• Author / Uploaded
• Evelyn Quispe Pariona

Citation preview

Facultad de Ingeniería Geográfica, Ambiental y Ecoturismo

Semana N° 02: Teoría de Errores Asignatura: Topografía I Ing. José Díaz Chumbirizo Semestre Académico 2020-1

Universidad Nacional

Federico Villarreal

Facultad de Ingeniería Geográfica, Ambiental y Ecoturismo

TEORIA DE ERRORES Estudia las posibilidades operativas para hallar la precisión y exactitud analítica de una magnitud; aplicando el cálculo de probabilidades en las mediciones topográficas. Para ello se considera básicamente el valor probable en representación del valor verdadero.

2

Universidad Nacional

Federico Villarreal

Facultad de Ingeniería Geográfica, Ambiental y Ecoturismo

¿Error en la medición con wincha?

Universidad Nacional

Federico Villarreal

Facultad de Ingeniería Geográfica, Ambiental y Ecoturismo

Universidad Nacional

Federico Villarreal

Facultad de Ingeniería Geográfica, Ambiental y Ecoturismo

Universidad Nacional

Federico Villarreal

Facultad de Ingeniería Geográfica, Ambiental y Ecoturismo

ERROR Un error es la diferencia entre el valor medido y el valor verdadero de una cantidad. Puede afirmarse que: • Ninguna medida es exacta • Toda medida tiene errores • El valor verdadero nunca se conoce • El error exacto que se encuentra en cualquier medida siempre será desconocido. La exactitud de las medidas dependerá del tamaño de la división de la escala, de la confiabilidad del equipo empleado y de la limitación de la capacidad humana para hacer un estimativo más allá de 1/10 de la división de una escala. Cuando se usa un mejor equipo, las mediciones se acercan a su valor real pero no son exactas (a diferencia de los conteos).

Universidad Nacional

Federico Villarreal

Facultad de Ingeniería Geográfica, Ambiental y Ecoturismo

Universidad Nacional

Federico Villarreal

Facultad de Ingeniería Geográfica, Ambiental y Ecoturismo

EQUIVOCACION Se trata de problemas (yerros) relacionados al observador, cometidos por un concepto erróneo del problema, por descuido, por fatiga, por error de comunicación o una apreciación equivocada. Ej: transposición de números, lectura incorrecta de un ángulo, visualización de un objeto erróneo o el registro parcial o truncado de una distancia medida con cinta. Las equivocaciones se deben detectar mediante la revisión sistemática de todo el trabajo y se deben eliminar mediante la repetición de parte del trabajo o la totalidad del mismo. Las equivocaciones pequeñas tienden a confundirse con los errores, por lo tanto son más difíciles de detectar.

Universidad Nacional

Federico Villarreal

Facultad de Ingeniería Geográfica, Ambiental y Ecoturismo

ERROR Es una diferencia Con respecto al

Valor verdadero Ocasionado por la

Imperfección de los sentidos de una persona

Imperfección de los instrumentos utilizados

Por efectos del clima

Facultad de Ingeniería Geográfica, Ambiental y Ecoturismo

Universidad Nacional

Federico Villarreal

Se aplica la teoría de errores o probabilidades Para calcular el valor mas probable o la precisión mas probable en la que se hayan eliminado los errores sistemáticos.

Diferencia entre el valor medido o calculado y el real

ERROR

Se clasifican de acuerdo a las fuentes que los producen

En la topografía se consideran distintas clases de errores

Equivocación

Error real Personales

Naturales Error sistemático

Discrepancia Instrumentales

Error accidental

Facultad de Ingeniería Geográfica, Ambiental y Ecoturismo

Universidad Nacional

Federico Villarreal

Para conocer el valor más probable de una medición necesitamos una muestra de mediciones finitas, las cuales pueden ser exactas o precisas.

EXACTITUD: De una medida esta en función de su absoluta cercanía con la medida real.

