuaciones pueden ser resueltas. Este método introduce una nueva variable escalar desconocida, el multiplicador de Lagrange, para cada restricción y forma una combinación lineal involucrando los multiplicadores como coeficientes. Su demostración involucra derivadas parciales, o bien usando diferenciales totales, o sus parientes cercanos, la regla de la cadena. Usando alguna función implícita, encontrar las condiciones para que la derivada con respecto a las variables independientes de una función sea igual a cero

1.1.

¿CÓMO FUNCIONA?

Una manera de atacar los problemas de estos tipos es resolver la ecuación es la restricción para una de las variables en términos de otras y sustituir el resultado en F esto produce una nueva función de una o dos variables, que incorporan la restricción y puede maximizarse o minimizarse aplicando los métodos ordinarios por ejemplo para resolver el problema del ejemplo se sustituirá 2 en 1 para obtener

La cual se minimizo en seguida, encontrando los puntos críticos y aplicándose el criterio de segundas derivadas parciales sin embargo este proceso se apoya en la capacidad de resolver la ecuación de restricción ara una de las variables

en términos de las otras. Si esto no puede hacerse, entonces deben emplearse otros métodos Para concebir el método de los multiplicadores de lagranje suponga que se intenta maximizar una función f (x,y)=, sujeta a la restricción g (x,y)=0 geométricamente esto significa que se busca un punto (x, y) en la gráfica de la curva de restricción en el punto f (x,y) es tan grande como sea posible. Para ayudar a localizar tal punto, se construye una gráfica de contornos de f (x,y) en el mismo sistema coordenado que la gráfica de g (x,y)=0 en la siguiente figura se muestra lagunas curvas de nivel usuales de f (x,y) = c As cuales se identificaron como c=100,200,300,400 y 50 para propósito ilustrativos en esta figura cada punto de intersección de g (x,y )=0 con una curva de restricción entre las siete intercesiones (x0, y0), donde f(x,y) tiene un valor de 400.ests solo se tocan y tienen una tangente en el punto puesto es normal que la curva de nivel f(x,y)=400

IMAGEN

1.2.

¿PARA QUE TIPOS DE PROBLEMAS SE UTILIZA?

Creemos que el método Lagrange se utiliza para solucionar muchos problemas, sean de ingeniería, astronomía, en la física, hasta en la química, pero en la economía y la administración es donde más lo utilizan. En la economía se utiliza para maximizar la utilidad sin importar las limitaciones de recursos (tiempo o dinero). el método sirve para medir la forma en que el consumidor puede tener una satisfacción máxima y en los negocios se pueden maximizar los beneficios y minimizar los costos con los limites datos.

2. BIOGRAFÍA

Joseph Louis Lagrange Giuseppe Lodovico Lagrangia; Matemático y astrónomo francés. Nació el 25 de enero de 1736 en Turín (Italia) en el seno de una ilustre familia parisiense, que tenía profundo arraigo en Cerdeña. Cursó estudios en cuya universidad de la ciudad. Profesor de geometría en la Academia Militar de Turín cuando sólo contaba 19 años. A esa misma edad, obtuvo fama resolviendo el llamado problema isoperimétrico, que había desconcertado al mundo matemático durante medio siglo. Comunicó su demostración en una carta a Leonhard Euler, el cual se

interesó enormemente por la solución, de modo especial en cuanto concordaba con un resultado que él mismo había hallado. Fue uno de los matemáticos más importantes del siglo XVIII; creó el cálculo de variaciones, sistematizó el campo de las ecuaciones diferenciales y trabajó en la teoría de números. En 1758 fundó lo que más adelante se convertiría en la Academia de Ciencias de Turín. En el año 1766 fue director de la Academia de Ciencias de Berlín. Viaja a París invitado por el rey Luis XVI. Lagrange trabajó para Federico II de Prusia, en Berlín, durante veinte años Durante la Revolución Francesa, encabezó la comisión para el establecimiento de un nuevo sistema de pesos y medidas. Finalizada la Revolución, fue profesor de la nueva École Normale y miembro del Senado. Recibió el título de conde. Lagrange Entre sus investigaciones en astronomía destacan los cálculos de la libración de la Luna y los movimientos de los planetas. Su obra más destacada es Mecánica analítica (1788). Joseph-Louis de Lagrange falleció el 10 de abril de 1813 en París.

