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• Lili Lee GiKwang JunJin

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1. OBJETIVO Estudiar el comportamiento de un circuito serie RLC excitado por una fuente de tensión continua, verificando prácticamente los tres tipos de respuesta. 2. MARCO TEÓRICO

VR

Sea el circuito de la Figura 1, que ha permanecido como se muestra por mucho tiempo. Si en t=0 el conmutador S se pasa de la posición 1 a la 2, a partir de ese instante se tendrá:

V  v R  v L  vC

2 S 1 V

VL L

i

(1)

C

o sea:

V  RiL

R

di  vC dt

Figura 1.

VC

(2)

Dado que:

iC

dvC dt

(3)

la ecuación (2) puede escribirse:

d 2 vC R dvC 1 V   vC  2 dt L dt LC LC

(4)

o bien:

d 2 vC dv 2 2  2 C  O vC  O V 2 dt dt donde 0 recibe el nombre de frecuencia natural no amortiguada y siendo:

O 

1 LC



R 2L

(5) el de constante de amortiguación,

(6)

Para la ecuación (5), dependiendo de la naturaleza de las raíces de su ecuación característica, pueden darse tres tipos de soluciones o respuestas de vC; estas se describen a continuación:

  0 ó R  2 L

Respuesta sobre amortiguada. Si

C , la solución de la ecuación (5) resulta ser:

  1 1  t  t   2 1 v C  V 1  e 1  e 2   1  1    1    1            2  1   1  2 

(7)

donde:

1 

1    2  O

2 

2

Respuesta con amortiguamiento crítico. Si crítica) la solución de la ecuación (5) es:

1    2  O

  0 ó R  2 L

2

(8)

C (valor conocido como resistencia

t 1 t   v C  V1  e   e     

(9)

donde:



1 

(10 )

Respuesta subamortiguada u oscilatoria. Si

  0 ó R  2 L

C , la solución de (5) es:

    t  v C  V 1  O e  sen t  tg 1      

(11)

donde:



1 

(12)

y

  O   2 2

(13)

esta última es la frecuencia natural amortiguada; luego, el periodo de oscilaciones viene dado por:

T

2 

(14)

En la figura 2, se representan los tres tipos de respuesta de vC. v C

VCM M

Respuesta subamortiguada excitació n

V

Respuesta con amortiguamiento crítico Respuesta sobreamortiguada t Figura 2. Para el análisis práctico de un circuito como el de la Figura1, la fuente de tensión continua V y el conmutador S pueden reemplazarse por un generador de funciones que entregue una onda cuadrada oscilando entre 0 y V; de esta manera, el voltaje sobre el capacitor se hace periódico y puede ser estudiado por un osciloscopio. En tal caso, puede ser necesario considerar la resistencia de salida del generador de funciones, R0, así como la resistencia óhmica del inductor, RL. T

En la Figura 3, se tiene un circuito que emplea un generador de funciones, con su resistencia de salida, RO, mostrada explícitamente. Del mismo modo se muestra la resistencia óhmica del inductor, RL. Si las resistencias presentes se reúnen en una resistencia total, RT=RO+RL+R, el circuito es similar al de la Figura 1 y todo el análisis realizado para aquel caso es válido para éste, siempre que se sustituya R por RT.

Ro

RL

L R

+ Vg -

C Figura 3.

En el caso oscilatorio, α y ω pueden determinarse experimentalmente midiendo el periodo T y el primer máximo del voltaje sobre el capacitor, designado vCMM, con las siguientes ecuaciones:

 EXP 

2 V ln T v CMM  V

 EXP 

2 

(15)

3. PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL Obtener del generador de funciones una onda cuadrada que oscile entre 0.0 [V] y +4.0[V] a una frecuencia de 1.0 [KHz]. Montar el circuito de la Figura 4, en el osciloscopio usar como señal de disparo la señal del canal con pendiente positiva y ajustar el nivel de disparo al mínimo posible.

Respuesta sobre amortiguada. Colocar la resistencia variable, R, en su valor máximo. Medir el voltaje sobre el capacitor para diferentes instantes de tiempo y llenar la Tabla 1 de la hoja de datos. Medir el valor de R. Respuesta con amortiguamiento crítico. Disminuir R hasta tener amortiguamiento crítico. Llenar la Tabla 2. Medir el valor de R. Respuesta subamortiguada. Colocar R en su valor mínimo. Llenar la Tabla 3. Es recomendable observar con el osciloscopio unos tres ciclos o periodos y hacer mediciones en los puntos correspondientes a los mínimos, máximos y a las intersecciones con el nivel +4.0[V]. Medir el valor de R. Medir T y vCMM.

