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UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS Universidad del Perú, DECANA DE AMERICA)

FACULTAD DE CIENCIAS FISICAS LABORATORIO DE FISICA II

LABORATORIO Nº 3: OSCILACIONES PROFESOR:

Juan Adrián Ramos Guivar

HORARIO:

Jueves 14:00 – 16:00 pm

INTEGRANTES:

Alarcón Gutiérrez, Jaime

17170007

Cortez Escárate, Carlos

17170018

Leon Avellaneda, André

17170120

Málaga Ternero, Diego

17170158

Medina Año, Herbert

17170032

2018

OBJETIVO  

Investigar sobre el movimiento armónico simple (MAS) de cuerpos elásticos. Hallar la gráfica T2 vs M y T vs M

PRINCIPIOS TEÓRICOS En la naturaleza se presentan movimientos que se repiten, conocidos como movimientos oscilatorios o vibratorios. El movimiento de un péndulo simple, el movimiento de un cuerpo sujeto a un resorte y el movimiento de los átomos en un cristal son algunos ejemplos de este tipo de movimiento. Si el movimiento se repite cada que transcurre determinado intervalo de tiempo, se dice que es periódico y a este tiempo se le define como el período del movimiento (T), que corresponde al inverso de la cantidad física conocida como la frecuencia del movimiento (f)[1]. Un movimiento oscilatorio de interés en la física y que es periódico, se conoce como movimiento armónico simple (MAS), el cual posee como principales características: La ausencia de rozamiento (La energía se conserva), la aceleración es proporcional y opuesta al desplazamiento y la frecuencia de un MAS es independiente de la amplitud del movimiento.

Figura N°1

Cinemática del MAS: POSICIÓN Como el MAS es un movimiento periódico, la ecuación cinemática de posición x(t), debe responder por dicha periodicidad, es decir, debe ser una función periódica en el tiempo. Para que se cumpla lo anterior, la función debe ser senoidal o cosenoidal, cuya única diferencia es una fase de π/2 [2]. 𝑥(𝑡) = 𝐴 𝑠𝑒𝑛 (𝜔𝑡 + 𝜑) Donde:     

x: La posición x de la partícula respecto al origen de coordenadas (elongación) A: Es la máxima elongación Φ: Fase inicial t: Tiempo 𝜔: Frecuencia angular

VELOCIDAD Hallaremos la velocidad derivando la posición con respecto al tiempo: v(t) = ωAcos(ωt + φ) ACELERACIÓN De forma análoga, la aceleración será obtenida derivando la velocidad con respecto al tiempo: a(t) = −ω2Asen(ωt + φ) = − ω2x

Dinámica del MAS: Un tipo de movimiento oscilatorio lineal resulta cuando la fuerza actuante es opuesta y proporcional al desplazamiento (recuperadora), cumpliéndose la ley de Hooke: 𝐹 = −𝐾𝑥

Donde:  



F: Fuerza elástica K: Constante de elasticidad

x: Elongación

Debemos recordar también que la fuerza inercial está dada por: 𝐹 = 𝑚𝑎

De las ecuaciones mencionadas, al relacionarlas y tomando a la aceleración como la segunda derivada de la posición con respecto al tiempo: 𝑚

𝑑2 x = −𝑘𝑥 d𝑡 2

𝑑2 x 𝑘𝑥 + =0 d𝑡 2 𝑚 𝑘

Donde 𝑤 = (𝑚)1/2 , finalmente obtenemos la ecuación diferencial del MAS. 𝑑2 𝑥 + 𝑤 2𝑥 = 0 𝑑𝑡 2

La ecuación x(t) = A sen (ωt + φ) satisface a la ecuación diferencial hallada, precisamente es su solución; y se cumple cuando el bloque se mueve alrededor del punto de equilibrio.

PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL Materiales       

Soporte universal Regla milimetrada Balanza de precisión de 3 ejes Resorte en espiral de acero Juego de pesas más portapesas 2 sujetadores Cronómetro

Montaje -

Montamos el equipo como se muestra la siguiente figura

-

Seguimos los siguientes pasos: 1. Utilizamos la balanza para determinar los valores de las masas del resorte y del portapesas. m(resorte)

45.5g

m(suspendida)

50.2g

¿Cree usted que le servirán de algo estos valores? ¿Por qué? Sí, porque estos valores ayudan a conocer las condiciones iniciales de nuestro problema y nos sirven para calcular el periodo de oscilación. Es necesario tenerlos en cuenta.

