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• RicardoGutierrez

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INTERVALOS DE CONFIANZA

INTERVALOS DE CONFIANZA  En este capítulo hacemos hincapié en las afirmaciones inferenciales sobre la estimación de un parámetro poblacional, basadas en la información que contiene una muestra aleatoria.  Centramos la atención en los métodos para estimar una media poblacional o una proporción de los miembros de la población que poseen una determinada característica.  Por ejemplo, podemos querer una estimación de la demanda semanal media de una determinada marca de zumo de naranja o una estimación de la proporción de empleados de una empresa que son partidarios de que se modifique el plan de compras

PROPIEDADES DE LOS ESTIMADORES PUNTUALES  Cualquier inferencia extraída de la población se basa en estadísticos muestrales. La elección de los estadísticos adecuados dependerá de cuál sea el parámetro poblacional que interese. El valor de ese parámetro será desconocido y uno de los objetivos del muestreo es estimar su valor. Debe hacerse una distinción entre los términos estimador y estimación.

Estimador y estimación:  Un estimador de un parámetro poblacional es una variable aleatoria que depende de la información de la muestra; su valor proporciona aproximaciones a este parámetro desconocido. Un valor específico de esa variable aleatoria se llama estimación.  EJ: consideremos la estimación de las ventas semanales medias de una determinada marca de zumo de naranja. Un estimador posible de la media poblacional es la media muestral. Si se observa que la media de una muestra aleatoria de ventas semanales es de 3.280 litros, entonces 3.280 litros es una estimación de la media poblacional de las ventas semanales. Otro estimador posible de las ventas semanales medias podría ser la mediana muestral.

Conceptos  Estimación puntual: consiste en la estimación del valor parámetro mediante un solo valor, obtenido de una formula determinada.  Estimación por intervalos: Consiste en la obtención de un intervalo dentro del cual estará el valor parámetro estimado con una cierta probabilidad.

 Error de la estimación: Es una medida de precisión que se corresponde con la amplitud del intervalo de confianza. Cuanta mas precisión se desee en la estimación del parámetro, mas estrecho deberá ser el intervalo de confianza y, si se quiere mantener o disminuir el erro, mas ocurrencias deberán incluirse en la muestra estudiada. En caso de no incluir nuevas observaciones para la muestra, mas error se comete al aumentar la precisión. Se suele llamar E, según la formula E=Θ2- Θ1  Nivel de confianza: Es la probabilidad de que el verdadero valor del parámetro estimado en la población se situé en el intervalo de confianza obtenido. El nivel de confianza se denota por 1- ,aunque habitualmente suele expresarse como un porcentaje ((1-)*100%). Es habitual tomar como un nivel de confianza un 95% o un 99%, que se corresponden con los valores de 0.05 y 0.01 respectivamente.

DISTRIBUCIÓN NORMAL  Corresponde a una Distribución de variable aleatoria continua, que se extiende sobre un campo de variabilidad infinito.  La distribución normal o gaussiana se representa gráficamente con una curva que tiene las siguientes características:

a) La curva tiene un solo pico; por tanto, es unimodal. Tiene la forma de campana. b) La media de una población distribuida normalmente cae en el centro de su curva normal. c) Debido a su simetría de la distribución normal, la mediana y la moda se encuentran también en el centro; en consecuencia para una curva normal, la media, la mediana y la moda tienen el mismo valor. d) Los dos extremos de la distribución normal se extienden indefinidamente y nunca tocan el eje horizontal.

