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• DIANA MARTINEZ

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Intervalo de confianza En estadística, se llama intervalo de confianza a un par o varios pares de números entre los cuales se estima que estará cierto valor desconocido con una determinada probabilidad de acierto. Formalmente, estos números determinan un intervalo, que se calcula a partir de datos de una muestra, y el valor desconocido es un parámetro poblacional.

La probabilidad de éxito en la estimación se representa con una probabilidad (1 – α) y se denomina nivel de confianza.

El nivel de confianza y la amplitud del intervalo varían conjuntamente, de forma que un intervalo más amplio tendrá más probabilidad de acierto (mayor nivel de confianza), mientras que para un intervalo más pequeño, que ofrece una estimación más precisa, aumenta su probabilidad de error.

Para la construcción de un determinado intervalo de confianza es necesario conocer la distribución teórica que sigue el parámetro a estimar. Es habitual que el parámetro presente una distribución normal. En definitiva, un intervalo de confianza al (1 – α) por ciento para la estimación de un parámetro poblacional θ que sigue una determinada distribución de probabilidad, es una expresión del tipo [θ1, θ2] o [LI,LS] tal que:

P[θ1 ≤ θ ≤ θ2] = 1 - α, P[LI ≤ θ ≤ LS] = 1 - α,

donde P es la función de distribución de probabilidad de θ.

Intervalo de confianza para la media de una población

De una población de media 𝜇 y desviación típica  σ se pueden tomar muestras de tamaño n elementos. Cada una de estas muestras tiene a su vez una media. Se puede demostrar que la media de todas las medias muestrales coincide con la media poblacional

Las líneas verticales representan 50 construcciones diferentes de intervalos de confianza para la estimación del valor μ. Pero además, si el tamaño de las muestras es lo suficientemente grande, o la distribución poblacional es normal, la distribución de medias muestrales es, prácticamente, una distribución normal (o gaussiana) con media μ y una desviación típica dada por la siguiente expresión: μ ´x =μ

σ ´x =

σ √n

Si la población es infinita

σ ´x =

σ 2 N −n ∗ √ n N −1

√

Si la población es finita

Donde si estandariazamos tendremos que: Z=

x´ −μ σ √n

P(−Z

(

P

α 2

−Z α < 2

< Z< Z α =1−α 2

)

´x −μ < Z α =1−α σ 2 √n

)

De lo cual se obtiene el siguiente modelo para el cálculo de los intervalos

(

P ´x

´x + Z α ∗σ

−Z α ∗σ 2

√n

< μ