• Author / Uploaded
• Skiner Alex Cl

Citation preview

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA FACULTAD DE INGENIERA ELECTRIA Y ELECTRONICA

FISICA I INFORME DE LABORATORIO N° 2: MEDICIONES 2

INTEGRANTES:

CODIGO:

-CABELLO LAZARO KEVIN FRANZ

20191224K

-DURAND PARIONA, ISAAC AARON

20191386K

-ORTIZ CONTRERAS DIERCY PHOL

20192660I

CODIGO DEL CURSO: BFI010 SEECCION:

“O”

PROFESORES:

- SHIRLEY PONCE MONTENEGRO - FERNANDO CHIRINOS 25 - 09 - 2019

INDICE

PROPAGACION DEL ERROR EXPERIMENTAL:

1. Objetivos……………………………………………………………………...3 2. Fundamento teórico…………………………………………………………4 3. Materiales…………………………………………………………………….6 4. Procedimiento y resultados…………………………………………………7 5. Cuestionario………………………………………………………………….8 6. Disposiciones finales………………………………………………………..9

GRAFICA DE RESULTADOS DE UNA MEDICION:

1. Objetivos……………………………………………………………………….………………..10 2. Fundamento teórico…………………………………………………………..…………..4 3. Materiales……………………………………………………………………...………………6 4. Procedimiento y resultados………………………………………………….………… 5. Cuestionario…………………………………………………………………………………… 6. Disposiciones finales……………………………………………………………………….

PROPAGACION DEL ERROR EXPERIMENTAL

1.- OBJERTIVOS:

-Expresar los errores al medir directamente longitudes con escalas en milímetros y en 1/20 de milímetro.

-Determinar magnitudes derivadas o indirectas, calculando la propagación de las incertidumbres.

2.- FUNDAMENTO TEORICO:

-En el proceso de medición, el tratamiento de errores (también llamados errores) nos lleva a la propagación de éstos, al buscar expresar el valor de las magnitudes que se determinan indirectamente.

-Teniendo en cuenta que el error de la medición directa, de una magnitud x, es ∆𝑥; y que ∆𝑥 ≪ 𝑥, se puede usar la aproximación: ∆𝑥 ≡ 𝑑𝑥

-Así, para cualquier magnitud indirecta (o que se mide indirectamente) como, por ejemplo: 𝑽 = 𝑉(𝑥, 𝑦) cuya expresión diferencial es: 𝒅𝑽 =

𝜕𝑉 𝜕𝑥

𝑑𝑥 +

𝜕𝑉 𝜕𝑦

𝑑𝑦 Podremos calcular el error de V si se conoce explícitamente

V=V(x,y) y se hace las aproximaciones: ∆𝑉 ≅ 𝑑𝑽 ∆𝑥 ≅ 𝑑𝑥 ∆𝑦 ≅ 𝑑𝑦

Así, cuando medimos una distancia con una regla milimetrada puede ocurrir que la distancia esté justo entre dos marcas del milímetro. Por tanto, cada medida viene con un error intrínseco que en general se escribe como: 𝒙 ± 𝜟𝒙

Propagación de errores en sumas y diferencias: Datos iniciales: x ± ∆x

y ± ∆y

Sea su suma q = (x + y) y su diferencia q = (x – y) ¿Cuál es la incertidumbre, ∆q? El error absoluto de la suma y de la diferencia de dos o más magnitudes es la suma de los errores absolutos de dichas magnitudes: 𝑸 = 𝑥 ± 𝑦 → 𝑑𝑄 ≈ ∆𝑥 ± ∆𝑦 Propagación de errores en productos Datos iniciales:

x ± ∆x = x (1 ± ∆x/ x) y ± ∆y = y (1 ± ∆y/ y)

Sea su producto: q = x*y ¿Cuál es la incertidumbre, ∆q? El error relativo del producto es igual a la suma de los errores relativos: 𝑸=𝑥∗𝑦 →