4. ANÁLISIS Y TRATAMIENTO DE DATOS. Respuesta sobreamortiguada.

t [μs]

vC [V]

vC-teo [V]

0

0,0

0,00

15

0,3

0,31

25

0,6

0,57

40

0,9

0,94

60

1,3

1,36

100

2,0

2,03

150

2,6

2,64

200

3,0

3,06

300

3,5

3,55

400

3,7

3,79

500

3,8

3,89

600

3,9

3,95

RESPUESTA AMORTIGUADA

4,5 4,0

VOLTAJE [V]

3,5

3,5

3,0

3,7

3,8

3,9

3,0 2,6

2,5 2,0

2,0

1,5

1,3

1,0

0,9 0,6 0,3 0,0

0,5 0,0 0

100

200

300

400

500

600

TIEMPO [S]

700

Respuesta con amortiguamiento crítico.

t [μs]

vC [V]

vC-teo [V]

0

0

0,00

10

0,3

0,31

20

0,9

0,93

30

1,6

1,59

40

2,2

2,18

50

2,6

2,67

60

2,9

3,04

80

3,4

3,52

100

3,7

3,77

150

3,9

3,97

200

4

3,99

Respuesta con amortiguamiento crítico 4,5

VOLTAJE [V]

4 3,5 3 2,5 2 1,5 1 0,5 0 0

50

100

150

200

TIEMPO [S]

250

Respuesta con subamortiguada. t [S]

vC [V]

vC-teo [V]

0

0,0

0,00

40

4,0

4,29

70

6,4

6,43

110

4,0

3,72

145

2,6

2,59

180

4,0

4,23

215

4,8

4,84

255

4,0

3,69

285

3,8

3,50

325

4,0

4,20

360 400 430 465 500

4,3 4,0 3,8 4,0 4,1

4,26 3,83 3,85 4,08 4,09

RESPUESTA SUBAMORTIGUADA 7,0

6,0

VOLTAJE [V]

5,0

4,0

3,0

2,0

1,0

0,0 0 EXPER

100 TEOR

200

300

TIEMPO [S]

400

500

600

Comparar los valores experimentales y teóricos de

 exp 

y

.

2 V 2 4 ln  ln 6 T Vcnn  V 145*10 6.4  4

  exp  7.05*103  rad  s     exp 7.19  7.05 d%  *100%  *100%  exp 7.05  d %  1.98% 2 2  T 145*106  exp  43.33*103  rad  s    exp 45.67  43.33 d%  *100%  *100% exp 43.33

exp 

 d %  5.4%

5. CONCLUSIONES

Se pudo realizar con éxito los puntos de los objetivos del laboratorio y poder observar los tipos de amortiguamiento Lo interesante de este laboratorio fue que solo de obtuvieron los valores de respuesta de amortiguamiento variando la resistencia mediante un potenciómetro colocándolo con el valor mínimo para sub. Amortiguado y con el valor mas alto para sobre amortiguado y en un valor predeterminado para amortiguamiento critico Y las comparaciones de los valores experimentales con los teóricos no se obtuvo un margen de grande en todo caso fue pequeño (aceptable) menor que 6 %

6. BIBLIOGRAFIA Física Experimental Apuntes de Física III

Ing. Manuel Soria Ing. Salinas Pérez Mario

7. ANEXOS Instrumentos usados en laboratorio

8. CUESTIONARIO 1. Deducir la ecuación (15). R. Ahora se considerará la función de la respuesta subamortiguada en el instante en que adquiere su valor máximo. Dicho instante, corresponde a la mitad del periodo. Dicha afirmación, se puede ver del gráfico, o razonando el hecho de que la función tiene como factor la función menos Seno. De este mismo hecho, se concluye que el valor del factor seno, debe ser también máximo. Vale decir uno.

  t    vC  V 1  o e   Sen   t  Arctg       1

VCMM  V (1 

e

T   2



Donde el valor ln

 0 0



 0  T2  e ) 

V  (1  CMM ) 0 V

V T    ln  ln( 1  CMM ) 2 0 V

Ya que nos sale un valor muy pequeño si reemplazamos valores experimentales, dicho valor es más o menos una millonésima parte del valor de alfa que se espera obtener. Luego es despreciable. Con esa consideración, se tiene:



T V  VCMM   ln 2 V



2 V ln T V  VCMM

2. Para un circuito RLC serie con respuesta subamortiguada, dibujar en forma correlativa, indicando valores literales notables, las formas de onda de: El voltaje de entrada (igual a V a partir de t = 0) El voltaje sobre el capacitor. La corriente. El sobre la resistencia total. El voltaje sobre el inductor (despreciando su resistencia óhmica)

R. voltaje de entrada

t 0 Voltaje sobre el capacitor

V

0 Corriente (A) i(0)

0 i(0)*RT Voltaje sobre la resistencia total

0

V Voltaje sobre el inductor

0

3. En el caso de la respuesta oscilatoria ¿por qué causa física el voltaje sobre el capacitor continua aumentando después de que ha alcanzado el voltaje de excitación V?. R. El inductor es el responsable de tal efecto ya que la energía de su campo magnético hace que la corriente siga aumentando y por lo tanto el voltaje sobre el capacitor también aumente 4. En el caso de la respuesta oscilatoria ¿por qué causa física disminuye la amplitud de las oscilaciones? R. La resistencia asociada al circuito es el responsable de tal efecto por que disipa la energía acumulada en forma de calor. 5. Cuando la señal del generador cae a 0 volts. (lo que equivale a regresar el conmutador a su estado inicial) también se presenta fenómenos transitorios en vc ¿A que se debe esto? R. Se debe que aún existe energía dentro del circuito, por más de que ya no circule corriente por él la energía del inductor en disminución provoca los fenómenos en la descarga.