• Author / Uploaded
• Yury Málaga Tejada

Citation preview

ESCUELA PROFECIONAL DE INGENIERIA CIVIL

DOCENTE

:

TEMA

: ECUACIONES DIFERENCIALES DE LAGRANGE Y CLAIROUT

INTEGRANTES

ECUACIONES DIFERENCIALES LAGRAGE BIBLIOGRAFIA: Turín, 1736 - París, 1813) Matemático francés de origen italiano. Estudió en su ciudad natal y hasta los diecisiete años no mostró ninguna aptitud especial para las matemáticas. Sin embargo, la lectura de una obra del astrónomo inglés Edmund Halley despertó su interés, y, tras un año de incesante trabajo, era ya un matemático consumado.

La ecuación de LaGrange es de la forma :

y = x 𝑓(y’) + g(y’) 𝑑𝑦 =P de donde dy=pdx, remplazando Para resolver estas ecuaciones se hace 𝑑𝑥 en la ecuación (1) se obtiene una ecuación lineal de donde la resolverla se tiene la solución en forma paramétrica

{

Ψ(p,c) Ψ(p,c) 𝑓(p)+g(p)

p

es un parámetro

ECUACIONES DIFERENCIALES CLAIROUT BIBLIOGRAFIA: (París, 1713- id., 1765) Astrónomo y matemático francés. Miembro de la Academia de Ciencias francesa, participó en la expedición a Laponia (1736), dirigida por Maupertuis, para la determinación de los grados del meridiano terrestre. Sus trabajos sobre fluidos le convirtieron en un acérrimo defensor del achatamiento del globo terráqueo por los polos. En 1758 calculó el regreso del cometa Halley con un error inferior a 30 días.

La ecuación de clairout es de la forma :

y = x y’ + g(y’) El método de resolver es el mismo que para las ecuaciones de lagrange. La solución general de la ecuación de clairout tiene la forma:

y = c x + g(c) La ecuación de clairout puede tener también una solución singular, que se obtiene eliminando p entre las ecuaciones.

Y=xp+g'(p),

x=g'(p)=0

INTEGRAR LAS SIGUIENTES ECUACIONES:

1.

𝒚 = 𝒙(𝟏 + 𝒚′) + 𝒚′𝟐 𝑦′ =

𝑑𝑦 𝑑𝑥

dy= pdx

y=x(1+p) +𝑝2

pdx=(1+p)dx + xdp + 2pdp

𝑑𝑦 𝑑𝑥

+ 𝑥 = −2𝑝

x=𝑒 − ∫ 𝑑𝑝 [∫ 𝑒 ∫ 𝑑𝑝 (−2𝑝)𝑑𝑝 + 𝑐] 𝑥 = 𝑒 −𝑝 [−2 ∫ 𝑝𝑒 𝑝 𝑑𝑝 + 𝑐]

{𝑥 = 2(1 − 𝑝)𝑐𝑒 −𝑝

{𝑦 = 2(1 − 𝑝)𝑐𝑒−𝑝 (1 + 𝑝) + 𝑝2

dy=(1+p)dx + xdp + 2pdp

dx + xdp+ 2pdp=0

Y=2xy’+lny’

2.

𝑑𝑦 𝑑𝑥

= 𝑦′ = 𝑝

𝑑𝑦 = 𝑝𝑑𝑥

Y=2xp + lnp

𝑑𝑥 𝑑𝑝

2

1

𝑝

𝑝2

+ x=-

dy=2pdx + 𝑥𝑑𝑝 +

es lineal, entonces la solución es :

1

𝑐

𝑝

𝑝2

X= 2 [−𝑝 + 𝑐] =

{x=

𝑐

1

𝑝

𝑝

− 2

2𝑐

{y=

𝑝

𝑑𝑝

−

1 𝑝

, por lo tanto:

+ 𝑙𝑛𝑝 − 2

Ecuacion Diferencial de Clairaut

3.

𝒚(𝒙) = 𝒙

𝒅𝒚 𝒅𝒚 + 𝒇( ) 𝒅𝒙 𝒅𝒙

𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑦 = 𝑥𝑝 + 𝑓(𝑝) 𝑑𝑦 𝑑𝑝 𝑑𝑝 =𝑥 + 𝑝 + 𝑓 ′ (𝑝) 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 ′ ′ (𝑝)𝑝′ 𝑝 = 𝑥𝑝 + 𝑝 + 𝑓 0 = 𝑥𝑝′ + 𝑓 ′ (𝑝)𝑝′ 𝑝=

𝑝

𝑝′ (𝑥 + 𝑓 ′ (𝑝)) = 0 𝑆𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛 𝐺𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑙: 𝑝′ = 0 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜: 𝑝 = 𝑐 𝑦 = 𝑥𝑐 + 𝑓(𝑐) 𝑆𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑆𝑖𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟: 𝑥 + 𝑓 ′ (𝑝) = 0 4.

𝒚 = 𝒙(

𝒅𝒚 𝒅𝒚 ) + 𝟐( ) 𝒅𝒙 𝒅𝒙

𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑦 = 𝑥𝑝 + 2𝑝2 𝑑𝑦 = 𝑥𝑝′ + 𝑝 + 4𝑝. 𝑝′ 𝑑𝑥 𝑝 = 𝑥𝑝′ + 𝑝 + 4𝑝. 𝑝′ 𝑥𝑝′ + 4𝑝. 𝑝′ = 0 𝑝′ (𝑥 + 4𝑝) = 0 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑔𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑙: 𝑝′ = 0 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑝 = 𝑐 𝑦 = 𝑐𝑥 + 2(𝑐)2 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑠𝑖𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟: 𝑥 + 4𝑝 = 0 4𝑝 = −𝑥 𝑥 𝑝=− 4 𝑥 𝑥 2 𝑦 = 𝑥 (− ) + 2 (− ) 4 4 2 2 𝑥 𝑥 𝑦 = − + 2 (− ) 4 16 2 𝑥 1 𝑦 = − + 𝑥2 4 8 1 2 𝑦=− 𝑥 8 𝑝=