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• Yerson Peña Huamani

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TEORIA DE ERRORES 1. INTRODUCCION La teoría de errores es una ciencia fundamental para todas las materias donde se manejan y analizan grandes volúmenes de datos provenientes de observaciones directas o mediciones realizadas en laboratorio o trabajos de campo, tales como los que se desarrollan en topografía, geodesia, física, química y sobre todo estadística. Existen varios procedimientos para cumplir los objetivos de la teoría de errores, algunos incluyen procedimientos propios del análisis matemático, como integrales, derivadas, logaritmos Neperianos, etc Cuando se efectúa la medición de una distancia para conocer su magnitud, solo se obtiene un valor aproximado de la misma, debido a variadas causas y efectos que afectan a todas las mediciones por lo que es imposible conocer con certeza y perfección la verdadera magnitud medida y el error que se ha cometido al hacerlo. Es objetivo de la teoría de errores hallar el valor más cercano posible al verdadero de la magnitud que medimos y el error que hemos cometido durante el trabajo de campo. 1.1 OBJETIVO El objetivo de cualquier estudio de errores es tratar de conocer el efecto que, sobre el resultado final de un problema numérico, produce cada uno de los diferentes tipos de errores que pueden tener lugar. Podemos distinguir cinco tipos básicos de errores:     

Los de datos Los de cálculos intermedios De redondeo Por equivocación De formulación

2.-DEFINICION Un error es una incertidumbre en el resultado de una medida. Se define como la diferencia entre el valor real Vr y una aproximación a este valor Va: e = Vr – Va Existen diferentes tipos errores, cada uno se puede expresar en forma absoluta o en forma relativa.

3.- TIPOS DE ERRORES: Los errores numéricos se generan con el uso de aproximaciones para representar las operaciones y cantidades matemáticas. Estos incluyen de truncamiento que resultan de representar aproximadamente un procedimiento matemático exacto, y los errores de redondeo, que resultan de presentar aproximadamente números exactos. Para los tipos de errores, la relación entre el resultado exacto o verdadero y el aproximado está dado por: E = P* - P Bien sea una medida directa (la que da el aparato) o indirecta (utilizando una fórmula) existe un tratamiento de los errores de medida. Podemos distinguir dos tipos de errores que se utilizan en los cálculos:

3.1.-ERROR ABSOLUTO: Es la diferencia entre el valor de la medida y el valor tomado como exacto. Puede ser positivo o negativo, según si la medida es superior al valor real o inferior (la resta sale positiva o negativa). Tiene unidades, las mismas que las de la medida. Sin embargo, para facilitar el manejo y el análisis se emplea el error absoluto definido como: EA

= | P* - P |

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3.2.-ERROR RELATIVO : Es el cociente (la división) entre el error absoluto y el valor exacto. Si se multiplica por 100 se obtiene el tanto por ciento (%) de error. Al igual que el error absoluto puede ser positivo o negativo (según lo sea el error absoluto) porque puede ser por exceso o por defecto. no tiene unidades. Y el error relativo como ER = | P* - P| / P , si P =/ 0 El error relativo también se puede multiplicar por el 100% para expresarlo como: ERP = ER x 100 COPIAR LOS 4 EJEMPLOS ACA DESPUES DE LA TEORIA

EJEMPLO1: Supóngase que se tiene que medir la longitud de un puente y de un remache, obteniendose 9 999 y 9 cm, respectivamente. Si los valores son 10 000 y 10 cm, calcúlese a) el error y b) el error relativo porcentual de cada caso. Solución: a) El error de medicion del puente es: EA = 10 000 - 9 999 = 1cm y para el remache es de EA = 10 - 9 = 1cm b) El error relativo porcentual para el puente es de: ERP = 1/ 10 000 x 100% = 0.01% y para el remache es de ERP = 1/10 x 100% = 10% por lo tanto ambas medidas tiene un erro de 1 cm, el error relativo procentual del remache es mucho m´s grande. Se puede concluir que se ha hecho un buen trabajo en la medida del puente, mientras que la estimación para el remache deja mucho que desear.

