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• Christian Porras Arhuata

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UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS

FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA Y ELECTRONICA

INTEGRANTES: AGUIRRE POZO DANIEL ENRIQUE MORENO PELAEZ KEVIN ARNOLD PINTO LARICO, FRANCISCO RODRIGO PORRAS ARHUATA CRISTIAN ANTHONY

INFORME: 1

RIVERA BEDON LUIS FERNANDO

DOCENTE: Raúl Castro Vidal CURSO: Ecuaciones Diferenciales CICLO: III Sección 6

2020-I

Joseph-Louis de Lagrange (Turín, 1736 - París, 1813) Matemático francés de origen italiano. Estudió en su ciudad natal. Nombrado profesor de la Escuela de Artillería, en 1758 fundó una sociedad, con la ayuda de sus alumnos, que fue incorporada a la Academia de Turín. En su obra Miscellanea taurinensia, obtuvo, entre otros resultados, una ecuación diferencial general del movimiento y su adaptación para el caso particular del movimiento rectilíneo, y la solución a muchos problemas de dinámica mediante el cálculo de variantes. Escribió asimismo numerosos artículos sobre el cálculo integral y las ecuaciones diferenciales generales del movimiento de tres cuerpos sometidos a fuerzas de atracción mutuas, completando así la formulación de las leyes de Newton. A principios de 1760 era ya uno de los matemáticos más respetados de Europa, a pesar del flagelo de una salud extremadamente débil. Su siguiente trabajo sobre el equilibrio lunar, donde razonaba la causa de que la Luna siempre mostrara la misma cara, le supuso la concesión, en 1764, de un premio por la Academia de Ciencias de París. Hasta que se trasladó a la capital francesa en 1787, invitado por Luis XVI, escribió gran variedad de tratados sobre astronomía, resolución de ecuaciones, cálculo de determinantes de segundo y tercer orden, ecuaciones diferenciales y mecánica analítica. Durante la revolución francesa formó parte de la comisión encargada de fijar un sistema universal de pesos y medidas. En 1795 se le concedió una cátedra en la recién fundada École Normale, que ocupó tan sólo durante cuatro meses. Dos años más tarde, tras la creación de la École Polytechnique, Lagrange fue nombrado profesor, y quienes asistieron a sus clases las describieron como «perfectas en forma y contenido». Sus enseñanzas sobre cálculo diferencial forman la base de sus obras Teoría de las funciones analíticas y Resolución de ecuaciones numéricas (1798). Nombrado senador y conde en tiempos de Napoleón, en 1810 inició una revisión de su Teoría, pero sólo pudo concluir dos terceras partes antes de su muerte.

Ecuaciones diferenciales Inventó el método de variación de los parámetros (o variación de las constantes arbitrarias), un método potente no solo aplicable a una ecuación diferencial lineal con coeficientes constantes, sino a cualquier ecuación diferencial lineal de la que se ya conozca la función complementaria. Por este método y por sus numerosas aportaciones se le considera uno los mayores matemáticos de todos los tiempos. Ecuación lineal con coeficientes constantes

a0 y ( n )  a1 y ( n1)  ...  an 1 y   an y   ( x ) Ecuación homogénea asociada

a0 y ( n )  a1 y ( n 1)  ...  an 1 y   an y   ( x ) Solución general de la ecuación homogénea asociada

yh  c1 y1 ( x )  C2 y2 ( x )  ...  Cn yn ( x ) Buscamos una solución particular de la ecuación completa de la forma

yh  c1 ( x) y1 ( x)  C2 ( x) y2 ( x )  ...  Cn ( x) yn ( x ) C1( x) y1 ( x)  C2 ( x) y2 ( x )  ...  Cn ( x) yn ( x)  0 C1( x) y1 ( x)  C2 ( x) y2 ( x )  ...  Cn ( x) yn ( x)  0 ... C1( x) y1( n 2) ( x)  C2 ( x ) y2 ( n 2) ( x )  ...  Cn ( x ) yn ( n 2) ( x )  0 C1( x) y1( n 1) ( x)  C2 ( x ) y2 ( n 1) ( x)  ...  Cn ( x) yn ( n 1) ( x)  Resolviendo, determinamos las funciones