2. Tomamos en cuenta el valor de la contante elástica del resorte obtenida de la experiencia N°1 𝑘 = 43.84 𝑁/𝑚

Determinación del periodo de oscilación: El periodo de oscilación del sistema se determinó mediante la siguiente ecuación: 𝑚 𝑚 + 3𝑟 √ 𝑇 = 2𝜋 𝑘

3. Colocamos en el portapesas una pesa pequeña. Anotamos en la tabla 01 los valores de la masa suspendida (pesa más la masa del portapesas) y la distancia con respecto a la posición de equilibrio del resorte 𝑥0 = 31.6 𝑐𝑚 4. Desplazamos verticalmente la masa suspendida a una distancia pequeña 𝐴 = 5 𝑐𝑚 y la dejamos oscilar libremente evitando que se produzcan movimientos laterales y perturbaciones.

5. Calibramos el cronómetro a cero. Medimos el tiempo para diez oscilaciones y determinamos el periodo de oscilación (𝑇 = 𝑡/10). Anotamos los datos en la Tabla 01

Tabla 01. Experimento N°3 𝑵°

𝒎 (𝒌𝒈)

𝒕 (𝟏𝟎 𝒐𝒔𝒄. )

𝑻(𝒔)

𝑻𝟐 (𝒔𝟐 )

1

0.1502

4.6s

0.46

0.02116

2

0.2502

6.1s

0.61

0.3721

3

0.3502

7.2s

0.72

0.5184

4

0.4502

8.3s

0.83

0.6889

5

0.5502

9.3s

0.93

0.8649

6. Repetimos los pasos (3) a (5) utilizando cada vez más pesas de mayor valor terminando de llenar los datos en las columnas correspondientes como podemos visualizar en la tabla de arriba.

7. En lugar del portapesas colocamos en el extremo inferior del resorte, una pesa de masa 500g. La soltamos desde 3 diferentes posiciones y anotamos los datos en la tabla 02. Tabla 02. Experimento N°3 𝑵°

𝑷𝒐𝒔𝒊𝒄𝒊ó𝒏 𝒙 (𝒄𝒎)

𝑨𝒎𝒑𝒍𝒊𝒕𝒖𝒅 (𝒎)

𝒕 (𝟏𝟎 𝒐𝒔𝒄. )

1

52.4

7

8.7

2

62.4

10

8.7

3

65.4

13

8.8

DATOS Y CÁLCULOS Montaje N°1 Tabla N°01. Experimento N°3 𝑵°

𝒎 (𝒌𝒈)

𝒕 (𝟏𝟎 𝒐𝒔𝒄. )

𝑻(𝒔)

𝑻𝟐 (𝒔𝟐 )

1

0.1502

4.6s

0.46

0.2116

2

0.2502

6.1s

0.61

0.3721

3

0.3502

7.2s

0.72

0.5184

4

0.4502

8.3s

0.83

0.6889

5

0.5502

9.3s

0.93

0.8649

A partir de esta tabla realizamos las gráficas T versus m, T 2 versus m:

Periodo Al 2

m vs T^2 1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0

0.8649 0.6889 0.5184 0.3721 0.2116

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

Masa

Figura N°2

m vs T 1

0.93

0.9

0.83

0.8

0.72

Periodo

0.7

0.61

0.6

0.46

0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0

0.1

0.2

0.3

Masa Figura N°3

0.4

0.5

0.6

Ahora hallaremos la línea a la que se aproximan nuestros puntos mediante el método de mínimos cuadrados: Sabiendo que 𝑦 = 𝐴 + 𝐵𝑥 es la curva de mejor ajuste, entonces: 𝐵= ∑

𝑥𝑖 𝑦𝑖 − 𝑁𝑥𝑦 ̅̅̅ 2 ̅̅̅ 𝑥𝑖 − 𝑁𝑥 2

𝐴 = 𝑦̅ − 𝐵𝑥̅

𝐵=

𝐴=

1.751𝑥2.6559 5 = 1.6124 1.7512 0.7132 − 5

1.0924 −

2.6559 1.751 − (1.6234) = −0.0334 5 5

Lo que nos genera una recta de la forma: 𝑦 = (1.6124)𝑥 − 0.0334

Compararemos la gráfica de T2 versus m con su valor teórico: 4𝜋 2 𝑚𝑟 4𝜋 2 𝑇 = + 𝑚 3𝑘 𝑘 2

𝑇 2 = 𝑎 + 𝑏𝑚

Donde deducimos que la pendiente de la recta (teóricamente):

𝑎=

4𝜋 2 𝑚𝑟 4𝜋 2 (0.0455) = = 0.0373 3𝑘 3(24.31) 4𝜋 2 4𝜋 2 𝑏= = = 1.6234 𝑘 43.84

Para determinar la frecuencia angular del resorte lo haremos con la siguiente relación: 𝜔=√

𝜔=√

𝑘 𝑚

𝑘 24.31 =√ = 23.11 𝑚 0.0455

El análisis de las gráficas se encuentra en el tópico Discusión de Resultados.