𝑑𝑄 ∆𝑥 ∆𝑦 ≈ + |𝑄| |𝑥| |𝑦|

Propagación de errores en cocientes Datos iniciales:

x ± ∆x = x (1 ± ∆x |x|) y ± ∆y = y (1 ± ∆y |y|)

Sea su cociente: q = x/y ¿Cuál es la incertidumbre, ∆q? El error relativo del cociente es la suma de los errores relativos: 𝑄=

𝑥 𝑑𝑄 ∆𝑥 ∆𝑦 → ≈ + |𝑥| |𝑦| 𝑦 |𝑄|

3. MATERIALES: Los materiales son: 1.- un paralelepípedo de metal paralelepípedo de metal el cual sirvió para medir sus dimensiones.

2.- Una regla graduada en milímetros el cual sirvió para hacer las mediciones.

3.- Un pie de rey también lo usamos para hacer las mediciones.

4. PROCEDIMIENTO Y RESULTADOS:

1.- Primero usaremos la regla y tomaremos todas las medidas al paralelepípedo.

2.- luego usaremos el pie de rey y también tomaremos todas las medidas al paralelepípedo.

3.- anotaremos los datos recaudados en una hoja.

4.- calcularemos los volúmenes correspondientes obtenidos con las medidas de la regla y el pie de rey.

5.- calcularemos el área superficial con los datos obtenidos al inicio.

6.- colocaremos todo en el cuadro hecho en la hoja.

5. CUESTIONARIO:

1.- ¿Las dimensiones de un paralelepípedo se pueden determinar con una sola medición? Si no ¿Cuál es el procedimiento más apropiado? Bueno no podríamos determinar las dimensiones con una solo dimensión ya que el error siempre está solo podemos hacer un instrumento de medición más exacto que nos ayude a reducir los errores. Medir todas sus dimensiones (largo, ancho y altura) para así calcular con una mayor precisión el valor promedio.

2.- ¿Qué es más conveniente para calcular el volumen dl paralelepípedo: una regla en milímetros o un pie de rey? Lo más adecuado es utilizar el pie de rey ya que su erro es menor (que tiene un error de 1/20 milímetros) que el de la regla milimetrada (que tiene un error de 1/2 milímetros).

6. DISPOSICIONES FINALES:

OBSERVACIONES:

a) Para realizar las mediciones pedidas en el presente laboratorio debemos trabajar con instrumentos de alta precisión como por ejemplo el pie de rey. b) Los errores con otros instrumentos de menor precisión como la regla (que tiene un error de 1/2 milímetros) nos daría un mayor error al tratar de determinar su área o volumen. c) Uno debe tener experiencia manejando el pie de rey sino tendrían errores al momento de usarlo y generaría errores.

CONCLUSIONES

a) En todo tipo de medición siempre tendremos errores experimentales, el cual debe ser determinado y señalado. b) El vernier es un instrumento de mayor precisión que la regla. c) Todo lo que derive de un error experimental también tendrá un error asociado al error inicial lo cual es algo inevitable.

SUGERENCIAS:

a) Conseguir los instrumentos de mayor exactitud posible. b) Tener cuidado al utilizar instrumentos de alta precisión ya que sino tendríamos error asociado a nuestras fallas. c) Tener conocimientos previos de teorías de errores.

GRAFICA DE RESULTADOS DE UNA MEDICION

1.OBJETIVOS:

- Determinar las condiciones para que un péndulo simple tenga su periodo independiente de su amplitud angular “α” ( α ≤ 12°) y la masa del objeto sometido al movimiento armónico simple.

- Determina una relación entre el periodo y la longitud del péndulo.

- Experimentar en un laboratorio como varia el movimiento del péndulo simple variando algunos valores como longitud de cuerda, Angulo y la masa del objeto.

- Identificar si la masa del objeto afecta el periodo y la frecuencia del movimiento del péndulo simple.

- Comparar las distintas graficas que se obtendrán del análisis estadístico de datos obtenidos en la prueba de laboratorio teniendo en cuenta la amplitud del Angulo y la longitud de la cuerda

- Construir funciones polinomiales que representen a dicha función.

