• Author / Uploaded
• patoyoko

Citation preview

CAPITULO 3 INTEGRACION DE FUNCIONES TRIGONOMETRICAS En esta parte, serán consideradas las integrales trigonométricas de la forma: i) ∫ s e n m u cos n udu

ii) ∫ τ g mu secn udu

iii) ∫ co τ g mu cos ec nudu O bien, formas trigonométricas reducibles a algunos de los casos ya señalados.

EJERCICIOS DESARROLLADOS 3.1.-Encontrar: ∫ cos 2 xdx

1 + cos 2 x 2 1 + cos 2 x 1 1 x 1 Luego: ∫ cos 2 xdx = ∫ dx = ∫ dx + ∫ cos 2 xdx = + s e n 2 x + c , 2 2 2 2 4 1 Como: ∫ cosh xdx = s e nh x + c h 1 1 Respuesta: ∫ cos 2 xdx = x + s e n 2 x + c 2 4 4 1 3.2.-Encontrar: ∫ cos 2 xdx w

w w

.M

at

em

at ic

a1

.c o

m

Solución.- cos 2 xdx =

Solución.- cos 2 12 x =

1 + cos x 2

1 ⎛ 1 + cos x ⎞ 2 Luego: ∫ cos 4 12 xdx = ∫ (cos 2 12 x) 2 dx = ∫ ⎜ ⎟ dx = ∫ (1 + 2 cos x + cos x)dx 2 4 ⎝ ⎠ 1 1 1 = ∫ dx + ∫ cos xdx + ∫ cos 2 xdx , como: ∫ cos 2 xdx = 1 x + 1 s e n 2 x + c 2 4 4 2 4 1 1 1 1 1 1 1 1 = ∫ dx + ∫ cos xdx + ∫ cos 2 xdx = x + s e n x + ( x + s e n 2 x) + c 4 2 4 4 2 4 2 4 1 1 1 1 3 1 1 = x + s e n x + x + s e n 2x + c = x + s e n x + s e n 2x + c 4 2 8 16 8 2 16 3 1 1 4 1 Respuesta: ∫ cos 2 xdx = x + s e n x + s e n 2 x + c 8 2 16 3 3.3.-Encontrar: ∫ cos xdx 2

Solución.- ∫ cos3 xdx = ∫ cos x cos 2 xdx , como: cos 2 x = 1 − s e n 2 x

59

= ∫ cos x cos 2 xdx = ∫ cos x(1 − s e n 2 x)dx = ∫ cos xdx − ∫ cos x s e n 2 xdx

Sea: u = s e n x, du = cos xdx

= ∫ cos xdx − ∫ cos x s e n 2 xdx = ∫ cos xdx − ∫ u 2 du = s e n x −

Respuesta: ∫ cos3 xdx = s e n x −

u3 s e n3 x + c = sen x − +c 3 3

s e n3 x +c 3

3.4.-Encontrar: ∫ s e n x3 4 xdx Solución.- ∫ s e n x3 4 xdx = ∫ s e n 4 x s e n 2 4 xdx , como: s e n 2 4 x = 1 − cos 2 4 x

= ∫ s e n 4 x s e n 2 4 xdx = ∫ s e n 4 x(1 − cos 2 4 x)dx = ∫ s e n 4 xdx − ∫ s e n 4 x(cos 4 x) 2 dx

Sea: u = cos 4 x, du = −4s e n 4 xdx

1 2 1 1 u3 cos 4 x cos3 4 x = − + + = − + +c u du cos 4 x c 4∫ 4 4 3 4 12 cos 4 x cos3 4 x Respuesta: ∫ s e n x3 4 xdx = − + +c 4 12 3.5.-Encontrar: ∫ s e n 2 x cos3 xdx = ∫ s e n 4 xdx +

Solución.- ∫ s e n 2 x cos3 xdx = ∫ s e n 2 x cos 2 x cos xdx = ∫ s e n 2 x(1 − s e n 2 x) cos xdx = ∫ s e n 2 x cos xdx − ∫ s e n 4 x cos xdx ;

1.

co

m

Sea: u = s e n x, du = cos xdx

u3 u5 s e n3 x s e n5 x − +c = − +c 3 5 3 5 s e n3 x s e n5 x − +c Respuesta: ∫ s e n 2 x cos3 xdx = 3 5 3.6.-Encontrar: ∫ s e n 3 x cos 2 xdx w w

w

.M

at

em

at

ic a

= ∫ u 2 du − ∫ u 4 du =

Solución.- ∫ s e n 3 x cos 2 xdx = ∫ s e n 2 x s e n x cos 2 xdx = ∫ (1 − cos 2 x) s e n x cos 2 xdx = ∫ (1 − cos 2 x ) s e n x cos 2 xdx = ∫ s e n x cos 2 xdx − ∫ s e n x cos 4 xdx

Sea: u = cos x, du = − s e n xdx

= ∫ s e n x cos 2 xdx − ∫ s e n x cos 4 xdx = − ∫ u 2 du + ∫ u 4 du = − =−

u3 u5 + +c 3 5

cos3 x cos5 x + +c 3 5

Respuesta: ∫ s e n 3 x cos 2 xdx = −

cos3 x cos5 x + +c 3 5

3.7.-Encontrar: ∫ s e n 2 x cos5 xdx

Solución.- ∫ s e n 2 x cos5 xdx = ∫ s e n 2 x(cos 2 x) 2 cos xdx = ∫ s e n 2 x(1 − s e n 2 x) 2 cos xdx = ∫ s e n 2 x(1 − 2s e n 2 x + s e n 4 x) cos xdx

60

= ∫ (s e n x) 2 cos xdx − 2∫ (s e n x) 4 cos xdx + ∫ (s e n x)6 cos xdx

Sea: u = s e n x, du = cos xdx

u3 u5 u7 s e n3 x s e n5 x s e n7 x −2 + +c = −2 + +c 3 5 7 3 5 7 s e n3 x s e n5 x s e n7 x −2 + +c Respuesta: ∫ s e n 2 x cos5 xdx = 3 5 7 3.8.-Encontrar: ∫ s e n 3 x cos3 xdx = ∫ u 2 du − 2∫ u 4 du + ∫ u 6 du =

Solución.- ∫ s e n 3 x cos3 xdx = ∫ (s e n x cos x)3 dx ; como: s e n 2 x = 2s e n x cos x, Se tiene que: s e n x cos x =

s e n 2x ; Luego: 2 3

1 1 ⎛ s e n 2x ⎞ 3 2 = ∫ (s e n x cos x) dx = ∫ ⎜ ⎟ dx = ∫ s e n 2 xdx = ∫ s e n 2 x s e n 2 xdx 8 8 ⎝ 2 ⎠ 1 1 1 = ∫ s e n 2 x(1 − cos 2 2 x)dx = ∫ s e n 2 xdx − ∫ s e n 2 x(cos 2 x) 2 dx 8 8 8 Sea: u = cos 2 x, du = −2s e n 2 xdx 1 1 1 1 = ∫ s e n 2 xdx + ∫ −2s e n 2 x(cos 2 x) 2 dx = ∫ s e n 2 xdx + ∫ u 2 du 8 16 8 16 3 3 1 1 u 1 cos 2 x = − cos 2 x + + c = − cos 2 x + +c 16 16 3 16 48 1 cos3 2 x +c Respuesta: ∫ s e n 3 x cos3 xdx = − cos 2 x + 16 48 3.9.-Encontrar: ∫ s e n 4 x cos 4 xdx w w

w

.M

at

em

at

ic a

1.

