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• Juan Banegas

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Introducci´on a las ecuaciones diferenciales ordinarias Definici´ on y t´ecnicas de soluci´ on

Licenciado Angel Rivera

CEUTEC Centro Universitario Tecnol´ ogico Departamento de Ciencias Exactas

Q4 - 2018

Contenido 1

Objetivos

2

Introducci´on

3

Definiciones y terminolog´ıa

4

Problemas de valor inicial

5

Variables separables

6

Ecuaciones lineales

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Secci´ on 1

Objetivos

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Objetivos

Definir conceptos y terminolog´ıa de las ecuaciones diferenciales Aplicar modelos matem´aticos que se resuelven con ecuaciones diferenciales Resolver problemas con valores iniciales Resolver ecuaciones de primer orden por medio de separaci´on de variables y ecuaciones lineales

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Objetivos

Definir conceptos y terminolog´ıa de las ecuaciones diferenciales Aplicar modelos matem´aticos que se resuelven con ecuaciones diferenciales Resolver problemas con valores iniciales Resolver ecuaciones de primer orden por medio de separaci´on de variables y ecuaciones lineales

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Objetivos

Definir conceptos y terminolog´ıa de las ecuaciones diferenciales Aplicar modelos matem´aticos que se resuelven con ecuaciones diferenciales Resolver problemas con valores iniciales Resolver ecuaciones de primer orden por medio de separaci´on de variables y ecuaciones lineales

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Objetivos

Definir conceptos y terminolog´ıa de las ecuaciones diferenciales Aplicar modelos matem´aticos que se resuelven con ecuaciones diferenciales Resolver problemas con valores iniciales Resolver ecuaciones de primer orden por medio de separaci´on de variables y ecuaciones lineales

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Secci´ on 2

Introducci´on

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Introducci´on cas es resolver ecuaciones diferenciales (ED), por ejemplo, y 00 + 2y 0 + y = 0

Es cierto que las palabras ecuaciones y diferenciales sugieren alguna clase de ecuaci´on que contiene derivadas y 0 , y 00 , · · · . En este curso una de las tareas b´asiLicenciado Angel Rivera (CEUTEC)

para la funci´ on inc´ognita y = φ(x). Dentro de las aplicaciones de las ED surgen preguntas como ¿qu´e tan r´apido se propaga una enfermedad? y ¿que tan r´apido cambia una poblaci´ on? que implican razones de cambio o derivadas. El modelo matem´atico de experimentos, observaciones o teor´ıas puede ser una ecuaci´on diferencial.

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Secci´ on 3

Definiciones y terminolog´ıa

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Definiciones y terminolog´ıa La derivada dy /dx de una funci´ on y = φ(x) es otra funci´on φ0 (x) que se encuentra con una regla apropiada. Un ejemplo puede ser dy = 0.2xy dx Y la pregunta es como resolver o determinar la funci´ on y = φ(x) que resuelve la ED. A la ecuaci´on anterior se le denomina ecuaci´ on diferencial.

Definici´on (Ecuaci´on diferencial) Se denomina ecuaci´ on diferencial a la ecuaci´ on que contiene derivadas de una o m´as variables respecto a una o m´as variables independientes.

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Clasificaci´on de las ecuaciones diferenciales ´ POR TIPO CLASIFICACION Ecuaci´ on diferencial ordinaria (EDO) es aquella ecuaci´on que contiene s´olo derivadas de una o m´as variables dependientes respecto a una sola variable independiente. Por ejemplo, dy dx + = 2x + y dt dt Ecuaci´ on diferencial parcial (EDP) es aquella en la cual involucra derivadas parciales de variables dependientes con a dos o m´as variables independientes. Por ejemplo, ∂2u ∂2u + =0 ∂x 2 ∂y 2

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Clasificaci´on de las ecuaciones diferenciales

´ POR ORDEN CLASIFICACION El orden de una ecuaci´on diferencial es el orden de la mayor derivada en la ecuaci´on. Por ejemplo, y 00 + 2y 0 + y 3 = 0 esta ED es de segundo orden. La forma normal de una ecuaci´ on se denota por d ny = f (x, y , y 0 , · · · , y (n−1) ) dx n

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Clasificaci´on de las ecuaciones diferenciales ´ POR LINEALIDAD CLASIFICACION Se dice que una ecuaci´ on diferencial de n-´esimo orden es lineal si F 0 es lineal en y , y , · · · , y (n) . Es decir, an (x)

d ny d n−1 y dy + a (x) + · · · + a1 (x) + a0 (x)y = g (x) n−1 n n−1 dx dx dx

Por ejemplo, (y − x)dx + 4xdy = 0 Una ecuaci´on diferencial ordinaria no lineal es simplemente una que no es lineal. Por ejemplo, (1 − sen y )y 0 + 2xy = e x

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Ejercicios Establezca el orden de la ecuaci´ on diferencial ordinaria dada. Determine si la ecuaci´on es lineal o no lineal. 1

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3

4 5

6

(1 − x)y 00 − 4xy 0 + 5y = cos x !4 d 3y dy x 3− +y =0 dx dx t 5 y (4) − t 3 y 00 + 6y = 0 d 2R k =− 2 2 dt R (sen θ)y 000 − (cos θ)y 0 = 2 ! x˙ 2 x˙ + x = 0 x¨ − 1 − 3

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Soluci´on de una ecuaci´on diferencial