3. TRES EJEMPLOS DE APLICACIÓN DEL METODO LAGRANGE En el ejemplo 1 vamos a ver un problema resuelto de optimización paso a paso y más adelante veremos en el ejemplo 2 la aplicación del método de Lagrange basándonos en este mismo ejemplo.

3.1.

EJEMPLO 1

Una empresa desea construir un tanque rectangular con capacidad de 1500 pies cúbicos de agua. La base y las paredes verticales deberán ser de concreto y la tapa de acero. Si el costo del acero es el doble por unidad de área que el del concreto, determine las dimensiones del tanque que minimizan el costo total de construcción. Solución Sean x, y y z (en pies) la longitud, el ancho y la altura del tanque rectangular, respectivamente. (Véase la figura 15). Entonces:

Área de la base = Área de la tapa = xy

Y también: Área de las cuatro paredes = 2xz + 2yz Sea p el costo del concreto por pie cuadrado. Se sigue que el costo del acero por pie cuadrado es de 2p. El costo de construir la base y las cuatro paredes verticales con concreto a p por unidad de área es p (xy +2xz + 2yz) El costo de construir la tapa con acero a 2p por unidad de área es 2pxy. El costo total C es, por tanto C =p (xy + 2xz + 2yz) + 2pxy = p(3xy + 2xz + 2yz)

(1)

El volumen de la caja debe ser de 1500 pies cúbicos. Esto es, xyz = 1500

(2)

Note que hemos de minimizar la función de la ecuación (1) sujeta a la condición de la ecuación (2). Resolvemos este problema usando la restricción de la ecuación (2) con el propósito de eliminar una de las variables. A partir de la ecuación (2), z = 1500/xy, y sustituyendo esta expresión de z en la ecuación (1), obtenemos C = p ( 3xy+(3000/x) + (3000/y) ) Ahora C es una función de dos variables que son independientes y podemos encontrar su mínimo en la forma ordinaria. En el caso de un máximo o un mínimo,

Cx = P ( 3y – (300/x^2) ) = 0 o bien x^2y = 1000 Cy = P ( 3y – (300/y^2) ) = 0 o bien xy^2 = 1000 Por tanto, se sigue que x^2y = xy^2. Dividiendo ambos lados entre xy (observe que X y Y no pueden ser cero), obtenemos x = y. Sustituyendo y = x en x^2y = 1000, obtenemos x^3 = 1000 o x = 10. En consecuencia, y = x = 10. Es fácil verificar que cuando x = y = 10, 10, Cxx, Cyy y ∆ = CxxCyy-C^2xy son positivas. Por consiguiente, el costo C es mínimo. Cuando x = 10 y y = 10, la ecuación (2) implica que z = 15. Así, para el costo mínimo, las dimensiones del tanque deberán ser de 10 pies por 10 pies por 15 pies. En el ejemplo 1, eliminamos una de las variables (z en este caso) de la función C valiéndonos de la ecuación restrictiva y, luego, encontramos los puntos críticos de C. Algunas veces ocurre que no podemos resolver la ecuación restrictiva para alguna de las variables, de modo que ninguna de ellas puede eliminarse. Por ejemplo, si la ecuación restrictiva fuese x^5 + 5x^3y^3 + z^3 + z^5 + 2y^5 + 16 = 0, no podemos resolver para x y y o z en términos de las otras variables. Por otro lado, aunque fuera posible eliminar una variable empleando la ecuación restrictiva, puede suceder que la función resultante que debe optimizarse sea muy complicada de manejar. Un método alternativo (que evita tal eliminación) fue desarrollado por el matemático francés J.L. Lagrange (1736-1813) y se conoce como el método de multiplicadores de Lagrange. Suponga que nos interesa encontrar el valor extremo de la función f(x, y, z) sujeta a la restricción g(x, y, z) = 0. Entonces, construimos una función auxiliar F(x, y, z, λ) definida por F(x, y, z, λ) _ f(x, y, z) - λg(x, y, z) La nueva variable _ (lambda) se denomina multiplicador de Lagrange. De acuerdo con el método de multiplicadores de Lagrange, si (x0, y0, z0, λ0) es un punto crítico de F(x, y, z, λ), entonces, (x0, y0, z0) es un punto crítico de f(x, y, z) Sujeta a la restricción g(x, y, z) = 0, y recíprocamente. Así, con el objetivo de encontrar los puntos críticos de f(x, y, z) sujeta a la restricción g(x, y, z) = 0, podemos en lugar de ello hallar los puntos críticos de la función auxiliar F(x, y, z, λ). Éstos están dados por las condiciones Fx = fx - λ gx = 0 Fy = fy - λ gy = 0