co

m

3

4

1 ⎛ s e n 2x ⎞ 4 Solución.- ∫ s e n 4 x cos 4 xdx = ∫ (s e n x cos x) 4 dx = ∫ ⎜ ⎟ dx = ∫ s e n 2 xdx 16 ⎝ 2 ⎠ 2 2 1 1 ⎛ 1 − cos 4 x ⎞ 1 (s e n 2 2 x) dx = ∫ ⎜ (1 − cos 4 x) dx ⎟ dx = ∫ ∫ 16 16 ⎝ 2 16 × 4 ⎠ 1 1 1 1 = dx − ∫ cos 4 xdx + ∫ cos 2 4 xdx (1 − 2 cos 4 x + cos 2 4 x)dx = ∫ ∫ 64 64 32 64 1 1 1 1 + cos8 x = dx − ∫ cos 4 xdx + ∫ dx 64 ∫ 32 64 2 1 1 1 1 = dx − ∫ cos 4 xdx + dx + cos8 xdx ∫ ∫ 64 32 128 128 ∫ 1 1 1 1 3x s e n 4 x s e n 8 x = x− x+ − + +c s e n 4x + s e n 8x + c = 64 128 128 1024 128 128 1024 1 ⎛ s e n 8x ⎞ Respuesta: ∫ s e n 4 x cos 4 xdx = ⎜ 3x − s e n 4 x + ⎟+c 128 ⎝ 8 ⎠ 3.10.-Encontrar: ∫ x(cos3 x 2 − s e n 3 x 2 )dx ; Sea: u = x 2 , du = 2 xdx 2

=

61

1 1 2 x(cos3 x 2 − s e n 3 x 2 )dx = ∫ (cos3 u − s e n 3 u )du ∫ 2 2 1 1 1 1 = ∫ cos3 udu − ∫ s e n 3 udu = ∫ cos u cos 2 udu − ∫ s e n u s e n 2 udu 2 2 2 2 1 1 = ∫ cos u (1 − s e n 2 u )du − ∫ s e n u (1 − cos 2 u )du 2 2 1 1 1 1 = ∫ cos udu − ∫ cos u s e n 2 udu − ∫ s e n udu + ∫ s e n u cos 2 udu 2 2 2 2 Sea: w = s e n u, dw = cos udu; z = cos u, dz = − s e n udu

∫ x(cos

3

x 2 − s e n 3 x 2 )dx =

1 1 1 1 2 1 1 w3 1 1 z3 2 − − − = − + − +c cos udu w dw s e n udu z dz s e n u cos u 2∫ 2∫ 2∫ 2∫ 2 2 3 2 2 3 s e n u s e n 3 u cos u cos3 u 1 1 = − + − + c = (s e n u + cos u ) − (s e n 3 u + cos3 u ) + c 2 6 2 6 2 6 3 3 2 Dado que: s e n u + cos u = (s e n u + cos u )(s e n u − s e n u cos u + cos 2 ) =

w w

w

.M

at

em

at

ic a

1.

co

m

O bien: s e n 3 u + cos3 u = (s e n u + cos u )(1 − s e n u cos u ) ; Lo que equivale a: 1 1 = (s e n u + cos u ) − (s e n u + cos u )(1 − s e n u cos u ) + c 2 6 1 1 2s e n u cos u )+c = (s e n u + cos u ) − (s e n u + cos u )(1 − 2 6 2 1 1 s e n 2u )+c = (s e n u + cos u ) − (s e n u + cos u )(1 − 2 6 2 1 1 1 = (s e n u + cos u ) − (s e n u + cos u ) (2 − s e n 2u ) + c 2 6 2 1 1 = (s e n u + cos u )(6 − (2 − s e n 2u )) + c = (s e n u + cos u )(4 + s e n 2u ) + c 12 12 1 = (s e n x 2 + cos x 2 )(4 + s e n 2 x 2 ) + c 12 1 Respuesta: ∫ x(cos3 x 2 − s e n 3 x 2 )dx = (s e n x 2 + cos x 2 )(4 + s e n 2 x 2 ) + c 12 3.11.-Encontrar: ∫ s e n 2 x cos 4 xdx

1 [s e n(α − β ) + s e n(α + β )] ; Se tiene que: 2 1 1 s e n 2 x cos 4 x = [s e n(2 x − 4 x) + s e n(2 x + 4 x) ] = [s e n(−2 x) + s e n(6 x) ] 2 2 1 1 = [ − s e n 2 x + s e n 6 x ] , Luego: ∫ s e n 2 x cos 4 xdx = ∫ (− s e n 2 x + s e n 6 x)dx 2 2 1 1 1 1 = − ∫ s e n 2 xdx + ∫ s e n 6 xdx = cos 2 x − cos 6 x + c 2 2 4 12 1 1 Respuesta: ∫ s e n 2 x cos 4 xdx = cos 2 x − cos 6 x + c 4 12 Solución.- s e n α cos β =

62

3.12.-Encontrar: ∫ cos 3x cos 2 xdx 1 [cos(α − β ) + cos(α + β )] ; Se tiene que: 2 1 1 cos 3x cos 2 x = [ cos(3x − 2 x) + cos(3 x + 2 x) ] = [ cos x + cos 5 x ] , Luego: 2 2 1 1 1 = ∫ cos 3 x cos 2 xdx = ∫ [ cos x + cos 5 x ]dx = ∫ cos xdx + ∫ cos 5 xdx 2 2 2 1 1 = s e n x + s e n 5x + c 2 10 1 1 Respuesta: ∫ cos 3 x cos 2 xdx = s e n x + s e n 5 x + c 2 10 3.13.-Encontrar: ∫ s e n 5 x s e n xdx

Solución.- cos α cos β =

1 [ cos(α − β ) − cos(α + β )] ; Se tiene que: 2 1 1 s e n 5 x s e n x = [ cos(5 x − x) − cos(5 x + x) ] = [ cos 4 x − cos 6 x ] ; Luego: 2 2 1 1 1 = ∫ s e n 5 x s e n xdx = ∫ [ cos 4 x − cos 6 x ] = ∫ cos 4 xdx − ∫ cos 6 xdx 2 2 2 1 1 = s e n 4x − s e n 6x + c 8 12 1 1 Respuesta: ∫ s e n 5 x s e n xdx = s e n 4 x − s e n 6 x + c 8 12 4 3.14.-Encontrar: ∫ τ g xdx w w

w

.M

at

em

at

ic a

1.

co

m

Solución.- s e n α s e n β =

Solución.- ∫ τ g 4 xdx = ∫ τ g 2 xτ g 2 xdx ; como: τ g 2 = sec 2 x − 1 ; Luego: = ∫ τ g 2 xτ g 2 xdx = ∫ τ g 2 x(sec 2 x − 1)dx = ∫ τ g 2 x sec2 xdx − ∫ τ g 2 xdx

s e n2 x 1 − cos 2 x 2 2 dx τ gx xdx ( ) sec = − ∫ ∫ cos2 x dx cos 2 x Sea: w = τ gx, dw = sec 2 xdx = ∫ (τ gx) 2 sec 2 xdx − ∫ sec 2 xdx + ∫ dx ; = ∫ (τ gx) 2 sec 2 xdx − ∫

w3 τ g3 − τ gx + x + c = − τ gx + x + c 3 3 τ g3 − τ gx + x + c Respuesta: ∫ τ g 4 xdx = 3 3.15.-Encontrar: ∫ sec6 xdx = ∫ w2 dw − ∫ sec 2 x + ∫ dx =

