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• Ameud Beltran Esteban

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Análisis Matemático II Tema: •Integración de funciones trigonométricas

Ing. Ms. David Uscamayta Verástegui

Propósitos:  Aplica las reglas de integración adecuadamente para funciones trigonométricas.

 Resuelve ejercicios de cálculo integral que contiene funciones trigonométricas.

Integración de funciones trigonométricas: fórmulas Fórmulas trigonométricas fundamentales Fórmula fundamental de la sen2px + cos2px = 1 1 trigonometría. sen 2px = 2 sen px . cos px cos 2px = cos2px – sen2px 1 + cos 2px 2 1 – cos 2px sen2px = 2 1 1 sen a . cos b = sen (a + b) + sen (a – b) 2 2 1 1 cos a . cos b = cos (a + b) + cos (a – b) 2 2 1 1 sen a . sen b = – cos (a + b) + cos (a – b) 2 2 sen (– px) = – sen px cos (– px) = cos px 1 + tg2 px = sec2 px; 1 + ctg2 px = csc2 px cos2px =

2

Seno y coseno del ángulo doble.

3

Fórmulas de reducción de grado.

4

Fórmulas de conversión de productos de senos y cosenos en suma.

5

Seno y coseno del ángulo opuesto.

6

Integración de funciones trigonométricas: métodos Forma

Condiciones Método n par

(I)

n

sen px dx cosn px dx n impar m y n pares

(II) senn px . cosn px dx

Caso particular 

Reducir el grado del integrando por medio de las fórmulas de reducción de grado (3), según convenga. Sacar un factor (seno o coseno) de la potencia sustituyendo en el resto de la potencia la relación 1. Al desarrollar la potencia se obtienen integrales inmediatas tipo potencial. Reducir el grado del integrando aplicando las fórmulas 3.

De la potencia de exponente impar se saca un factor, sustituyendo en el resto de la potencia la m ó n impares relación 1. Al desarrollar la potencia se obtienen integrales inmediatas tipo potencial. Si m = n

Aplicar la relación (2a) para obtener: 1 senn px . cosn px dx = 2n senn 2px dx que es del tipo (I).

Integración de funciones trigonométricas: métodos

Forma (III) sen px.cos qx.dx sen px.sen qx.dx cos px.cos qx..dx

Condiciones Método p y q números Convertir los productos en sumas mediante la reales cualesrelaciones 4 según convenga. quiera

Integración de funciones trigonométricas: ejemplos

Tipo I. Exponente impar sen5 3x.dx =

(sen23x)2 sen 3x.dx = (1–cos23x)2 sen 3x.dx =

= sen3x.dx + cos43x sen 3x.dx –2 cos23x sen 3x.dx = 1 2 3 1 = – 3 cos 3x - 9 cos 3x + 15 cos5 3x+C Tipo I. Exponente par 4x

sen 3 dx = 1 =4

2x

sen 3

2

dx =

1 1.dx + 4

1 1 = x + 4 4

2x 1 – cos 3 2

2

dx =

1 4

1 + cos2

2x 2x – 2 cos dx = 3 3

2x 1 2x cos2 3 dx – 2 4 cos 3 dx =

4x 1 + cos 3 3 2x 3x 3 2x 3 4x dx – sen = – sen + sen + C 2 4 3 8 4 3 32 3

1. I

cos2 (2 3x)dx

2. I

dx sec4 ax

Integración de funciones trigonométricas: ejercicios

1. I

cos2 (2 3x)dx

2. I

dx sec4 ax

Integración de funciones trigonométricas: ejemplos

Tipo II. Al menos un exponente impar

cos4 5x.sen3 5xdx = cos4 5x . sen25x .sen 5x . dx = cos4 5x . (1 – cos25x).sen 5x.dx =

= cos45x.sen 5x.dx – cos65x.sen 5x.dx = –1 1 5 = cos 5x + cos7 5x + C 25 35

Integración de funciones trigonométricas: ejemplos

Tipo II. Todos los exponentes pares ( 1 – cos 6x) ( 1 – cos2 6x) ( 1 – cos 6x) ( 1 – cos 6x) ( 1 + cos 6x) 1 – cos 6x 2 1 + cos 6x sen 3x .cos 3x.dx = (sen 3x) .cos 3x.dx = dx = 2 2 1 = (1 – cos 6x)(1 – cos26x) dx = 8 1 1 sen2 6x 2 2 = sen 6x dx – sen 6x .cos 6x.dx = 8 8 1 1 – cos 12x 1 sen36x = dx – = 8 2 48 3 x 1 1 3 = – sen 6x – sen 12x + C 16 144 192 4

2

2

2

2

1. I

cos2 (2 3x)dx

2. I

dx sec4 ax

Integración de funciones trigonométricas: ejercicios

1. I

sen 2 3 x. cos2 3 x dx 2 3

2. I

sen 3 x. cos5 3x dx

3. I

( sen 2 x cos 2 x) 2 dx

Integración de funciones trigonométricas: ejemplos

Tipo III: Producto de funciones con distinto argumento Para resolverlas hay que utilizar las fórmulas de trasformación de sumas en productos

sen 3x.cos 5x.dx = 1 sen 8x .dx + 1 sen( – 2x) .dx = 2 2

1 1 1 1 = – cos 8x + cos( – 2x) + C == – cos 8x + cos 2x + C 16 4 16 4

1. I

cos2 (2 3x)dx

2. I

dx sec4 ax

Integración de funciones trigonométricas: ejercicios

1. I

sen(2 x 3).cos(2 x 3) dx

PROBLEMAS

1. I

x x 3 ( sen ( ) cos ( )) dx 3 3

2. I

sen x. sen 2 x. sen 3x dx

3. I

x tan ( ) dx 3

4. I

sec4 (3x 2) dx

5. I

cos x dx 1 cos x

3