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• jhulissa

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PRACTICA Nº 09 Tema: Integrales triples.

1. Considere

el

D  0,1 0,2 0,3

cubo

y

la

función

f ( x, y, z)  sen( x2  y 2  z 2 ). Demostrar que1: 0   sen ( x 2  y 2  z 2 )dV  1. D

( x 2. Considere el cubo D  0,1 0,2 0,3 y la función f ( x, y, z )  e

2

 y2 z2 )

.

Demostrar que2:

6e14   e( x

2

 y2  z2 )

dV  6.

D

3. Evalúe las integrales cambiando el orden de integración de manera adecuada:3 1 1 1



12 xze zy dydxdz 2

1 1

ln 3 e 2 x sen y 2

a) 0 0 x

  z 0

b) 0

4 cos(x 2 ) dxdydz c) 0 0 2 y 2 z

2

3

y

2

4 1 2

dxdydz

2 4  x 2 x sen 2 z



0

d) 0 0

4-z

dydzdx

4. Despeje a en la integral iterada:4 1 4 a  x 2 4 x 2  y

0 0

a

dzdydx 

4 . 15

5. Calcular las siguientes integrales:5 2 3 y 8 x 2  y 2

a) 0 0 x 3 y 2

2

1 33 x 33 x  y



b) 0 0

0

dzdxdy

dzdydx

e e 2 e3

  1

e) 1 1

1 dxdydz xyz

 /6 1 3



f) 0

0 2 ysenz dxdydz

1

Malakhaltsev, M & Arteaga, J. (2013) Cálculo Vectorial. Ed. CENGAGE Learning. Universidad de los Andes.

2 3

idem Thomas (2010). Cálculo de varias variables.12ª edición. Pearson.

4

idem.

5

idem.

1

1 2 x 2 x  y

  0

c) 0 0

  

  

d) 0 0 0

1 1 x 2 4  x 2  y



dzdydx

cos(u  v  w)dudvdw 1 0

6. Considere la siguiente integral:

3

g) 0 0 1

e e

  1

h) 0 1 y2

0 1 0

xdzdydx

xe x Ln(u )

( Lnt )2 dtdudx t

dzdydx

Reordene la integral iterada equivalente en el orden dydzdx; dydxdz 7. La región del primer octante acotada por los planos coordenados, el plano: y  z el cilindro

x  4  y2.

8. La cuña definida en el cilindro

x 2´  y 2  1 por los planos z   y y z  0 .

2

2 y

9. La región del primer octante acotada por los planos coordenados, el plano: x 

y 2  4z 2  16.

el cilindro

  x  y  z  dv,

10. Evaluar

y4 y

R : z  0, z  x  y, y  0, y  x, x  0, x  1.

R

11. Evaluar la integral triple6

 2 x  5 y dV donde D es el sólido acotado por el cilindro D

parabólico y  x 2 y los planos y  x, x  z y z  0.

 zdV donde

12. Evaluar la integral triple7

D es el sólido acotado por el cilindro

D

y 2  z 2  16 y los planos x  0, y  13. Evaluar

la

integral

4x y z  0. 5

 5 xdV donde

triple8

D



D

es

dado

por:



D  x, y, z  / 0  y  2, 0  x  4  y 2 , 0  z  y . 14. Evaluar

 R

15. Evaluar

dv a x y 2

2

2

R : 0  z  a 2  x2  y 2 ,0  y  a 2  x 2 ,0  x  a

  x  y  z  x  y  z  x  y  z  dv R

R : x  y  z  0, x  y  z  0, x  y  z  0, 2x  y  1. 16. Evaluar

 zdV Q:

x 2  y 2  z 2  a 2 en el primer octante.

Q

17. Hallar el volumen del sólido dado en cada uno de los incisos siguientes: a) Debajo del paraboloide z  x 2  y 2 y arriba del disco x 2  y 2  9 6

Malakhaltsev, M & Arteaga, J. (2013) Cálculo Vectorial. Ed. CENGAGE Learning. Universidad de los Andes.

7

idem idem

8

3

b) Una esfera de radio a. c) Arriba del cono z  x 2  y 2 y debajo de la esfera x 2  y 2  z 2  1 d) Interior al cilindro x 2  y 2  4 y al elipsoide 4 x 2  4 y 2  z 2  64 18. Utilice coordenadas esféricas para calcular las integrales dadas. a)



x 2  y 2  z 2 dV

si R es la región acotada superiormente por la semiesfera

R

x 2  y 2  z 2  1 e inferiormente por el cono z  x 2  y 2 .

b)

 x R

c)

2

1 dV si R es la semiesfera x 2  y 2  z 2  1 y z  0. 2  y  z 1

 zdV

2

si R es la región común a las esferas x 2  y 2  z 2  1,

R

x2  y 2   z  1  1. 2

19. Utilizando un cambio de coordenadas apropiado calcular las siguientes integrales.

 x2 y 2 z 2  1  2  2  2 dV  a b c  R 

donde R es la región acotada por el elipsoide

x2 y 2 z 2    1. a 2 b2 c 2 20. Hallar la masa del cuerpo limitado por el paraboloide x 2  y 2  2az

y la esfera

x2  y 2  z 2  a2 , z  0

21. Encontrar el centro de masa del sólido dentro del paraboloide z  x 2  y 2 y fuera del cono x 2  y 2  z 2 , la densidad es constante k.

4