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• Johan Delgado

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Aplicaciones de Integrales dobles en la Ingeniería civil

Introducción

En el presente trabajo se vasta las definiciones que son necesarias para comprender las integrales, con distintas aplicaciones en nuestro ámbito de la ingeniería civil. Se conoce que el uso y aplicación de cálculo multivariable es muy común, ya que abarca cálculo de áreas, resistencias y fuerzas distribuidas. Pretenderé establecer la noción de integral de una función de solo una sola variable era de cálculo de áreas de regiones planas. Como tenemos conocimiento, para nuestra carrera es de demasiada importante tener el claro la aplicación de cálculo diferencias e integral y el cálculo multivariable, como integrar al momento de hallar ciertos valores numéricos requeridos para el cálculo estructural de una construcción y estructura definida. Esto deriva en la importancia del conocimiento teórico de las integrales dobles en la rama de la ingeniería civil. Ampliar la compresión en la aplicación y destrezas en el uso de integrales dobles aplicadas a la rama de la ingeniería civil.

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Integrales dobles A continuación, vamos a trabajar con integrales definidas, para funciones de dos variables sobre regiones planas, llamadas integrales dobles. Realizaremos el cálculo de estas integrales sobre estas integrales sobre una región dada en el plano y el resultado será numérico. Integral de Riemann, es la integral definida para funciones de varias variables, significa el área bajo la curva y=f (x) en un intervalo [a, b]. Se expresa de la siguiente manera: b

n

∫ f ( x ) dx=lim ∑ f (Xi ) n→∞ a

i=1

Nota: Para funciones de dos variables la región de integración sería un triángulo R2, es decir [a, b] x [c, d].

Figura 1. Región de integración para funciones de dos variables

2

Al hacer reparticiones a la región mostrada anterior mostrada se representa de la siguiente Manera

Figura 2. Región de integración para funciones de dos variables Una función de dos variables se establece de la siguiente manera z = f (x, y), lo que

-

se exprese en la siguiente figura.

Figura 3. Función de dos variables Donde: 

El punto (xi, yj) representa cualquier punto de ij



El volumen de ij, quedaría dado por

∆ vij=f ( Xi ,Yj ) ∆ Xi ∆Yj 3



El objetivo es obtener el volumen bajo la superficie, para ello debemos realizar una suma de volúmenes para paralelepípedos, es decir:

n

V = lim ∑ f (xi) ∆ xi n→ ∞ i =1 m

V = lim ∑ f ( yj) ∆ yj m →∞ i=1



Expresado en la región plana

r =[ a , b ] x [ c , d ] ={ 

(x , y ) } a≤ x≤b y c≤ y≤d

En resumen, se lo puede formular d b

∫∫ f ( x , y ) dxdy c

a

Nota: Para calcular el área de la región R obtendríamos la siguiente expresión: A=∫ rDA Integrales dobles sobre regiones planas: Tenemos la siguiente región:

Figura 4. Integrales dobles

Cuya área esta denotada por 4

dA=dxdy=dydx

Integral doble sobre una región plana

∫∫ f ( x , y ) dA Esta integral mostrada se la puede resolver mediante dos formas: 1. Barrido vertical

x=b

[

y= f ( x)

∫ ∫

x=a

y=g (x)

]

f ( x , y ) dy dx

Figura 5. Integrales dobles, Barrido vertical

2. Barrido horizontal

x=d

[

y=f (x)

∫ ∫

x=c

y= g(x)

]

f ( x , y ) dx dy

Propiedades Figura 6. Integrales dobles, Barrido horizontal Sean las funciones las funciones f y g funciones de dos variables continuas en la región r, se cumple que:

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❑

❑

∬ kdA=k ∫ dA ; ∀ k ∈ r r

r

❑

❑

❑

∬ ( f ± g ) dA=∬ fdA ±∫ gdA r

r

❑

❑

r

❑

∬ dA=∬ dA+∫ dA r1

r2

r3

Donde: r= r1∪ r2

Integrales dobles en coordenadas cilíndricas Las integrales dobles en coordenadas cilíndricas surgen para la solución de ejercicios donde el método de resolución integral doble es compleja. Así tenemos lo siguiente:

