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TEORIA DE ERRORES

LABORATORIO DE HIDRÁULICA SISTEMAS A PRESIÓN TEORÍA DE ERRORES

PRESENTADO POR: MARCELA CASALLAS GONZALEZ JUAN PABLO CORTAZA TORO NIRLEY DAYANA GONZALEZ ALONSO CRISTIAN DAVID LÓPEZ PEÑA

PRESENTADO A: ING. SANDRA CHARRY

ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA JULIO GARAVITO PROGRAMA DE INGENIERIA CIVIL BOGOTÁ D.C. 26-08-2019 pág. 1

TEORIA DE ERRORES

TABLA DE CONTENIDO

1.

INTRODUCCIÓN ............................................................................................................................................3

2.

OBJETIVOS .....................................................................................................................................................3

2.1.

OBJETIVO GENERAL ...............................................................................................................................3

2.2.

OBJETIVOS ESPECIFICOS .......................................................................................................................3

3.

MARCO TEORICO .........................................................................................................................................4

4.

ESQUEMA Y EQUIPOS .................................................................................................................................6

5.

PROCEDIMIENTO .........................................................................................................................................7

6.

DATOS Y RESULTADOS ..............................................................................................................................7

7.

CONCLUSIONES ............................................................................................................................................8

8.

BIBLIOGRAFÍA ........................................................................................... Error! Bookmark not defined.

pág. 2

TEORIA DE ERRORES

1. INTRODUCCIÓN

El hombre, desde siempre se ha enfrentado a muchos y diversos problemas, lo que lo ha llevado a buscar la mejor solución y forma de resolverlos en el caso de los errores se dio origen a lo que conocemos como teoría de errores, siendo esta la forma de validar las investigaciones y experimentos a través de la estadística y la probabilidad. Donde el análisis estadístico depende de tener grandes o pequeñas muestras, así poder obtener un valor más cercano y acertado, y así mismo determinar e interpretar en los errores que se incurrió; esto es muy importante en la investigación y el método científico ya que permite analizar y tomar las respectivas decisiones con un fundamento matemático, el tratamiento de los datos dependerá bastante de si se tratan o no de datos estadísticos. Cuando se trata de determinar el valor de una magnitud ya sea fundamental o derivada el número que se obtiene como resultado de las medidas no es el valor exacto, sino que estará afectado por un cierto error debido a las medidas realizadas que pueden ser directas , indirectas o con aparatos calibrados. Este laboratorio nos concientiza que en cada medida que tomemos estamos incurriendo en un error y la forma de reducirlo, todo esto para que en los siguientes laboratorios estos errores sean mínimos.

2. OBJETIVOS 2.1. 

2.2.      

OBJETIVO GENERAL

Determinar el verdadero valor de las magnitudes, de forma directa e indirecta mediante la teoría de errores, siendo consientes de las diversas fuentes que generan errores en la mediciones. OBJETIVOS ESPECIFICOS

Identificar y clasificar los errores presentes en esta práctica. Aprender a manejar y aplicar correctamente la teoría de errores. Determinar los intervalos de confianza para los valores obtenidos Obtener datos confiables. Lograr disminuir los errores. Utilizar el método estadístico de desviación estándar y media para construir un intervalo de confianza que permita excluir valores atípicos.

