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JEFFERSON RIASCOS JOJOA 216033626 METODO SIMPLEX DUAL

Los contenidos de vitaminas, fécula y proteínas de dos alimentos, así como los requerimientos mínimos de cada componente se dan en la siguiente tabla:

Si el Alimento 1 cuesta $1200 la libra y el Alimento 2 $1900, ¿qué combinación dará el costo mínimo total? Variables decisorias: • Y1=> Cantidad Libras Alimento 1. • Y2=> Cantidad Libras Alimento 2. Coeficientes de Contribución (Contribución al costo mínimo): • •

P1=> 1200 P2=> 1900

Función Objetivo:

𝒁 = 1200𝑌1 + 1900𝑌2

Restricciones: • • • •

Requerimiento mínimo de Vitaminas=> Requerimiento mínimo de Fécula=> Requerimiento mínimo de Proteínas=> No Negatividad=> 𝑌1 ≥ 0, 𝑌2 ≥ 0

𝑌1 + 3𝑌2 ≥ 90 5𝑌1 + 𝑌2 ≥ 100 3𝑌1 + 2𝑌2 ≤ 120

Formulación del Problema: 𝑴𝑰𝑵𝑰𝑴𝑰𝒁𝑨𝑹 𝒁 = 1200𝑌1 + 1900𝑌2 S.A.R.: 1𝑌1 + 3𝑌2 ≥ 90 5𝑌1 + 1𝑌2 ≥ 100 3𝑌1 + 2𝑌2 ≥ 120 Con: 𝑌1 ≥ 0,

𝑌2 ≥ 0

1. PROBLEMA DUAL DE MAXIMIZACIÓN: El problema dual de maximización será así: MAXIMIZAR 𝒁′ = 90𝑋1 + 100𝑋2 + 120𝑋3 S.A.R.: • 1𝑋1 + 5𝑋2 + 3𝑋3 ≤ 1200 • 3𝑋1 + 1𝑋2 + 2𝑋3 ≤ 1900 2. Se resuelve problema de Maximización por el método Simplex Primal. PRIMERA ITERACION: VB Z h1 h2

X1 -90 1 3

X2 -100 5 1

X3 -120 3 2

h1 0 1 0

h2 0 0 1

LD 0 1200 1900

r

❖ Columna Pivote: Menor Valor de la Fila Z: -120 (X3) ❖ Fila Pivote: Menor valor de r: 400 (h1) ❖ Pivote: Intersección fila y columna pivote: 3 VB Z h1 h2

X1 -90 1 3

X2 -100 5 1

X3 -120 3 2

h1 0 1 0

h2 0 0 1

LD 0 1200 1900

r 400 950

❖ Eliminación Gauss-Jordán: • Nueva Fila Pivote: 1 5 3 3 0,33333333 1,66666667 •

3 3 1

1 3 0,33333333

0 3 0

-120 -120 1 0

0 -120 0,33333333 40

0 -120 0 0

1200 3 400

÷

Nuevas Filas Z, h1, h2: Fila Z -90 -100 -120 -120 0,33333333 1,66666667 -50 100

0 -120 400 48000

El mismo proceso realizado en la Fila Z anterior, se realiza con las demás filas, los resultados se muestran a continuación:

*

VB Z X3

X1 -50 0,33333

X2 100 1,66667

X3 0 1

h1 40 0,33333

h2 0 0

LD 48000 400

h2

2,33333

-2,33333

0

-0,66667

1

1100

❖ Decisión: No todos los valores de la fila Z son mayores o iguales a 0, se sigue con el proceso. SEGUNDA ITERACION: ❖ Columna Pivote: Menor Valor de la Fila Z: -50 (X1) ❖ Fila Pivote: Menor valor de r: 471,428 (h2) ❖ Pivote: Intersección fila y columna pivote: 2,333333 VB Z X3 h2

X1 -50 0,33333 2,33333

X2 100 1,66667 -2,33333

X3 0 1 0

h1 40 0,33333 -0,66667

h2 0 0 1

LD 48000 400 1100

r 1200 471,428571

❖ Eliminación Gauss-Jordán: • Nueva Fila Pivote: 2,333333 -2,333333 0 -0,666667 1 1100 2,33333333 2,33333333 2,33333333 2,33333333 2,33333333 2,33333333 1 -1 0 -0,285714 0,428571 471,4285 •

Nuevas Filas Z, h1, h2: Fila Z -50 -50 1 0

100 -50 -1 50

0 -50 0 0

40 0 48000 -50 -50 -50 -0,285714 0,428571 471,4285 25,71427 21,42854 71571,42

El mismo proceso realizado en la Fila Z anterior, se realiza con las demás filas, los resultados se muestran a continuación: VB Z X3 X1

X1 0 0 1

X2 50 2 -1

X3 0 1 0

h1 h2 LD 25,7142857 21,42857 71571,42 0,42857143 -0,14285 242,8571 -0,285714 0,428571 471,4285

❖ Decisión: todos los valores de la fila Z son mayores o iguales a 0, el proceso termina.

Respuesta: Está dada por Z’=71571, Y1=25,714, Y2=21,429. Esto quiere decir que si se compra aproximadamente 26 libras del alimento 1, además de 21 libras del alimento 2, se cumplirá con los requerimientos mínimos de Vitaminas, Fécula, Proteínas y también el costo total será el mínimo.