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UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA FACULTAD DE INGENIERÍA ELÉCTRICA Y ELECTRÓNICA

INFORME FINAL N°8 EXPERIMENTO N°8

: Características de un Circuito Integrador y diferenciador

ASIGNATURA

: Lab. de Circuitos Eléctricos I

DOCENTE

:

Judith Luz Betetta Gómez

CÓDIGO DE CURSO

:

EE131

SECCIÓN

:

S

CICLO

:

2016-I

ALUMNA: 

Rodas López, Melanie Elena

2016

20132619B

ÍNDICE 1.

OBJETIVO ...............................................................................................................................1

2.

FUNDAMENTO TEÓRICO ...................................................................................................1 2.1.

EL DIFERENCIADOR: ..............................................................................................1

2.2.

EL INTEGRADOR ......................................................................................................4

3.

EQUIPO Y MATERIALES: ...................................................................................................5

4.

PROCEDIMIENTO:................................................................................................................7

5.

CUESTIONARIO: .................................................................................................................10

6.

ANEXO: ..................................................................................................................................25

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA FACULTAD DE INGENIERÍA ELÉCTRICA Y ELECTRÓNICA ESPECIALIDAD: INGENIERÍA DE TELECOMUNICACIONES

CARACTERÍSTICAS DE UN CIRCUITO INTEGRADOR Y DIFERENCIADOR 1. OBJETIVO   

Analizar en forma experimental las características de un circuito RC como un elemento integrador o derivador, cuando es excitado con una señal periódica de onda cuadrada Definir el circuito integrador y derivador Simulaciones

2. FUNDAMENTO TEÓRICO 2.1.

EL DIFERENCIADOR: Se trata de un circuito constituido por una capacidad C y una resistencia R (circuito RC), el cual actúa como un filtro pasivo para altas frecuencias, debido a que no intervienen elementos amplificadores, como transistores o circuitos integrados, este tipo de filtro atenúa las bajas frecuencias según la formula empírica de la derecha:

Fig. 1 Este circuito se utiliza para detectar flancos de subida y bajada en una señal, provocando una mayor diferenciación en los flancos de entrada y salida de la señal que, es donde la variación con el tiempo (t) se hace más notoria. Estas zonas de la señal son además las que corresponden a las altas frecuencias, mientras que las zonas planas están compuestas por frecuencias más bajas.

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Este tipo de circuitos realmente son más conocidos como filtro RC pasivo pasa alto que, se utiliza para filtrar las frecuencias superiores al valor especificado por la fórmula anterior, se recomienda leer el tutorial sobre filtros, si está interesado en el tema. Desde otra perspectiva este circuito, separa la corriente continua entre circuitos ya que el condensador interrumpe el paso de la corriente continua, dejando pasar sólo el pulso correspondiente al flanco de entrada y el de salida. La señal derivada puede utilizarse para disparar algún otro componente de la cadena electrónica como puede ser un disparador (trigger). Qué ocurre cuando se aplica un tren de impulsos a la entrada de este circuito. Cuando un pulso de tensión, se eleva de repente de cero al máximo, la corriente que carga el condensador C, de repente se eleva a un valor máximo también. En la medida que se carga C, la carga de corriente se cae exponencialmente a cero. Ya que esta corriente de carga pasa por la resistencia R, el voltaje a través de la R (que es el voltaje de salida) hace lo mismo. Por consiguiente nosotros conseguimos la forma mostrada, con el voltaje de salida que sube de repente al máximo y a continuación caerse exponencialmente entonces a cero. Cuando el pulso se cae a cero, se produce la descarga del condensador C. La corriente de descarga es alta en la salida y entonces se cae exponencialmente a cero como la descarga del condensador C. Sin embargo, dado que la corriente de descarga, está en oposición a la dirección de la carga actual, el voltaje por R se invertirá, con lo que la forma de onda se muestra ahora por debajo de la línea cero. Para cada pulso, la forma de onda de salida se repite, mostrando la forma siguiente.