pág. 3

TEORIA DE ERRORES

3. MARCO TEORICO Las magnitudes son una propiedad medible de un sistema físico, es decir, a la que se le pueden asignar distintos valores como resultado de una medición o una relación de medidas. Las magnitudes físicas se miden usando un patrón que tenga bien definida esa magnitud, y tomando como unidad la cantidad de esa propiedad que posea el objeto patrón, las magnitudes físicas están definidas por las operaciones experimentales, las cuales deben realizarse y por regla deben cumplirse para obtener un valor determinado de estas. Las operación y las regla son distintas en cada caso, por este motivo deben seleccionarse para que se puedan realizar en la práctica. La medida de cualquier cantidad o magnitud se reduce a encontrar un número que sea el cociente entre la magnitud en consideración y una magnitud seleccionada como patrón. Existen varios métodos para la medida de una magnitud, estos son: Las medidas directas e indirectas y además las realizadas con un aparato calibrado, donde: Medidas directas: Se asume como unidad de medida una unidad “patrón”. Estas medidas se efectúan por “comparación” con el patrón escogido como unidad. Este proceso se conoce como método de medida relativa, porque los números que dan la magnitud dependen de la unidad de medida seleccionada y puede fijarse de tal manera que puede ser arbitraria. Medidas indirectas: Son aquellas medidas que se obtienen, mediante cálculos, a partir de las otras mediciones directas. Medidas con aparato calibrado: Los inconvenientes que presentan los métodos anteriores prácticamente se eliminan efectuando medidas con aparatos previamente calibrados. Se proponen patrones de medidas excelentes y se calibran los instrumentos de tal manera que la medida se reduzca a una simple lectura de la posición de índices sobre escalas graduadas. CLASIFICACIÓN DE ERRORES Los errores pueden clasificarse en dos grandes grupos: Sistemáticos, Accidentales. Errores sistemáticos: Son aquéllos que se reproducen constantemente y en el mismo sentido. Por ejemplo, si el CERO de un voltímetro no está ajustado correctamente, el desplazamiento del CERO se propagará, en el mismo sentido, a todas las medidas que se realicen con él. Atendiendo a su origen los errores sistemáticos se clasifican en:  Errores teóricos: Son los introducidos por la existencia de condiciones distintas a las idealmente supuestas para la realización del experimento. Un ejemplo de error teórico es el que resulta de la existencia de la fricción del aire en la medida de g con un péndulo simple. 

Errores instrumentales: Son los inherentes al propio sistema de medida, debido a aparatos mal calibrados, mal reglados o, simplemente, a las propias limitaciones del instrumento o algún defecto en su construcción. Estos errores pueden ser atenuados por comparación con otros aparatos "garantizados", cuyo error instrumental sea más "pequeño" y controlable.



Errores personales :Son los debidos a las peculiaridades del observador que puede, sistemáticamente, responder a una señal demasiado pronto o demasiado tarde, estimar una cantidad siempre por defecto, etc. pág. 4

TEORIA DE ERRORES

Errores accidentales: Son debidos a causas irregulares y aleatorias en cuanto a presencia y efectos: corrientes de aire, variaciones de la temperatura durante la experiencia, etc. Así como los errores sistemáticos pueden ser atenuados, los errores accidentales para un determinado experimento, en unas condiciones dadas, no pueden ser controlados. Es más, los errores accidentales se producen al azar y no pueden ser determinados de forma unívoca. Para tratar adecuadamente 2 este tipo de errores es preciso hacer uso de la estadística y hablar en términos probabilísticos. Como veremos, no podemos decir que el error de una medida sea de 5 unidades, por ejemplo, sino que habrá que decir que existe una probabilidad P (del 75%, por ejemplo) de que el error sea inferior a 5 unidades. En la teoría de errores se puede hablar de la precisión, exactitud y sensibilidad donde: -

Precisión: una medida es tanto más precisa cuanto más pequeño son los errores casuales. Exactitud: una medida es tanto más exacta cuanto más pequeño son los errores sistemáticos. Sensibilidad: está asociada al aparato de medida.

