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UNIVERSIDAD JOSÉ ANTONIO PÁEZ CÁTEDRA: MATEMÁTICA II – CIENCIAS SOCIALES/ARQUITECTURA INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES POR FRACCIONES PARCIALES Una función racional puede expresarse como el cociente de dos funciones polinómicas o polinomios, tal que: H ( x) =

P ( x) Q( x)

Donde P(x) y Q(x) son polinomios. Se le llama propia si el grado de P(x) es menor que el Q(x); en caso contrario es impropia. EJEMPLOS DE FUNCIONES RACIONALES PROPIAS 6x 2 − x + 2 3x ; 2 x 2 + 1 ( x −1)( x + 4) EJEMPLOS DE FUNCIONES RACIONALES IMPROPIAS

1 x3 + 2x + 2 2 x3 − 1 3

;

7 x 4 − 8x 2 + 2 x + 1 3x 3 + 2 x − 5

CÓMO CONVERTIR FUNCIONES IMPROPIAS EN PROPIAS Para convertir una expresión racional impropia en una expresión propia se divide el numerador [P(x)] entre el denominador [Q(x)] hasta que se obtenga una fracción propia, en la cual, el grado del numerador sea menor que el grado del denominador. Por ejemplo: x 4 − 10 x 2 + 3 x + 1 3x − 23 = x 2 − 6x + 2 (División de polinomios) 2 x −4 x −4

En álgebra se aprendió a combinar dos o más fracciones en una sola fracción, por ejemplo: 1 3 2 6 x 2 + 5x − 2 + + = 3 x x − 1 x + 2 x + x 2 − 2x

Sin embargo, es más fácil integrar el lado izquierdo de la igualdad que el lado derecho. De este modo, sería conveniente saber como obtener el lado izquierdo de la igualdad a partir de la expresión del lado derecho. Al procedimiento para hacer esto se le llama descomposición en fracciones parciales. Puede demostrarse, que cualquier fracción racional propia puede expresarse como una suma de términos (llamados fracciones parciales) que tiene la forma: A Bx + C ó (ax + b) k (ax 2 + bx + c) k

Profesor: Ricardo Osío Lara

UNIVERSIDAD JOSÉ ANTONIO PÁEZ CÁTEDRA: MATEMÁTICA II – CIENCIAS SOCIALES/ARQUITECTURA El número exacto de cada tipo depende de la manera en que se factoriza el denominador Q(x). En teoría, un polinomio Q(x) con coeficientes reales siempre puede descomponerse en un producto de factores lineales y cuadráticos con coeficientes reales. Existen varios casos de descomposición de factores lineales y cuadráticos. Caso 1: los factores de Q(x) son todos lineales y ninguno se repite. Es decir: Q ( x ) = (a1 x + b1 )(a 2 x + b2 )...( ax n + bn )

Donde no hay dos factores idénticos. En este caso escribimos A1 A2 An P ( x) ≡ + + ... + Q ( x) a1 x + b1 a 2 x + b2 a n x + bn

Donde A1, A2,…An son constantes que se van a determinar. Nótese que se emplea el símbolo ≡ (léase “idénticamente igual a”) en lugar del símbolo de igualdad. Esto se debe a que la expresión anterior es una identidad de x. El siguiente ejemplo muestra como se obtienen los valores de Ai. Ejemplo Evaluar

∫x

3

( x − 1) dx − x 2 − 2x

Se factoriza el denominador (factor común x y luego se busca las raíces del polinomio de segundo grado). x −1 x −1 ≡ 2 x − x − 2 x x( x − 2)( x + 1) 3

Así, x −1 A B C ≡ + + x( x − 2)( x + 1) x x − 2 x +1

La ecuación anterior es una identidad para toda x (excepto x= 0, 2, -1). Multiplicando ambos miembros de la identidad por x( x − 2)( x +1) , resulta: x −1 ≡ A( x − 2)( x + 1) + Bx ( x + 1) + Cx ( x − 2)

Se desea evaluar las constantes A, B y C, para ello aplicaremos un método que consiste en anular a uno de los factores del lado derecho de la identidad y determinar el valor de la constante que no se elimine al multiplicarla por el factor adjunto. Esto se logra con sólo agregar al valor de x el número opuesto de dicho factor o por cero (0).

Profesor: Ricardo Osío Lara

UNIVERSIDAD JOSÉ ANTONIO PÁEZ CÁTEDRA: MATEMÁTICA II – CIENCIAS SOCIALES/ARQUITECTURA De la sustitución de x = 0 en la ecuación de identidad, resulta: 0 −1 ≡ A(0 − 2)(0 +1) + B (0)(0 +1) + C (0)(0 − 2)

− 1 = −2 A o bien

A=

1 2

Al sustituir x = 2 en la ecuación de identidad: 2 −1 ≡ A( 2 − 2)(2 + 1) + B ( 2)(2 +1) + C ( 2)(2 − 2)

1 = 6 B o bien

B=

1 6

Sustituyendo x = -1 en la ecuación de identidad: −1 −1 ≡ A(−1 − 2)(−1 +1) + B (−1)(−1 +1) + C (−1)(−1 − 2)

