• Author / Uploaded
• Fer Cabrera

Citation preview

INVESTIGACION APLICATIVA DEL METODO GRAFICO

Por: Fernando Nanberli Cabrera Quispe

RESUMEN La programación lineal es un método determinista de análisis para elegir la mejor alternativa entre muchas. Con frecuencia, seleccionar una alternativa incluye satisfacer varios criterios al mismo tiempo; por ejemplo cuando se compra una pieza de pan se tiene el criterio de frescura, tamaño, tipo, costo y rebanado o sin rebanar. Se puede ir más adelante y dividir estos criterios en dos categorías: restricciones y objetivo. Las restricciones son las condiciones que debe satisfacer una solución que está bajo consideración. Si más de una alternativa satisface todas las restricciones, el objetivo se usa para seleccionar entre todas las alternativas factibles. Cuando se elige una pieza de pan puede quererse una pieza de pan rebanado y fresco. Si varias marcas satisfacen estas restricciones, puede aplicarse el objetivo de un costo mínimo y escoger la más barata.

INTRODUCCION En la práctica, podemos encontrar situaciones en donde las decisiones son de mayor envergadura y, por consiguiente, requieren de un método de mayor precisión para tomar las decisiones de elección entre varias alternativas. Cuando estos casos se presentan, lo más conveniente es utilizar la programación lineal. Es un método cuantitativo que utiliza el álgebra de matrices, en donde existe un conjunto de relaciones lineales entre las variables del problema. En este artículo se describen un método para la solución de un problema de programación lineal: el método grafico; el cual se apoya en las matemáticas básicas. OBJETIVOS 

Conocer los modelos cuantitativos existentes y su uso como herramienta para la resolución de problemas de gestión y administración en sistemas donde se persigan resultados óptimos.



Interpretar problemas en sistemas complejos y resolverlos empleando modelos con ecuaciones lineales que permitan encontrar la solución óptima, con la finalidad de hacer más eficiente el recurso disponible en una organización.

Se explica el proceso de la toma de decisiones, se dan los conceptos que permiten el entendimiento de los modelos y métodos, a la vez que se describe de forma detallada la metodología para la implementación de sistemas decisorios.

1

DESARROLLO FORMULACIÓN DE MODELOS DE PROGRAMACIÓN LINEAL Para tener éxito en la solución de problemas dentro de una organización, es importante la creación de modelos que permitan representar una situación real y partir de ello para buscar las alternativas de solución. El modelo es una representación o abstracción de una situación u objeto reales, que muestra las relaciones (directas e indirectas) y las interrelaciones de la acción y la reacción en términos de causa y efecto. Como un modelo es una abstracción de la realidad, puede parecer menos complicado que la misma. Para la formulación de un modelo dentro de la programación lineal, como primer paso, el investigador debe delimitar el problema y conocer el objetivo que desea alcanzar, que puede ser maximizar las utilidades o minimizar los costos, siempre tomando en cuenta el principio de optimización. El siguiente paso consiste en conocer las variables que presentarán la solución al problema, es decir, las incógnitas que resolverán el modelo de programación lineal pueden ser tantas como sea necesario, con el fin de representar de la mejor forma posible la realidad. Una vez que se conozcan las variables de decisión, se deben plantear las restricciones, que son los requerimientos que debe cumplir la solución óptima para que se pueda llevar a la práctica y brinde grandes beneficios a la empresa. También pueden llamarse limitantes, ya que indican los valores máximos o mínimos que deben emplearse para garantizar la optimización. Las restricciones pueden ser por los volúmenes de ventas, por las limitantes en los recursos de la empresa, por la mezcla de ingredientes, por la cantidad de desperdicios y por cuestiones de administración dentro de la empresa, como el tiempo de preparación de la máquina. Por último, se debe tener presente que todas las variables empleadas en el modelo, deben ser siempre positivas porque representan situaciones que existen en la realidad.

ALGORITMOS DE SOLUCIÓN Como ya se mencionó anteriormente, hay que expresar un objetivo bien definido, que pueda minimizar los costos o maximizar las utilidades, además de que deben existir relaciones entre dos o más variables y considerar las limitantes que tenga el problema a resolver, con lo cual se estará en posibilidad de encontrar la mejor solución. Por último, para implementar el modelo, la empresa debe contar con recursos limitados. Los problemas de programación lineal se pueden resolver por varios métodos, entre los cuales, en este texto se explican el método gráfico. En el algoritmo se muestra cómo se comportan las variables del problema en cuestión, mediante el trazo de todas las variables del problema formando un polígono que representa el área de soluciones factibles, en donde también se ubica la solución óptima. Solución por el método gráfico En el método gráfico no puede haber más de tres incógnitas, ya que se usa un plano cartesiano formado por dos rectas (X, Y) y, por ende, dos dimensiones. Para comenzar, se debe analizar el problema y plantear el objetivo principal que se persigue usando algoritmos (ecuaciones, restricciones, función objetivo), ya sea maximizar las ganancias o minimizar los costos. Después, se expresa en forma gráfica las desigualdades de restricción y se ubica el área de solución factible. En seguida se traza la función objetivo 2

