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Ejercicio 19 del libro cálculo de varias variables de Stewart 6 edición.

Estudiante: Fabio Andrés Gáfaro Jaimes - 1121393

19) use una integral triple para hallar el volumen del solido dado: El tetraedro encerrado por los planos coordenados y el plano 2x+y+z=4.

2x+y+z=4

defino acotamientos despejo z

Z= 4-2x-y

=>

Y = 4-2x

=>

X = 4/2 = 2

0 ≤ z ≤ 4-2x-y 0 ≤ y ≤ 4-2x

=>

2 4−2 x 4 −2 x− y

V= ∫ 0

∫ ∫ 0

dzdy dx

0

2 4−2 x

V=∫ 0

∫ 0

{ ∫ dz } dydx

0≤x≤2

despejo a y despejo a x  

2 4−2 x

V= ∫

∫

0

4−2 x− y

[ z ]0

dydx

0

2 4−2 x

V=∫ 0

2

V= ∫ 0

(

∫

( 4−2 x− y ) dydx

0

1 4 y−2 xy− y 2 2

)

4−2 x

dx

0

2

1 V= ∫ 4 ( 4−2 x )−2 x ( 4−2 x ) − ( 4−2 x )2 dx

[ V= ∫ [

2

0 2 0

1 16−8 x−8 x + 4 x 2− ( 16−16 x + 4 x 2) dx 2

2

V= ∫ [ 16−16 x+ 4 x 2−8+ 8 x−2 x 2 ]dx 0 2

V= ∫ 2 x 2−8 x+ 8 dx 0

V= ⌊ 23 x3 −4 x 2 +8 x ⌋ 20 V= 23( 2)3−4 ( 2 )2 +8(2) V= 163−16+16 16

V= 3

]

]