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• Liliana Rosario Cardenas Hernandez

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INTEGRACIÓN DE FUNCIONES VECTORIALES, LONGITUD DE ARCO (Semana 3) ⃗⃗⃗⃗ (𝑡) = ( 𝑓1 (𝑡); 𝑓2 (𝑡); … ; 𝑓3 (𝑡)), entonces Sea 𝑓⃗∶ 𝐴 → ℝ𝑛 es una función vectorial definido por 𝑓 la integral indefinida de "𝑓⃗” se define por: ⃗⃗⃗⃗ (𝑡) 𝑑𝑡 = (∫ 𝑓1 (𝑡) 𝑑𝑡 ; ∫ 𝑓2 (𝑡) 𝑑𝑡 ; … ; ∫ 𝑓𝑛 (𝑡) 𝑑𝑡) + 𝐶⃗ ∫𝑓 Observación: ⃗⃗⃗⃗ (𝑡) = ( 𝑓1 (𝑡); 𝑓2 (𝑡); 𝑓3 (𝑡)), entonces i. Sea 𝑓⃗∶ 𝐴 → ℝ3 es una función vectorial definido por 𝑓 la integral indefinida de "𝑓⃗” se define por: ⃗⃗⃗⃗ (𝑡) 𝑑𝑡 = (∫ 𝑓1 (𝑡) 𝑑𝑡 + 𝐶1 ; ∫ 𝑓2 (𝑡) 𝑑𝑡 + 𝐶2 ; ∫ 𝑓3 (𝑡) 𝑑𝑡 + 𝐶3 ). ∫𝑓 ii. 𝐷𝑡 ∫⃗⃗⃗⃗ 𝑓 (𝑡) 𝑑𝑡 = 𝐷𝑡 (∫ 𝑓1 (𝑡) 𝑑𝑡 + 𝐶1 ) ⃗⃗ 𝑖 + 𝐷𝑡 (∫ 𝑓2 (𝑡) 𝑑𝑡 + 𝐶2 ) 𝑗⃗⃗ + 𝐷𝑡 (∫ 𝑓3 (𝑡) 𝑑𝑡 + 𝐶3 ) ⃗⃗⃗⃗ 𝑘 ⃗⃗⃗⃗ (𝑡) 𝑑𝑡 = 𝑓1 (𝑡) ⃗⃗ → 𝐷𝑡 ∫𝑓 𝑖 + 𝑓2 (𝑡) 𝑗⃗⃗ + 𝑓3 (𝑡) ⃗⃗⃗⃗ 𝑘

Propiedades de la integral Indefinida ⃗⃗⃗⃗ (𝑡) ∧ ⃗⃗⃗⃗ Sean 𝑓⃗, 𝑔⃗ ∶ 𝐴 → ℝ𝑛 dos funciones vectoriales con regla de correspondencia 𝑓 𝑔 (𝑡) y sea 𝛼 ∈ ℝ ∧ 𝐶⃗ un vector constante, en los que se cumplen las siguientes propiedades:

iii.

⃗⃗⃗⃗ (𝑡) 𝑑𝑡 = 𝛼 ∫⃗⃗⃗⃗ 𝑓 (𝑡) 𝑑𝑡. ∫𝛼 𝑓 ⃗⃗⃗⃗ (𝑡) 𝑑𝑡 = 𝑐⃗⃗⃗. ∫𝑓 ⃗⃗⃗⃗ (𝑡) 𝑑𝑡. ∫ 𝑐⃗⃗⃗.𝑓 ⃗⃗⃗⃗ (𝑡) ± 𝑔 ⃗⃗⃗⃗ (𝑡)) 𝑑𝑡 = ∫⃗⃗⃗⃗ 𝑓 (𝑡) 𝑑𝑡 ± ∫𝑔 ⃗⃗⃗⃗ (𝑡) 𝑑𝑡 ∫ (𝑓

iv.

⃗⃗⃗⃗ (𝑡)‖ ≤ ∫‖⃗⃗⃗⃗ 𝑓 (𝑡)‖ 𝑑𝑡 ‖∫𝑓

i. ii.



