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5.6

Aplicaciones de la integral triple

La integral triple tiene una variedad de aplicaciones, en esta secci´on se utilizar´a para el c´alculo de vol´ umenes, masas y centros de masa de s´ olidos.

5.6.1

C´ alculo de volumen

Si en una integral triple, la funci´ on f de integraci´on es uno, la integral triple proporciona el volumen del s´ olido. Ejemplo 1 Determinar el volumen de la regi´on en el primer octante acotada por los planos coordenados y los planos x + z = 1 y y + 2z = 2. En la figura se muestra un dibujo del s´olido.

Soluci´ on. Primero probamos si la variable z puede utilizarse para la integral exterior, se traza una recta de prueba (azul en el siguiente dibujo).

La recta entra en la regi´ on por el plano z = 0 y sale por el plano y + 2z = 2 o por el plano x + z = 1 seg´ un la posici´ on de la recta de prueba al cruzar la regi´on, por lo tanto no se puede utilizar para la integral mas exterior (su l´ımite superior no siempre es el mismo). Se prueba para la variable x trazando la recta de prueba en la direcci´on del eje x como se muestra en el siguiente dibujo.

La recta entra en la regi´ on en el plano x = 0 y sale por el plano x + z = 1, esta ecuaci´on se puede escribir como x = 1 − z. Entonces, la variable de la integral exterior es x con l´ımites 0 ≤ x ≤ (1 − z). Ahora se proyecta el s´ olido sobre el plano yz. Esta proyecci´on corresponde a la del plano y + 2z = 2. En la figura se muestra la regi´ on plana.

 Esta regi´ on es vertical simple con l´ımites 0 ≤ z ≤

1 1− y 2

 y 0 ≤ y ≤ 2.

La integral del volumen es Z

2

Z

1− 12 y

Z

volumen =

1−z

Z

2

Z

dx dz dy = 0

0

0

0

0

1− 21 y

1−z

[x]0

dz dy

1− 21 y    Z 2 1 1 1 2 1 2 1−y+ y dy = (1 − z) dz dy = z− z dy = 1− y− 2 2 2 4 0 0 0 0 0   2 Z 2 1 1 2 1 1 2 = − y dy = y − y3 = 2 8 2 24 3 0 0 Z

2

Z

1− 12 y

Z

2

El volumen es 2/3 unidades c´ ubicas. Tambi´en son posibles otros ´ ordenes de integraci´on, se deja como ejercicio probar el orden dx dz dy. Ejemplo 2 Determinar el volumen del s´ olido encerrado por las superficies z = x2 + 3y 2 y z = 8 − x2 − y 2 .

Soluci´ on.

Se hace un bosquejo de las dos superficies

Se muestran las dos superficies, la curva de intersecci´on y la proyecci´on del s´olido en el plano xy. En coordenadas rectangulares, el l´ımite inferior de z es la superficie z = x2 + 3y 2 y el superior la superficie z = 8 − x2 − y 2 . Para obtener la proyecci´on en el plano xy, se obtiene la intersecci´ on de las dos superficies, igualando las ecuaciones z = x2 + 3y 2 = 8 − x2 − y 2 2x2 + 4y 2 = 8 x2 + 2y 2 = 4

La ecuaci´ on corresponde a la de una elipse

En coordenadas rectangulares, se puede considerar como una regi´on vertical simple con l´ımite inferior r r 4 − x2 4 − x2 y=− y como l´ımite superior y = , los l´ımites en x son -2 y 2. 2 2 La integral del volumen Z Z Z

Z

volumen =

2

q

Z

dz dy dx = Q

−2

−

4−x2 2

q

4−x2 2

Z

8−x2 −y 2

dz dy dx x2 +3y 2

La soluci´ on de esta integral requiere de algo de desarrollo matem´atico, a continuaci´on se muestra la soluci´ on obtenida con wxmaxima.

16 El volumen del s´ olido es √ π. 2 Ejemplo 3 Calcular el volumen del s´ olido acotado por el cilindro r = 3 cos θ y el plano z = −y en el cuarto octante cuya figura se muestra.