 ( x) a0

Ci( x) e, integrando, las funciones buscadas Ci ( x)

Sustituyendo obtenemos la solución particular buscada

y p  C1 ( x) y1 ( x)  C2 ( x ) y2 ( x)  ...  Cn ( x) yn ( x)

Ejemplo de orden 2:

C1( x ) y1 ( x)  C2 ( x) y2 ( x )  0 C1( x ) y1( x)  C2 ( x) y2 ( x ) 

 ( x) a0

Ejemplo de orden 3:

C1( x) y1 ( x)  C2 ( x ) y2 ( x)  C3 ( x) y3 ( x)  0 C1( x) y1( x)  C2 ( x ) y2 ( x)  C3 ( x) y3 ( x)  0 C1( x) y1( x)  C2 ( x ) y2( x)  C3 ( x) y3( x) 

 ( x) a0

ALEXIS CLAUDE CLAIRAUT Alexis Claude Clairaut, también conocido como Clairaut (París, 7 de mayo de 1713-ibídem, 17 de mayo de 1765), fue un matemático y astrónomo francés. Hijo de un profesor de matemáticas, fue considerado un niño prodigio. A los 12 años escribió un desarrollo sobre cuatro curvas geométricas, y llegó a alcanzar tal progreso en el tema (bajo la tutela de su padre), que a la edad de 13 años leyó ante la Academia francesa un resumen de las propiedades de las cuatro curvas que había descubierto. Tres años más tarde, completó un tratado sobre curvas de doble curvatura, Recherches sur les courbes a double courbure, que la valió su admisión a la Academia de Ciencias Francesa tras su publicación en 1731, a pesar de que aún no contaba con la mínima edad legal de 18 años para ser admitido. En 1736, junto con Pierre Louis Maupertuis, formó parte de una expedición a Laponia, que tenía como objetivo medir un grado de meridiano. Tras su regreso, publicó un tratado que dio en llamar Théorie de la figure de la terre (1743). En este trabajo planteó por primera vez su teorema, que luego se haría conocido con el nombre de Teorema de Clairaut, según el cual se conecta la gravedad en los puntos superficiales de un elipsoide en rotación con la compresión y la fuerza centrífuga en el ecuador. Clairaut obtuvo una ingeniosa resolución aproximada para el problema de los tres cuerpos. En 1750 obtuvo el premio de la Academia Rusa de Ciencias por su ensayo Théorie de la lune, y en 1759 calculó el perihelio del cometa Halley. La Théorie de la lune de Clairaut es estrictamente newtoniana en su carácter. En este ensayo el autor explicó el movimiento del afelio que había desconcertado a los científicos y al mismo Clairaut hasta entonces, que había considerado al fenómeno tan inexplicable al punto de plantearse una hipótesis de revisión de las leyes de atracción. Fue entonces cuando se le ocurrió llevar la observación al tercer orden, tras lo cual concluyó que los resultados eran coherentes con las observaciones. Esto fue corroborado en 1754 por algunas tablas lunares. Clairaut escribió tras ello varios trabajos referidos a la órbita de la luna, y también sobre el movimiento de los cometas y su perturbación por parte de los planetas, particularmente en el caso del cometa Halley. En 1731 Clairaut presentó una demostración de una afirmación de Newton, en la cual el inglés notaba que todas las curvas de tercer orden eran proyecciones de una de cinco parábolas. En 1741 Clairaut participó en una expedición cuyo objetivo era medir la longitud de un meridiano en la tierra, y a su regreso en 1743 publicó su trabajo Théorie de la figure de la terre. Estas ideas se basaban sobre un trabajo de Maclaurin, que había demostrado que una masa de fluido homogéneo en rotación alrededor de un eje que pase por su baricentro tomaría, bajo la atracción mutua de sus partículas, la forma de un esferoide. El trabajo de Clairaut trataba sobre esferoides heterogéneos y contenía la demostración de su fórmula para el efecto de aceleración gravitacional en un sitio de latitud I. En 1849, Stokes demostró que el mismo resultado se mantenía válido independientemente de la constitución interna y de la densidad de la tierra, si la superficie era un esferoide de equilibrio o de baja elipticidad.

