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• Tito Peña

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MATEMÁTICA IV

1

Universidad Francisco Gavidia Facultad de Ingeniería y Arquitectura

CUADERNO DE TRABAJO Asignatura: Matemática IV Profesor: Lic. Danilo Leiva

ECUACIONES DIFERENCIALES

Para ello, antes de proponer una definición formal, veamos algunas ecuaciones que son o que no son ecuaciones diferenciales en el siguiente cuadro: EJERCICIO 1 No

UNIDAD 1

INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

1

y  3x 2  x 2  4

2

y´ 2 xe x  3sen2 x

3

f ´t   3t 2  2t  10

4

dx 5t  2 dt t  2t  4

5

sen3t  cos 2qdt  tsen2qdq  0

1. DEFINICIONES BÁSICAS Y TERMINOLOGÍA En el curso de cálculo diferencial (Matemática II) usted, entre otras cosas, aprendió que dada una función y  f x , entonces, la



derivada

dy  f ´x  es también una función de “ x ” y se encuentra dx

mediante alguna regla apropiada. Por ejemplo, si:

y  e u , con u  x 2 entonces

dy dy  2 xe u ó bien  2 xy . dx dx

ECUACIÓN

6

 2x  dy   dx 4  1 x  d3y d2y dy  2 2  3  4 y  xe 2 x 3 dx dx dx u u x y u x y

El problema que enfrentaremos en este curso no es que: dada una función y  f x , tengamos que encontrar su derivada; más bien,

7

dy  2 xy , encontrar dx

8

de alguna manera una función y  f x que satisfaga la ecuación. En conclusión, se desea resolver ecuaciones diferenciales.

9

f xx  f tt  2 f t

Entonces, ¿qué es una ecuación diferencial?, ¿cómo se define una ecuación diferencial?

10

dT  k T  Tm  dt



el problema es: si se da una ecuación tal como



[email protected]

¿ES O NO ES ECUACIÓN DIFERENCIAL?

Lic. Danilo Leiva

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2

Ejemplos:

DEFINICIÓN 1: Si una ecuación contiene las derivadas o diferenciales de una ó más variables dependientes con respecto a una ó más variables independientes, se dice que es una Ecuación Diferencial.

dy  5y  1 dx b) x  y dx  4 y dy  0 dS c)  rS dt d 2x dx d)  2  6x  0 2 dt dt du dv e)  x dx dx f) 5 y´´´2 y´´7 y´2 y  0 a)

DEFINICIÓN 2: Una Ecuación Diferencial es una ecuación que contiene derivadas de una función desconocida.

Busque dos definiciones más en otros libros que no sean nuestro Libro Texto y determine las diferencias y similitudes con respecto de las definiciones dadas. Construya un cuadro comparativo.

TAREA

ii)

2. CLASIFICACIÓN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES Las ecuaciones diferenciales se clasifican de acuerdo con las tres propiedades siguientes: 2.1) Según el Tipo, 2.2) Según el Orden, y

ECUACIÓN DIFERENCIAL PARCIAL: Una ecuación que contiene derivadas parciales de una o más variables dependientes de dos o más variables independientes. Ejemplos: a) b)

u v  y y u u x y u x y

c) u xx  u yy  4u y

2.3) Según la Linealidad o No Linealidad. d) A continuación se detalla cada uno de ellos: 2.1)

f). ECUACIÓN DIFERENCIAL ORDINARIA: Si una ecuación contiene sólo derivadas ordinarias de una o más variables dependientes con respecto a una sola variable independiente.

[email protected]

 2u  2u   x2  t 2

e) f xy  cos x  seny

SEGÚN EL TIPO i)

a

2f 2f   x  y  y x

g) f yx  f xy

Lic. Danilo Leiva

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3 2.3)

2.2)

SEGÚN LA LINEALIDAD O NO LINEALIDAD

SEGÚN EL ORDEN Se dice que una E.D. es Lineal si tiene la forma:

El orden de la más alta derivada en una ecuación diferencial se llama: Orden de la Ecuación Diferencial. Dicho de otra manera, el Orden de la Ecuación Diferencial viene dado por la derivada de mayor orden que aparezca en la ecuación diferencial.

a n x 

dny d n1 y d2y dy      a x    a x  a1 x   a0 x  y  g x  n 1 2 n n 1 2 dx dx dx dx ó

Ejemplos: 4

a)

d y  dy   3   5 y  x 2 dx  dx 

 Es una E.D. Ordinaria de 2º Orden.

b)

x 2 dy  ydx  0

 Es una E.D. Ordinaria de 1 Orden.

c)

a2

2

d)

 4u  2u  0  x4  t 2

Ay´´ By´Cy  g x 

er

 Es una E.D. Parcial de 4º Orden.  Es una E.D. Ordinaria de 2o Orden.

En diferentes textos podemos encontrar que una E.D. Ordinaria General de Orden n se representa a menudo mediante el símbolo:

 dy d 2 y dny F  x, y, , 2 ,, n   0 dx dx dx   ó





F x, y, y´, y´´,, y n   0

an x  y n   an1 x y n1    a2 x y´´a1 x y´a0 x  y  g x  Se puede observar que en la ecuación diferencial, los coeficientes de la variable dependiente “y” y de todas las derivadas son funciones respecto de la variable independiente “x”. Además, que el exponente de la variable dependiente y de todas las derivadas es 1. Finalmente, la función que se encuentra en el miembro derecho de la ecuación es respecto, solamente, de la variable independiente. Por lo que se puede concluir que las E.D. Lineales se caracterizan por dos propiedades: 1)

La variable dependiente “y” junto con todas sus derivadas son de primer grado.

