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• Juan

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INTEGRAL DOBLE

 e

1.- Calcular la integral doble

x y

dydx

, donde D es la región 0  x  1;0  y  1

D



2.- Calcular la integral doble

D

ydydx

1  x

2

 y2



3

2

donde D es la región

0  x  1;0  y  1 3.- Calcular al integral

 x

2

ye xy dxdy , donde D es la región 0  x  1;0 

y2

D

4.- Calcular las siguientes integrales. 1 2

2 3

a)

  x  2 sen( y)dxdy

b)

 y )dydx

  e cos( y)  cos(e )dydx 2 1

2 2

x x   e cos( y  e )dydx

d)

x

x

0 0

0 0

5.- Calcular la integral doble.

2

0 1

0 1

c)

  (x

 x  y dydx

Donde D:  1,1   1,1

D

6.- Calcular

 ( x  y)dA

2 donde La regio Des limitada por xy  a ;2( x  y)  5a

D

7.- Por medio de la integral doble, hallar el área de la regio D comprendidas entre las curvas

y 2  4  x; y 2  4  4 x 8.- Por integrales dobles, calcular el área de la regio D acotada por las curvas

y  x 4 ; y  7  6x 2 9.- Calcular el volumen limitados por las superficies: 2 2 2 a) z  x  y ; y  x ; y  1; z  0

10.- Calcular el volumen del solido cuya base de la región en el plano XY acotada por las curvas

y  4  x 2 ; y  3x y cuyo techo es el plano z  x  4 11.- Hallar el volumen del cuerpo limitado por las superficies del paraboloide hiperbólico

z  xy , el cilindro , y  x y los planos x+y=2 , y=0 , z=0 2 2 12.- Calcular el volumen del cuerpo limitado por las superficies x  4 y  z  1; z  0

Coordenadas polares

1.- Evaluar la integral doble

x e 

2

 y2

dA , donde D es la región encerrada por:

D

x  y 4 2

2

2.- Calcular

 D

3.- Calcular

4  x

 e

x2  y2

dA 2

y

2



1 2

, donde D es el recinto dado por x 2  y 2  2 x  0

dydx , donde D es la región acotada por las circunferencias:

D

x  y  1; x 2  y 2  9 2

2

4.- Calcular la integral doble

 xydxdy donde D es el dominio limitado por la elipse: D

2

2

y x  2  1 y situado en el primer cuadrante. 2 a b

INTEGRALES TRIPLES 1.- Calcular

 xy

2

z 2 dxdydz

, si la región T está limitada por las superficies

T

z  xy; y  x; x  1; z  0 2.- Calcular

 x

2



 y 2  z 2 dxdydz

R

definido por las desigualdades 3.- Evaluar la integral triple

, si la región R es el paralelepípedo rectangular

0  x  a;0  y  b;0  z  c

 ydxdydz

, si S es la región limitada por el tetraedro

S

formado por el plano 12 x  20 y  15 z  60 y los planos coordenados

4.- Hallar

 e

ay

dxdydz donde D

es el sólido limitados por las superficies

D

y  z  4; y  z  2; z  0; z  2 3

INTEGRALES TRIPLES MEDIANTE COORDENADAS CILINDRICAS Y ESFERICAS 1.- Calcular

 cosx

2



 y 2  z dxdydz

, donde D es el sólido acotado por las

D

superficies

x 2  y 2  2; x 2  y 2  4; z  0; z  4

2.- Calcular

 ( x

2

 y 2 )dxdydz ,donde la regio T está limitada por las superficies :

T

z  ( x  y ) / 2; z  2 2

3.- Calcular

2

 dxdydz donde la región T es la esfera x

2

 y2  z2  r2

T

4.- Calcular





1 x2  y2  z2



3

2

dxdydz

, si T es la esfera x 2  y 2  z 2  1

T

PROBLEMAS DE APLICACIÓN 5.- Calcular el volumen del cuerpo limitado por el plano z=0 , la superficie z 



1 2 x  y2 2

y la esfera x 2  y 2  z 2  4 (en el interior del paraboloide) 6.- Encontrar el volumen del solido acotado por la esfera x 2  y 2  z 2  4a y el cilindro

x2  y2  a2 7.- Hallar el volumen del solido bajo la superficie z  4  x 2  y 2 , interior al cilindro

x 2  y 2  1 y sobre el plano XY 8.- Hallar el volumen de la región D limitada por los paraboloides

z  x 2  y 2 ; z  36  3x 2  3 y 2

