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• 201801240Linda Gabriela Paz Linares

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Matemática aplicada 3

Facultad de Ingeniería

M. A. Alfonso Velásquez

Interpolación y polinomios de Lagrange En pesando por encontrar un polinomio de primer grado que pasa por los puntos con es el mismo que el de aproximar una función , para distintos interpolando un polinomio de primer grado con los valores la cual de en los puntos dados o que coincida con ellos. Consideremos el polinomio lineal

Cuando

y cuando

Así que

tiene las propiedades requeridas, veámoslo en la siguiente grafica:  

   

un

Para generalizar el concepto de interpolación lineal, consideremos la construcción de polinomio de grado máximo que pase por los puntos Esto lo podemos observar en la siguiente grafica: y

P f

x0 En el caso general, para cada de que cuando y se requiere que el numerador de

Para satisfacer anterior cuando se evalué en

x1

x2

xn

construimos un cociente . Para satisfacer contenga el término

, el denominador de . Es decir,

x

con la propiedad para cada

debe coincidir con la expresión

El polinomio de interpolación se describe fácilmente ahora que conocemos la forma de . Este polinomio, denominado n-ésimo polinomio interpolante de Lagrange se define en el siguiente teorema.

Teorema: son números distintos y si es una función cuyos valores están Si dados en esos números, entonces existe un único polinomio de grado a lo más , con la propiedad de que

para cada

Este polinomio está dado por

, donde

para cada

Seguidamente puede ser necesario calcular el residuo o cota de error incurrido al aproximar una función mediante un polinomio interpolante. Esto lo podemos hacer con el siguiente teorema. Teorema: Supongamos que

son números distintos en el intervalo . Entonces, para cada x en existe un número

y que en

con

es el polinomio interpolante de Lagrange.

donde

Ejemplo: Elabore una aproximación Polinomial de Lagrange de primero, segundo y tercer grado, para poder tener un parámetro de comparación dependiendo del grado del polinomio con la información obtenida en un experimento de laboratorio de las presiones de vapor de acetona e interpole la temperatura para una presión de 2 atm. Compare los resultados.

Puntos

0

1

2

3

T ( 0 C)

56.5

113.0

181.0

214.5

P (atm)

1

5

20

40

a) Generando un polinomio de primer grado, n = 1 usando los dos primeros datos de la tabla:

T1 ( p) = L0 ( p) T ( p0 ) + L1 ( p) T ( p1 ) p − p0 p − p1 T1 ( p) = T ( p0 ) + T ( p1 ) p0 − p1 p1 − p0 sustituyendo valores

T1 ( p) =

p −5 p −1 (56.5) + (113.0) 1− 5 5 −1

operando y simplificando T1 ( p) = 14.125 p + 42.375 Valuando para p = 2 atm.

T1 (2) = 14.125 (2) + 42.375 = 70.625 0C b) Generando un polinomio de primer grado, n = 2, usando los primeros tres datos de la tabla:

T2 ( p) = L0 ( p) T ( p0 ) + L1 ( p) T ( p1 ) + L2 ( p)T ( p2 ) T2 ( p ) =

( p − p0 ) ( p − p 2 ) ( p − p 0 ) ( p − p1 ) ( p − p1 ) ( p − p 2 ) T ( p0 ) + T ( p1 ) + T ( p2 ) ( p 0 − p1 ) ( p 0 − p 2 ) ( p1 − p 0 ) ( p1 − p 2 ) ( p 2 − p 0 ) ( p 2 − p1 )

sustituyendo valores T2 ( p ) =

( p − 5) ( p − 2) ( p − 1) ( p − 20) ( p − 1) ( p − 5) (56.5) + (113 .0) + (181 .0) (1 − 5) (1 − 20) (5 − 1) (5 − 20) ( 20 − 1) ( 20 − 5)

operando y simplificando tenemos

T2 ( p ) = − 0.504824 p 2 + 17.153947 p + 39 .850877 valuando para p = 2 atm.