Soluci´ on. Los l´ımites en z son 0 y el plano z = −y, como se muestra en la figura. La proyecci´on del s´olido sobre el plano xy es la regi´ on limitada por el eje x y la curva r = 3 cos θ, con un ´angulo θ entre 3π/2 y θ = 2π. El valor de y (necesario para el l´ımite superior de z ) como una funci´on de r y θ se obtiene de

la ecuaci´ on del cilindro como se muestra r = 3 cos θ, elevando al cuadrado la ecuaci´on y sustituyendo r2 = x2 + y 2 x2 + y 2 = 9 cos2 θ y 2 = 9 cos2 θ − x2 , sustituyendo x = r cos θ y 2 = 9 cos2 θ − r2 cos2 θ = (9 − r2 ) cos2 θ, sustituyendo la ecuaci´on del cilindro r = 3 cos θ y 2 = (9 − 9 cos2 θ) cos θ = 9(1 − cos2 θ) cos2 θ = 9 sen 2 θ cos2 θ y = 3 sen θ cos θ

La integral del volumen es

Z

2π

Z

3 cos θ

Z

−3 sen θ cos θ

r dz dr dθ

volumen = 3 2π

Z

2π

0

0

Z

3 cos θ

= 3 2π

0

−3 sen θ cos θ [rz]0

Z

2π

Z

dr dθ =

3 cos θ

(−3 sen θ cos θ) dr dθ 3 2π

0

3 cos θ  Z 2π  1 2 27 3 dθ = (−3 sen θ cos θ) r − sen θ cos θ dθ = 3 3 2 2 0 2π 2π  2π 27 27 27 = cos4 θ = (1 − 0) = 8 8 8 3 π Z

2π



2

El comando para evaluar la integral triple en wxmaxima es

integrate(integrate(integrate(r,z,0,-3*sin(t)*cos(t)),r,0,3*\cos(t)),t,3*%pi/2,2*%pi);

dando, por supuesto el mismo resultado.

Ejemplo 4 Calcular el volumen del s´ olido acotado en su parte inferior por el hemisferio ρ = 1, para z ≥ 0, y en su parte superior por el cardioide ρ = 1 + cos φ.

Soluci´ on.

En la figura se muestran las dos superficies para 0 ≤ φ ≤ π/2, que corresponde a z ≥ 0. La esfera se muestra en forma s´ olida y el cardioide en malla.

El rayo desde el origen y que cruza por el s´olido, entra en esta regi´on por la esfera y sale por el cardioide, por lo que los l´ımites en ρ son 1 ≤ ρ ≤ 1 + cos φ. Los l´ımites del ´angulo φ, como se mencion´o al realizar la gr´ afica es 0 ≤ φ ≤ π/2 y para el ´ angulo θ es 0 ≤ θ ≤ 2π. La integral del volumen es

1+cos φ 1 2 ρ sen φ dφ dθ 3 0 0 1 0 0 1  π/2 Z 2π Z π/2  Z 2π  1 1 (1 + cos φ)3 sen φ 1 = − sen φ dφ dθ = dθ − (1 + cos φ)4 + cos φ 3 3 12 3 0 0 0 0  Z 2π  Z 2π 1 1 1 11 11 2π 11 4 4 = − (1 + 0) + (1 + 1) + 0 − (1) dθ = dθ = [θ]0 = π 12 12 3 12 12 6 0 0 Z

volumen =

2π

Z

π/2

Z

1+cos φ

ρ2 sen φ dρ dφ dθ =

Z

2π

Z

π/2



El volumen del s´ olido es 11π/6 unidades c´ ubicas.

5.6.2

Masa y centros de masa

Al igual que para las placas delgadas, si f (x, y, z) es la funci´on de densidad como ρ(x, y, z) y se integra sobre la regi´ on del s´ olido, se obtiene la masa del s´ olido. Tambi´en se definen los momentos y centro de masa como se se˜ nala

Si ρ = ρ(x, y, z) es la funci´ on de densidad se define: masa

Z Z Z m=

ρ(x, y, z) dV Q

Primeros momentos respecto a los planos coordenados Z Z Z Z Z Z Myz = xρ(x, y, z) dV Mxz = yρ(x, y, z) dV Q

Q

Z Z Z Mxy =

zρ(x, y, z) dV Q

Centro de masa x=

Myz m

y=

Mxz m

z=

Mxy m

Momentos de inercia con respecto a los ejes coordenados Z Z Z Z Z Z Ix = (y 2 + z 2 )ρ(x, y, z) dV Iy = (x2 + z 2 )ρ(x, y, z) dV Q

Q

Z Z Z

(x2 + y 2 )ρ(x, y, z) dV

Iz = Q

Ejemplo 5 Un s´ olido de densidad constante limitado en su parte inferior por la superficie z = 4y 2 , en la parte superior por el plano z = 4 y en los lados por los planos x = −1 y x = 1. determinar el centro de masa y los momentos de inercia con respecto a los tres ejes. Utilice un CAS para evaluar las integrales

Soluci´ on.

Primero se define la regi´ on s´ olida Q. De la descripci´on, los l´ımites de z son 4y 2 ≤ z ≤ 4 y los de x −1 ≤ x ≤ 1. La proyecci´ on del s´ olido en el plano xy es un cuadrado como se muestra en la figura.

