• Author / Uploaded
• hmuñoz_174756

Citation preview

Trigonometría

Identidades de arco múltiple Introducción Movimiento parabólico

R=

ν 02 sen (2θ 0 )

Trigonometría Contenido

De cos 4 x − sen 4 x =

Identidad de ángulo doble:

(cos 2 x + sen 2 x )(cos 2 x − sen 2 x ) =

Las identidades de ángulo múltiple son identidades particulares de ángulo compuesto según:

( 1)(cos 2 x ) =

g

En el siguiente grafico observamos la trayectoria que sigue una pequeña masa por acción de su inercia, partiendo de su posición inicial con una cierta velocidad y describiendo un movimiento parabólico:

R = Alcance en el eje X

ν 0 = Velocidad inicial g = Aceleración de la gravedad

1 3

2 2 3

Sea : A = B = x sen( x + x ) = senx cos x + cos xsenx

tan 2 x =

→ sen( 2 x ) = 2senx cos x

Ejercicios

De igual manera para la identidad de coseno:

1. Simplifique la siguiente expresión:

cos( A + B ) = cos Acos B − senAsenB

E = 4( senx cos 3 x − sen 3 x cos x )

Sea : A = B = x → cos( 2 x ) = cos 2 x − sen 2 x En resumen Las identidades que más utilizaremos en este tema son:

2. Simplifique la siguiente expresión: E=

sen 2 x + cos 2 x + 1 senx + cos x

3. Halle el valor de la siguiente expresión:

sen 2 x = 2senx cos x

En la planeación de Salto en Ski también podríamos saber con qué ángulo salir para lograr el máximo de alcance

1 3

Entonces

sen( A + B ) = senAcos B + cos AsenB

Por ejemplo podemos utilizar la ecuación anterior para determinar el ángulo de inclinación para un cierto alcance que quisiéramos lograr. ν 2 sen (2θ 0 ) 1 Rg R= 0 → θ 0 = arcsen ( 2 ) g 2 ν0

1 3

cos 2 x = cos 2 x − sen 2 x

E = 1 − sen2 x + senx ; x ∈ IVC

2 tan x tan 2 x = 1 − tan 2 x

4. Simplifique la siguiente expresión:

2sen 2 x = 1 − cos 2 x

E = cot x − tan x − 2 tan 2 x

2 cos x = 1 + cos 2 x

5. Simplifique la siguiente expresión:

2

Las ecuaciones de movimiento de un proyectil a una velocidad inicial de ν 0 y con un ángulo de inclinación de θ0 son:

Ejem 01. Determine sen 2 x si se cumple 2 tan x = 3

Sol. De tan x =

También podemos determinar la ecuación de movimiento del proyectil según y ( x ) = (tanθ 0 ) x − (

g )x 2 2ν cos 2 θ 0 2 0

El alcance máximo se deduce para una posición inicial de y = 0 de la ecuación anterior

16 may. 11

1 + sen 40
+ cos 40
1 + sen 40
− cos 40


6. Halle el valor de:

x ( t ) = x 0 + ν 0 x .t ....( i ) 1 y (t ) = y 0 + ν 0 y .t − g .t 2 ...( ii ) 2

E=

2 → senx = 3

2 13

; cos x =

3 13

E=

tan 40
1 + sec 40


Entonces sen 2 x = 2 senx cos x

7. Determine el valor de A + B + C si:

2 3 12 sen 2 x = 2( )( )= 13 13 13

sen 4 x + cos4 x = A + B cos Cx

Ejem 02. Determine tan 2 x si se cumple

8. Determine el mínimo valor de:

1 cos x − sen x = 3

E = 4( senx cos 5 x − sen 5 x cos x )

4

4

Sol.

Página 1

16 may. 11

Página 2

Trigonometría 9. Reduzca la siguiente expresión: E=

Solucionario Identidades de ángulo Doble E = 4( senx cos 3 x − sen 3 x cos x ) E = 4 senx cos x(cos 2 x − sen 2 x )

10. Determine el máximo valor de:

E = 2( 2 senx cos x )cos 2 x

E = 3sen 2x + 4(cos 4 x − sen 4 x )

E = 2sen 2 x cos 2 x E = sen 4 x

2.