Ejemplo:

Si la longitud verdadera es 10 m., y las mediciones efectuadas dan os siguientes valores 100.04 m 99.98 m 99.95 m 100.03 m

valor real = 100 metros

El promedio = “valor real” entonces la medición es exacta.

Facultad de Ingeniería Geográfica, Ambiental y Ecoturismo

Universidad Nacional

Federico Villarreal

PRECISION: Es el grado de refinamiento con el que se puede realizar un conjunto de mediciones las cuales presentan pequeñas discrepancias. Es decir, se refiere a que tan cerca esta una medida de la otra.

Ejemplo:

Si la longitud verdadera es 10 m., y las mediciones efectuadas dan los siguientes valores:

90.05 m 89.98 m 90.02 m

valor real = 100 metros

El promedio ≠ “valor real” entonces la medición es NO es exacta. Una medición es muy similar a la siguiente, entonces es precisa. La precisión depende del grado de perfección de los equipos y/o procedimientos aplicados. Recomendación: Antes de iniciar un trabajo verifique los instrumentos a fin de evitar errores de calibración.

Universidad Nacional

Federico Villarreal

•

Facultad de Ingeniería Geográfica, Ambiental y Ecoturismo

PRECISION – Es la aproximación absoluta de una medida al valor real. Grado de perfección con que se realiza una operación o se establece un resultado.

•

EXACTITUD – Es la aproximación relativa o aparente al valor real de la medición. – Es el grado de afinamiento en la lectura de una observación o el número de cifras con las que se efectúa un cálculo.

13

Universidad Nacional

Federico Villarreal

Facultad de Ingeniería Geográfica, Ambiental y Ecoturismo

PRECISION Y EXACTITUD

La dispersión de los puntos da una idea de la precisión, mientras que su centro efectivo (centroide) está asociado a la exactitud. a) es una determinación precisa pero inexacta, mientras d) es más exacta pero imprecisa; b) es una determinación más exacta y más precisa; c) es menos precisa que a). 14

Universidad Nacional

Federico Villarreal

Facultad de Ingeniería Geográfica, Ambiental y Ecoturismo

Error real, es la diferencia entre la medida de una cantidad y su valor verdadero. Si la medida es mayor que el valor verdadero , el error es por exceso o positivo, en caso contrario, se dice que es por defecto o negativo. El error real es la acumulación de errores diferentes debido a varias causas, algunos que quizás tiendan a producir valores excesivos y, otros, a resultados menores que los verdaderos

Equivocación, es un error, generalmente grande, debido a una falta de criterio o a una confusión del observador.

Discrepancia, es la diferencia entre dos mediciones de la misma cantidad..

Error sistemático o acumulativo, es quel que permanece igual en signo y magnitud si las condiciones con constantes.

Error accidental, compensado o aleatorio, es aquel cuya magnitud y dirección es solo un accidente y esta fuera del control del topógrafo.

Universidad Nacional

Federico Villarreal

Facultad de Ingeniería Geográfica, Ambiental y Ecoturismo

El error verdadero: Es la diferencia entre la medida de una cantidad y su valor verdadero. Sin embargo, su valor exacto es imposible de determinar, puesto que para hacerlo se tendría que realizar infinitas mediciones a través de la siguiente ecuación:

𝐸 = 𝑥 − 𝑙𝑖 El valor mas probable: Es un valor calculado, como el que tiene mas probabilidades que ningún otro de representar el verdadero valor de la cantidad, el cual se obtiene a través de la siguiente expresión matemática:

𝑙1 + 𝑙2 + 𝑙3 + ⋯ 𝑙𝑛 𝑋= 𝑛 El error aparente (residual): Es la diferencia entre el valor mas probable (X) y la medición efectuada. Se calcula a través de la siguiente expresión::

𝑉 = 𝑙𝑖 − 𝑋

Universidad Nacional

Federico Villarreal

Facultad de Ingeniería Geográfica, Ambiental y Ecoturismo

Error probable para una observación:

𝛴𝑣 2 𝑚 = 𝑚0 = ±0.6745 𝑛−1 Error probable para la media aritmética:

𝛴𝑣 2 𝑚 = 𝑚0 = ±0.6745 𝑛 𝑛−1 Error relativo:

1 𝐸𝑟 = 𝑥 ∕ 𝑚𝑥 Tolerancia: Es el error máximo permitido al efectuar mediciones.