(FO) en el plano cartesiano y se dibujan líneas paralelas a éste, hasta llegar al punto más distante en el área de soluciones factibles. Por último, se resuelven las desigualdades de las dos líneas que se cruzan por el punto más distante en el área de soluciones factibles. A continuación se ilustrará con un ejemplo: La empresa Aires del Sur SA de CV, produce dos tipos de aires acondicionados: Supercraft (X) y Powermax (Y). Un Supercraft tiene un precio de $600 y un Powermax $700. Los dos productos, deben pasar por tres áreas. La empresa desea conocer el volumen de producción que maximice las ganancias, ajustándose a las limitantes de tiempo presentadas en la tabla siguiente:

Como primer paso, se debe expresar el problema en forma matemática, y para ello hay que construir las ecuaciones, que deben quedar de la siguiente forma:

El siguiente paso consiste en expresar gráficamente las restricciones (horas requeridas); para ello se deben localizar los puntos X e Y de cada una de las tres desigualdades. Para la primera desigualdad tenemos:

Si todo el tiempo el área 1 produce sólo Supercraft (X) y no produce Powermax (Y), entonces pueden fabricarse 140 unidades de X.

3

Con lo anterior, tenemos un punto para el eje X=140 y un punto para el eje Y=70, que se representan en un plano cartesiano y se unen los puntos para crear una recta, como se presenta a continuación:

Se realiza la misma acción para las desigualdades 2 y 3. Después se sombrea el área de solución factible, sin rebasar las líneas de restricciones, como se muestra en la gráfica siguiente:

4

Una vez encontrada el área de solución factible, quedan cuatro puntos principales (A, B, C y D) que delimitan dicha área. Para el siguiente paso, se debe trazar la función objetivo. Es necesario conocer los puntos para el eje X y para el eje Y, por ello se propone conseguir una contribución mínima, multiplicando el coeficiente de X con el de Y (600 * 700= 420,000). Los cálculos son los siguientes: Maximizar Z = $600X + $700Y

Como resultan cantidades grandes, se deben reducir para poder graficar la línea en conjunto con las desigualdades. Para ello de dividirá entre 10 para tener como resultado el eje X=70 y Y=60. Procedemos a prolongar la línea que representa a la función objetivo de forma paralela, hasta tocar el punto más lejano que delimita el área de soluciones factibles, como se presenta a continuación:

5

Como se puede observar, el punto C, es el punto más lejano del área de soluciones factibles, lo cual indica, que es el que le da mayor contribución a la empresa Aires del Sur SA de CV, maximizando las utilidades. Se puede observar en el gráfico anterior, que el resultado del ejercicio son las coordenadas del punto C; donde indica que la empresa debe producir 50 unidades de Supercraft (X) y 45 unidades de Powermax para maximizar las utilidades. Sin embargo, en numerosos problemas donde se emplee el método gráfico pueden resultar números decimales que dificultaría ubicarlos con exactitud en un gráfico, por lo que se recomienda la solución del sistema de ecuaciones de las líneas que se cruzan en el punto C, que son la desigualdad 1 y desigualdad 2, como se presenta a continuación:

6

Ahora que se conoce el valor de X, se sustituye en cualquiera de las dos desigualdades originales. Sustituyendo X en la desigualdad 1, tenemos:

Para finalizar, se deben sustituir los valores de X e Y en la función objetivo y así conocer la máxima contribución posible:

Se puede concluir que la empresa Aires del Sur SA. De CV, de acuerdo con las limitantes de tiempo, debe producir mensualmente 50 aires acondicionados de la marca Supercraft y 45 de la marca Powermax, que le brindarán una contribución de $61,500.

CONCLUSIONES Los resultados concretos que se obtuvieron en el desarrollo de la investigación y que fueron presentados ampliamente en el desarrollo del cuerpo del trabajo, prácticamente es un resumen sintético de los puntos más importantes y significativos para el autor. Estas van acorde al número de objetivos planteados en la investigación, esto no quiere decir que no se presentará otra información importante obtenida durante el estudio. Las variables se pueden clasificar según su naturaleza, según su posición en la investigación y por su grado de abstracción. Cada una especifica el objeto que se desea estudiar.

BIBLIOGRAFIA  Taha, H.A. (2004).Investigación de Operaciones. México: Pearson Prentice Hall.

 Eppen, G.D. et al. (2000).Investigación de Operaciones en la Ciencia Administrativa. México: Pearson Prentice Hall.

 Kamlesh.M. &Solow.D. (1996).Investigación de Operaciones El arte de la Toma de Decisiones. México: Prentice Hall Hispanoamericana S.A.

7

 Winston Wayne L. (1994). Investigación de Operaciones: Aplicaciones y Algoritmos. México: Editorial Iberoamericana.

 Hiller y Lieberman. (1997). Introducción a la Investigación de Operaciones. México: Ed. Mc Graw-Hill.  Crilly, Tony (2011). 50 cosas que hay que saber sobre matemáticas. Ed. Ariel. ISBN 978-987-1496-09-9.  Universidad Peruana Unión - Biblioteca Central - libro número 0.001245/f12 Programación lineal.

8