Definición 2

Sea [𝑎; 𝑏] ⊂ ℝ un intervalo cerrado y sea 𝑓⃗∶ [𝑎; 𝑏] → ℝ𝑛 una función vectorial diferenciable ⃗⃗⃗⃗ (𝑡) = ( 𝑓1 (𝑡); 𝑓2 (𝑡); … ; 𝑓3 (𝑡)), entonces la integral definida, se define por: en [𝑎; 𝑏] definido por 𝑓 𝑏

𝑏

𝑏

𝑏

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ∫ ⃗⃗⃗⃗ 𝑓 (𝑡) 𝑑𝑡 = (∫ 𝑓 1 (𝑡) 𝑑𝑡 , ∫ 𝑓1 (𝑡) 𝑑𝑡 ; … ; ∫ 𝑓𝑛 (𝑡) 𝑑𝑡) 𝑎

𝑎

𝑎

𝑎

Propiedades de la integral definida Sean 𝑓⃗, 𝑔⃗ ∶ 𝐴 → ℝ𝑛 dos funciones diferenciables en el intervalo [𝑎; 𝑏] y 𝛼, 𝛽 ∈ ℝ son dos escalares, entonces se cumple las siguientes propiedades: i. ii. iii.

𝑏 ⃗⃗⃗⃗ (𝑡)) 𝑑𝑡 = 𝑐⃗⃗⃗ . ∫𝑏 ⃗⃗⃗⃗ 𝑓 (𝑡) 𝑑𝑡. ∫𝑎 (𝑐⃗⃗⃗.𝑓 𝑎 𝑏 ⃗⃗⃗⃗ (𝑡)) 𝑑𝑡 = 𝑐⃗⃗⃗ × ∫𝑏 𝑓 ⃗⃗⃗⃗ (𝑡) 𝑑𝑡. Valido en ℝ3 ∫𝑎 (𝑐⃗⃗⃗ × 𝑓 𝑎 𝑏

𝑏

⃗⃗⃗⃗ (𝑡)‖ ≤ ∫ ‖𝑓 ⃗⃗⃗⃗ (𝑡)‖ 𝑑𝑡 ‖∫𝑎 𝑓 𝑎

Docente: Dr: Orlando Eugenio Berrocal Navarro

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Observación: i.

Sea 𝑓∶ [𝑎; 𝑏] → ℝ es una función vectorial definido por 𝑦 = 𝑓(𝑡), continua en el 𝑡 intervalo [𝑎; 𝑏] y 𝑡 ∈ [𝑎; 𝑏] entonces 𝐷𝑡 ∫𝑎 𝑓(𝑢) = 𝑓(𝑡) .

ii.

Si la función 𝐹´ es continua en [𝑎; 𝑏] entonces ∫𝑎 𝐹´(𝑥) = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎).

𝑏

Teorema: Si

𝑡 ⃗⃗⃗⃗ ∫𝑎 𝑓

⃗⃗⃗⃗ 𝑓 [𝑎; 𝑏] → ℝ𝑛 , es una función continua en el intervalo [𝑎; 𝑏] y 𝑡 ∈ [𝑎; 𝑏], entonces ⃗⃗⃗⃗ (𝑡), ∀ 𝑡 ∈ [𝑎; 𝑏]: (𝑡) 𝑑𝑡 =𝑓 Demostración i.

Aplicando la primera observación a cada una de los componentes 𝑡

𝑡

𝑡

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ → 𝐷𝑡 ∫ ⃗⃗⃗⃗ 𝑓 (𝑡) 𝑑𝑡 = (𝐷𝑡 ∫ 𝑓 1 (𝑡) 𝑑𝑡 ; … ; 𝐷𝑡 ∫ 𝑓𝑛 (𝑡) 𝑑𝑡) 𝑎