Solución.- ∫ sec6 xdx = ∫ (sec2 x) 2 sec2 xdx ; como: sec 2 xdx = 1 + τ g 2 x 2

= ∫ (sec 2 x) 2 sec 2 xdx = ∫ (1 + τ g 2 x) sec 2 xdx = ∫ (1 + 2τ g 2 x + τ g 4 x) sec 2 xdx

= ∫ sec 2 xdx + 2 ∫ (τ gx) 2 sec 2 xdx + ∫ (τ gx) 4 sec 2 xdx ;

Sea: u = τ gx, du = sec2 xdx

63

2 1 2 1 = ∫ sec 2 xdx + 2 ∫ u 2 du + ∫ u 4 du = τ gx + u 3 + u 5 + c = τ gx + τ g 3 x + τ g 5 x + c 3 5 3 5 2 1 Respuesta: ∫ sec6 xdx = τ gx + τ g 3 x + τ g 5 x + c 3 5 3 3.16.-Encontrar: ∫ τ g 2 xdx Solución.3 2 2 2 ∫ τ g 2 xdx = ∫ τ g 2 xτ g 2 xdx = ∫ τ g 2 x(sec 2 x − 1)dx = ∫ τ g 2 x sec 2 xdx − ∫ τ g 2 xdx

Sea: u = τ g 2 x, du = 2sec 2 2 xdx ; =

Luego:

1 1u 1 τ g 2 2x 1 1 − = − + = − η +c udu τ g 2 xdx η sec 2 x c ∫ ∫ 2 2 2 2 4 2 cos 2 x 2

Respuesta: ∫ τ g 3 2 xdx =

τ g 2 2x 1 4

−

2

η

1 +c cos 2 x

3.17.-Encontrar: ∫ τ g 5 xdx 2

co

m

1 Solución.- ∫ τ g 2 5 xdx = ∫ (sec 2 5 x − 1)dx = ∫ sec 2 5 xdx − ∫ dx = τ g 5 x − x + c 5 1 Respuesta: ∫ τ g 2 5 xdx = τ g 5 x − x + c 5 3 3.18.-Encontrar: ∫ τ g 3x sec 3xdx ic a

1.

Solución.- ∫ τ g 3 3x sec 3xdx = ∫ τ g 2 3xτ g 3 x sec3 xdx = ∫ ( sec2 3x − 1)τ g 3x sec 3xdx at

em

at

= ∫ (sec 3 x) 2τ g 3 x sec 3 xdx − ∫ τ g 3 x sec 3 xdx ; Sea: u = sec 3x, du = 3sec 3 xτ g 3 xdx .M

1 2 1 u du − ∫ 3τ g 3 x sec 3 xdx ; como: d (sec 3x) = 3τ g 3x sec 3xdx , se admite: ∫ 3 3 1 2 1 1 1 1 1 u du − ∫ d (sec3 x) = u 3 − sec3 x + c = sec3 3 x − sec3 x + c ∫ 3 3 9 3 9 3 1 1 Respuesta: ∫ τ g 3 3x sec 3xdx = sec3 3x − sec 3 x + c 9 3 3 4 2 3.19.-Encontrar: ∫ τ g x sec xdx w w

w

Luego:

Solución.- ∫ τ g 2 x sec4 xdx = ∫ τ g 2 x(sec2 x) sec 2 xdx = ∫ τ g 2 x(1 + τ g 2 x) sec2 xdx 3

3

= ∫ (τ gx) 2 sec 2 xdx + ∫ (τ gx) 2 sec 2 xdx ; 3

7

3

Sea: u = τ gx, du = sec 2 xdx

3 7 2 5 2 9 2 5 2 9 Luego: ∫ u 2 du + ∫ u 2 du = u 2 + u 2 + c = τ g 2 x + τ g 2 + c 5 9 5 9 3 2 5 2 9 Respuesta: ∫ τ g 2 x sec4 xdx = τ g 2 x + τ g 2 + c 5 9 4 4 3.20.-Encontrar: ∫ τ g x sec xdx

Solución.- ∫ τ g 4 x(sec 2 x) sec 2 xdx = ∫ τ g 4 x(1 + τ g 2 x ) sec 2 xdx

= ∫ (τ gx) 4 sec2 xdx + ∫ (τ gx)6 sec 2 xdx ;

Sea: u = τ gx, du = sec 2 xdx

64

u5 u7 τ g5x τ g7 x + +c = + +c 5 7 5 7 τ g5x τ g7x + +c Respuesta: ∫ τ g 4 x sec 4 xdx = 5 7 3.21.-Encontrar: ∫ co τ g 3 x co sec 4 xdx

Luego: ∫ u 4 du + ∫ u 6 du =

Solución.- ∫ co τ g 3 x co sec 4 xdx = ∫ co τ g 3 x(co sec 2 x) co sec2 xdx

Como: cos ec 2 x = 1 + co τ g 2 x ; Luego:

∫ coτ g

3

x(1 + co τ g 2 x) co sec 2 xdx = ∫ co τ g 3 x co sec 2 xdx + ∫ coτ g 5 x co sec 2 xdx

Sea: u = coτ gx, du = − cos ec 2 xdx , u4 u6 coτ g 4 x coτ g 6 x − +c Luego: − ∫ u du − ∫ u du = − − + c = − 4 6 4 6 co τ g 4 x coτ g 6 x − +c Respuesta: ∫ coτ g 3 x co sec 4 xdx = − 4 6 3.22.-Encontrar: ∫ co τ g 3x co sec 4 3xdx 3

5

Solución.- ∫ co τ g 3x co sec 4 3 xdx = ∫ coτ g 3x(co sec 2 3 x) co sec 2 3 xdx

∫ coτ g 3x(1 + coτ g

2

3x) co sec 2 3xdx = ∫ co τ g 3x co sec 2 3xdx + ∫ coτ g 3 3 x co sec 2 3 xdx

Sea: u = coτ g 3 x, du = −3cos ec 2 3 xdx ;

co

m

Luego: ic a

2

w w

w

.M

at

em

at

−

4

1.

1 1 3 u u co τ g 3x co τ g 4 3x − = − − + = − − +c udu u du c 3∫ 3∫ 6 12 6 12 coτ g 2 3x co τ g 4 3 x − +c Respuesta: ∫ co τ g 3x co sec 4 3xdx = − 6 12 3.23.-Encontrar: ∫ co sec 4 2 xdx 2

Solución.- ∫ co sec 2 2 x co sec 2 2 xdx = ∫ (1 + coτ g 2 2 x) co sec 2 2 xdx

∫ co sec

2

2 xdx + ∫ co τ g 2 2 x co sec 2 2 xdx ;

Sea: u = coτ g 2 x, du = − cos ec 2 2 xdx

1 2 1 u3 coτ g 2 x coτ g 3 2 x u du = − g x − + c = − − +c co τ 2 2∫ 2 3 2 6 coτ g 2 x coτ g 3 2 x − +c Respuesta: ∫ co sec 4 2xdx = − 2 6 3.24.-Encontrar: ∫ co τ g 3 x co sec3 xdx

Luego: ∫ co sec 2 2 xdx −

Solución.- ∫ co τ g 3 x co sec3 xdx = ∫ coτ g 2 x co sec2 x co τ gx co sec xdx

Como: co τ g 2 x = co sec 2 x − 1 ;

Luego: ∫ (co sec 2 x − 1) co sec 2 x co τ gx co sec xdx

= ∫ (co sec4 x co τ gx co sec xdx − ∫ co sec2 x co τ gx co sec xdx

Sea: u = cos ecx, du = − cos ecx coτ gxdx ;