2. FUNDAMENTO TEORICO:

Péndulo Simple: El péndulo simple o matemático consiste en una masa de dimensiones muy pequeñas, suspendida del extremo de un hilo que puede oscilar a uno y otro lado de la posición de equilibrio.

Donde A Y B son los puntos extremos o de retorno del péndulo, L es la longitud pendular de la cuerda, y donde α es el Angulo de amplitud. Teniendo en cuenta que este es un movimiento oscilatorio se pueden descomponer sus fuerzas para obtener sus componentes rectangulares.

De este esquema se pueden obtener las siguientes ecuaciones de acuerdo a sus componentes en 𝑓𝑥 la cual nos determina la fuerza motriz capaz de mantener el péndulo en movimiento y en 𝑓y la cual determina la tensión de la cuerda por la fuerza vertical que proporciona la aceleración centrípeta. 𝑓𝑥 = 𝑚. 𝑔. sin 𝜃 𝑓y = 𝑚. 𝑔. cos 𝜃 Otra parte fundamental del péndulo simpe es el Periodo (𝑇) el cual se define como el tiempo que se gasta en dar una oscilación completa es decir el movimiento desde A hasta B y el de B hasta A. El periodo se calcula con la siguiente ecuación.

𝑇 = 2𝜋√

𝐿 𝑔

En donde L es la longitud de la cuerda y g es la gravedad. Como la frecuencia 𝑓 es lo inverso al periodo obtendremos la siguiente ecuación. 𝑓=

1 𝑇

PARABOLA MINIMO CUADRATICA: Parábola:

Y = a0 + a1X + a2X²

Se ha llevado a cabo un ligero cambio de notación en los parámetros del polinomio, en preparación para la eventual generalización hacia un "ajuste" de mínimos cuadrados con una curva correspondiente a un polinomio de grado p. Procediendo exactamente de la misma manera como lo hicimos con la recta de mínimos cuadrados, podemos postular la diferencia entre cada valor real de Y=Y1,Y2,Y3,...,YN y cada valor calculado para su correspondiente Xi usando la ecuación cuadrática de mínimos cuadrados, lo cual nos da la "distancia" vertical Di que aleja a ambos valores: D1 = a0 + a1X1 + a2X1² - Y1 D2 = a0 + a1X2 + a2X2² - Y2 D3 = a0 + a1X3 + a2X3² - Y3 . . . DN = a0 + a1XN + a2XN² - YN Y al igual que como lo hicimos al buscar la recta de los mínimos cuadrados, también aquí extendemos el criterio de buscar el polinomio cuadrático que sea tal que la suma de los cuadrados de las distancias verticales de cada uno de los puntos "reales" a los puntos calculados de acuerdo a dicho polinomio sea un mínimo. En pocas palabras, queremos minimizar la función: S = [a0 + a1X1 + a2X1² - Y1]² + [a0 + a1X2 + a2X2² - Y2]² + [a0 + a1X3 + a2X3² - Y3] _______+ ... + [a0 + a1XN + a2XN² - YN]² Puesto que ahora tenemos tres parámetros en lugar de dos, tenemos que llevar a cabo tres diferenciaciones parciales, las cuales nos conducen eventualmente a los siguientes tres sistemas de ecuaciones: a0N + a1ΣX + a2ΣX² = ΣY a0ΣX + a1ΣX² + a2ΣX3 = ΣXY a0ΣX² + a1ΣX3 + a2ΣX3 = ΣX²Y Este conjunto de ecuaciones es conocido como las ecuaciones normales para la parábola de mínimos cuadrados. De nueva cuenta, tenemos un sistema de ecuaciones simultáneas, con tres incógnitas, los parámetros a0, a1 y a2, que definirán la curva de los mínimos cuadrados

para un conjunto dado de datos que parezcan seguir un crecimiento exponencial de segundo grado.