Cuando se va a medir una cantidad específica, generalmente se repiten las mediciones para luego tomar un valor final, el cual es definido por el promedio. Este valor se obtiene usando la ecuación (1) 𝑥𝑝 =

𝑥1 + 𝑥2 + ⋯ + 𝑥𝑛 𝑛

(1)

El valor medio, se aproximará más al valor verdadero de la magnitud en la medida que el número de datos sea mayor, en general, es suficiente con 10. El error aparente o residuo es la diferencia entre cada una de las medidas realizadas y el valor promedio de la variable. Este error se calcula usando la ecuación (2) 𝑒𝑛 = 𝑥𝑛 − 𝑥𝑝 (2) Se denomina error verdadero a la diferencia entre cada una de las medidas experimentales y el valor real de la variable, es decir: ∈𝑛 = 𝑥𝑛 − 𝑥𝑟𝑒𝑎𝑙 (3) El error cuadrático medio de una cantidad n de medidas de la variable μ representa el error que se supone se ha cometido sobre cada una de las medidas. Este error se define mediante la ecuación (4): ∑n1 e2n μ=√ (4) n−1 Siendo n el número de medidas y el 𝑒𝑗 el error aparente de la medida 𝑎𝑗 calculado por medio de la ecuación (2). Error estándar sobre F se calcula por medio de la ecuación (5), para magnitudes derivadas.

μF = √∑ μ2𝑛 ∗

∂F 2 ∂x𝑛 2

(5)

CRITERIO DE CHAUVENET Este criterio define el intervalo de confianza con base en el número de datos de la magnitud que se mide, teniendo en cuenta la distribución de Gauss, (tabla 1), esta distribución se representa por medio de la ecuación (6) pág. 5

TEORIA DE ERRORES ∞

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 1

(6)

−∞

𝐙𝟎

Numero de datos 10

1,96

15

2,13

25

2,33

50

2,57

Tabla 1. Datos de Zo para determinar el intervalo de confianza a partir del criterio de Chauvenet

En estas condiciones el intervalo de confianza, utilizando el criterio de Chauvenet, está dado por la def (7): [𝑥̅ − 𝑍0 𝜇, 𝑥̅ + 𝑍0 𝜇] 𝑑𝑒𝑓 (7) Otra forma de calcular el intervalo de confianza, está dado por la def (8): [𝑥̅ − 3𝜇, 𝑥̅ + 3𝜇] def(8) El área de la base de los cilindro se determina mediante la ecuación (9) 𝐴=

𝜋 2 𝐷 (9) 4

El volumen del cilindro se determina mediante la ecuación (10) V = A ∗ h (10) La densidad de cada uno de los cilindros se halla mediante la ecuación (11) ρ=

M (11) V

4. ESQUEMA Y EQUIPOS Los instrumentos necesarios para realizar la práctica de errores y sus respectivos ensayos son: DENSIDAD    

Cilindros de diferente material y dimensiones Cinta métrica: Se utiliza una cinta métrica con una precisión de 1 mm Balanza: Se utiliza una balanza con una precisión de 1g Calibrador (pie de rey): Se utiliza un calibrador con una precisión de 0,05mm

pág. 6

TEORIA DE ERRORES 5. PROCEDIMIENTO 1. Se tiene los 4 cilindros (3 de madera y 1 metalico), de diferentes dimensiones. 2. A cada uno de los cilindros se les pesa para obtener el valor de la masa, este proceso se realizo 12 veces por cada cilindro. 3. Con el calibrador (pie de rey) se toman los diametros de cada cilindro, este proceso se realizo un total de 12 veces por cada uno. 4. Con la cinta metrica se toman los datos de la altura de cada cilindro, de igual manera un total de veces por cada uno. 5. Con los 3 datos se calcula el voolumen de cada cilindro para luego calcular sus densidades. 6. DATOS Y RESULTADOS - DATOS

Cil. 1 180 80 180 180 180 180 180 180 180 180 180 180

MASA (g) ±0,1 Cil. 2 Cil. 3 270 465 270 465 270 463 270 463 270 464 270 464 270 465 270 464 270 464 270 465 270 465 270 465