65

u5 u3 cos ec5 x cos ec3 x + +c = − + +c 5 3 5 3 cos ec5 x cos ec3 x + +c Respuesta: ∫ coτ g 3 x co sec3 xdx = − 5 3 3.25.-Encontrar: ∫ co τ g 3 xdx

Entonces: − ∫ u 4 du + ∫ u 2 du = −

Solución.- ∫ coτ g 3 xdx = ∫ coτ g 2 x co τ gxdx = ∫ (cos ec 2 x − 1) coτ gxdx = ∫ cos ec 2 x coτ gxdx − ∫ coτ gxdx ;

Sea: u = coτ gx, du = − cos ec 2 xdx

u2 co τ g 2 x − η sen x + c = − − η sen x + c 2 2 co τ g 2 x − η sen x + c Respuesta: ∫ coτ g 3 xdx = − 2

Luego: − ∫ udu − ∫ coτ gxdx = −

EJERCICIOS PROPUESTOS

4

⎛ sec x ⎞ 3.41.- ∫ ⎜ ⎟ dx ⎝ τ gx ⎠ 3.44.- ∫ (τ g 3 3x + τ g 4 3x )dx

w w

.M

3.39.- ∫ cos 4 x cos 5 xdx w

3.38.- ∫ s e n 8 x s e n 3 xdx

at

em

at ic

a1

.c o

m

Usando esencialmente el mecanismo tratado, encontrar las siguientes integrales: dx 3.26.- ∫ τ g 2 5 xdx 3.27.- ∫ s e n x cos xdx 3.28.- ∫ sec 2 x 3 cos 2 x 3.31.- ∫ τ g 2 3x sec 2 3x dx 3.30.- ∫ cos x s e n xdx 3.29.- ∫ dx cos x s e n 2x 3.33.- ∫ s e n 2 6x dx 3.32.- ∫ τ g 3 4 x sec 4 xdx 3.34.- ∫ dx sen x 3.36.- ∫ sec3 4x τ g 4x dx 3.37.- ∫ τ g 4 2 x sec 4 2 xdx 3.35.- ∫ (sec x + cos ecx) 2 dx 3.42.- ∫

cos3 x dx s e n4 x

3.40.- ∫ s e n 2 x cos 3xdx 3.43.- ∫ cos ec 4 3xdx

3.45.- ∫ coτ g 3 3x dx

3.46.- ∫ coτ g 4 6x dx 3.49.- ∫

3.52.- ∫ cos3 7x dx

3.53.- ∫ s e n 5 2x dx

cos 2 x dx s e n6 x cos3 x 3.51.- ∫ dx 1− s e n x 3.54.- ∫ 1 − cos xdx

3.56.- ∫ s e n 3 2x cos5 2x dx

3.57.- ∫ s e n 2 x cos 2 xdx

3.58.- ∫ s e n 4 x cos 2 xdx

3.59.- ∫

3.60.- ∫

cos3 x dx sen x 3.63.- ∫ cos 4 xdx

3.64.- ∫ τ g 4 x sec 2 xdx

dx 5 s e n x cos x dx 3.50.- ∫ cos 6 4 x

3.47.- ∫

1 − cos 2 x dx 1 + cos 2 x

3.62.- ∫ s e n 2 2 x cos 2 2 xdx

3.48.- ∫

3.55.- ∫

dx s e n x cos 4 x 2

dx cos ec 4

x 3

3.61.- ∫ s e n 3 2 xdx

66

3.65.- ∫ τ g 3 x sec xdx

3.68.- ∫ co τ g 2 2 x cos ec 2 2 xdx

3.66.- ∫ sec6 aθ dθ

3.67.- ∫ sec xdx

3.70.- ∫ sec 4 3xτ g 3xdx

3.74.- ∫ τ g n x sec 2 xdx;(n ≠ −1)

s e n3 x dx cos 2 x cos3 x dx 3.72.- ∫ s e n2 x 3.75.- ∫ s e n 6 xdx

3.80.- ∫ cos x n s e n xdx;(n ≠ −1)

3.81.- ∫ τ g n xdx

3.82.- ∫ τ g 4 xdx

3.71.- ∫ sec n xτ gxdx;(n ≠ 0)

3.77.- ∫ s e n n x cos xdx;(n ≠ −1) 3.83.- ∫ cos 2 n +1 xdx

3.69.- ∫

3.78.- ∫ coτ g n axdx

3.73.- ∫

dx s e n4 x

3.76.- ∫ s e n 4 axdx

3.79.- ∫ coτ g 4 3 xdx

RESPUESTAS

em

at ic

a1

.c o

m

1 3.26.- ∫ τ g 2 5 xdx = ∫ (sec 2 5 x − 1)dx = ∫ sec 2 5 xdx + ∫ dx = τ g 5 x − x + c 5 1 1 1 3.27.- ∫ s e n x cos xdx = ∫ 2s e n x cos xdx = ∫ s e n 2 xdx = − cos 2 x + c 2 2 4 dx 1 3.28.- ∫ = cos 2 xdx = s e n 2 x + c sec 2 x ∫ 2 2 cos 2 x cos x − s e n 2 x cos 2 x s e n2 x 3.29.- ∫ dx = ∫ dx = ∫ dx − ∫ dx cos x cos x cos x cos x

w

w w

.M

at

1 − cos 2 x dx dx = ∫ cos xdx − ∫ + cos xdx = 2∫ cos xdx − ∫ sec xdx cos x cos x ∫ = 2s e n x − η sec x + τ gx + c = ∫ cos xdx − ∫

3.30.- ∫ cos x s e n 3 xdx = ∫ cos x s e n 2 x s e n xdx = ∫ cos x (1 − cos 2 x) s e n xdx

= ∫ cos x s e n xdx − ∫ cos x cos 2 x s e n xdx = ∫ cos 2 x s e n xdx − ∫ cos 2 x s e n xdx 1

5

5 1 2 3 2 7 2 2 Sea: u = cos x, du = − s e n xdx ; Luego: − ∫ u du + ∫ u du = − u 2 + u 2 + c 3 7 2 3 2 7 2 2 cos3 x + cos 7 x + c = − cos 2 + cos 2 + c = − 3 7 3 7 2 2 = − cos x cos x + cos x 3 cos x + c 3 7 1 3.31.- ∫ τ g 2 3x sec2 3x dx = ∫ (τ g 3x ) 2 sec 2 3x dx ; Sea: u = τ g 3x , du = sec2 3x dx 3 2 x 2 3 3 x x 2 1 3∫ (τ g 3 ) 3 sec 3 dx = 3∫ u du = u + c = τ g 3 + c

3.32.- ∫ τ g 3 4 x sec 4 xdx = ∫ (τ g 2 4 x)τ g 4 x sec 4 xdx = ∫ (sec 2 4 x − 1)τ g 4 x sec 4 xdx

= ∫ sec 2 4 xτ g 4 x sec 4 xdx − ∫ τ g 4 x sec 4 xdx ; Sea: u = sec 4 x, du = 4sec 4 xτ g 4 xdx

67

1 2 1 1 u3 1 sec3 4 x sec 4 x − = − + = − +c u du du u c 4∫ 4∫ 4 3 4 12 4 1 − cos 2 6x 1 − cos 3x 1 1 3.33.- ∫ s e n 2 6x dx = ∫ dx = ∫ dx = ∫ dx − ∫ cos 3x dx 2 2 2 2 1 3 = x − s en 3x + c 2 2 s e n 2x 2 s e n x cos x dx = 2∫ cos xdx = 2s e n x + c dx = ∫ 3.34.- ∫ sen x sen x =