Universidad Nacional

Federico Villarreal

Facultad de Ingeniería Geográfica, Ambiental y Ecoturismo

ERROR VERDADERO En todas las ciencias experimentales se opera con valores numéricos obtenidos por observación .

Estos valores vienen siempre afectados por una serie de errores que hacen que en observaciones distintas de una misma magnitud se obtengan resultados distintos El fin del estudio es el establecimiento de una teoría que permita decidir: Cuál es el valor final que se va a asignar a cada magnitud ? Con qué precisión se hace? Se llama error verdadero a la diferencia entre el valor verdadero y el valor observado: i = x - xi 18

Universidad Nacional

Federico Villarreal

Facultad de Ingeniería Geográfica, Ambiental y Ecoturismo

EQUIVOCACIONES Es una falta involuntaria de la conducta generado por el mal criterio o por confusión en la mente del observador. Las equivocaciones se evitan con la comprobación, los errores accidentales solo se pueden reducir por medio de un mayor cuidado en las medidas y aumentando el número de medidas. Los errores sistemáticos se pueden corregir aplicando correcciones a las medidas cuando se conoce el error, o aplicando métodos sistemáticos en el trabajo de campo para comprobarlos y contrarrestarlos. COMPROBACIONES Siempre se debe comprobar las medidas y los cálculos ejecutados, estos descubren errores y equivocaciones y determinan el grado de precisión obtenida.

Ing° José Díaz Ch. Curso de Topografía 19

Universidad Nacional

Federico Villarreal

Facultad de Ingeniería Geográfica, Ambiental y Ecoturismo

FUENTES DE ERROR 1. INSTRUMENTALES

Debido a imperfecciones o desajustes de los instrumentos topográficos con que se realizan las medidas. Por estos errores es muy importante el hecho de revisar los instrumentos a utilizar antes de cualquier inicio de trabajo.

2. PERSONALES

Debido a la falta de habilidad del observador, estos son errores involuntarios que se comenten por la falta de cuidado.

3. NATURALES

Debido a la variaciones de los fenómenos de la naturaleza como sol, viento, húmeda, temperatura, etc..

Universidad Nacional

Federico Villarreal

Facultad de Ingeniería Geográfica, Ambiental y Ecoturismo

FUENTES DE ERROR

PERSONALES Cansancio Imperfección de los sentidos Deficiente método de observación

INSTRUMENTALES Mal ajuste de instrumentos Material inapropiado Deficiente graduación del instrumental

Ing° José Díaz Ch. Curso de Topografía

NATURALES Temperatura Presión Refracción Curvatura Terrestre

21

Universidad Nacional

Federico Villarreal

Facultad de Ingeniería Geográfica, Ambiental y Ecoturismo

CLASES DE ERROR

SISTEMATICOS Excentricidad de la alidada Graduación de los limbos Winchas mal calibradas

ACCIDENTALES Variación de la tensión de la cinta Apreciación de fracciones

Ing° José Díaz Ch. Curso de Topografía

MATERIALES Leer o escuchar mal

22

Universidad Nacional

Federico Villarreal

Facultad de Ingeniería Geográfica, Ambiental y Ecoturismo

CLASES DE ERROR 1. SISTEMATICOS Son constantes y del mismo signo y por tanto son acumulativos. Mientras las condiciones permanezcan invariables siempre tendrán la misma magnitud y el mismo signo. Por ejemplo: en medidas de ángulos, en aparatos mal graduados o arrastre de graduaciones en el Teodolito , cintas o miras mal graduadas, error por temperatura. En este tipo de errores es posible hacer correcciones. } Las condiciones que ocasionan errores sistemáticos se deben a leyes físicas que se pueden representar matemáticamente. Por lo tanto, si se conocen las condiciones y se pueden medir, es posible calcular una corrección y aplicarla a los valores observados. Son el resultado de factores que comprenden el medio ambiente, los instrumentos y el observador. Este tipo de errores mantienen su signo y magnitud mientras que las condiciones de medición no cambien y por lo tanto son acumulativos. Ejemplos: Dilatación de una cinta de medición, Error de índice, Nivel tubular descorregido, etc.. 41