Los l´ımites en y se obtienen de la intersecci´on de la superficie z = 4y 2 y el plano z = 4, para dar 4 = 4y 2 , de donde y = ±1. La regi´ on del s´olido es Q : −1 ≤ x ≤ 1,

−1 ≤ y ≤ 1,

y2 ≤ z ≤ 4

Y aplicando las ecuaciones de masa y primeros momentos con una densidad constante ρ = k Z

1

Z

1

Z

4

m=

k dz dy dx = −1 1

−1 1

4y 2

32 k 3

4

Z

Z

Z

−1 Z 1

−1 Z 1

4y 2 Z 4

−1 Z 1

−1 Z 1

4y 2 Z 4

Myz =

kx dz dy dx = 0

Mxz =

ky dz dy dx = 0

Mxy =

kz dz dy dx = −1

−1

4y 2

128 k 5

Puesto que la densidad es constante, y el s´olido es sim´etrico en x y en y respecto al origen, las coordenadas x y y del centro de masa son cero. x = 0,

y = 0,

z=

128 5 k 32 3 k

=

12 = 2.4 5

Para los momentos de inercia se pueden calcular Z Z Z Z Z Z 2 Ixx = x ρ(x, y, z) dV, Iyy = y 2 ρ(x, y, z) dV, Q

Q

Z Z Z

z 2 ρ(x, y, z) dV

Izz = Q

y utilizar estos valores para determinar los momentos de inercia Z

1

Z

1

Z

4

Ixx = −1 1

Z

−1 1

Z

Z

−1 1

−1 1

Z

32 k 9

ky 2 dz dy dx =

32 k 15

4

Iyy = Z

kx2 dz dy dx =

4y 2

4y 2 4

Z

512 k 7 −1 −1 32 512 7904 Ix = Iyy + Izz = k+ k= k ' 75.28k 15 7 105 32 512 4832 Iy = Ixx + Izz = k+ k= k ' 76.70k 9 7 63 32 256 32 k+ k= k ' 5.69k Iz = Ixx + Iyy = 9 15 45

Izz =

kz 2 dz dy dx =

4y 2

Ejemplo 6 Calcular la masa, el centro de masa y los momentos de inercia de un s´olido en el primer octante acotado por los planos y = 0 y z = 0 y por las superficies z = 4 − x2 y x = y 2 si la densidad es ρ(x, y, z) = kxy, donde k es una constante. El solido se muestra en la figura.

Soluci´ on. De la figura del s´ olido se observa que el l´ımite en z es 0 ≤ z ≤ 4 − x2 . La proyecci´on del s´ olido en el plano xy corresponde a la regi´on plana limitada por las intersecci´ones de las superficies x = y 2 y z = 4 − x2 con el plano xy en el primer octante. Estas intersecciones corresponden a la par´abola x = y 2 y la recta x = 2 como se muestra.

√ Y los l´ımites de la regi´ on plana (horizontal simple) son: y 2 ≤ x ≤ 2 y 0 ≤ y ≤ 2. Y para el s´olido o n √ Q = (x, y, z) | y 2 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 2, 0 ≤ z ≤ 4 − x2 La masa y los primeros momentos son: √

Z

2

2

Z

Z

4−x2

m=

kxy dz dx dy = 0

√

Z

y2 2

0

2

Z

Z

4−x2

Myz = 0

√

Z

y2 2

Z

0

√

y2 2Z

kxyy dz dx dy =

p 256 (2) k 231

kxyz dz dx dy =

256 k 105

0

2

Z

4−x2

Mxy = y2

0

8 k 3

4−x2

Mxz = Z

kxyx dz dx dy = 0

2

Z

32 k 15

0

Las coordenadas del centro de masa son √

x=

8 3k 32 15 k

=

5 = 1.25, 4

256 (2) 231 k 32 15 k

y=

=

√ 40 2 ' 0.7347, 77

z=

256 105 k 32 15 k

Para los momentos de inercia √

Z

2

Z

2

Z

4−x2

Ixx = 0

√

Z

y2 2

Z

2

0

√

y2 2

Z

2

kxyy 2 dz dx dy =

4 k 3

kxyz 2 dz dx dy =

4096 k 945

4−x2

0

Z

4−x2

Izz = 0

128 k 35

0

Z

Iyy = Z

kxyx2 dz dx dy =

y2

0

4 4096 5356 k+ k= k ' 5.668k 3 945 945 128 4096 7552 = k+ k= k ' 7.992k 35 945 945 128 4 524 = k+ k= k ' 4.990k 35 3 105

Ix = Iyy + Izz = Iy = Ixx + Izz Iz = Ixx + Iyy

=

8 ' 1.143 7