Definici´on (Soluci´on de una EDO) Se denomina una soluci´ on de la ecuaci´ on en el intervalo a cualquier funci´on φ, definida en un intervalo I y que tiene al menos n derivadas continuas en I , las cuales se sustituyen en una EDO de n-´esimo orden reducen la ecuaci´on a una identidad

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Ejemplos Compruebe que la funci´on indicada es una soluci´ on expl´ıcita o impl´ıcita de la ED dada. Tome un intervalo I de definici´ on apropiado para cada soluci´on. 1

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6

2y 0 + y = 0; y = e −x/2 6 6 y 0 + 20y = 24; y = − e −20t 5 5 y 0 = 25 + y 2 ; t = 5 tan 5x dX = (X − 1)(1 − 2X ); ln dt

2X − 1 X −1

! =t

2xydx + (x 2 − y )dy = 0; −2x 2 y + y 2 = 1 d 2y dy − 4 + 4y = 0; y = c1 e 2x + c2 xe 2x dx 2 dx

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Problemas de valor inicial

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Problemas de valor inicial (PVI)

Con frecuencia nos interesan problemas en los que buscamos una soluci´on y (x) de una ED en la que y (x) satisface condiciones preescritas. El problema de resolver una ED de n-´esimo orden sujeto a las n condiciones que lo acompa˜ nan espec´ıficadas en x0 se considera un PVI Resolver: Sujeto a:

d ny = f (x, y , y 0 , · · · , y (n−1) ) dx n y (x0 ) = y0 , y 0 (x0 ) = y1 , · · · , y (n−1) (x0 ) = yn−1

donde y0 , y1 , · · · , yn−1 son constantes reales arbitrarias dadas.

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Ejemplo de PVI

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Ejercicios

Sea y = 1/(x 2 + c) una familia uniparam´etrica de soluciones de la ED de primer orden y 0 +2xy 2 = 0. Determine una soluci´ on del PVI de primer orden que consiste en esta ecuaci´ on diferencial y la condici´ on inicial dada. 1

y (2) = 1/3

2

y (−2) = 1/2

3

y (0) = 1

4

y (1/2) = −4

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Ejercicios

Sea x = c1 cos t + c2 sen t una familia biparam´etrica de soluciones de la ED de segundo orden x 00 + x = 0. Determine una soluci´ on del PVI de segundo orden que consiste en esta ecuaci´ on diferencial y la condiciones iniciales dadas. 1

x(0) = −1, x 0 (0) = 8

2

x(π/2) = 0, x 0 (π/2) = 1

3 4

x(π/6) = 1/2, x 0 (π/6) = 0 √ √ x(π/4) = 2, x 0 (π/4) = 2 2

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Variables separables

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Variables separables Definici´on Una ecuaci´ on diferencial de primer orden de la forma dy = g (x)h(y ) dx se dice que es separable o que tiene variables separables. Bajo la definici´on anterior la ED se puede escribir en la forma dy = g (x)dx h(y ) Y as´ı el m´etodo de soluci´on consiste en integrar ambos lados de la ecuaci´on para generar una familia uniparam´etrica de soluciones, que usualmente se expresa de manera impl´ıcita. Licenciado Angel Rivera (CEUTEC)

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Ejercicios Resuelva la ecuaci´on diferencial dada por separaci´ on de variables. dy 1 = sen(6x) dx dy 4y 2 = dx x dy 3 + 2xy 2 = 0 dx !2 dx y +1 4 y ln x = dy x 5

6

7

sen 3xdx + 2y cos3 3xdy = 0 p dy = x 1 − y2 dx (1 + x 4 )dy + x(1 + 4y 2 )dx = 0, y (1) = 0

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Ecuaciones lineales

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Ecuaciones lineales Definici´on Una ecuaci´ on diferencial de primer orden de la forma a1 (x)

dy + a0 (x)y = g (x) dx

se dice que es una ecuaci´ on lineal en la variable dependiente y . Al dividir ambos lados de la ecuaci´ on anterior entre a1 (x) se obtiene una forma m´as u ´til, la forma est´ andar de una ecuaci´ on lineal: dy + P(x)y = f (x) dx

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Soluci´on de una ecuaci´on lineal de primer orden M´etodo de soluci´on 1

Recuerde poner la ecuaci´ on lineal en la forma est´andar.

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Identifique de andar P(x) y despu´es determine el factor R la forma est´ integrante e P(x)dx . No se necesita utilizar una constante para R evaluar la integral indefinida P(x)dx

3

Multiplique la forma est´andar de la ecuaci´ on por el factor integrante. El lado izquierdo de la ecuaci´ on resultante es autom´aticamente la derivada del factor integrante y y : R d h R P(x)dx i e y = e P(x)dx f (x) dx

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Integre ambos lados de esta u ´ltima ecuaci´ on y resuelva para y .

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Ejercicios Determine la soluci´on general de la ecuaci´ on diferencial dada. Indique el intervalo I m´as largo en el que est´a definida la soluci´ on general. 1 2

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x 2 y 0 + xy = 1 xy 0 + (1 + x)y = e −x sen 2x dy x + 2y = 3 dx dr + r sec θ = cos θ dθ dP + 2tP = P + 4t − 2 dt dy (x + 1) + y = ln x, y (1) = 10 dx

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Conclusiones

Define conceptos y terminolog´ıa de las ecuaciones diferenciales Aplica modelos matem´aticos que se resuelven con ecuaciones diferenciales Resuelve problemas con valores iniciales Resuelve ecuaciones de primer orden por medio de separaci´on de variables y ecuaciones lineales

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