𝑎

𝑎

𝑡

→ 𝐷𝑡 ∫ ⃗⃗⃗⃗ 𝑓 (𝑡) 𝑑𝑡 = (𝑓1 (𝑡); 𝑓2 (𝑡); … ; 𝑓𝑛 (𝑡)) 𝑎

𝑡

⃗⃗⃗⃗ (𝑡) 𝑑𝑡 =𝑓 ⃗⃗⃗⃗ (𝑡), ∀ 𝑡 ∈ [𝑎; 𝑏] → 𝐷𝑡 ∫ 𝑓 𝑎

Teorema: ⃗⃗⃗⃗ ∶ [𝑎; 𝑏] → ℝ𝑛 , tiene derivada continua sobre el intervalo [𝑎; 𝑏], entonces Si 𝐹 𝑏 ´ 𝐹 (𝑡) 𝑑𝑡 = 𝐹⃗ (𝑏) − 𝐹⃗ (𝑎) ∫𝑎 ⃗⃗⃗⃗⃗

Demostración i.

Aplicamos la segunda observación como 𝐹⃗ (𝑡) = (𝐹1 (𝑡); 𝐹2 (𝑡); … ; 𝐹𝑛 (𝑡)) → ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐹 ´ (𝑡) = (𝐹1´ (𝑡); 𝐹2´ (𝑡); … ; 𝐹𝑛´ (𝑡) ) 𝑏

𝑏

𝑏

𝑏

→ ∫ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐹 ´ (𝑡) = (∫ 𝐹1´ (𝑡)𝑑𝑡 , ∫ 𝐹2´ (𝑡)𝑑𝑡 ; … ; ∫ 𝐹𝑛´ (𝑡)𝑑𝑡 ) 𝑎

𝑎

𝑎

𝑎

𝑏

⃗⃗⃗⃗1 (𝑏) − ⃗⃗⃗⃗ → ∫ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐹 ´ (𝑡) = (𝐹 𝐹1 (𝑎); ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐹2 (𝑏) − ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐹2 (𝑎); … ; ⃗⃗⃗⃗ 𝐹𝑛 (𝑏) − ⃗⃗⃗⃗ 𝐹𝑛 (𝑎)) 𝑎

𝑏

∫ ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐹 ´ (𝑡) 𝑑𝑡 = 𝐹⃗ (𝑏) − 𝐹⃗ (𝑎) 𝑎

Docente: Dr: Orlando Eugenio Berrocal Navarro

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Camino Regular Sean 𝑓⃗∶ ℝ → ℝ𝑛 un camino de clase "𝐶 1 ", entonces "𝑓⃗" es un camino regular si y solo si ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑓 ´ (𝑡) ≠ 𝜃⃗ , 𝜃⃗ ∈ ℝ𝑛 , ∀ 𝑡 ∈ ℝ .

Longitud de Arco Sea 𝑓⃗∶ [𝑎; 𝑏] → ℝ𝑛 un camino regular de clase "𝐶 1 ", entonces la longitud de arco se define 𝑏 ⃗⃗⃗⃗´ por: 𝐿 (𝑓⃗) = ∫𝑎 ‖𝑓 (𝑡)‖ 𝑑𝑡

Observación:

i.

Sea 𝒞: 𝑓: [𝑎, 𝑏] → ℝ una curva definida por 𝑥 = 𝑓(𝑥) entonces

ii.

𝑑𝑦 2 ) 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑎 Si 𝒞: 𝑔: [𝑐, 𝑑] → ℝ una curva definida por 𝑦 = 𝑔(𝑦) entonces 𝑏

𝐿 (𝒞) = ∫ √1 + (

𝑑

𝐿 (𝒞) = ∫ √1 + ( 𝑐

iii.

𝑑𝑥 2 ) 𝑑𝑦 𝑑𝑦

𝑥 = 𝑟 cos ℴ 𝒞: 𝑓⃗: [ℴ1 , ℴ2 ] → ℝ𝑛 es una curva definida por 𝒞 = {𝑦 = 𝑟 sen ℴ , ℴ ∈ [ℴ1 , ℴ2 ] entonces la longitud de la curva "𝒞" se define por Si

ℴ

𝑑𝑟 2

𝐿 (𝒞) = ∫ℴ 2 √𝑟 2 + (𝑑ℴ) 𝑑ℴ 1

iv.