DISTRIBUCIÓN NORMAL 

La distribución normal siguiente la siguiente formula:

Propiedades: No importa cuales sean los valores de µ y σ para una distribución de probabilidades normal, el área total bajo la curva siempre es 1, de manera que podemos pensar en áreas bajo la curva como si fueran probabilidad matemáticamente es verdad que:

1. Aproximadamente el 68% de todos los valores de una población normalmente distribuida se encuentra de ± 1 desviación estándar de la media. 2. Aproximadamente el 95.5% de todos los valores de una población normalmente distribuida se encuentra dentro de ± 2 desviaciones estándar de la media 3. Aproximadamente el 99.7% de todos los valores de una población normalmente distribuida se encuentra dentro ±3 desviaciones estándar de la media

DISTRIBUCIÓN NORMAL 

El valor de Z esta derivado de la formula 𝑧=

𝑥−𝜇 𝜎

x= valor de la variable aleatoria de interés

µ=media de la distribución de la variable aleatoria σ=desviación estándar de la distribución z= numero de desviaciones estándar que gay desde x a la media de la distribución. µ=np σ2=npq σ= npq Varianza=σ2 Desviación estándar=

σ2

Distribución t de STUDENT  La distribución t de student es una distribución de probabilidad que surge del problema de estimar la media de una población normalmente distribuida cuando el tamaño de la muestra es pequeño (n es menor a 30 mediciones). Esta es la base del popular test de la t de student para la determinación de las diferencias entre medias muestrales y para la construcción del intervalo de confianza para la diferencia entre las medias de dos poblaciones. 𝑋 − 𝑋ത 𝑡= 𝑆 𝑛

INTERVALOS BASADOS EN LA DISTRIBUCION NORMAL  Se tiene una distribución muestral de una media como se muestra a continuación:

INTERVALOS BASADOS EN LA DISTRIBUCION NORMAL

INTERVALOS BASADOS EN LA DISTRIBUCION NORMAL

INTERVALOS DE CONFIANZA DE PROPORCIONES DE LA POBLACION  Se tiene una distribución muestral de una proporción como se muestra a continuación

INTERVALOS DE CONFIANZA DE PROPORCIONES DE LA POBLACION

INTERVALOS DE CONFIANZA DE DIFERENCIA DE DOS MEDIAS  Se tiene una distribución muestral de diferencia de una medias como se muestra a continuación:

INTERVALOS DE CONFIANZA DE DIFERENCIA DE DOS PROPORCIONES  Se tiene una distribución muestral de diferencia de proporciones como se muestra a continuación:

INTERVALO DE CONFIANZA  La estimación por intervalos se refiere a un rango dentro del cual encontramos el parámetro, con un nivel de significación, por lo tanto el nivel de confiabilidad que tendrá la estimación del parámetro será (1- )  IC para µ cuando se muestra una distribución normal con varianza conocida σ 𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑓𝑖𝑎𝑛𝑧𝑎 = 𝑋ത ± 𝑧 ∗ 𝑛 IC para IC para µ cuando se muestra una distribución normal con varianza desconocida σ ത 𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑓𝑖𝑎𝑛𝑧𝑎 = 𝑋 ± 𝑡 ∗ 𝑛

INTERVALO DE CONFIANZA  IC para p, parámetro de proporción en una muestra de distribución binomial 𝑝 1−𝑝 𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑓𝑖𝑎𝑛𝑧𝑎 = 𝑝ҧ ± 𝑧 ∗ 𝑛  Diferencia de medias de 2 poblaciones normales e independientes σ 2 σ2 𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑓𝑖𝑎𝑛𝑧𝑎 = 𝑥ҧ − 𝑦ത ± 𝑧 ∗ + 𝑛𝑥 𝑛𝑦

INTERVALOS DE CONFIANZA DE MEDIAS MUESTRALES

Distribución de medias muestrales  Se muestran las formulas que pueden ser determinar los limites de confianza para cada caso, dependiendo de la desviación típica y del tamaño de la muestra

EJEMPLOS  El propietario de una pequeña fabrica de artesanías, toma una muestra aleatoria de la producción semanal de 6 de los 35 empleados, obteniendo un promedio de 22,5 figuritas semanales, con una desviación de 3,1. Estime la producción de figuritas semanales con un nivel de confianza del 95%.  Una muestra de 50 observaciones tiene una media de 65 y una desviación estándar de 4,2. Se piden limites de confianza del 95%

