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• Andres Gafaro

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15.6 INTEGRALES TRIPLES Evalué la integral triple ❑

14. ∭ XY dV , donde E es el tetraedro solido con vértices E

(0, 0, 0), (0, 1, 0), (1, 1, 0) y (0, 1, 1) Solución z

X–Y+Z=0

R (0, 1,1)

P (0, 0,0)

X

(0, 1, 0) y

Q (1, 1,0)

Ecuación lineal del plano Q-P = (1-0, 1-0, 0-0) = ā ( 1,1,0) ; R-P = ( 0-0, 1-0, 1-0) = ƃ (0,1,1)

n =āXƃ=

i

j

k

a

b

c

1

1

0 = i – j + k = ( 1, -1 , 1 )

0

1

1

Ecuación lineal del plano, a ( x – x ) + b ( y – y ) + c ( z – z ) = 0 0

1 ( x – 0 ) – 1 ( y – 0) + 1 ( z – 0 ) = 0 X–Y+Z=0

0

0

El límite del plano inferior del solido tomando a z = 0, x – y = 0 y (1,1) 1

0

1

y=1

x=1

y=x

x=1

x

Entonces tenemos E= { x, y, z / o≤x≤1, x≤y≤1, 0≤z≤-x+y } 1 1 −X +Y

❑

∭ XY dV E

= ∫∫ ∫ 0 X

0

1 1

1 1

Z2 XZ dZ dY dX ∫ ∫ ¿ ¿ ¿ ¿ ∫ ∫ [ X ( ¿¿)¿−0 X +Y ]dY dZ ¿ ¿ 2 0 X 0 X

1 1

(− X+ Y )2 ¿ ¿)]dY dX=¿ ¿ ¿ 2 0 X 1 1 1 1 (X ¿ ¿2−2 XY + Y 2) (X ¿ ¿ 3−2 X 2 Y + XY 2) ¿ ¿ ]dY dX ¿ ¿¿ ¿ )]dY dX =∫ ∫ [ ∫∫ [ X ( 2 2 0 X 0 X

∫∫ [ X (

1

=

∫[ 0

1

1

1

X3 +X dY − X 2∫ YdY ¿ ∫ ∫ Y 2 dY ]dX ¿ 2 X 2 X X

1

X3 X2 2 X 3 1 ∫ [ 2 ¿Y − 2 Y + 6 Y ¿ X ]dX ¿ 0 1

∫ [( 0

X3 X2 X X3 X2 X ¿1− 12+ 13)−( X− X 2+ X 3 )] dX ¿ 2 2 6 2 2 6

X4 X3 X2 X5 1 − + − ¿ ¿0 8 6 12 30 1

1

1

1

[ 8 − 6 + 12 − 30 ¿ =

=

= 1

3

= ∫ ( X2 ¿ −X2 0

2

+

X X4 − ) dX ¿ 6 6

=[

=

1 V 120

FABIO GAFARO 1121393 – CALCULO VECTORIAL , ING MECANICA TOMADO DEL LIBRO CALCULO DE VARIAS VARIABLES POR JAMES STEWART SEXTA EDICION.