3.35.- ∫ (sec x + cos ecx) 2 dx = ∫ (sec 2 x + 2sec x cos ecx + cos ec 2 x)dx 1 1 dx + ∫ cos ec 2 xdx cos x s e n x dx dx = ∫ sec 2 xdx + 2 × 2 ∫ + ∫ cos ec 2 xdx = ∫ sec 2 xdx + 4∫ + cos ec 2 xdx 2 cos x s e n x s e n 2x ∫ = ∫ sec 2 xdx + 4∫ cos ec 2 xdx + ∫ cos ec 2 xdx = ∫ sec 2 xdx + 2 ∫ sec x cos ecxdx + ∫ cos ec 2 xdx = ∫ sec 2 xdx + 2 ∫

= τ gx + 4

2

η cos ec 2 x − co τ g 2 x − coτ gx + c

= τ gx + 2 η cos ec 2 x − co τ g 2 x − coτ gx + c

3.36.- ∫ sec3 4x τ g 4x dx = ∫ (sec 2 4x ) sec 4x τ g 4x dx 1.

co

m

Sea: u = sec 4x , du = 14 sec 4x τ g 4x dx ,

ic a

4sec3 4x u3 +c = +c 3 3 3.37.- ∫ τ g 4 2 x sec4 2 xdx = ∫ τ g 4 2 x(sec2 2 x) sec 2 2 xdx = ∫ τ g 4 2 x(1 + τ g 2 2 x) sec 2 2 xdx w

.M

at

em

at

Luego: 4 ∫ u 2 du = 4

w w

= ∫ (τ g 2 x) 4 sec 2 2 xdx + ∫ (τ g 2 x)6 sec 2 2 xdx

Sea: u = τ g 2 x, du = 2sec 2 2 xdx , Luego: 1 1 1 1 = ∫ (τ g 2 x) 4 2sec 2 2 xdx + ∫ (τ g 2 x )6 2sec 2 2 xdx = ∫ u 4 du + ∫ u 6 du 2 2 2 2 5 7 5 7 1u 1u τ g 2x τ g 2x = + +c = + +c 2 5 2 7 10 14 3.38.- ∫ s e n 8 x s e n 3 xdx Considerando: s e n α s e n β =

1 [cos(α − β ) − cos(α + β )] 2

1 (cos 5 x − cos11x) ; Se tiene: 2 1 1 1 s e n 5 x s e n11x = ∫ (cos 5 x − cos11x)dx = ∫ cos 5 xdx − ∫ cos11xdx = − +c 2 2 2 10 22 3.39.- ∫ cos 4 x cos 5 xdx

Luego: s e n 8 x s e n 3 x =

Considerando: cos α cos β =

1 [cos(α − β ) + cos(α + β )] 2 68

1 Luego: cos 4 x cos 5 x = (cos(− x) + cos 9 x) ; 2 1 Como: cos(− x) = cos x ⇒ (cos x + cos 9 x) ; entonces: 2 1 1 1 ∫ cos 4 x cos 5 xdx = 2 ∫ ( cos x + cos 9 x)dx = 2 ∫ cos xdx + 2 ∫ cos 9 xdx s e n x s e n 9x = + +c 2 18 3.40.- ∫ s e n 2 x cos 3 xdx Considerando: s e n α cos β =

1 [s e n(α − β ) + s e n(α + β )] 2

1 [s e n(− x) + s e n 5 x ] 2 1 Como: s e n(− x) = − s e n x ⇒ (− s e n x + s e n 5 x) ; entonces: 2 1 1 1 ∫ s e n 2 x cos 3xdx = 2 ∫ (− s e n x + s e n 5 x)dx = − 2 ∫ s e n xdx + 2 ∫ s e n 5 xdx 1 1 = cos x − cos 5 x + c 2 10

Luego: s e n 2 x cos 3x =

m

4

em

at

ic a

1.

co

4 ⎞ 4 ⎛ 1 ⎞ = = dx cos ec xdx = ∫ cos ec 2 x cos ec 2 xdx ⎟ ⎜ ⎟ ∫ ∫ sen x ⎟ ⎝ sen x ⎠ cos x ⎠ = ∫ (1 + coτ g 2 x) cos ec 2 xdx = ∫ cos ec 2 xdx + ∫ coτ g 2 x cos ec 2 xdx 1 cos x

w w w

Sea: u = coτ gx, du = − cos ec 2 xdx

.M

at

4 ⎛ ⎛ sec x ⎞ 3.41.- ∫ ⎜ ⎟ dx = ∫ ⎜⎜ ⎝ τ gx ⎠ ⎝

u3 coτ g 3 x +c Luego: ∫ cos ec xdx − ∫ u du = − coτ gx − + c = − co τ gx − 3 3 cos3 x cos3 x 1 = dx dx = ∫ coτ g 3 x cos ecxdx 3.42.- ∫ 4 3 ∫ sen x sen x sen x 2 = ∫ (co τ g x) coτ gx cos ecxdx = ∫ (cos ec 2 x − 1) coτ gx cos ecxdx = 2

2

= ∫ cos ec 2 x co τ gx cos ecxdx − ∫ co τ gx cos ecxdx

Sea: u = cos ecx, du = − cos ecx coτ gxdx

u3 cos ec 3 x +u+c =− + cos ecx + c 3 3 3.43.- ∫ cos ec 4 3xdx = ∫ (cos ec 2 3 x) cos ec 2 3 xdx = ∫ (1 + co τ g 2 3 x) cos ec 2 3 x) dx

Luego: − ∫ u 2 du + ∫ du = −

= ∫ cos ec 2 3xdx + ∫ co τ g 2 3 x cos ec 2 3 xdx

Sea: u = coτ g 3 x, du = −3cos ec 2 3 xdx Luego: ∫ cos ec 2 3 xdx −

1 2 1 1 3 co τ g 3 x coτ g 3 3x = − − + = − − +c u du co τ g 3 x u c 3∫ 3 9 3 9

69

3.44.- ∫ (τ g 3 3x + τ g 4 3x )dx = ∫ τ g 3 3x dx + ∫ τ g 4 3x dx = ∫ (τ g 2 3x )τ g 3x dx + ∫ (τ g 2 3x )τ g 2 3x dx = ∫ (sec 2 3x − 1)τ g 3x dx + ∫ (sec 2 3x − 1)τ g 2 3x dx

= ∫ sec 2 3x τ g 3x dx − ∫ τ g 3x dx + ∫ (sec 2 3x )τ g 2 3x dx − ∫ τ g 2 3x dx

= ∫ sec 2 3x τ g 3x dx − ∫ τ g 3x dx + ∫ (sec 2 3x )τ g 2 3x dx − ∫ (sec2 3x − 1)dx

= ∫ sec 2 3x τ g 3x dx − ∫ τ g 3x dx + ∫ (sec 2 3x )τ g 2 3x dx − ∫ sec 2 3x dx + ∫ dx

1 Sea: u = τ g 3x , du = sec 2 3x dx 3 Luego: 3∫ udu − ∫ τ g 3x dx + 3∫ u 2 du − ∫ sec 2 3x dx + ∫ dx 3 3 = u 2 − 3 η sec 3x + u 3 − 3τ g 3x + x + c = τ g 2 3x − 3 η sec 3x + τ g 3 3x − 3τ g 3x + x + c 2 2 3 x 2 x x 3.45.- ∫ co τ g 3 dx = ∫ (coτ g 3 ) coτ g 3 dx = ∫ (cos ec 2 3x − 1) coτ g 3x dx

ic a

1.