Universidad Nacional

Federico Villarreal

Facultad de Ingeniería Geográfica, Ambiental y Ecoturismo

CLASES DE ERROR 2. ACCIDENTALES Es debido a un sin número de causas que no alcanzan a controlar el observador por lo que no es posible hacer correcciones. Se dan indiferentemente en un sentido o en otro y por tanto puede ser que tengan signo positivo o negativo, por ejemplo: en medidas de ángulos, lecturas de graduaciones, visuales descentradas de la señal, en medidas de distancias, etc.

Son ocasionados por factores que quedan fuera del control del observador, obedecen las leyes de la probabilidad y se les llama también errores accidentales. Estos errores están presentes en todas las mediciones topográficas. Sus magnitudes y signos son consecuencia del azar y por lo tanto no existen métodos para calcularlos o eliminarlos absolutamente. Son compensatorios, esto significa que tienden a cancelarse parcialmente entre sí en una serie de mediciones. Estos tiene un comportamiento aleatorio, sus magnitudes y la frecuencia con que ocurren siguen las leyes de la probabilidad. Los errores accidentales siguen las leyes de la probabilidad. La Probabilidad se puede definir cono la razón entre el número de veces que puede ocurrir un resultado sobre el número total de posibilidades. 41

Universidad Nacional

Federico Villarreal

Facultad de Ingeniería Geográfica, Ambiental y Ecoturismo

COMPORTAMIENTO DE LOS ERRORES ACCIDENTALES En topografía casi siempre los errores se comportan de acuerdo a distribuciones normales o cerca de lo normal, por lo que en este apunte se supone esta condición. Postulados de Gauss: 1. Los errores accidentales pequeños ocurren con mayor frecuencia que los grandes; es decir, su probabilidad es mayor. 2. Los errores accidentales grandes ocurren con poca frecuencia y son, por tanto, menos probables; en el caso de los errores con distribución normal, los excepcionalmente grandes pueden ser equivocaciones en y no errores aleatorios. 3. Los errores accidentales positivos y negativos de la misma magnitud ocurren con igual frecuencia, es decir, son igualmente probables. La campana de Gauss es simétrica, por lo que el valor más probable de una seria de mediciones, hechas con el mismo equipo y procedimientos, es la media aritmética (o simplemente media). 41

Facultad de Ingeniería Geográfica, Ambiental y Ecoturismo

Universidad Nacional

Federico Villarreal

COMPARACION Sistemáticos

Accidentales

1. Según la ley fisicomatemática determinada.

1. Según la ley de probabilidades

2. Se conocen en signos y magnitud Exceso (+) Defecto (-)

2. No se conoce su magnitud ni su signo

3. Son corregibles.

3. No se pueden corregir pero pueden disminuirse siguiendo determinado procedimiento.

4. Son de cuantía.

4. No son de cuantía.

5. Varían proporcionalmente al N° de observaciones.

5. Varían proporcionalmente al N° de observaciones realizados.

41

Universidad Nacional

Federico Villarreal

Facultad de Ingeniería Geográfica, Ambiental y Ecoturismo

• VALOR VERDADERO – Es el valor absoluto de una magnitud libre de errores, este casi nunca se puede obtener.