3.3.- ERRORES DE REDONDEO: Error de redondeo. La casi totalidad de los números reales requieren, para su representación decimal, de una infinidad de dígitos. En la práctica, para su manejo sólo debe considerarse un número finito de dígitos en su representación, procediéndose a su determinación mediante un adecuado redondeo. Los errores de redondeo se deben a que las computadoras sólo guardan un número finito de cifras significativas durante un cálculo. Las computadoras realizan esta función de maneras diferentes. Por ejemplo, si sólo se guardan siete cifras significativas, la computadora puede almacenar y usar "pi" como "pi" = 3.141592, omitiendo los términos restantes y generando un error de redondeo.

REGLAS DE REDONDEO: Las siguientes reglas dan la pauta a seguir en el redondeo de números cuando se realizan cálculos a mano.

En el redondeo, se conservan las cifras significativas y el resto se descarta. El último dígito que se conserva se aumenta en uno si el primer dígito descartado es mayor de 5. De otra manera se deja igual. Si el primer digito descartado es 5 o es 5 segundo de ceros. entonces el último dígito retenido se incrementa en 1, sólo si es impar. En la suma y en la resta, el redondeo se lleva acabo de forma tal que el último dígito en la columna de las milésimas. Para la multiplicación y para la división el redondeo es tal que la cantidad de cifras significativas del resultado es igual al número más pequeño de cifras significativas que contiene la cantidad en la operación. Para combinaciones de las operaciones aritméticas, existen dos casos generales. Se puede sumar o restar el resultado o de las divisiones. (Multiplicación o División) +/- (multiplicación o división) o también se pueden multiplicar o dividir los resultados de las sumas y las restas. O también se pueden multiplicar o dividir los resltados de las sumas y las restas. COPIAR LOS 4 EJEMPLOS ACA DESPUES DE LA TEORIA

1.-EJEMPLO Los siguientes ejemplos tiene por objeto ilustrar las reglas de redondeo. 5.6723 -------------------------- 5.67´ 10.406 ---------------------------- 7.4 10.406 ---------------------------- 7.4 88.21650 ------------------- 88.216 1.25001 -------------------------- 1.3

3 Cifras Significativas 4 Cifras Significativas 2 Cifras Significativas 5 Cifras Significativas 2 Cifras Significativas

3.4.-ERRORES DE TRUNCAMIENTO: Los errores de truncamiento son aquellos que resultan al usar una aproximación en lugar de un procedimiento matemático exacto. Además para obtener conocimiento de las características de estos errores se regresa a la formulación matemática usada ampliamente en los métodos numéricos para expresar Funciones en forma polinomial: Serie de Taylor Por ejemplo: La serie de Taylor provee un medio para predecir el valor de una función en un punto en términos del valor de la función y sus derivadas en otro punto. Teorema de Taylor: Si la función f y sus primeras n+1 derivadas son continuas en un intervalo que contiene a ”a” y a ”x,” entonces el valor de la función en un punto x está dado por: La expansión en series de Taylor de n-ésimo orden debe ser exacta para un polinomio de nésimo orden. Para otras funciones continuas diferenciables, como las exponenciales o sinusoidales, no se obtiene una estimación exacta mediante un número finito de términos.

El valor práctico de las series de Taylor radica en el uso de un número finito de términos que darán una aproximación lo suficientemente cercana a la solución verdadera para propósitos prácticos. ¿Cuántos términos se requieren para obtener una “aproximación razonable”? La ecuación para el término residual se puede expresar como: Significa que el error de truncamiento es de orden hn+1. El error es proporcional al tamaño del paso h elevado a la (n+1)-ésima potencia.

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.1.-EJEMPLO: Por ejemplo dados los números reales: 3,14159265358979... 32,438191288 6,3444444444444 Para truncar estos números a 4 dígitos decimales, sólo consideramos los 4 dígitos a la derecha de la coma decimal. El resultado es: 3,1415 32,4381 6,3444 Nótese que en algunos casos, el truncamiento dará el mismo resultado que el redondeo, pero el truncamiento no redondea hacia arriba ni hacia abajo los dígitos, meramente los corta en el dígito especificado. El error de truncamiento puede ser hasta el doble del error máximo que se puede tener usando redondeo.