Si 𝒞: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑓(𝑡): (𝑓1 (𝑡); 𝑓2 (𝑡); 𝑓3 (𝑡)) es una curva en el intervalo [𝑎, 𝑏] entonces la longitud de arco se define por 2

2

2

𝑏 𝐿 (𝒞) = ∫𝑎 √(𝑓1´ (𝑡)) + (𝑓2´ (𝑡)) + (𝑓3´ (𝑡)) 𝑑𝑡 𝑏 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ´ (𝑡) ‖ 𝑑𝑡 → 𝐿 (𝒞) = ∫𝑎 ‖𝑓

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OPERACIONES 1. Sean 𝑓⃗∶ ℝ → ℝ3 una función vectorial definida por 𝑓⃗ (𝑡) = (𝑡 2 ; √𝑡, 2𝑡), entonces hallar ∫𝑓⃗ (𝑡) 𝑑𝑡

Resolución → 𝑓⃗∶ (𝑡 2 ; √𝑡, 2𝑡) → ∫𝑓⃗ (𝑡) 𝑑𝑡 = (∫ 𝑡 2 𝑑𝑡 ; ∫ √𝑡 𝑑𝑡 , ∫ 2𝑡 𝑑𝑡) → ∫𝑓⃗ (𝑡) 𝑑𝑡 =

𝑡3 𝑡

+ 𝐶1 ;

𝑡3

→ ∫𝑓⃗ (𝑡) 𝑑𝑡 = ( 𝑡 ;

2 3

2 3

3

𝑡 2 + 𝐶2 ; 𝑡 2 + 𝐶3

3

𝑡 2 ; 𝑡 2 ) + 𝐶⃗

2. Sea 𝑓⃗∶ ℝ → ℝ3 una función vectorial definida por 𝑓⃗ (𝑡) = (sen 𝑡 ; cos 𝑡 , tan 𝑡), entonces determinar ∫𝑓⃗ (𝑡) 𝑑𝑡

Resolución → ∫𝑓⃗ (𝑡) 𝑑𝑡 = (∫ sen 𝑡 𝑑𝑡 ; ∫ cos 𝑡 𝑑𝑡 , ∫ tan 𝑡 𝑑𝑡) → ∫𝑓⃗ (𝑡) 𝑑𝑡 = (− cos 𝑡 ; sen 𝑡 ; − ln cos 𝑡) + 𝐶⃗

3. Sea 𝑓⃗∶ ℝ → ℝ3 una función vectorial definida por 𝑓⃗ (𝑡) = (𝑡; 𝑡 2 , 𝑡 3 ), entonces determinar ∫𝑓⃗ (𝑡) 𝑑𝑡

Resolución → ∫𝑓⃗ (𝑡) 𝑑𝑡 = (∫ 𝑡 𝑑𝑡 ; ∫ 𝑡 2 𝑑𝑡 , ∫ 𝑡 3 𝑑𝑡) 𝑡2

→ ∫𝑓⃗ (𝑡) 𝑑𝑡 = ( 2 ;

𝑡3 𝑡4 ; 4) 3

+ 𝐶⃗

4. Sea 𝑓⃗∶ ℝ → ℝ3 una función vectorial definida por 𝑓⃗ (𝑡) = (sec 2 𝑡 ; sec 𝑡 tan 𝑡 , sen ℎ 𝑡), entonces determinar ∫𝑓⃗ (𝑡) 𝑑𝑡

Resolución → ∫𝑓⃗ (𝑡) 𝑑𝑡 = (∫ sec 2 𝑑𝑡 ; ∫ sec 𝑡 tan 𝑡 𝑑𝑡 , ∫ sen h 𝑡 𝑑𝑡) → ∫𝑓⃗ (𝑡) 𝑑𝑡 = (tan 𝑡 ; sec 𝑡 ; cos ℎ𝑡) + 𝐶⃗

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5. Sea 𝑓⃗∶ ℝ → ℝ3 una función vectorial definida por entonces determinar ∫𝑓⃗ (𝑡) 𝑑𝑡