Cil. 4 1989 1990 1990 1990 1989 1990 1990 1990 1989 1989 1989 1989

Tabla 2. Masa de los cilindros. Fuente: Propia

Cil. 1 9,800 9,850 9,800 9,850 9,800 9,900 9,850 9,950 9,900 9,850 9,900 9,800

ALTURA (cm) ±0,1 Cil. 2 Cil. 3 15,000 25,000 14,950 25,000 14,900 25,100 15,000 25,050 15,000 25,050 15,000 25,000 14,900 25,000 14,900 24,900 14,950 25,000 15,000 25,000 15,000 25,100 15,050 25,000

Cil. 4 8,900 8,900 8,950 8,950 8,900 8,950 8,900 8,950 8,900 8,900 8,900 8,950

Cil. 1 6,100 6,000 5,950 6,000 6,000 5,950 5,950 6,000 5,950 6,080 6,075 6,110

DIAMETRO (cm) ±0,005 Cil. 2 Cil. 3 5,910 6,250 5,830 6,650 5,810 6,700 5,890 6,800 5,940 6,550 6,000 6,550 5,950 6,650 5,960 6,750 5,950 6,700 6,000 6,650 6,000 6,800 6,100 6,700

Cil. 4 9,940 9,940 9,945 9,945 9,960 9,965 9,950 9,950 9,940 9,950 9,940 9,940

Tabla 3. Diámetro de los cilindros. Fuente: Propia

CILINDRO MASA (g) ±0,1 1 180,000 2 270,000 3 464,333 4 1989,500

PROMEDIO DIAMETRO (cm) ±0,005 6,014 5,945 6,646 9,947

ALTURA (cm) ±0,1 9,854 14,971 25,017 8,921

Tabla 5. Promedio de datos de los cilindros. Fuente: Propia

Tabla 4. Altura de los cilindros. Fuente: Propia

pág. 7

TEORIA DE ERRORES -

ERRORES Estos errores se calcularon usando la ecuación (2)

ERROR APARENTE

ERROR APARENTE

MASA (g) ±0,1

DIAMETRO (cm) ±0,005

Cil. 1

Cil. 2

Cil. 3

Cil. 4

Cil. 1

Cil. 2

Cil. 3

Cil. 4

0,000 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0,667 0,667 -1,333 -1,333 -0,333 -0,333 0,667 -0,333 -0,333 0,667 0,667 0,667

-0,500 0,500 0,500 0,500 -0,500 0,500 0,500 0,500 -0,500 -0,500 -0,500 -0,500

0,086 -0,014 -0,064 -0,014 -0,014 -0,064 -0,064 -0,014 -0,064 0,066 0,061 0,096

-0,035 -0,115 -0,135 -0,055 -0,005 0,055 0,005 0,015 0,005 0,055 0,055 0,155

-0,396 0,004 0,054 0,154 -0,096 -0,096 0,004 0,104 0,054 0,004 0,154 0,054

-0,007 -0,007 -0,002 -0,002 0,013 0,018 0,003 0,003 -0,007 0,003 -0,007 -0,007

Tabla 6. Errores aparentes de la masa. Fuente: Propia

Tabla 7. Errores aparentes de los diámetros. Fuente: Propia

ERROR APARENTE Cil. 1 -0,054 -0,004 -0,054 -0,004 -0,054 0,046 -0,004 0,096 0,046 -0,004 0,046 -0,054

ALTURA (cm) ±0,1 Cil. 2 Cil. 3 0,029 -0,017 -0,021 -0,017 -0,071 0,083 0,029 0,033 0,029 0,033 0,029 -0,017 -0,071 -0,017 -0,071 -0,117 -0,021 -0,017 0,029 -0,017 0,029 0,083 0,079 -0,017

Cil. 4 -0,021 -0,021 0,029 0,029 -0,021 0,029 -0,021 0,029 -0,021 -0,021 -0,021 0,029

Tabla 8. Errores aparentes de las alturas. Fuente: Propia

pág. 8

TEORIA DE ERRORES -

ERROR CUADRATICO MEDIO

Estos errores se calcularon usando la ecuación (4)