co

m

1 = ∫ cos ec 2 3x co τ g 3x dx − ∫ coτ g 3x dx ; Sea: u = cos ec 3x , du = − cos ec 3x co τ g 3x dx 3 x x x x Luego: −3∫ (cos ec 3 )(− 1 cos ec 3 co τ g 3 )dx − ∫ co τ g 3 dx = −3∫ udu − ∫ co τ g 3x dx 3 2 −3cos ec 2 3x −3u x = −3 η sen 3 + c = − 3 η s e n 3x + c 2 2 3.46.- ∫ co τ g 4 6x dx = ∫ (coτ g 2 6x ) coτ g 2 6x dx = ∫ (cos ec 2 6x − 1) co τ g 2 6x dx em

at

= ∫ cos ec 2 6x co τ g 2 6x dx − ∫ coτ g 2 6x dx = ∫ cos ec 2 6x co τ g 2 6x dx − ∫ (cos ec 2 6x − 1)dx w

.M

at

= ∫ cos ec 2 6x co τ g 2 6x dx − ∫ cos ec 2 6x dx + ∫ dx w w

1 Sea: u = co τ g 6x , du = − cos ec 2 6x dx 6 2 Luego: −6∫ u du − ∫ cos ec 2 6x dx + ∫ dx = −2u 3 + 6 co τ g 6x + x + c

= −2 coτ g 3 6x + 6 co τ g 6x + x + c dx 3.47.- ∫ ; Como: s e n 2 x + cos 2 x = 1 , 5 s e n x cos x s e n 2 x + cos 2 x dx cos xdx dx = ∫ Luego: ∫ +∫ 5 3 s e n x cos x s e n x cos x s e n5 x s e n 2 x + cos 2 x cos xdx dx cos xdx cos xdx dx + ∫ =∫ =∫ +∫ +∫ 3 5 3 s e n x cos x sen x s e n x cos x sen x s e n5 x dx =∫ + ∫ (s e n x) −3 cos xdx + ∫ (s e n x) −5 cos xdx s e n x cos x dx =∫ + (s e n x) −3 cos xdx + ∫ (s e n x) −5 cos xdx s e n 2x ∫ 2 = 2 ∫ cos ec 2 xdx + ∫ (s e n x) −3 cos xdx + ∫ (s e n x) −5 cos xdx (∗)

70

Sea: u = s e n x, du = cos xdx ,

Luego:

(∗) = 2 ∫ cos ec 2 xdx + ∫ u −3 du + ∫ u −5 du = η cos ec 2 x − co τ g 2 x −

1 1 − 4 +c 2 2u 4u

1 1 − +c 2 2s e n x 4s e n 4 x cos ec 2 x cos ec 4 x = η cos ec 2 x − coτ g 2 x − − +c 2 4 cos 2 x cos 2 x 1 = dx dx = ∫ co τ g 2 x cos ec 4 xdx 3.48.- ∫ 6 2 ∫ sen x s e n x s e n4 x = ∫ co τ g 2 x(cos ec 2 x) cos ec 2 xdx = ∫ co τ g 2 x(1 + co τ g 2 x) cos ec 2 xdx = η cos ec 2 x − coτ g 2 x −

= ∫ co τ g 2 x cos ec 2 xdx + ∫ coτ g 4 x cos ec 2 xdx

Sea: u = coτ gx, du = − cos ec 2 xdx , u3 u5 coτ g 3 x coτ g 5 x − +c = − − +c 3 5 3 5 dx s e n 2 + cos 2 x dx dx dx = ∫ 3.49.- ∫ = +∫ 2 4 2 4 4 2 ∫ s e n x cos x s e n x cos x cos x s e n x cos 2 x dx dx dx = ∫ sec 4 xdx + ∫ = ∫ sec 4 xdx + ∫ = ∫ sec 4 xdx + 4∫ 2 s e n 2 x (s e n x cos x) s e n2 2x ( )2 2 4 2 2 2 = ∫ sec xdx + 4∫ cos ec 2 xdx = ∫ sec x sec xdx + 4∫ cos ec 2 2 xdx at

ic a

1.

co

m

Luego: − ∫ u 2 du − ∫ u 4 du = −

w w w

Sea: u = τ gx, du = sec 2 xdx ,

.M

at

em

= ∫ (1 + τ g 2 x) sec2 xdx + 4∫ cos ec 2 2 xdx = ∫ sec2 xdx + ∫ τ g 2 x sec 2 xdx + 4∫ cos ec 2 2 xdx

Luego: ∫ sec 2 xdx + ∫ u 2 du + 4∫ cos ec 2 2 xdx = τ gx + = τ gx +

u3 − 2 coτ g 2 x + c 3

τ g3x

− 2 coτ g 2 x + c 3 dx 3.50.- ∫ = ∫ sec6 4 xdx = ∫ (sec 2 4 x)2 sec2 4 xdx = ∫ (1 + τ g 2 4 x)2 sec2 4 xdx 6 cos 4 x = ∫ (1 + 2τ g 2 4 x + τ g 4 4 x) sec 2 4 xdx = ∫ sec 2 4 xdx + 2 ∫ (τ g 4 x ) 2 sec 2 4 xdx + ∫ (τ g 4 x) 4 sec 2 4 xdx

Sea: u = τ g 4 x, du = 4sec 2 4 xdx ,

Luego:

1 2 1 4 τ g 4x 1 u3 1 u5 τ g 4x τ g 3 4x τ g 5 4x u du + u du = + + + c = + + +c 2∫ 4∫ 4 2 3 4 5 4 6 20 cos3 x cos3 x(1 + s e n x) cos 3 x(1 + s e n x) 3.51.- ∫ dx dx = ∫ dx = ∫ 1− s e n x 1− s e n2 x cos 2 x 2 ∫ sec 4 xdx +

= ∫ cos x(1 + s e n x)dx = ∫ cos xdx + ∫ cos x s e n xdx = ∫ cos xdx +

1 s e n 2 xdx 2∫

71

1 = s e n x − cos 2 x + c 4 3.52.- ∫ cos3 7x dx = ∫ (cos 2 7x ) cos 7x dx = ∫ (1 − s e n 2 7x ) cos 7x dx = ∫ cos 7x dx − ∫ s e n 2 7x cos 7x dx

Sea: u = s e n 7x , du = 1 cos 7x dx 7 7u 3 7 + c = 7 s e n 7x − s e n 3 7x + c 3 3 5 x 2 x 2 2 x 2 x 3.53.- ∫ s e n 2 dx = ∫ (s e n 2 ) s e n 2 dx = ∫ (1 − cos 2 ) s e n 2x dx

Luego: = ∫ cos 7x dx − 7 ∫ u 2 du =7 s e n 7x −

= ∫ (1 − 2 cos 2 2x + cos 4 2x ) s e n 2x dx = ∫ s e n 2x dx − 2 ∫ cos 2 2x s e n 2x dx + ∫ cos 4 2x s e n 2x dx

1 Sea: u = cos 2x , du = − s e n 2x dx , 2

Luego:

= ∫ s e n 2x dx + 4∫ u 2 du − 2∫ u 4 du = −2 cos 2x +

4u 3 2u 5 − +c 3 5

4 cos3 2x 2 cos5 2x − +c 3 5 1 − cos xdx

= −2 cos 2x +

3.54.- ∫

1 − cos 2α , y 2α = x 2 1 − cos 2 x ; además: 1 − cos x = 2s e n 2 = 2 at

em

x 2

x 2

at

Se tiene: s e n 2

ic a

1.