• VALOR PROBABLE – Se calcula con la media aritmética de las medidas efectuadas, siempre que estas se hayan realizado en las mismas condiciones. Vp = Ma = Media Aritmética Vp = M1 + M2 + M3 + …. + Mn n

Ing° José Díaz Ch. Curso de Topografía

27

Universidad Nacional

Federico Villarreal

Facultad de Ingeniería Geográfica, Ambiental y Ecoturismo

28

Facultad de Ingeniería Geográfica, Ambiental y Ecoturismo

Universidad Nacional

Federico Villarreal

¿Cuál es el valor representativo, el error y precisión de la medición?

Valor representativo.- (Vr) 125.07 + 125.15 = 125.11 2 Error.- (E) 125.15 – 125.07 = 0.08 Precisión.P = 1 125.11/0.08 P=

1 Vr/E

=

1 = 1 1563.88 1600

Redondeo

En 1600 mts cometió un error de 1 mts (error admisible)

29

Facultad de Ingeniería Geográfica, Ambiental y Ecoturismo

Universidad Nacional

Federico Villarreal

Ejemplo N° 01: Se ha medido cuatro veces una distancia en terreno plano, y los datos obtenidos fueron:

310.25m; 310.20m; 310.30m; 310.27m Solución: 1). Se calcula el valor mas probable:

𝑙1 + 𝑙2 + 𝑙3 + ⋯ 𝑙𝑛 𝑋= 𝑛 1241.02 𝑋= =310.255 4

2). Se calcula el error residual de cada medición: Vi V1 V2 V3 V4

= li + X = l1 + X = 310.25 - 310.255 = - 0.005 = l2 + X = 310.30 - 310.255 = 0.045 = l3 + X = 310.20 - 310.255 = - 0.055 = l4 + X = 310.27 - 310.255 = 0.015

Facultad de Ingeniería Geográfica, Ambiental y Ecoturismo

Universidad Nacional

Federico Villarreal

3. Se calcula el error medio cuadrático del valor más probable:

N°

Lectura

X

V

V2

1

310.25

310.255

- 0.005

0.000025

2

310.30

310.255

0.045

0.002025

3

310.20

310.255

- 0.055

0.003025

4

310.27

310.255

0.015

0.000225

0.000

0.0053

Σ

𝑚 = 𝑚0 = ±

𝛴𝑣 2 𝑛 𝑛−1

𝑚0 = ±0.6745 𝐗 ± 𝒎𝟎

(0.0053) 4 4−1

𝑚0 = ±0.6745

𝟑𝟏𝟎. 𝟐𝟓𝟓 ± 𝟎. 𝟎𝟏𝟒

(0.0053) 12

𝑚0 = ±0.014

Facultad de Ingeniería Geográfica, Ambiental y Ecoturismo

Universidad Nacional

Federico Villarreal

5). Se calcula el error relativo:

1 𝐸𝑟 = 𝑥 Τ𝑚0

𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜

Entonces P =

310.255 0.014

1 𝐸𝑟 = 𝑃

X 𝑠𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑃 = 𝑃𝑟𝑒𝑐𝑖𝑠𝑖𝑜𝑛 𝑃 = 𝑚0

P = 22,161.071

1

P = 22161.07 se compara con la tolerancia

TOLERANCIAS Terreno Plano 1/3000 Terreno accidentado 1/1000

1

T = 3000

Facultad de Ingeniería Geográfica, Ambiental y Ecoturismo

Universidad Nacional

Federico Villarreal

EJEMPLO N° 02: Mediciones

Xi = Longitud

M

Xi – M = V

V2

1

2425.68

2425.56

+0.12

0.0144

2

2425.56

2425.56

0.00

0.000

3

2427.62

(este no se considera)

4

2425.48

2425.56

-0.08

0.0064

5

2425.52

2425.56

-0.04

0.0016

6

2425.63

2425.56

+0.07

0.0049

7

2425.51

2425.56

-0.05

0.0025

s = 14553.37

6 = 2425.56

Ing° José Díaz Ch. Curso de Topografía

 v2 =0.0298

33

Universidad Nacional

Federico Villarreal

Facultad de Ingeniería Geográfica, Ambiental y Ecoturismo

Errores Probables :