Calculo del error: Para calcular el periodo teóricamente usamos la siguiente formula: 𝑚𝑟 𝑚+ 3 𝑇 = 2𝜋√ 𝑘 Dado esto calcularemos el periodo teóricamente para cada masa de la tabla N°1: 0.1502+ T1=2𝜋√

0.0455 3

43.84

= 0.51

T2=0.65 T3=0.77 T4=0.86 T5=0.95

Ahora calcularemos el error de cada periodo: |0.51−0.48|

Error 1=

0.51

|0.65−0.61|

Error2=

0.65 |0.77−0.72|

Error 3=

0.77

= 5.8%

= 6.1% = 6.5%

|0.86−0.83|

Error4=

0.86 |0.95−0.93|

Error5=

0.95

= 3.5% = 2.1%

Montaje N°2:

Tabla 02. Experimento N°3 𝑵°

𝑷𝒐𝒔𝒊𝒄𝒊ó𝒏 𝒙 (𝒄𝒎)

𝑨𝒎𝒑𝒍𝒊𝒕𝒖𝒅 (𝒎)

𝒕 (𝟏𝟎 𝒐𝒔𝒄. )

1

52.4

7

8.7

2

62.4

10

8.7

3

65.4

13

8.8

Para una masa de 500g el periodo será T=0.91 Siendo el error Error =

|0.91−0.87| 0.91

= 4.4%

ANÁLISIS Y DISCUSIÓN DE RESULTADOS Luego de graficar T versus T2, observamos q la primera grafica tiende a una curva mientras que la segunda a una recta. Esto debido a que la fórmula que relaciona al periodo con la masa es: 𝑚 𝑚 + 3𝑟 𝑇 = 2𝜋√ 𝑘

Entonces podemos darnos cuenta que la primera gráfica debe ser una curva , mientras q luego de elevar al cuadrado el periodo la relación periodo y masa se vuelve lineal.

Determinamos la masa del resorte: M=0.0455 Kg Gracias al cálculo anterior ahora calculamos la frecuencia angular de oscilación del resorte: W=23.11rad/s En estos cálculos encontramos errores debido a errores de medición y calibramiento. También considerar el error de la constante elástica del resorte que fue hallada en el primer laboratorio. Luego en lugar del porta pesa, colocamos en el extremo inferior, una pesa de ½ Kg y la soltamos cuidadosamente desde diferentes posiciones, donde comprobamos que: El periodo de oscilación era prácticamente constante, esto debido a que no de pende de la deformación del resorte, solo de la masa. No influye el cambio de la amplitud en el periodo porque con este cambio hay otros que lo regulan. Por ejemplo: la velocidad. El cambio de pesas si influye en el periodo, esto es porque mientras más masa el periodo de oscilación aumenta.

EVALUACIÓN 2. Determine el error porcentual en el periodo calculado y el periodo medido. Esto está detallado en la sección de Datos y Cálculos. 3. Las diferencias entre el periodo experimental y el teórico se deben a muchos factores entre los cuales los más importantes son los siguientes:  

Error de precisión por parte del sujeto, esto es el error cometido por el sujeto al manipular el cronometro. Error de fricción, esto es pues los cálculos teóricos están dados en un medio ideal sin fricción del aire ni otros factores, los cuales en la realidad si se dan y no se toman en cuenta.

CONCLUSIONES 

Se investigó sobre el MAS en cuerpos elásticos, este es un movimiento periódico ocasionado por la acción de una fuerza recuperadora que es directamente proporcional a la posición.



El cambio de la amplitud no influye en el periodo.



El cambio de masa influye directamente en el periodo, en cuanto mayor masa se agregue mayor será el periodo.



La masa que oscila en el resorte es inversamente proporcional a la frecuencia.



El periodo es directamente proporcional a la masa e inversamente proporcional a su constante de rigidez.



La masa es directamente proporcional a cuadrado del periodo por lo que obtuvo una recta en la gráfica “T2 vs. m”.



Se encontró un error debido a las perturbaciones y movimientos laterales que sufrió el resorte en la experiencia.

BIBLIOGRAFIA 

[1][2] Bernardo Arenas. Movimiento oscilatorio, Instituto de Física, 1 a ed. Colombia, 2017, pp 2-5. Disponible en: http://aprendeenlinea.udea.edu.co/lms/moodle/pluginfile.php/159900/mod_resour ce/content/1/OSCILACIONES.pdf