co

m

Considerando: s e n 2 α =

w w

w

.M

Luego: ∫ 2s e n 2 2x dx = 2 ∫ s e n 2x dx = −2 2 cos 2x + c 2

dx ⎛ 1 − cos 23x ⎞ 4 x 2 x 2 3.55.- ∫ s n (s n ) = = = e dx e dx 3 3 ∫ ∫ ⎜⎝ 2 ⎟⎠ dx cos ec 4 3x ∫ 1 1 1 1 = ∫ (1 − 2 cos 23x + cos 2 23x )dx = ∫ dx − ∫ cos 23x dx + ∫ cos 2 23x dx 4 4 2 4 4x 1 1 1 1 + cos 3 1 1 1 = ∫ dx − ∫ cos 23x dx + ∫ dx = ∫ dx − ∫ cos 23x dx + ∫ (1 + cos 43x )dx 4 2 4 2 4 2 8 1 1 1 1 3 1 1 = ∫ dx − ∫ cos 23x dx + ∫ dx + ∫ cos 43x dx = ∫ dx − ∫ cos 23x dx + ∫ cos 43x dx 4 2 8 8 8 2 8 2x 4x 3s e n 3s e n 3 13 1 3 3 3 3 = x− + +c s e n 23x + s e n 43x + c = x − 8 22 84 8 4 32 3.56.- ∫ s e n 3 2x cos5 2x dx = ∫ s e n 2x s e n 2 2x cos5 2x dx = ∫ s e n 2x (1 − cos 2 2x ) cos5 2x dx = ∫ s e n 2x cos5 2x dx − ∫ cos 7 2x s e n 2x dx

1 Sea: u = cos 2x , du = − s e n 2x dx 2

72

Luego: −2∫ u 5 du + 2∫ u 7 du = −

cos 6 2x cos8 2x 2u 6 2u 8 u 6 u8 + +c = − + +c = − + +c 6 8 3 4 3 4 2

1 ⎛ s e n 2x ⎞ 2 3.57.- ∫ s e n 2 x cos 2 xdx = ∫ (s e n x cos x) 2 dx = ∫ ⎜ ⎟ dx = ∫ s e n 2 xdx 4 ⎝ 2 ⎠ 1 1 − cos 4 x 1 1 1 x 1 dx = ∫ (1 − cos 4 x)dx = ∫ dx − ∫ cos 4 xdx = − s e n 4 x + c = ∫ 4 2 8 8 8 8 32 4 2 2 2 2 3.58.- ∫ s e n x cos xdx = ∫ (s e n x cos x) s e n xdx = ∫ (s e n x cos x) 2 s e n 2 xdx 1 ⎛ s e n 2 x ⎞ ⎛ 1 − cos 2 x ⎞ ⎛ 1 − cos 2 x ⎞ 2 = ∫⎜ ⎟ ⎜ ⎟dx = ∫ s e n 2 x ⎜ ⎟ dx 2 4 2 ⎝ 2 ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 1 1 1 1 − cos 4 x 1 = ∫ s e n 2 2 xdx − ∫ s e n 2 2 x cos 2 xdx = ∫ dx − ∫ s e n 2 2 x cos 2 xdx 8 8 8 2 8 1 1 1 = ∫ dx − ∫ cos 4 xdx − ∫ s e n 2 2 x cos 2 xdx(∗) 16 16 8 Sea: u = s e n 2 x, du = 2 cos 2 xdx , luego: 2

1 1 1 1 1 1 u3 2 − − = − − +c dx cos 4 xdx u du x s e n 4 x 16 ∫ 16 ∫ 16 ∫ 16 64 16 3 1 s e n 4x s e n3 2x = x− − +c 16 64 48 1 − cos 2 x 1 − cos 2 x s e n2 x 2 3.59.- ∫ dx = ∫ dx = ∫ dx = ∫ τ g 2 xdx = ∫ (sec 2 x − 1)dx 2 1 + cos 2 x 1 + cos 2 x cos x 2 2 = ∫ sec xdx − ∫ dx = τ gx − x + c w w

w

.M

at

em

at

ic a

1.

co

m

(∗) =

cos3 x −1 −1 dx = ∫ (s e n x) 2 cos3 xdx = ∫ (s e n x) 2 cos 2 x cos xdx sen x 3 −1 −1 = ∫ (s e n x) 2 (1 − s e n 2 x) cos xdx = ∫ (s e n x) 2 cos xdx − ∫ s e n 2 x cos xdx(∗)

3.60.- ∫

Sea: u = s e n x, du = cos xdx , luego:

2 s e n5 x +c 5 3.61.- ∫ s e n 3 2 xdx = ∫ s e n 2 2 x s e n 2 xdx = ∫ (1 − cos 2 2 x) s e n 2 xdx (∗) = ∫ u 2 du − ∫ u 2 du = 2u 2 − −1

3

1

= ∫ s e n 2 xdx − ∫ cos 2 2 x s e n 2 xdx(∗)

Sea: u = cos 2 x, du = −2s e n 2 xdx , luego: 1 u2 1 1 u3 1 u3 = − + + = − + +c du cos 2 x c cos 2 x 2∫ 2 2 2 3 2 6 1 (cos3 2 x) = − cos 2 x + +c 2 6

(∗) = ∫ s e n 2 x +

73

1 ⎛ 1 − cos 4 x ⎞⎛ 1 + cos 4 x ⎞ 2 3.62.- ∫ s e n 2 2 x cos 2 2 xdx = ∫ ⎜ ⎟⎜ ⎟ dx = ∫ (1 − cos 4 x)dx 2 2 4 ⎝ ⎠⎝ ⎠ 1 1 1 1 ⎛ 1 + cos8 x ⎞ 1 1 = ∫ dx − ∫ cos 2 4 xdx = ∫ dx − ∫ ⎜ ⎟dx = ∫ dx − ∫ (1 + cos8 x)dx 4 4 4 4 ⎝ 2 4 8 ⎠ 1 1 1 1 1 x s e n 8x = ∫ dx − ∫ dx − ∫ cos8 xdx = ∫ dx − ∫ cos8 xdx = − +c 4 8 8 8 8 8 64 1 ⎛ 1 + cos 2 x ⎞ 2 3.63.- ∫ cos 4 xdx = ∫ (cos 2 x) 2 dx = ∫ ⎜ ⎟ dx = ∫ (1 + cos 2 x) dx 2 4 ⎝ ⎠ 1 1 1 1 = ∫ (1 + 2 cos 2 x + cos 2 x)dx = ∫ dx + ∫ cos 2 xdx + ∫ cos 2 2 xdx 4 4 2 4 1 1 1 ⎛ 1 + cos 4 x ⎞ 1 1 1 = ∫ dx + ∫ cos 2 xdx + ∫ ⎜ ⎟ dx = ∫ dx + ∫ cos 2 xdx + ∫ (1 + cos 4 x)dx 4 2 4 ⎝ 2 4 2 8 ⎠ 1 1 1 1 3 1 1 = ∫ dx + ∫ cos 2 xdx + ∫ dx + ∫ cos 4 xdx = ∫ dx + ∫ cos 2 xdx + ∫ cos 4 xdx 4 2 8 8 8 2 8 3 1 1 = x + s e n 2x + s e n 4x + c 8 4 32 4 2 3.64.- ∫ τ g x sec xdx 2

Sea: u = τ gx, du = sec 2 xdx

m

u5 τ g5x +c = +c 5 5 3.65.- ∫ τ g 3 x sec xdx = ∫ τ g 2 xτ gx sec xdx = ∫ (sec 2 x − 1)τ gx sec xdx