Fig. 2 Observe la figura anterior, podemos apreciar el efecto que ejerce el condensador C al cargarse y la posterior descarga sobre la resistencia R, motivo por el cual la señal de salida Página 2

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presenta los picos del gráfico. La Ley Ohm dice que, la corriente es proporcional al voltaje y recíprocamente, el voltaje es proporcional a la corriente. El pulso de salida es proporcional a la variación del pulso de entrada con el tiempo t. El circuito actúa como una derivada. El circuito sólo diferenciará el pulso de entrada si la constante de tiempo es pequeña comparada con la anchura de la señal. En caso contrario el pulso pasa sin grandes variaciones. Esto se hace patente cuando debido a malas terminaciones en los cables o a conexiones en mal estado se generan circuitos RC accidentales, apareciendo situaciones como las de la figura de la derecha. La carga eléctrica (i) empieza a almacenarse en el condensador (C) cuando el voltaje se aplica a la entrada. La corriente eléctrica que fluye en el condensador, como la carga eléctrica se almacena en decrementos. La corriente eléctrica que fluye a través del condensador (C) y la resistencia (R) se calcula por lo siguiente fórmula:

i = (V/R)e-(t/CR)

Fig. 3 Donde: i : La corriente eléctrica (A) que cambia en el tiempo V : El voltaje (V) aplicado R : El valor de resistencia (W ohms) C : El valor del condensador (F) e : La base del logaritmo natural (2.71828) t : El tiempo de retardo después del inicio (sec) CR : La constante de tiempo del condensador ( C x R) Página 3

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Los cambios de tensión que aparece a extremos de la resistencia (R) se deduce en la fórmula siguiente.

iR = V[e-(t/CR)] Es como se muestra en la fórmula que sigue sobre el gráfico.

Fig. 4 El cálculo exponencial puede calcularse mediante la operación Exp, con la aplicación que nos ofrece la calculadora electrónica de nuestro equipo (la función calculadora electrónica) en caso de Windows95 o mayor.

2.2.

EL INTEGRADOR

El integrador mas simple consta de una resistencia R y un condensador C, en este caso se trata de un filtro pasivo pasa bajos, como se muestra en la imagen siguiente.

Fig. 5 Que ocurre al aplicar un tren de impulsos. Cuando llega un pulso de entrada se eleva rápidamente al máximo cargando el condensador C exponencialmente debido a la Página 4

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resistencia R, lo cual deforma el pulso de entrada como se muestra en la forma de onda inferior. Cuando el pulso de entrada se cae de repente a cero, se descarga exponencialmente el condensador C a cero a través de la resistencia R. El proceso se repite para cada pulso de entrada que, dará la forma de onda de salida mostrada.

Fig. 6

3. EQUIPO Y MATERIALES: 

1 osciloscopio

Fig.7

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

1 multímetro

Fig.8 

1 generador

Fig. 9 

1 panel E_8

Fig.10 Página 6

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

Cables de conexión

Fig. 11

4. PROCEDIMIENTO: Parte 1 a) Armar el circuito integrador mostrado. b) Aplicar una señal de onda cuadrada al circuito con una frecuencia de 10 KHz

Fig.12 c) Observar la forma de onda en el condensador con el osciloscopio.

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Fig.13 d) Medir la amplitud de la señal de entrada y la señal en el condensador. e) Medir el periodo de la señal de entrada y de la integrada. f) Examinar la onda al variar la frecuencia para valores menores (1KHz) y mayores (20KHz). Parte 2 g) Armar el circuito derivador mostrado en la figura adjunta. h) Aplicar una señal de onda cuadrada al circuito con una frecuencia de 1 Khz. i) Observar la forma de onda en la resistencia con el osciloscopio.

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Fig.14

j) Medir la amplitud de la señal de entrada y la señal en la resistencia.

Fig.15 k) Medir el periodo de la señal de entrada y de la derivada. l) Examinar la onda al variar la frecuencia para valores menores (200Hz) y mayores (5KHz).

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5. CUESTIONARIO: Las siguientes preguntas corresponden para el circuito integrador y derivador

1) Realizar el fundamento teórico de la experiencia realizada. FUNCIONES SINGULARES: Con las ideas y reglas establecidas en los numerales anteriores, podemos empezar a definir una serie de funciones muy sencillas (por eso se llaman singulares), que nos servirán posteriormente para representar todas las otras funciones físicamente realizables. Veamos esas funciones: FUNCIÓN IMPULSO UNITARIO Su símbolo es 𝑢0 (t), o 𝑢impulso(t), y aceptaremos también la forma abreviada 𝑢𝑖 (t), y su gráfica exacta, con la condición de hacer δ tan pequeño como sea posible ó tan pequeño como lo requiera el sistema físico estudiado.