Figura 7. Integrales dobles, coordenadas cilíndricas

Donde podemos deducir: X=r∗cos θ Y=r∗sen θ La integral doble se puede expresar de la siguiente forma

❑

∬ f ( x , y ) dA R

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❑

∬ f ( r∗cos θ , r∗sen θ ) dA R

Figura 8. Coordenadas cilíndricas, región de integración

Donde: dA= dsdr ds=rdθ dA= rdrdθ

Para finalmente obtener la integral doble en coordenadas cilíndricas: ❑

∬ f ( r , θ ) rdrd θ R

Aplicaciones de Integrales Las integrales dobles tienen múltiples, aplicaciones en física y geometría. A continuación, damos una relación de alguna de ellas.

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El área de una región plana R en el plano xy viene dada por una integral doble. ❑

area ( R )=∫ dxdy R

El volumen V encerrado entre una superficie z = f (x, y) > (0) y una región R en el plano xy es: ❑

V =∬ f ( x , y ) dxdy R

Sea f (x, y) la función de densidad = (masa por unidad de área) de una distribución de masa en el plano xy. Entonces la masa total de un trozo de plano R es: ❑

M =∬ f ( x , y ) dxdy R

En el centro de gravedad de la masa del trozo del plano R anterior tiene coordenadas x, y donde: ❑

X=

1 ∬ xf ( x , y ) dxdy M R

Los momentos de inercia Ix e Iy de la masa de R con respecto a los ejes x e y respectivamente son: ❑

❑

R

R

Ix=∬ y 2 f ( x , y ) dxdy ; Iy=∬ x 2 f ( x , y ) dxdy Integrales dobles

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Ahora que ya conocemos una pequeña noción de lo que se trata integral, podemos entender lo que se trata las integrales dobles. Que está definida por funciones de más de un variable ya esta sea f (x, y) o también f (x, y, z)

Figura 10. Integral doble

En esta ocasión vamos a hablar de las integrantes dobles; como en si el mismo nombre no lo dice, las integrantes dobles, son integrales que van a tener en una función dos variables f (x, y), que es el área bajo la curva y = f (x) en un intervalo ya dado como por ejemplo (a, b) en las integrantes dobles vamos a buscar el área.

Uso de Integrales dobles en la ingeniería civil El uso de las integrales dobles en nuestro campo, es muy común y sobre todo muy importante ya que gracias a las integrales podemos obtener varias respuestas como: -

Encontrar áreas de superficies planas

-

El volumen de varios cuerpos dobles 9

-

El centro de gravedad de las masas

-

El momento de inercia, entre otros

Conclusiones En la ingeniería el uso del cálculo integral y diferencial facilita la comprensión de fenómenos que necesitan una determinación numérica, ya sea para el cálculo de áreas, velocidades, resistencia.

Entre las aplicaciones de las integrales dobles, se tienen las aplicaciones geométricas y las físicas. En el primer grupo se encuentran: el cálculo del área de una figura plana y el cálculo de volúmenes de sólidos en el espacio; entre las aplicaciones físicas están el cálculo de: masa, momentos estáticos de figuras planas, centros de masa y momentos de inercia para una región bidimensional.

Se pueden realizar aplicaciones físicas como el cálculo de masa, momentos estáticos de figuras planas, centros de masa y momentos de inercia para una región bidimensional, como también para cuerpos que estén ubicados en el espacio. El cálculo de integrales múltiples, especialmente de las integrales dobles y triples nos facilita la comprensión de fuerzas distribuidas como en el análisis estructural de edificaciones. Bibliografía 

https://es.scribd.com/document/407092776/Calculo-Integral-Villena



https://normas.co/partes-de-un-ensayo/

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