3. MATERIALES: - Un péndulo simple de 1.5 m de longitud

- Una regla graduada en mm

- Un cronometro

4. PROCEDIMIENTO Y RESULTADOS:

- Sostenga el péndulo de manera que el hilo de soporte forme un ángulo α con la vertical. Suelte y mida el tiempo que demoran en dar 10 oscilaciones completas, (cada oscilación es una ida y una vuelta completa). Ahora determine el significado de “para ángulos suficientemente pequeños el tiempo que dura una oscilación (o en este caso 10 oscilaciones) no depende del valor de α”. En lo que sigue supondremos que trabajamos con valores de α suficientemente pequeño.

- fije una cierta longitud 𝑙𝑘 para el péndulo ( 10𝑐𝑚 ≤ 𝑙𝑘 ≤ 150𝑐𝑚 ), y midiendo 10 oscilaciones completas determine el periodo 𝑇𝑘1 de dicho péndulo. Repita esto 5 veces, obteniendo 𝑇𝑘1 , … , 𝑇𝑘5 . Luego determine el periodo más probable 𝑇𝑘 de dicho péndulo como media aritmética de las cinco ediciones anteriores.

𝑇𝑘 =

𝑇𝑘1 + 𝑇𝑘2 + 𝑇𝑘3 + 𝑇𝑘4 + 𝑇𝑘5 5

-Obtener la ecuación parábola mínimo-cuadrado asociada a los datos obtenidos.

- Colocar y graficar la parábola obtenida.

5. CUESTIONARIO:

1.-Anteriomente se le ha pedido que para medir el periodo deje caer la “masa” del péndulo. ¿Qué sucede si en vez de ello Ud. Lanza la “masa”? Obtendría una velocidad inicial diferente de cero y en consecuencia un mayor contenido energético, esto hace que la altura que alcanza el cuerpo es mayor a la altura inicial respecto al punto más bajo 2.- ¿Depende el periodo del tamaño que tenga la “masa”? Explique. Cuando se utiliza péndulos de la misma longitud y diferentes masas en un mismo lugar, se demuestra que el periodo de un péndulo simple es independiente de su masa, solo depende de la longitud de la cuerda y de la gravedad 3.- ¿Depende el periodo del material que constituye la “masa”. (p.e.: una pesa de metal, una bola de papel, etc.)? Por definición de péndulo simple, se considera al cuerpo suspendido como una masa puntual por tanto el periodo no depende del material de que esta echa la “masa”. Pero en las condiciones del laboratorio si puede variar el periodo, por ejemplo, en el caso de una bola de papel puede variar si la resistencia del aire es considerable 4.-Supongamos que se mide el periodo con Ɵ=5° y con Ɵ=10°. ¿En cuál de los dos casos resulta mayor el periodo? Cuando se analiza un péndulo simple, el ángulo que forma la cuerda con la vertical es menor que 12°. Bajo estas condiciones el movimiento que describe la masa es in movimiento oscilatorio en el cual el periodo es independiente de la amplitud angular, entonces se puede afirmar que con ángulos α=5° y con α=10°, el periodo seria el mismo.