EJEMPLOS  Los pesos netos, en onzas, de una muestra aleatoria de 8 tarros de cerveza son los siguientes:

12,1

11,9

12,4

12,3

11,9

12,1

12,4

12,1

A) encuentre los limites de confianza del 99% para el peso medio por tarro de cerveza correspondiente a la población de la cual se obtuvo la muestra  Un sondeo efectuado a 400 familias de clase media revelo un gasto trimestral promedio de $ 374000 en productos de tocador, con desviación de $80000. A) estime para un intervalo de confianza del 95% B) Cual es el máximo error, cuando se afirma que dicha media es de $374000, con una confianza del 99%

INTERVALOS DE CONFIANZA DE PROPORCIONES

DISTRIBUCION DE PROPORCIONES

 𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑓𝑖𝑎𝑛𝑧𝑎 = 𝑝ҧ ± 𝑧 ∗

𝑝 1−𝑝 𝑛

 𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑓𝑖𝑎𝑛𝑧𝑎 = 𝑝ҧ ± 𝑡 ∗

𝑝 1−𝑝 𝑛−1

EJEMPLOS  Una muestra de 100 votantes elegidos al azar entre los habitantes de un barrio, indicaba que el 45% de ellos estaban a favor de un candidato. Hallar los limites de confianza del 95%.  Una investigación efectuada a 400 familias de clase media revelo que en la realización de fiestas familiares, un 62% prefería el aguardiente a cualquier otra clase de licor. Determine los limites de confianza del 99%.

EJEMPLOS  Una compañía asegura que el 80% de sus semillas de zanahoria germinan. Se plantan 50 semillas de las cuales 8 no germinan a) Hállese un intervalos de confianza del 90%, para la proporción de semillas que germinaron en la muestra b) Si se plantaron 28 semillas y 3 de ellas no germinan, halle el intervalo de confianza del 99%, para la proporción de semillas que germinaron en la muestra

INTERVALOS DE CONFIANZA DE DIFERENCIA DE DOS MEDIAS

INTERVALOS DE CONFIANZA DE DIFERENCIA DE DOS MEDIAS

EJEMPLOS  En un experimento llevado a cabo para medir la efectividad de dos abonos en dos parcelas, de 10 hectáreas la primera parcela abona con el producto A, 81,7 cargas por hectárea; en la segunda parcela, 88,3 cargas por hectáreas con B y las desviaciones típicas de 0,7 y 0,8 respectivamente. ¿Cuáles son los limites de confianza para la diferencia de los promedios con una probabilidad del 95%?  Se someten a una prueba 45 alumnos de un curso de estadística, para determinar las diferencias de rendimiento entre hombres y mujeres. Las 20 mujeres tienen un puntaje medio de 60 con una desviación estándar de 19 y 25 con una media de 66 con una desviación estándar de 16. ¿Cuáles son los limites de confianza del 99%, para la diferencia entre los puntajes medios de hombres y mujeres?

EJEMPLOS  Prueba de resistencia en dos tipos de géneros de lana dieron los siguientes resultados( en libras por centímetros cuadrado) Tipo I

138

127

134

125

Tipo II

134

137

135

140

Determinar los limites de confianza del 95%.

130

134

INTERVALOS DE CONFIANZA DE DIFERENCIA DE DOS PROPORCIONES

INTERVALOS DE CONFIANZA DE DIFERENCIA DE DOS PROPORCIONES

EJEMPLOS  En una muestra al azar de 200 adultos y 300 adolescentes que veían cierto programa de televisión, 50 adultos y 150 adolescentes dijeron que les gustaba. Hallar los limites de confianza del 95% para la diferencia de proporción de adultos y adolescentes que ven televisión  Se desea determinar si hay alguna diferencia significativa, según el sexo, en la preferencia por margarina o mantequilla. Se realizo una muestra aleatoria entre 26 y 18 mujeres, indicando 16 y 10 respectivamente preferían la margarina a la mantequilla