Fz = fz - λ gz = 0 Fλ = - g = 0

La última ecuación no es otra cosa que la ecuación restrictiva dada g(x, y, z) = 0. El método de los multiplicadores de Lagrange no indica directamente si f(x, y, z) tendrá un máximo, un mínimo o un punto silla en el punto crítico. En problemas prácticos a menudo nos dejamos llevar por la intuición al decidir si el punto crítico da un máximo o un mínimo. Existe un criterio que puede aplicarse, pero es complicado.

3.2.

EJEMPLO 2

Resolvamos el ejemplo 1 de nuevo, esta vez por el método de multiplicadores de Lagrange. Teníamos la función f(x, y, z) = C = p(3xy + 2yz + 2zx) Y la restricción xyz = 1500. Esta restricción puede escribirse en la forma g(x, y, z) = xyz - 1500 = 0 La función auxiliar en este caso es F(x, y, z, λ) = f(x, y, z) - λ g(x, y, z) = p(3xy + 2yz + 2zx) - λ (xyz - 1500) Los puntos críticos de F están determinados por las condiciones siguientes: Fx = p(3y + 2z) - λ yz = 0 Fy = p(3x + 2z) - λ xz = 0 Fz = p(2x + 2y) - λ xy = 0 y también Fλ=-xyz + 1500 = 0 De las primeras tres ecuaciones, tenemos λ/p= [(3y+2z)/(yz)] =[(3/z)+(2/y)] λ/p= [(3x+2z)/(xz)] =[(3/z)+(2/x)]

λ/p= [(2x+2y)/(xy)] =[(2/x)+(2/y)] Del primero y segundo valores de λ /p, resulta (3/z)+(2/y)=(3/z)+(2/x) o bien, (2/y)=(2/x) de lo cual se sigue que x = y. Del segundo y tercero valores de λ /p, (3/z)+(2/x)=(2/x)+(2/y) o bien, (3/z)=(2/y) Por tanto, z = 3y/2. Tenemos

Sustituyendo x= yyz = 3y/2 en la expresión de Fλ’

-y * y * (/3/2)*y)+1500=0 o bien, y3 = 1000 En consecuencia, y= 10 . Por tanto, x=y=10yz = (3/2)(y)=15 El punto critico de C(x,y,z) Sujeto a la restricción xyz = 1500 esta dado por X=10y =10yx =15, como antes.

3.3.