2)

Cada coeficiente independiente x.

depende

sólo

de

la

variable

Se debe tener en cuenta que: a) Estas propiedades facilitan la clasificación e identificación de las E.D. lineales.

La cual se interpreta como la función en donde están relacionados la variable independiente, la variable dependiente y las derivadas desde la de primer orden hasta la de enésimo orden.

b) Una E.D. que no es Lineal se dice NO LINEAL. c) El Grado de una E.D. viene dado por el Grado de la Mayor derivada.

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4

Las ecuaciones diferenciales:

b)

xdy  ydx  0 y´´2 y´ y  0

c)

x3

a)

ECUACIÓN DIFERENCIAL

x2

2 d3y dy 2 d y  x  3x  5 y  e x 3 2 dx dx dx

1  y  d

2

2

dx

y 2

x

Por otra parte, las ecuaciones diferenciales:

 y  2y  C  t  s2

(coeficiente de y´´ es y)

c)

d y  y2  0 3 dx 4 A y´´  By´Cy  g x 

son E.D. ordinarias respectivamente.

no

lineales

(E.D. es de 4o. grado) er

de 2º, 3 ,

y 2º orden,

Como ejemplos veamos las E.D. (a) y (b) del ejemplo próximo anterior, son de primer grado, pero son no lineales.

[email protected]

Ord.

3er

No Lineal

2do

Ord.

4to

Lineal

1er

Par

2do

N/A

N/A

Ord

3er

No Lineal

1er

y 4   2 x y´´  5 y  0

(exponente de y es 2)

Vale entonces decir que todas las ecuaciones diferenciales lineales son de primer grado, pero no todas las ecuaciones diferenciales de primer grado son lineales.

EJERCICIO 2

GRADO

3

3

b)

LINEAL O NO LINEAL

dy  y  senx dx

y IV  y III  y II  y I  y  1  0

y y´´2 y´ 0

ORDEN

d2y dy  x  y  ex 2 dx dx

son E.D. ordinarias lineales de primero, segundo y tercer orden, respectivamente.

a)

TIPO

Para cada una de las ecuaciones diferenciales dadas indicar su clasificación según el tipo, orden y linealidad o no linealidad; además, indicar su grado. Luego, escriba ecuaciones diferenciales que cumplan con las especificaciones dadas

d 2x dx  y3  y  3x  10 2 dy dy

y    5

2

 x  y´´  3 y  x sen2 x 7

dy  xy 2  0 dx

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5 Ejemplos:

3. SOLUCIONES Nuestra meta, nuestro objetivo en este curso es resolver ecuaciones diferenciales, es decir, encontrar sus soluciones. Y las soluciones son funciones expresadas de diferentes maneras, explícitamente, implícitamente, con parámetros, sin ellos, etc.

DEFINICIÓN 3:

Se dice que una función f cualquiera, definida en algún intervalo I, es solución de una ecuación diferencial en el intervalo, si sustituida en dicha ecuación la reduce a una identidad.

1. La función



F x, f x , f ´x , f ´´x ,, f para toda

n 

x  0

xI .

Dependiendo del contexto, I podría representar: a xb i)

dy dx

, tenemos:

y sustituyendo “y” y

dy dx

en (1), tenemos:

x3 x4 x 0 4 16  x2  x3  x    0 4  4 

x3 x3  0 4 4 00 para todo número real.

y  xe x es una solución de la E.D. lineal y´´2 y´ y  0 en . Evaluando y´  y´´ , se tiene: y´ xe x  e x  e x x  1 y´´ xe x  e x  e x  e x x  2

2. La función

a xb

sustituyendo y, y´  y´´en (2), tenemos: para todo número real.

iv)

0 x    x  

v)

etc.

ii) iii)

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(1)

dy x 3  dx 4

 dy d 2 y dny  F  x, y, , 2 ,, n   0 dx dx dx  



x4 es una solución de la E.D. no lineal 16 dy x y 0 dx

en . Puesto que al calcular

Una ecuación diferencial ordinaria general de orden n se representa a menudo mediante el símbolo:

y una solución de ésta es una función y  f x que tiene por lo menos n derivadas y satisface la ecuación; es decir:

y

e x x  2  2e x x  1  xe x  0

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(2)

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

6



3. Para  2, 2 la relación implícita de la E.D.:

x 2  y 2  4  0 es una solución

3.3)

SOLUCIÓN IMPLÍCITA:

si la función

define una función donde solución implícita de la E.D.

dy x  dx y

f x, y   C ,

y  hx  , se dice que es una



y n   f x, y, y´, y´´,, y n1



en I, siempre que h´x , h´´x ,, h x  h´(x), existan para todo punto de I y satisfagan las ecuaciones:

tenemos que al derivar implícitamente:

dy 2x  2 y 0 dx

n 

f x, y   0 h n  x   f x, h, h´, h´´,, h n1 

y despejando la derivada, se tiene lo siguiente:

dy x  dx y

para todo valor en I. Se debe tener presente que una E.D. tiene generalmente un número infinito de soluciones.

TIPOS DE SOLUCIONES:

Anteriormente

3.1)

SOLUCIÓN EXPLÍCITA: es una solución en que la variable dependiente se expresa tan sólo en términos de la variable independiente y constantes. Si y  f x esta definida en I se dice que es una solución explicita de la ecuación:



y

n 



 f x, y, y´, y´´,, y

n1



con

es una ux , solución explícita de 2

C>0

C