Sea: u = sec x, du = sec xτ gxdx

.M w

w w

= ∫ (sec 2 x)τ gx sec xdx − ∫ τ gx sec xdx

at

em

at

ic a

1.

co

Luego: ∫ u 4 du =

u3 sec3 x −u +c = − sec x + c 3 3 3.66.- ∫ sec6 aθ dθ = ∫ sec 4 aθ sec 2 aθ dθ = ∫ (sec 2 aθ ) 2 sec 2 aθ dθ

Luego: ∫ u 2 du − ∫ du =

= ∫ (1 + τ g 2 aθ ) 2 sec 2 aθ dθ = ∫ (1 + 2τ g 2 aθ + τ g 4 aθ ) sec 2 aθ dθ = ∫ sec 2 aθ dθ + 2∫ τ g 2 aθ sec 2 aθ dθ + ∫ τ g 4 aθ sec 2 aθ dθ

Sea: u = τ gaθ , du = a sec 2 aθ dθ ,

Luego:

1 2 2 1 4 1⎡ 2u 3 u 5 ⎤ 1⎡ 2τ g 3 aθ τ g 5 aθ ⎤ + + = + + + = + + +c du u du u du u c τ ga θ a∫ a∫ a∫ a ⎢⎣ 3 5 ⎥⎦ a ⎢⎣ 3 5 ⎥⎦ sec x(τ gx + sec x)dx sec xτ gx + sec 2 x 3.67.- ∫ sec xdx = ∫ dx =∫ τ gx + sec x τ gx + sec x Sea: u = sec x + τ gx, du = (sec xτ gx + sec 2 x)dx du = η u + c = η sec x + τ gx + c Luego: ∫ u

74

3.68.- ∫ co τ g 2 2 x cos ec 2 2 xdx

Sea: u = co τ g 2 x, du = −2 cos ec 2 2 xdx

1 2 u3 coτ g 3 2 x +c Luego: − ∫ u du = − + c = − 2 6 6 s e n3 x s e n 2 x s e n xdx (1 − cos 2 x) s e n xdx s e n xdx 3.69.- ∫ dx = ∫ =∫ =∫ − s e n xdx 2 2 2 cos x cos x cos x cos 2 x ∫ Sea: u = cos x, du = − s e n xdx , 1 1 Luego: − ∫ u −2 du − ∫ s e n xdx = + cos x + c = + cos x + c = sec x + cos x + c u cos x 3.70.- ∫ sec 4 3 xτ g 3xdx = ∫ sec3 3x(sec 3xτ g 3x)dx

Sea: u = sec 3x, du = 3sec3 xτ g 3xdx

1 3 1 u4 u4 sec 4 3 x = + = + = +c u du c c 3∫ 3 4 12 12 3.71.- ∫ sec n xτ gxdx = ∫ secn −1 x(sec xτ gx)dx

Luego:

Sea: u = sec x, du = sec xτ gxdx ,

Luego:

un secn x +c = + c, (n ≠ 0) n n cos3 x cos 2 x cos x (1 − s e n 2 x) cos x cos xdx 3.72.- ∫ dx dx dx = ∫ = = − cos xdx 2 2 2 ∫ ∫ sen x sen x sen x s e n2 x ∫ 1 − −sen x + c sen x dx s e n 2 x + cos 2 x dx cos 2 x dx 3.73.- ∫ = = + ∫ s e n 2 x ∫ s e n 4 x dx s e n4 x ∫ s e n4 x cos 2 x dx = ∫ cos ec 2 xdx + ∫ = ∫ cos ec 2 xdx + ∫ co τ g 2 x cos ec 2 xdx 2 2 sen x sen x 1 = − coτ gx − coτ g 3 x + c 3 n 3.74.- ∫ τ g x sec 2 xdx;(n ≠ −1) w w

w

.M

at

em

at

ic a

1.

co

m

n −1 ∫ u du =

Sea: u = τ gx, du = sec 2 xdx u n +1 τ g n +1 x Luego: ∫ u du = +c = + c, (n ≠ −1) n +1 n +1 n

⎛ 1 − 2 cos 2 x ⎞ 3.75.- ∫ s e n 6 xdx = ∫ (s e n 2 x)3 dx = ∫ ⎜ ⎟ dx 2 ⎝ ⎠ 1 = ∫ (1 − 3cos 2 x + 3cos 2 2 x − cos3 2 x)dx 8 1 = ⎡ ∫ dx − 3∫ cos 2 xdx + 3∫ cos 2 2 xdx − ∫ cos3 2 xdx ⎤ ⎦ 8⎣ 3

75

5 x s e n 2 x 3s e n 4 x s e n 3 2 x − + + +c 16 4 64 48 1 3.76.- ∫ s e n 4 axdx = ∫ (s e n 2 ax) 2 dx = ∫ (1 − cos 2ax) 2 dx 4 1 1 1 = ∫ (1 − 2 cos 2ax + cos 2 2ax)dx = ∫ dx − ∫ cos 2axdx + ∫ cos 2 2axdx 4 2 4 1 1 1 1 1 3 1 1 = x − s e n 2ax + ( x + s e n 4ax) + c = x − s e n 2ax + s e n 4ax + c 4 4a 4 2 8a 8 4a 32a s e n n +1 x + c, (n ≠ −1) 3.77.- ∫ s e n n x cos xdx = n +1 3.78.- ∫ co τ g n axdx = ∫ co τ g n − 2 ax coτ g 2 axdx = ∫ coτ g n − 2 ax(cos ec 2 ax − 1)dx =

1 coτ g n −1ax − ∫ coτ g n − 2 axdx a n −1 4 3.79.- ∫ co τ g 3xdx , Haciendo uso del ejercicio anterior: = ∫ co τ g n − 2 ax cos ec 2 axdx − ∫ coτ g n − 2 axdx = −

co τ g 3 3 x coτ g 3 3x − ∫ coτ g 2 3xdx = − − ∫ (cos ec 2 3x − 1)dx 3× 3 9 co τ g 3 3x co τ g 3 3x =− − ∫ cos ec 2 3 xdx + ∫ dx = − − ∫ cos ec 2 3 xdx + ∫ dx 9 9 coτ g 3 3x coτ g 3x =− + + x+c 9 3 cos n +1 x 3.80.- ∫ cos x n s e n xdx = − + c;(n ≠ −1) n +1 3.81.- ∫ τ g n xdx = ∫ τ g n − 2 xτ g 2 xdx = ∫ τ g n − 2 x(sec 2 x − 1)dx w w

w

.M

at

em

at

ic a

1.

co

m

=−

= ∫τ g

n−2

x sec xdx − ∫ τ g 2

3.82.- ∫ τ g xdx = 4

τg x 3

n−2

τ g xdx 3

3

xdx =

τ g n −1 x n −1

− ∫ τ g xdx =

− ∫ sec 2 xdx − ∫ dx =

2

− ∫ τ g n − 2 xdx

τ g3x 3

− ∫ (sec 2 x − 1)dx

τg x 3

− τ gx + x + c 3 3 3.83.- ∫ cos 2 n +1 xdx = ∫ cos 2 n x cos xdx = ∫ (cos 2 x) n cos xdx = ∫ (1 − s e n 2 x) n cos xdx =

Sea: u = s e n x, du = cos xdx .El resultado se obtiene, evaluando (1 − u 2 ) n por la fórmula del binomio de Newton y calculando cada sumando, cuyas integrales son del tipo: ∫ u n du . Las fórmulas provenientes de los ejercicios 3.78 y 3.81, se denominan fórmulas de reducción y su utilidad es obvia. Más adelante, en otros capítulos, usted deducirá nuevas fórmulas de reducción.

76