11. Simplifique la expresión:

sen 2 x + cos 2 x + 1 senx + cos x 2senx cos x + 2 cos 2 x E= senx + cos x 2 cos x( senx + cos x ) E= senx + cos x E = 2 cos x E=

E = 4 cot x( 1 − tan x )( 1 − tan 2x ) 2

2

12. Si se cumple: 4 tan 2 x + tan x = 4 Halle el valor de: 63 tan 4 x

E = 1 − sen 2 x + senx ; x ∈ IVC

14. Del gráfico mostrado halle BD si tanα =

B

2 3

E = ( senx − cos x ) + senx

A

C

sen( 50
− 10
) 1 ) sen 20
cos 20


6.

E= (

sen 40
1 ) sen 20
cos 20


cot x + tan x = 2 csc 2 x cot x − tan x = 2 cot 2 x

8.

E = senx − cosx + senx ; x ∈ IVC 

Recuerde:

∴E = 2

10. E = 3 sen 2 x + 4(cos 4 x − sen 4 x ) E = 3 sen 2 x + 4(cos 2 x + sen 2 x )(cos 2 x − sen 2 x ) E = 3 sen 2 x + 4 cos 2 x ∴ E max = 5

11. 2 tan x 1 − tan 2 x 2 tan x → 1 − tan 2 x = tan 2 x Luego :

De : tan 2 x =

E = 4 cot x( 1 − tan 2 x )( 1 − tan 2 2 x ) 1 2 tan x 2 tan 2 x ( )( ) tan x tan 2 x tan 4 x 16 E= tan 4 x

E=4

E = 4( senx cos 5 x − sen 5 x cos x )

E = cot x − tan x − 2 tan 2 x E = 2 cot 2 x − 2 tan 2 x E = 2(cot 2 x − tan 2 x )

4 4 E = 4 senx cos x( cos x − sen x)   cos 2 x

E = 2( 2senx cos x )cos 2 x E = sen 4 x ∴ E min = − 1

E = 2( 2 cot 4 x ) E = 4 cot 4 x

16 may. 11

E= (

1 − 2sen 2 x cos 2 x = 1 1 − ( 2senx cos x )2 = 2 2 1 − ( sen 2 2 x ) = 4 1 1 − ( 1 − cos 4 x ) = 4 3 1 + cos 4 x = A + B cos Cx 4 4 → A+B +C = 5

4.

α

E = cot 20


sen 4 x + cos 4 x = A + B cosCx

2

Negat

α

sen 50
cos 10
− cos 50
sen10
)sec 20
2sen10
cos 10


2

E = −( senx − cos x ) + senx ∴ E = cos x

D

1 sen 50
cos 50
( − )sec 20
2 sen10
cos 10


7.

E = sen x + cos x − 2senx cos x + senx 2

E=

E= (

tan 40
1 + sec 40
sen 40

sen 40
E = cos 40 = 1 1 + cos 40
1+ cos 40
2 sen 20
cos 20
E= 2 cos 2 20
E = tan 20


3. 1 + tan 2 y )(cos 2 y − sen 2 y ) 1 − tan 2 y

9.

E=

13. Halle el valor de senx + cos x si: sen 2 x = (

5. 1 + cos 40
+ sen 40
E = 1 − cos 40
+ sen 40
2 cos 2 20
+ 2 sen 20
cos 20
E = 2 sen 2 20
+ 2 sen 20
cos 20
2 cos 20
(cos 20
+ sen 20
) E = 2 sen 20
( sen 20
+ cos 20
)

1.

1 sen 50
cos 50
( − )sec 20
2 sen10
cos 10


Trigonometría

Página 3

16 may. 11

Página 4

Trigonometría 12.

Del gráfico: x+2 tan 2α = 3 2 tan α x+2 = 1 − tan 2 α 3 2 2( ) 3 = x + 2 → x = 26 2 3 5 1 − ( )2 3

4 tan 2 x + tan x = 4 tan x = 4( 1 − tan x ) 2 tan x = 4( 2 ) 1 − tan 2 x → tan 2 x = 8 2

Nos preguntan: 2 tan 2 x 2( 8 ) tan 4 x = = 1 − tan 2 2 x 1 − 8 2 16 tan 4 x = −63 → 63 tan 4 x = −16

Trigonometría Identidad de arco triple

Ejercicios

Realizamos la deducción de las identidades de ángulo triple mediante ángulos compuestos