Fig.16 Impulso unitario

Fig. 17 Función impulso unitario Página 10

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FUNCIÓN PASO Ó ESCALÓN UNITARIO Esta función es la integral oficial de la función impulso. Como en matemáticas es usual ir contando en orden creciente las derivadas: Las integrales se cuentan en orden inverso: 𝑢0 (t), 𝑢−1 (t), 𝑢−2 (t)... De modo que el nombre ó símbolo escogido para designar esta función es u-1 (t), donde el -1 indica precisamente el integral de la función impulso. Pero aceptaremos la denominación upaso (t), o su forma abreviada up (t). Si hacemos cuidadosamente la integral de la función impulso con todas sus rampas incluidas, encontraremos una función como la ilustrada en la figura 18.

Fig. 18 Función paso o escalón unitario Se observa que las rampas, al integrarlas, producen un cambio suave entre las partes rectas de la nueva función. Cuando hacemos que δ´ tienda a cero, obtenemos una gráfica aproximada, donde el paso de cero a uno es una rampa, ver figura 19. Las zonas cerradas de la gráfica de la figura 18 aparecen ahora como puntos donde el cambio de pendiente es brusco; pero esto es sólo aparente, como vimos anteriormente.

Fig. 19 Función paso o escalón unitario

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Por último, cuando hacemos que δ tienda a cero, la función paso se convierte en la mostrada en la figura 20.La definición analítica para esta aproximación será:

Fig.20 Función paso o escalón unitario

FUNCIÓN RAMPA UNITARIA Se obtiene integrando la función paso unitaria:

Fig. 21 Función rampa unitaria

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La integral de la función entre 0- y 0+, daría el área bajo el triángulo: 1 / δ ×1 , que se hace cero cuando δ tiende a cero, por lo que no se incluye en la función total. En la figura 21 se muestra la gráfica de la función rampa unitaria. Su definición analítica sería:

Fig.22 Función rampa unitaria Si continuamos integrando, obtenemos otras funciones tipo parábola, cúbica, etc. Anotemos que la simple integral da como resultado estas funciones multiplicadas por un coeficiente, en efecto:

Ahora que estas últimas funciones se llamen “unitarias” es algo extraño. Por eso explicaremos que se consideran “unitarias” las funciones que se pueden deducir por integración ó por diferenciación de una función unitaria tal como el impulso unitario. Precisamente, veamos que función resulta al diferenciar la función impulso. Como se puede observar en la figura 23, se obtienen dos impulsos, uno positivo y otro negativo.

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Fig. Derivada de la función rampa unitaria Pero este “doblete” de impulsos tiene la característica de que el valor y el área encerrada en ellos tiende a infinito cuando δ tienda a cero. Esta extraña función es de muy dudosa existencia física, y su presentación en un circuito merecerá un análisis detenido para lograr su interpretación verdadera. Con ella terminamos el recuento de estas funciones singulares. 2) Determinar la constante del tiempo teórica y experimental. CIRCUITO INTEGRADOR: τ𝑡𝑒ó𝑟𝑖𝑐𝑜 = RC = 9.82𝑘𝛺 × 23𝑛𝐹 = 2.258 × 10−4 𝑠 Ahora calculamos el τ experimental: De los datos del laboratorio podemos ver que : 𝑉𝑐𝑚𝑎𝑥 = 202𝑚 𝑉 para T/2 Página 14

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La ecuación de carga del condensador :

202 ×

10−3

= 1.16(1 − 𝑒

−50×10−6 τ

)

∴ τ𝑒𝑥𝑝𝑒𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑙 == 2.613 × 10−4 𝑠 CIRCUITO DERIVADOR τ𝑡𝑒ó𝑟𝑖𝑐𝑜 = RC = 3.862𝑘𝛺 × 75𝑛𝐹 = 2.896 × 10−4 𝑠