EJEMPLO 3

(Decisiones sobre inversiones en mano de obra y capital) Empleando L unidades de mano de obra y K unidades de capital, una empresa puede elaborar P unidades de su producto, con P(L, K)

50 L

2/3

1 /3

Kx

Le cuesta a la empresa $100 por cada unidad de mano de obra y $300 por cada unidad de capital empleado. La empresa dispone de una suma de $45,000 para propósitos de producción. a) Mediante el método de multiplicadores de Lagrange determine las unidades de mano de obra y de capital que la empresa debería utilizar con el objetivo de maximizar su producción. b) Demuestre que en este nivel máximo de producción la razón de los costos marginales de mano de obra y capital es igual a la razón de sus costos unitarios.

c) Pruebe que si se dispone de $1 adicionales para fines de producción en este nivel máximo de producción, la empresa puede producir aproximadamente unidades extra de su producto, en donde es el multiplicador de Lagrange. En tras palabras, puede interpretarse como la productividad marginal del capital.

Solución a) Aquí la función a maximizar es P(L, K)

50 L2/3 K x1 /3

El costo de emplear L unidades de mano de obra a $100 cada una y K unidades de capital a $300 cada una es de (100L _ 300K) dólares. Puesto que deseamos disponer por completo de la suma de $45,000, debemos tener que 100L +300K = 45,000 Maximizaremos P(L, K) sujeta a esta restricción. La función auxiliar es 2/3 1 /3 F(L, K, ʎ) = 50 L K x

- ʎ (100L + 300K - 45,000)

Para de obtener un máximo de P(L, K), debe tenerse que L=¿

100 50 2/ 3 −2 /3 −1/ 3 1 /3 L K L K 3 3 F¿

K=¿ F¿ ʎ =¿−¿ F¿

- 100ʎ

- 100ʎ

(3)

(4)

(100L + 300K - 45,000)

Resolviendo las primeras dos ecuaciones para ʎ, 1 ʎ= 3

L−1/ 3 K 1 /3

Y

1 ʎ= 18

L2/ 3 K −2 /3

(5)

Ahora igualamos los dos valores de ʎ, 1 3

L−1/ 3 K 1 /3

1 18

=

L2/ 3 K −2 /3

Multiplicando ambos lados por L1/3K2/3, obtenemos 1 3 K=

1 18 L

o bien,

L=6K

Sustituyendo esto en la expresión de F_ resulta que 600K +300K - 45,000 = 0

o bien,

K = 50

Por consiguiente, L =6K = 300 y la empresa maximiza su producción si emplea 300 unidades de mano de obra y 50 de capital. b) Las productividades marginales de la mano de obra y del capital están dadas por L=¿ P¿

100 ʎ Y

K=¿ P¿

=300ʎ

(6)

Por tanto, Productividad marginal de la mano de obra Productividad marginal del capital

PL PK

=

=

100 ʎ 300 ʎ

=

1 3

Pero Costo unitario de la manode obra Costo unitario del capitall

=

100 300

=

1 3

Así que en el nivel de producción máximo, la razón de las productividades marginales de mano de obra y capital es igual a la razón de las unidades de costo de la mano de obra y de capital. c) En el nivel de producción máximo, cuando L =300 y K =50, tenemos

dos formas de calcular (de las ecuaciones (5)): 1 3

ʎ=

1 3

ʎ=

(300)−1/3 (50)1 /3=¿ 0.1835

(300)2/ 3 (50)−2 /3=¿ 0.1835

Suponga que podemos emplear L unidades de mano de obra y K unidades de capital con $1 extra de disponibilidad. Entonces, 100 Δ

L+ 300 Δ

K =1

(7)

El aumento en la producción cuando la mano de obra se incrementa de 300 a 300 + Δ L y el capital se incrementa de 50 a 50 + Δ

P=P(300 +

L=¿ P¿

Δ L, 50 +

(300, 50) ⋅

Δ L

Δ K está dado por:

Δ K)- P(300, 50)

k =¿ P¿ (300, 50) .

Δ K

Por la ecuación (6) se sigue que en el máximo Pk

PL

(300, 50) = 100 ʎ y

(300, 50) =

300 ʎ . En consecuencia, el incremento en la producción es aproximadamente igual a Δ p100ʎ

Δ L +300ʎ

Δ K=

Δ (100

Δ L + 300

Δ K) = ʎ

en donde usamos la ecuación (7). Así que un dólar extra disponible para producción

incrementará ésta por una cantidad aproximada ʎ= 0.1835 unidades. En otras palabras ʎ, representa la productividad marginal del dinero.