𝑓⃗ (𝑡) = (cos 2 𝑡 , csc 𝑡 cot 𝑡 ; csc ℎ2 𝑡),

Resolución → ∫𝑓⃗ (𝑡) 𝑑𝑡 = (∫ cos 2 𝑡 𝑑𝑡 ; ∫ csc 𝑡 cot 𝑡 𝑑𝑡 , ∫ csc ℎ2 𝑡 𝑑𝑡) → ∫𝑓⃗ (𝑡) 𝑑𝑡 = (− cos 𝑡 , csc 𝑡 , − cot ℎ𝑡) + 𝐶⃗

6. Sea "𝒞" una curva definida por 𝑥 2 + 𝑦 2 − 6𝑥 − 4𝑦 + 12 = 0 , 𝑧 = 0 entonces determine su representación paramétrica y la longitud de arco desde 2 hasta 4.

Resolución i. ii.

iii.

Como 𝑥 2 + 𝑦 2 − 6𝑥 − 4𝑦 + 12 = 0 → (𝑥 − 3)2 + (𝑦 − 2)2 = 1 Ahora re parame trizamos, usando coordenadas polares: 𝑥 − 3 = 𝑟 cos 𝑡 𝒞: {𝑦 − 2 = 𝑟 sen 𝑡 𝑧=0 𝑥 − 3 = 𝑟 cos 𝑡 → 𝑟 = 1 Luego 𝒞: {𝑦 − 2 = 𝑟 sen 𝑡 , 𝑡 ∈ [2,4] 𝑧=0 Pero 𝑓⃗ (𝑡) = (𝑥; 𝑦, 𝑧) → 𝑓⃗ (𝑡) = (3 + cos 𝑡 ; 2 + sen 𝑡 ; 0) 𝑡 ∈ [2,4] → 𝑓⃗ (𝑡) = (− sen 𝑡 ; cos 𝑡 ; 0) ⃗⃗⃗⃗´ (𝑡)‖ = 1 , 𝐿𝑢𝑒𝑔𝑜 𝐿 (𝒞) = ∫4 1 𝑑𝑡 → 𝐿 (𝒞) = 2 →‖𝑓 2

𝑡2 2

7. Hallar la longitud de arco de 𝛼⃗(𝑡) = ( + 𝑡;

𝑡2 2

−𝑡;

√2 ln 𝑡) , 𝑡 2

> 0, desde 𝑡 = 1 hasta 𝑡 = 2

Resolución i. ii.

⃗⃗⃗⃗ 𝛼 ´ (𝑡) = (𝑡 + 1; 𝑡 − 1; 2

𝐿(𝛼⃗) = ∫1 (√2𝑡 +

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√2 ) 2𝑡

1 ) √2𝑡

⃗⃗⃗⃗´ (𝑡)‖ = √2𝑡 + → ‖𝛼

𝑑𝑡 → 𝐿(𝛼⃗) =

√2 2

1 √2𝑡

(3 + ln 2)𝑢.

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HOJA DE EJERCICIO N° 3

1. Determine las siguientes integrales: a) ∫(sen 𝑡 𝑖⃗ − 3 cos 𝑡 𝑗⃗) 𝑑𝑡 2

b) ∫(𝑡 𝑒 −𝑡 𝑖⃗ + 2𝑡𝑗⃗ ) 𝑑𝑡 1

1

c) ∫0 (𝑡 2 ; 𝑡 2 ; 𝑒 𝑡 ) 𝑑𝑡 𝜋

d) ∫02 (cos 𝑡 , 2 sen 𝑡 , tan 𝑡) 𝑑𝑡 1 √𝑡

e) ∫0 ( 2 ; f)

√𝑡+1 ) 2

𝑑𝑡

3

∫0 (2𝑒 𝑡 , 𝑡𝑒 𝑡 , 2 ) 𝑑𝑡

𝑡 2. Sea 𝑓⃗∶ ℝ → ℝ3 una función vectorial definida por 𝑓⃗ (𝑡) = (𝑡 − sen 𝑡 ; 1 − cos 𝑡 , 4 sen ),

entonces determine la longitud de esta curva en el punto 𝐴 punto 𝐵 (𝜋; 2; 4)