∴ τ𝑡𝑒ó𝑟𝑖𝑐𝑜 = 2.896 × 10−4 𝑠 Ahora, hallamos el τ experimental:

𝑉𝐶 (𝑡 =

𝑇− 𝑇+ ) = 30𝑚𝑉 𝑦 𝑉𝐶 (𝑡 = ) = 30.3𝑚𝑉 2 2

Sabemos que : 𝑉𝑅 = 𝑅𝐶 Resulta:

ⅆ𝑉(𝑡) ⅆ𝑡

∞

𝑉𝑅 (𝑡) = RC ∑ 𝑢0 (𝑡 − 𝑛𝑇)(−1)𝑛 𝑛=0

𝛥𝑣𝑅 = 𝑅𝐶 × 𝑢0 → (30.3 − 30) × 10−3 = τ

∴ τ𝑒𝑥𝑝𝑒𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑙 = 3 × 10−4 𝑠 Página 15

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3) Graficar la forma de onda de la señal de entrada y salida.

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IMÁGENES GUARDAS POR EL OSCILOSCOPIO SEÑAL DE ENTRADA

SEÑAL DE SALIDA –CIRCUITO INTEGRADOR

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SEÑAL DE SALIDA –CIRCUITO DERIVADOR

4) Explique Ud. porque el circuito utilizado se le denomina integrador o derivador ¿Funciona para cualquier tipo de onda (triangular por ejemplo)? Demuestre. Circuito integrador: Cuando aplicamos un generador de onda cuadrada, al llegar los pulsos, estos tienen un valor constante, entonces el condensador se debería cargar y descargar exponencialmente, pero debido a que la frecuencia es grande en comparación a la inversa de RC , es decir el periodo de a onda generadora es pequeña a comparación de la constante de tiempo, la curva de carga y descarga se parecerá mas a una recto, lo cual nos genera una onda triangular. Circuito derivador: Cuando aplicamos un generador de onda cuadra a un circuito RC, el voltaje de de la resistencia decrece exponencialmente, esto se debe a que el periodo de la onda generadora es menor en comparación a la constante de tiempo. El derivador también es para una onda triangular,esto se debe a que considera como la unión de varias “ondas rampa”. 5) Explique la influencia que tiene la frecuencia de la señal en el circuito integrador.

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La frecuencia de la señal tiene mucho que ver mucho ya que mientras mayor sea la frecuencia, menor será el periodo.Además se debe tener en cuenta que el periodo tiene que ser pequeño en comparación de la constante de tiempo del circuito RC. 6) Que sucede con la amplitud de la señales Vc y Vr, cuando varia la frecuencia de la señal de entrada. Las amplitudes de Vc y Vr disminuyen cuando se incrementa la frecuencia, en otras palabras se disminuye el periodo de la onda generadora esta hace que la señal de salida disminuya su amplitud. 7) Muestre analíticamente el desarrollo de la serie de Fourier de la señal de entrada y la señal de salida en cada caso.

SEÑAL DE ENTRADA

La serie de Fourier viene dada por: ∞

𝑓 (𝑡) = 𝑎0 + ∑(𝑎𝑛 cos 𝑛𝜔𝑡 + 𝑏𝑛 𝑠𝑒𝑛(𝑛𝑤𝑡)) , 𝑛 = 0,1,2,3,4 … 𝑛=0

Por la simetría impar que presenta la onda: 𝑎0 = 0 𝑎𝑛 = 0

Reemplazando en la serie de Fourier nos resulta: ∞

𝑓(𝑡) = ∑(𝑏𝑛 𝑠𝑒𝑛(𝑛𝑤𝑡)) 𝑛=1

𝑛 = 1,3,5,7 … Hallando 𝒃𝒏: 𝑏𝑛 =

4 ∫ 𝑉 𝑠𝑒𝑛(𝑛𝑤𝑡)ⅆ𝑡 𝑇 0 𝑛 = 1,3,5, … Página 19

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Reemplazando en la función, tenemos: ∞