5.-Para determinar el periodo (duración de una oscilación completa), se ha pedido medir la duración de 10 oscilaciones y de allí determinar la duración de una oscilación. ¿Por qué no es conveniente medir la duración de una sola oscilación? ¿Qué sucedería si midiera el tiempo necesario para 50 oscilaciones? No es conveniente medir una oscilación, pues al empezar a controlar su tiempo no va ser preciso el momento de inicio ni de llegada del péndulo (por factores de inestabilidad de la masa, rotación de la cuerda, etc.) pero si midiéramos 50 oscilaciones sería mucho mejor pues el margen de error al medir dicha oscilación sería menor 6.- ¿Depende los coeficientes ∝ , 𝜷, 𝜸 de la terna de puntos por donde pasa f? Para poder determinar una función que pasa por tres puntos de la función discreta tomada en cuenta debemos hacer que los valores que estas toman se asemejen lo mejor posible a la función ello implica que las desviaciones sean las mínimas posibles. Debido a ello los coeficientes ∝ , 𝛽, 𝛾 dependen de los puntos por donde pasen. 7.-Para determinar ∝, 𝛽, 𝛾 se eligieron tres puntos. ¿Por qué no dos? ¿O cuatro? Debido a que para determinar tres incógnitas (variable) se necesitan por lo menos tres ecuaciones, se eligen tres puntos. Dos puntos serían insuficientes y cuatro puntos serian innecesarios 8.-En general, según como elija ∝ , 𝛽, 𝛾 obtendrá un cierto valor para ∆f. ¿Podría Ud. Elegir ∝ , 𝛽, 𝛾 de manera que ∆f sea mínima (aunque f no pase por ninguno de los puntos de la función discreta)? ¿Puede elegir elija ∝ , 𝛽, 𝛾 de manera que ∆f=0? Para que ∆f=0 la función debe pasar por todos los puntos que tenemos de dato, de manera que es imposible también tenemos que según la teoría el método de los mínimos cuadrados nos proporciona la mínima función que se encuentre entre los puntos que tenemos de dato de manera que el ∝ , 𝛽, 𝛾 se calculan dependiendo de los puntos tomados

9.- ¿Qué puede afirmarse, en el presente experimento con respecto al coeficiente 𝜸 de la función g(T)? Se puede afirmar que los coeficientes varían según los puntos tomados y para obtener una curva más exacta se debe tener más coeficientes 10.- ¿Cuántos coeficientes debería tener la función g para estar seguros de ∆g=0? Por lo menos 10 coeficientes para tener la función g para estar seguros que ∆g=0 11.- ¿Opina Ud. que por ejemplo usando un trozo de hilo de coser y una tuerca, puede repetir estos experimentos en su casa? Si se puede solo que se tendría que tomar en cuenta las condiciones que se tuvieron al momento de realizar el experimento en el laboratorio 12.- ¿Tiene Ud. idea de cuantas oscilaciones puede dar el péndulo empleado, con 𝒍𝒌 =100cm, antes de detenerse? Supongamos que el movimiento del péndulo disminuye una centésima de segundo por oscilación debido a la fricción del aire sobre el cuerpo. Haciendo los cálculos T=2𝜋√𝑙/𝑔 Se obtiene T=2.005s El periodo en n oscilaciones disminuye n/100s por lo que al final de las n oscilaciones el periodo es T-n/100=0 entonces aproximadamente hará 200 oscilaciones

13.-Observe que al soltar el péndulo es muy difícil evitar que la masa “rote”. ¿Modifica tal rotación el valor del periodo? ¿Que propondría Ud. para eliminar la citada rotación? - Un cuerpo en rotación se modifica el periodo porque constantemente estaría alterando la tensión ejercida por la cuerda por lo que no describiría un movimiento oscilatorio - Para evitar la rotación se podría usar una cuerda que posea una mayor rigidez.

6.- DISPOSICIONES FINALES: OBSERVACIONES: a) El periodo guarda una relación no lineal con respecto al tiempo de oscilación: aumenta proporcionalmente a la raíz cuadrada de la longitud de la varilla.

b) Durante el proceso de medición observamos que al más mínimo descuido aumentaba significativamente el error de la medición del periodo.

c) El error es algo inherente a todo tipo de medición que exista, como por ejemplo en el péndulo. Frejoles, etc. CONCLUSIONES: a) Hallamos las distintas graficas correspondientes al periodo vs longitud, con lo cual pudimos observar las diferentes tendencias: cuando es lineal y cuando es cuadrática.

b) Se comprueba una vez más que el periodo no depende de la masa, pero si del periodo. SUGERENCIAS: a) Para poder realizar la medición del periodo es conveniente adecuar un ambiente en el que las perturbaciones como el viento sean mínimas, con el objetivo de reducir el error experimental.

b) Para lograr un movimiento oscilatorio del péndulo la amplitud angular no debe ser mayor a 15°.

c) Manejar el software necesario para poder realizar las gráficas pedidas.