T2 ( 2) = − 0.504824 ( 2) 2 + 17.153947 ( 2) + 39.850877 T2 ( 2) = 72.1394

0

C

c) Generando un polinomio de primer grado, n = 3, usando todos los datos de la tabla:

T3 ( p) = L0 ( p) T ( p0 ) + L1 ( p) T ( p1 ) + L2 ( p)T ( p2 ) + L3 ( p)T ( p3 ) T3 ( p ) =

( p − p0 ) ( p − p 2 ) ( p − p3 ) ( p − p1 ) ( p − p 2 ) ( p − p 3 ) T ( p0 ) + T ( p1 ) ( p 0 − p1 ) ( p 0 − p 2 ) ( p 0 − p 3 ) ( p1 − p 0 ) ( p1 − p 2 ) ( p1 − p 3 ) +

( p − p 0 ) ( p − p1 ) ( p − p 3 ) ( p − p 0 ) ( p − p1 ) ( p − p 2 ) T ( p2 ) + T ( p3 ) ( p 2 − p 0 ) ( p 2 − p1 ) ( p 2 − p 3 ) ( p 3 − p 0 ) ( p 3 − p1 ) ( p 3 − p 2 )

Sustituyendo valores T3 ( p ) =

( p − 5) ( p − 20 ) ( p − 40 ) ( p − 1) ( p − 20 ) ( p − 40 ) (56 .5) + (113 .0 ) (1 − 5) (1 − 20 ) (1 − 40 ) (5 − 1) (5 − 20 ) (5 − 40 ) ( p − 1) ( p − 5) ( p − 20 ) ( p − 1) ( p − 5) ( p − 40 ) ( 214 .5) (181 .0 ) + + ( 40 − 1) ( 40 − 5) ( 40 − 20 ) ( 20 − 1) ( 20 − 5) ( 20 − 40 )

operando y simplificando tenemos:

T3 ( p ) = 0.01085 p 3 − 0.78693 p 2 + 18.51 p + 38.766 valuando para p = 2 atm.

T3 ( 2) = 0.01085 ( 2) 3 − 0.78693 ( 2) 2 + 18.51 ( 2) + 38.766 T3 ( 2) = 72.72508

0

C

Ejercicios: 1)

Emplee la porción de la tabla de vapor que se da para el H2O supercalentado a 200

ν

de Mpa, y encuentre la entropía correspondiente S para un volumen específico 3 0.108 m /kg usando interpolación de Lagrange, genere polinomios de primero y

segundo grado (simplifíquelos a su mínima expresión), luego encuentre la interpolación pedida.

ν

(m3/kg) S (kJ/kg k)

2)

0.10377

0.11144

0.1254

6.4147

6.5453

6.7664

Un automóvil realiza un recorrido por una carretera recta y se cronometra su recorrido en varios puntos. Los datos recabados de las observaciones se incluyen en la tabla adjunta, donde el tiempo se indica en segundos, la distancia en pies, la velocidad en pies por segundo y la aceleración en pies por segundo al cuadrado. Tiempo Distancia

3 225.45

5 383.56

8 623.12

13 993.45

Velocidad

77.76

80.98

74.43

72.22

Aceleración

60.12

65.09

59.87

58.34

a)

b)

c)

Con los datos de la tabla de distancia y tiempo, calcule un polinomio usando Lagrange de grado 2 simplificado, utilizando los primeros tres datos de la tabla y utilícelo para aproximar la distancia recorrida a los 6 segundos. Con los datos de la tabla de velocidad y tiempo, calcule un polinomio usando Lagrange de grado 3 simplificado y utilícelo para aproximar la velocidad recorrida a los 6 segundos. Con los datos de la tabla de aceleración y tiempo, calcule un polinomio usando Lagrange de grado 2 simplificado, utilizando los últimos tres tiempos observados y utilícelo para aproximar la aceleración a los 6 segundos