μ Masa Cil. 1 0,000

Cil. 2 0,000

Cil. 3 0,778

Cil. 4 0,522

Tabla 9. Error cuadrático medio de la masa. Fuente: Propia

μ diámetro Cil. 1 0,062

Cil. 2 0,079

Cil. 3 0,148

Cil. 4 0,008

Tabla 10. Error cuadrático medio de los diámetros. Fuente: Propia

μ longitud Cil. 1 0,050

Cil. 2 0,050

Cil. 3 0,054

Cil. 4 0,026

Tabla 11. Error cuadrático medio de las alturas. Fuente: Propia

-

INTERVALO DE CONFIANZA INTERVALO DE CONFIANZA DE LA MASA Cil. 1 Cil. 2 Cil. 3 Cil. 4 180,000 270,000 461,998 1987,933 180,000 270,000 466,669 1991,067 Tabla 12. Intervalo de confianza para la masa dado por def (7)

INTERVALO DE CONFIANZA DEL DIAMETRO Cil. 1 Cil. 2 Cil. 3 Cil. 4 5,829 5,707 6,201 9,922 6,199 6,183 7,091 9,972 Tabla 13. Intervalo de confianza para el diámetro dado por def (7)

INTERVALO DE CONFIANZA DE LA ALTURA Cil. 1 Cil. 2 Cil. 3 Cil. 4 9,705 14,821 24,856 8,844 10,004 15,120 25,178 8,998 Tabla 14. Intervalo de confianza para la altura dado por def (7)

Zo PARA 12 DATOS = 2,028 INTERVALO DE CONFIANZA DE LA MASA Cil. 1 Cil. 2 Cil. 3 Cil. 4 180,000 270,000 462,755 1988,441 180,000 270,000 465,912 1990,559 Tabla 15. Intervalo de confianza para la masa por el criterio de Chauvenet

pág. 9

TEORIA DE ERRORES Zo PARA 12 DATOS = 2,028 INTERVALO DE CONFIANZA DEL DIAMETRO Cil. 1 Cil. 2 Cil. 3 Cil. 4 5,889 5,784 6,345 9,930 6,139 6,106 6,947 9,964 Tabla 16. Intervalo de confianza para el diámetro por el criterio de Chauvenet

Zo PARA12 DATOS = 2,028 INTERVALO DE CONFIANZA DE LA ALTURA Cil. 1 Cil. 2 Cil. 3 Cil. 4 9,753 14,870 24,908 8,869 9,955 15,072 25,125 8,973 Tabla 17. Intervalo de confianza para la altura por el criterio de Chauvenet

Para el valor de Zo se interpola los valores de la tabla 1 para obtener un resultado de Zo=2,028 para un n=12. Para el cálculo de las medidas indirectas registradas en la tabla (18) se usaron las ecuaciones (9),(10) y (11) respectivamente. CILINDRO

AREA (cm2)

1 2 3 4

28,404 27,758 34,689 77,711

VOLUMEN (cm3) 279,898 415,566 867,797 693,245

DENSIDAD (g/cm3) 0,643 0,650 0,535 2,870

Tabla 18. Datos de medidas indirectas para los cilindros

-

ERRORES CUADRATICO MEDIO

7. CONCLUSIONES

8. BIBLIOGRAFIAS

pág. 10

TEORIA DE ERRORES El no tener un buen control en cuanto a la calidad de los materiales, o el estudio de las cargas que se la aplicaran a una construcción hace que nuestra probabilidad de falla aumente. El factor de seguridad no considera la probabilidad de falla, por eso es necesario que el diseño estructural deba tener bases probabilísticas.

Rodriguez Diaz, Alfonso. (Primera, abril 2001). Hidraulica Experimental. Bogotá: Escuela Colombiana de Ingeniería.

pág. 11