Ecuación diferencial de Clairaut La ecuación diferencial de Clairaut, así llamada en honor al matemático francés Alexis-Claude Clairaut, es una ecuación diferencial ordinaria de la forma:

Para resolver la ecuación, se diferencia respecto a x,2 quedando:

por tanto:

y así:

y

En el caso, 

primer C = dy/dx para cualquier constante arbitraria C. Sustituyéndolo en la ecuación de Clairaut, se tiene la familia de ecuaciones dadas por:

llamadas s generales  Clairaut.

oluciones de la ecuación

de

El otro caso,

define sólo una solución y(x), llamada solución singular, cuyo gráfico es envolvente de las gráficas de las soluciones generales. La solución singular se representa normalmente usando notación paramétrica, como: (x(p), y(p)), donde p representa dy/dx. Falleció en 1765, a la edad de 52 años.

Daniel Bernoulli En 1723, ganó la competición anual que patrocinaba la Academia de Ciencias francesa. Ese mismo año, el matemático prusiano Christian Goldbach, después de quedar impresionado por el nivel matemático de Bernoulli, decide publicar la correspondencia que habían mantenido. En 1724, las cartas publicadas se habían extendido por todo el mundo, y Catalina I de Rusia le propuso ser profesor de la recién fundada Academia de Ciencias de San Petersburgo. Su padre logró que la oferta se ampliara también a su hermano Nicolau, que moriría de tuberculosis en San Petersburgo en 1726. En la Academia, Daniel trabajó en la cátedra de Física. Permaneció ocho años en San Petersburgo y su labor fue muy reconocida. Durante ese tiempo compartió vivienda con el también gran matemático Leonhard Euler, que había

llegado a la Academia recomendado por el propio Daniel y al que ya conocía por ser un aventajado alumno de su padre en la Universidad de Basilea. En el año 1732, vuelve a Basilea, donde había ganado un puesto de profesor en los departamentos de Botánica y Anatomía. En 1738 publicó su obra Hydrodynamica, en la que expone lo que más tarde sería conocido como el Principio de Bernoulli, que describe el comportamiento de un fluido al moverse a lo largo de un conducto cerrado. Daniel también hizo importantes contribuciones a la teoría de probabilidades. Es notorio que mantuvo una mala relación con su padre a partir de 1734, año en el que ambos compartieron el premio anual de la Academia de Ciencias de París. Johann llegó a expulsarlo de su casa y también publicó un libro Hydraulica en el que trató de atribuirse los descubrimientos de su hijo en esta materia. En 1750 la Universidad de Basilea le concedió, sin necesidad de concurso, la cátedra que había ocupado su padre. Publicó 86 trabajos y ganó 10 premios de la Academia de Ciencias de París, solo superado por Euler que ganó 12. Daniel Bernoulli fue elegido miembro de la Royal Society el 3 de mayo de 1750. Al final de sus días ordenó construir una pensión para refugio de estudiantes sin recursos.

Ecuación diferencial

de Bernoulli

Se conoce a la ecuación de Bernoulli a aquellas ecuaciones de la forma (E), el método ideado por Bernoulli sirve para transformar ecuaciones diferenciales de la forma ya establecida a una ecuación lineal. Es de la forma(E): y ' p( x) y  q ( x) y n ; n  0; n  1 Tiene que ser distinto de 0 porque si no sería una ecuación de variable separable. También tiene que ser distinto de 1 si no sería una ecuación homogénea.

y ' p( x) y  q ( x) y n ; n  0; n  1 y ' p( x) y  q ( x) y n y ' y  n  p ( x) y1 n  q ( x).....(1) y1 n  v v '  (1  n) y  n y ' v'  y  n y '.....(2) 1 n Re emplazando(2 y1) v'  p ( x )v  q ( x ) 1 n Multiplicando todo por (1-n) en la ecuación:

v ' (1  n) p ( x )v  (1  n)q ( x )