(1 − (−1)𝑛 ) 2 2𝜋 𝑓 (𝑡) = 𝑉0 ∑ 𝑠𝑒n ( 𝑛𝑡) ; 𝑛 = 1,3,5,7 … 𝜋 𝑛 𝑇 𝑛=0 ∞

𝑓 (𝑡) = 0.63𝑉0 ∑

(1 − (−1)𝑛 ) 2𝜋 𝑠𝑒n ( 𝑛𝑡) 𝑛 𝑇

𝑛=0

𝑛 = 1,3,5,7 … SEÑAL DE SALIDA

La serie de Fourier viene dada por: ∞

𝑓 (𝑡) = 𝑎0 + ∑(𝑎𝑛 cos 𝑛𝜔𝑡 + 𝑏𝑛 𝑠𝑒𝑛(𝑛𝑤𝑡)) , 𝑛 = 0,1,2,3,4 … 𝑛=0

Por extensión periódica par: 𝑏𝑛 = 0 Reemplazando en la serie de Fourier nos resulta: ∞

𝑓 (𝑡) = 𝑎0 + ∑(𝑎𝑛 cos 𝑛𝜔𝑡) ; 𝑛 = 0,1,2,3,4,5, … 𝑛=1

Hallamos los coeficientes , 𝑎0 : 𝑎0 = Ahora, hallando 𝑎𝑛 : 𝑎𝑛 =

4 𝑉0 ∫ 𝑡 ⅆ𝑡 𝑇 𝑅𝑐

4 𝑉0 ∫ 𝑡𝑐𝑜𝑠(𝑛𝑤𝑡)ⅆ𝑡 𝑇 𝑅𝐶

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𝑎𝑛 =

𝑇𝑉0 (1 − (−1)𝑛 ) 2𝜋𝑅𝐶 2𝑛

Reemplazando en la función, tenemos: ∞

(1 − (−1)𝑛 ) 2 2𝜋 𝑓 (𝑡) = 𝑉0 ∑ 𝑠𝑒n ( 𝑛𝑡) 𝜋 2𝑛 𝑇 𝑛=0

𝑛 = 1,3,5,7 … Reemplazamos los coeficientes hallados en la función: ∞

𝑓 (𝑡 ) =

𝑇𝑉0 𝑇𝑉0 ((−1)𝑛 − 1) +∑ 2 𝑐𝑜𝑠(𝑤𝑛𝑡) ; 𝑛 = 0,1,2, … 𝑅𝐶 𝜋 𝑅𝐶 2𝑛 𝑛=0 ∞

((−1)𝑛 − 1) 𝑇𝑉0 𝑇𝑉0 2𝜋 𝑓(𝑡) = + 2 ∑ 𝑐𝑜𝑠 ( 𝑛𝑡) 𝑅𝐶 𝜋 𝑅𝐶 2𝑛 𝑇 𝑛=0

𝑛 = 0,1,2, …

8) Observaciones, conclusiones y recomendaciones de la experiencia realizada.  OBSERVACIONES:   

Podemos observar las características de las señales de salida, cuando el circuito RC lo analizamos como elemento integrador y diferenciador. Se observó una onda triangular en la salida, en el circuito integrador. Se observó una onda exponencial en la salida, cuando el circuito es derivador y que el periodo de esta onda es casi igual al de la onda de entrada. RECOMENDACIONES:

 

Como el cable que lleva la señal del generador al circuito también posee polos que están marcados los cuales debemos tenerlos en cuenta al momento del armado cada circuito. Calibrar el osciloscopio, para que el osciloscopio marque el voltaje correcto. CONCLUSIONES:

  

Las señales obtenidas son parecidas a las que estudiamos teóricamente, era de esperarse debido a que se tuvo de entrada una onda cuadrada cuya derivada e integral es conocida. En un circuito derivador, la señal de salida es la derivada de la de entrada. En un circuito integrador, la señal de salida es la integral de la de entrada. Página 21

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

Los errores de medida que una vez más obtenemos en cálculo de los resultados son debido a la calibración de los materiales, cables de conexión que provocan cierto error y por los errores de cada instrumento.

9) Mencionar 3 aplicaciones prácticas de la experiencia realizada completamente sustentadas. AMPLIFICADOR OPERACIONAL:

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FILTROS ELECTRÓNICOS

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6. ANEXO:

6.1.Hoja de datos:

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