3.4.

EJEMPLO 4

(Decisiones de producción) Una compañía puede destinar su planta a la elaboración de dos tipos de productos, A y B. Obtiene una utilidad de $4 por unidad de A y de $6 por unidad de B. Los números de unidades de los dos tipos que puede producir mediante la planta están restringidos por la ecuación de transformación del producto, que es x

2

+ y

2

+ +2x +4y +4 = 0

con x y y los números de unidades (en miles) de A y B, respectivamente, producidas por semana. Halle las cantidades de cada tipo que deben producirse a fin de maximizar la utilidad. Solución Deseamos maximizar la utilidad P, que está dada por P(x, y) _ 4x _ 6y (en miles de dólares por semana). Aquí X y Y están sujetas a las restricciones g(x, y) _=

x 2 + y 2 + +2x +4y +4 = 0

(8)

Empleando el método de los multiplicadores de Lagrange, construimos la función F(x, y, ʎ) =P(x, y) - ʎ g(x, y) Así, los puntos críticos están dados por Fx = Px - ʎ gx = 4 -(2x _ 2) = 0 Fy = Py - ʎ gy = 6 ʎ (2y + 4) =0 F ʎ = -g =0 Esta expresión de las ecuaciones

Fʎ

es igual que la ecuación restrictiva dada. A partir de

Fx

para ʎ

Fʎ

y 2 x +1

=

=

3 y +2

Por consiguiente, 2(y + 2) = 3(x -1) o y = (3x - 1)/ 2. Sustituyendo esto en la ecuación (8), obtenemos una ecuación sólo en términos de x. x 2+¿

(

3 x−1 2

) + 2x + 4(

3 x−1 2

) – 4=0

2 Después de simplificar, esto se reduce a 13 x + 26x – 23= 0 A partir de la

fórmula cuadrática, encontramos las raíces 6 √13 13

x = -1 + -

= 0.664 o bien, -2.664

Por supuesto, sólo la raíz positiva x = 0.664 tiene sentido. Con este valor de x, tenemos

y=¿

3 x−1 2

=

3 ( 0.664 )−1 2

= 0.496

Así que los niveles de producción óptimos son de 664 unidades por lo que respecta a A y de 496 unidades en el caso de B por semana. La utilidad máxima es P = 4(0.664) + 6(0.496) = 5.63 Esto es, $5630 por semana. El método de multiplicadores de Lagrange también puede utilizarse cuando hay más de una restricción. Si f(x, y, z) ha de maximizarse o minimizarse sujeta a las dos restricciones g1(x, y, z) = 0 y g2(x, y, z) _ 0, entonces, construimos la función auxiliar F de la siguiente manera: F(x, y, z, ʎ

1, ʎ

2) _ f (x, y, z) ʎ

1g1(x, y, z) - ʎ

2g2(x, y, z)

Luego, los puntos críticos se obtienen resolviendo las ecuaciones

Fx = Fy = Fz = F ʎ

1= F ʎ

2

=0

RESPUESTA X = Y = 0.5

4. BIBLIOGRAFÍA  George Brinton Thomas Jr. Cálculo: Varias variables. Undécima Edición. PEARSON Educación, 2006. 1192 páginas.  Tomás David Páez Gutiérrez. Matemáticas a lo largo de la historia de la Europa medieval al siglo XIX

 CALCULO MULTIVARIABLE, 2009, LIMUSA S.A DE C.V GRUPO NORIEGA. HOWARD ANTON - IRL C. BIVENS - STEPHEN L. DAVIS  Macroeconomía. 7ma Edición, Rubinfeld

Robers S Pindyck – Daniel L

 Matematicas aplicadas a la Administración y a la Economía, 5ta

Edición. Jagdish C Arya - Robin W Lardner