𝜋 (2

2

− 1; 1; 2√2) hasta el

1 1+𝑡 3. Sea 𝒞 una curva definida por 𝑓⃗ (𝑡) = (1, 𝑎𝑟𝑐 sen 𝑡 , 4 ln (1−𝑡)), entonces determine la 1 𝜋 1 2 6 4

longitud del arco de la curva 𝒞 hasta (0; 0; 0) hasta ( , , ln 3) 4. Si la trayectoria se define por la curva 𝒞: 𝑓⃗= (2𝑡, 𝑡 2 , ln 𝑡) para 𝑡 > 0 , entonces determine la longitud de esta curva entre los puntos 𝑃1 (2, 1,0) y 𝑃2 (4, 4, ln 2) 5. Hallar la longitud de arco de la línea 𝑓⃗ (𝑡) = (cos 𝑡 + cos2 𝑡 , sen 𝑡 + sen 𝑡 cos 𝑡), 𝑡 ∈ [0; 2] 6. Hallar la longitud de arco de la curva definido por 𝑓⃗= (2 sen2 𝑡 , sen 2𝑡 , 2 ln cos 𝑡) desde 1 √3 1 , 2 ln ( )) 2 2 2

el punto ( ,

7. Hallar la longitud de arco de la línea 𝒞: 𝑥 2 = 3𝑦, 2𝑥𝑦 = 9𝑧 desde el punto (0,0, 0) hasta el punto (3,3, 2) 8. Hallar la longitud de arco de la línea 𝒞: 𝑧 2 = 2ax , 9𝑦 2 = 16x𝑧 desde el punto (0,0, 0) hasta el punto (2𝑎,

8𝑎 , 2𝑎) 3

9. Determinar la longitud de las siguientes curvas:

a) 𝒞: 𝑓⃗ (𝑡) = (𝑎𝑡 − 𝑎 𝑠𝑒𝑛 𝑡 ; 𝑙𝑛(𝑠𝑒𝑐 𝑡 + 𝑡𝑎𝑛 𝑡)); 𝑡 ∈ [0,2𝜋] Docente: Dr: Orlando Eugenio Berrocal Navarro

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𝜋 b) 𝒞: 𝑓⃗ (𝑡) = (𝑡; 𝑙𝑛 𝑠𝑒𝑐 𝑡 , 𝑙𝑛(𝑠𝑒𝑐 𝑡 + 𝑡𝑎𝑛 𝑡)); 𝑡 ∈ [0, 4 ]

c) 𝒞: 𝑓⃗ (𝑡) = (𝑒 𝑡 𝑐𝑜𝑠 𝑡 , 𝑒 𝑡 𝑠𝑒𝑛 𝑡); 𝑡 ∈ [0,2] 𝜋 d) 𝒞: 𝑓⃗ (𝑡) = (𝑡, 𝑙𝑛 𝑠𝑒𝑐 𝑡 , 3); 𝑡 ∈ [0, 4 ]

e) 𝒞: 𝑓⃗ (𝑡) = (𝑎 𝑐𝑜𝑠 𝑡 + 𝑎𝑡 𝑠𝑒𝑛 𝑡 ; 𝑎 𝑠𝑖𝑛 𝑡 − 𝑎𝑡 𝑐𝑜𝑠 𝑡); 𝑎 > 0 𝑒𝑛 [0,2𝜋]

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REFERENCIA BIBLIOGRAFICA

1) ANALISIS MATEMATICO III PARA ESTUDIANTES DE CIENCIAS E INGENIERIA

EDUARDO ESPINOZA RAMOS

EDU- PERU 2015

2) CALCULO DE VARIAS VARIABLES

IGNACIO RAMIREZ LUIS PALACIOS

GRUPO EDITORIAL PATRIA MEXICO 2017

3) CALCULO II

LARSON HOSTE

MC HILL- GRAW 2005

TELER EDWARDS

4) CALCULO III

MAXIMO MITAC MEZA

THALS.RL 2011

5) CALCULO VECTORIAL

MOISES LAZARO C.

MOSHERA 2014

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