1. Reduzca la siguiente expresión:

De sen( A + B ) = senAcos B + cos AsenB Sea : A = 2 x ; B = x

E=

sen( 2 x + x ) = sen 2 x cos x + cos 2 xsenx Convertimos a ángulo simple sen( 3 x ) = ( 2senx cos x )cos x + ( 1 − 2sen 2 x )senx sen( 3 x ) = 2senx cos 2 x + ( 1 − 2sen 2 x )senx

sen 3 x + sen 3 x cos 3 x − cos 3 x

2. Halle el valor de A + B + C si se cumple: 1 − cos 6 x = ( Acos Bx + C )2 1 − cos 2 x

sen( 3 x ) = 2senx( 1 − sen 2 x ) + ( 1 − 2sen 2 x )senx

3. El valor de la siguiente expresión:

Simplificando

f ( x ) = 8sen 20
sen 2 40
cos 40


13.

sen( 3 x ) = 3senx − 4sen x

Recuerde:

En resumen

3

4. Halle el máximo valor de:

2 tan x   sen 2 x = 1 + tan 2 x 2 tan x tan 2 x = → 2 1 − tan 2 x  cos 2 x = 1 − tan x  1 + tan 2 x Luego :

f ( x ) = 3(senx − cos x ) − 4( sen 3 x − cos 3 x )

sen 3 x = 3senx − 4sen 3 x

1 + tan 2 y sen 2 x = ( )(cos 2 y − sen 2 y ) 1 − tan 2 y sen 2 x = (sec 2 y )(cos 2 y ) = 1

cos 3 x = 4 cos 3 x − 3 cos x

5. Si se cumple

sen 3 x = senx( 2 cos 2 x + 1) cos 3 x = cos x( 2 cos 2 x + 1)

E=

Ejemp.01 Si tan x =

→ x = 45


2 halle el valor de sen 3 x 3

Sol.

Nos preguntan: senx + cos x =

2

2 2 → senx = 3 13 sen 3 x = 3senx − 4 sen 3 x

De tan x =

14.

sen 3 x = 3( x

∴ sen 3 x = D

2 13 70

) − 4(

13 13

2 13

)3

sen 3 x 1 = Halle el valor de: senx 2

cos 3 x cos x

6. Simplifique la siguiente expresión:

E = 4sen3 xsen3x + 4cos3 x cos3x 7. Halle el valor de A.B si se cumple:

cos x − 2 cos x.sen 2 x = Acos 3x + B cos x 8. Reduzca la siguiente expresión: f(x) = (

tan 3 x 2 cos 2 x − 1 )( ) tan x 2 cos 2 x + 1

2 α A

9. Reduzca el valor de:

α

16 may. 11

3

C

f ( x ) = sen 3 x csc x + cos 3 x sec x

Página 5

16 may. 11

Página 6

Trigonometría 10. Del gráfico mostrado determine cos 2α si se cumple: BD = 3DC B

Solucionario Identidades de ángulo Triple 1. sen 3 x + sen 3 x cos 3 x − cos 3 x 3 senx − 4 sen 3 x + sen 3 x E= cos 3 x − ( 4 cos 3 x − 3 cos x ) E=

D

2α

A

α

3 senx − 3 sen 3 x senx( 1 − sen 2 x ) = 3 3 cos x − 3 cos x cos x( 1 − cos 2 x ) E = cot x E=

C

11. Halle el valor A + B si se cumple: tan 3 x − tan x = 2( Acos Bx − 1)−1 tan x

12. Si se cumple: sen 3 x − sen 2 x = 0 Halle el valor de: E = 4 cos x − sec x

13. Si se cumple:

1 − cos 6 x = ( Acos Bx + C )2 1 − cos 2 x 2sen 2 3 x sen 3 x 2 =( ) = ( Acos Bx + C )2 senx 2sen 2 x senx( 2 cos 2 x + 1) 2 ( ) = ( Acos Bx + C )2 senx ( 2 cos 2 x + 1)2 = ( Acos Bx + C )2 A+B +C = 5

3.