− 2 = 3C o bien

C =−

2 3

Existe otro método para obtener los valores de A, B y C. Si del lado derecho de la ecuación: x −1 ≡ A( x − 2)( x + 1) + Bx ( x + 1) + Cx ( x − 2)

se realizan operaciones de propiedad distributiva y se agrupan los términos en función de x entonces: x − 1 ≡ ( A + B + C ) x 2 + (− A + B − 2C ) x − 2 A

Para que la expresión anterior sea una identidad, los coeficientes del lado izquierdo deben ser iguales a los coeficientes correspondientes del lado derecho. Por lo que, A+ B+C = 0 − A + B − 2C = 1

− 2 A = −1

Al resolver estás ecuaciones simultáneamente obtenemos

A=

1 2

,

B=

1 6

y

C =−

2 3

Sustituyendo estos valores en la expresión: x −1 A B C ≡ + + x( x − 2)( x + 1) x x − 2 x +1

Profesor: Ricardo Osío Lara

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12 16 −2 3 x −1 ≡ + + x( x − 2)( x +1) x x −2 x +1

Por tanto, la integral dada puede expresarse como sigue:

∫x ∫x

3

3

( x − 1) 1 dx 1 dx 2 dx + ∫ − ∫ dx = ∫ 2 2 x 6 x − 2 3 x +1 − x − 2x

( x − 1) 1 1 2 dx = Ln x + Ln x − 2 − Ln x + 1 + C 2 2 6 3 − x − 2x ( x − 1) 1 x 3 ( x − 2) Ln dx ∫ x 3 − x 2 − 2 x = 6 ( x +1) 4

Caso 2: Los factores de Q(x) son todos lineales y algunos están repetidos. Supongamos que ( ai x + bi ) es un factor que se repite “p” veces. Entonces, correspondientes a este factor estará la suma de “p” fracciones parciales. A p −1 Ap A1 A2 + + ... + + (ai x + bi ) p (ai x + bi ) p −1 (ai x + bi ) 2 ai x + bi

donde A1, A2,…Ap son constantes que se van a determinar. Ejemplo Evaluar

( x 3 −1) ∫ x 2 ( x − 2) 3 dx

La fracción en el integrando se escribe como una suma de fracciones parciales. x3 −1 A B C D E ≡ 2 + + + + 2 3 3 2 x ( x − 2) x−2 x ( x − 2) x ( x − 2)

Lo anterior es una identidad para toda x excepto x = 0, 2. Multiplicando ambos lados de la identidad por x 2 ( x − 2) 3 (m.c.d. = mínimo común denominador), tenemos: x 3 − 1 ≡ A( x − 2) 3 + Bx( x − 2) 3 + Cx 2 + Dx 2 ( x − 2) + Ex 2 ( x − 2) 2

Sustituyendo x = 2 ( 2) 3 −1 ≡ A(2 − 2) 3 + B ( 2)( 2 − 2) 3 + C ( 2) 2 + D (2) 2 (2 − 2) + E (2) 2 ( 2 − 2) 2

8 −1 = 4C o bien

C=

7 4

Profesor: Ricardo Osío Lara

UNIVERSIDAD JOSÉ ANTONIO PÁEZ CÁTEDRA: MATEMÁTICA II – CIENCIAS SOCIALES/ARQUITECTURA Al sustituir x = 0 (0) 3 −1 ≡ A(0 − 2) 3 + B (0)(0 − 2) 3 + C (0) 2 + D (0) 2 (0 − 2) + E (0) 2 (0 − 2) 2

−1 = −8 A o bien

Sustituyendo los valores de x3 −1 ≡

A=

1 8

y

C=

7 4

A=

1 8

desarrollando los binomios

1 3 7 ( x − 6 x 2 + 12 x − 8) + Bx( x 3 − 6 x 2 + 12 x − 8) + x 2 + Dx 3 − 2 Dx 2 + Ex 2 ( x 2 − 4 x + 4) 8 4

agrupando los términos en función de “x”, 1 3 7 3 x 3 − 1 ≡ ( B + E ) x 4 + ( − 6 B + D − 4 E ) x 3 + (− + 12 B + − 2 D + 4 E ) x 2 + ( − 8B ) x − 1 8 4 4 2

Igualando los coeficientes de potencias iguales de “x”, B+E =0 1 − 6B + D − 4E = 1 8 3 7 − + 12 B + − 2 D + 4 E = 0 4 4 3 − 8B = 0 2

Sistema de ecuaciones

Al resolver resulta: B=

3 16

,

D=

5 4

,

E =−

3 16

Por lo tanto: 3 1 7 5 − 163 x3 − 1 8 16 4 4 = + + + + x 2 ( x − 2) 3 x 2 x ( x − 2) 3 ( x − 2) 2 x − 2

De manera que: x 3 −1 1 dx 3 dx 7 dx 5 dx 3 dx ∫ x 2 ( x − 2) 3 = 8 ∫ x 2 + 16 ∫ x + 4 ∫ ( x − 2) 3 + 4 ∫ ( x − 2) 2 − 16 ∫ x − 2 x 3 −1 1 3 7 5 3 ∫ x 2 ( x − 2) 3 = − 8 x + 16 Ln x − 8( x − 2) 2 − 4( x − 2) − 16 Ln x − 2 + C

Profesor: Ricardo Osío Lara

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∫x

2

x 3 −1 −11x 2 +17 x −4 3 x = + Ln +C 3 16 x −2 ( x −2) 8 x ( x − 2) 2

Profesor: Ricardo Osío Lara