Error Relativo o GRADO DE PRECISION :

Ing° José Díaz Ch. Curso de Topografía

34

Facultad de Ingeniería Geográfica, Ambiental y Ecoturismo

Universidad Nacional

Federico Villarreal

Ejemplo: Se ha medido cuatro veces una distancia en terreno plano, y los datos obtenidos fueron:

30.02m; 30.01m; 30.02m; 30.03m; 30.04m; 30.02m; 30.01m; 30.04m; 30.01m; 30.03m Solución: 1). Se calcula el valor mas probable:

𝑙1 + 𝑙2 + 𝑙3 + ⋯ 𝑙𝑛 𝑋= 𝑛 300.23 𝑋= =30.023 10

2). Se calcula el error residual de cada medición: V1 V2 V3 V4 V5

= l1 + X = 30.02 - 30.023 = - 0.003 = l2 + X = 30.01 - 30.023 = - 0.013 = l3 + X = 30.02 - 30.023 = - 0.003 = l4 + X = 30.03 - 30.023 = 0.007 = l5 + X = 30.04 - 30.023 = 0.017

V6 = l6 + X = 30.02 - 30.023 = - 0.003 V7 = l7 + X = 30.01 - 30.023 = - 0.013 V8 = l8 + X = 30.04 - 30.023 = 0.017 V9 = l9 + X = 30.01 - 30.023 = - 0.013 V10 = l10+ X = 30.03 - 30.023 = 0.007

Facultad de Ingeniería Geográfica, Ambiental y Ecoturismo

Universidad Nacional

Federico Villarreal

3. Se calcula el error medio cuadrático del valor más probable: N°

Lectura

X

V

V2

1

30.02

30.023

-0.003

0.000009

2

30.01

30.023

-0.013

0.000169

3

30.02

30.023

-0.003

0.000009

4

30.03

30.023

0.007

0.000049

5

30.04

30.023

0.017

0.000289

6

30.02

30.023

-0.003

0.000009

7

30.01

30.023

-0.013

0.000169

8

30.04

30.023

0.017

0.000289

9

30.01

30.023

-0.013

0.000169

10

30.03

30.023

0.007

0.000049

Σ

0.00121

Facultad de Ingeniería Geográfica, Ambiental y Ecoturismo

Universidad Nacional

Federico Villarreal

3. Se calcula el error medio cuadrático del valor más probable:

𝑚 = 𝑚0 = ±0.6745

𝑚0 = ±0.6745

𝐗 ± 𝒎𝟎

(0.00121) 10 10−1

𝛴𝑣 2 𝑛 𝑛−1

𝑚0 = ±0.6745

(0.00121) 90

𝟑𝟎. 𝟎𝟐𝟑 ± 𝟎. 𝟎𝟎𝟒

𝑚0 = ±0.004

Facultad de Ingeniería Geográfica, Ambiental y Ecoturismo

Universidad Nacional

Federico Villarreal

5). Se calcula el error relativo:

1 𝐸𝑟 = 𝑥 Τ𝑚0

𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜

Entonces P =

30.023 0.004

1 𝐸𝑟 = 𝑃

X 𝑠𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑃 = 𝑃𝑟𝑒𝑐𝑖𝑠𝑖𝑜𝑛 𝑃 = 𝑚0

P = 7,505.75

1

P = 7505.75 se compara con la tolerancia

TOLERANCIAS Terreno Plano 1/3000 Terreno accidentado 1/1000

1

T = 3000

Facultad de Ingeniería Geográfica, Ambiental y Ecoturismo

Universidad Nacional

Federico Villarreal

Se hacen dos grupos de mediciones con equipo, personal y condiciones de campo similares con los resultados que aparecen :

GRUPO A : 423.84 GRUPO B : 423.88

423.87 423.85

423.85 423.86

423.86 423.84

423.88 423.83

423.89 423.88

Determine a través del cálculo que grupo de medición es de mayor precisión?

Ing° José Díaz Ch. Curso de Topografía

39