Halle el valor de:

f ( x ) = 4 sen 20
sen 40
( 2sen 2 40
cos 40
)

f ( x ,y ,z ) =

tan x tan y tan z + + tan 3 x tan 3 y tan 3 z

14. (UNI2011) Calcule el valor de

E = sec 80
+ 8 cos 2 80


5. sen 3 x 1 = senx 2 senx( 2 cos 2 x + 1) 1 = senx 2 1 → cos 2 x = − 4 Nos preguntan: cos 3 x 1 3 = 2 cos 2 x − 1 = 2( − ) − 1 = − cos x 4 2

sen 3 x cos 3 x + senx cos x f ( x ) = 2 cos 2 x + 1 + 2 cos 2 x − 1

f(x) =

∴ f ( x ) = 4 cos 2 x

10. B

3

D

E = 3( senxsen 3 x + cos x cos 3 x ) + cos 2 3 x − sen 2 3 x E = 3 cos 2 x + cos 6 x ∴ E = 4 cos 3 2 x

2α

A

α

1

4 cot 3α cot α

C

Del gráfico:

7. cos x − 2 cos x.sen 2 x = Acos 3 x + B cos x cos x − 2 cos x( 1 − cos 2 x ) = − cos x + 2 cos 3 x =

f ( x ) = 8sen 20
sen 2 40
cos 40


1 − cos x + ( 4 cos 3 x ) = 2 1 − cos x + ( 3 cos x + cos 3 x ) = 2 1 1 cos 3 x + cos x = Acos 3 x + B cos x 2 2 ∴A+B =1

f ( x ) = 4 sen 20
sen 40
sen 80
Re cuerde : 4 senxsen( 60
− x )sen( 60
+ x ) = sen 3 x f ( x ) = 4 sen 20
sen 40
sen 80
f ( x ) = sen 60


4.

8.

f ( x ) = 3( senx − cos x ) − 4( sen 3 x − cos 3 x )

tan 3 x 2 cos 2 x − 1 )( ) tan x 2 cos 2 x + 1 Re cuerde :

f ( x ) = 3senx − 4 sen 3 x + 4 cos 3 x − 3 cos x

f(x) = (

f ( x ) = sen 3 x + cos 3 x f ( x )max = 2

sen 3 x = senx( 2 cos 2 x + 1)  tan 3 x 2 cos 2 x + 1 =  cos 3 x = cos x( 2 cos 2 x − 1)  tan x 2 cos 2 x − 1 → f(x) = (

16 may. 11

9.

6. E = 4sen 3 xsen 3 x + 4 cos 3 x cos 3 x E = ( 3senx − sen 3 x )sen 3 x + ( 3 cos x + cos 3 x )cos 3 x

2.

senx seny senz + + =2 sen 3 x sen 3 y sen 3 z

Trigonometría

Página 7

16 may. 11

cot α = 4 cot 3α tan 3α =4 tan α 2 cos 2α + 1 =4 2 cos 2α − 1 5 → cos 2α = 6

11. tan 3 x − tan x = 2( Acos Bx − 1) −1 tan x tan 3 x −1= tan x 2 cos 2 x + 1 −1= 2 cos 2 x − 1 2 = 2 cos 2 x − 1 2( 2 cos 2 x − 1)−1 = 2( Acos Bx − 1)−1 → A+B = 4

2 cos 2 x + 1 2 cos 2 x − 1 )( ) =1 2 cos 2 x − 1 2 cos 2 x + 1

Página 8

Trigonometría 14.

12.

sen 3 x = sen 2 x senx( 2 cos 2 x + 1) = 2 senx cos x

E = sec 80
+ 8 cos 2 80


2 cos 2 x + 1 = 2 cos x

Utilizamos RT de ángulos complementarios

2( 2 cos 2 x − 1) + 1 = 2 cos x

E = csc 10
+ 8sen 210
1 E= + 8sen 2 10
sen10
1 + 8sen3 10
1 + 2( 4sen 310
) E= = sen10
sen10

1 + 2( 3sen10 − sen30
) E= sen10
1 + 6sen10
− 1 E= sen10
6sen10
∴E = =6 sen10


4 cos x − 1 =2 cos x 4 cos x − sec x = 2 2

13. tan x 2 cos 2 x − 1 = tan 3 x 2 cos 2 x + 1 tan x 1 = ( − 2 )( )+1 tan 3 x 2 cos 2 x + 1 tan x senx = ( − 2 )( )+1 tan 3 x senx ( 2 cos 2 x + 1) tan x senx = − 2( ) + 1 ....( i ) tan 3 x sen 3 x

De :

Ana log amente : tan y seny = −2( ) + 1...( ii ) tan 3y sen3y tan z senz = −2( ) + 1....( iii ) tan 3z sen3z De( i,ii,y iii ) tan x tan y tan z senx seny senz + + = −2( + + )+3 tan 3 x tan 3 y tan 3z sen 3x sen3 y sen 3z tan x tan y tan z + + = −2( 2 ) + 3 = −1 tan 3 x tan 3 y tan 3z

16 may. 11

Página 9