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LABORATORIO FISICA 100-CAIDA LIBRE

MATERIA: LABORATORIO FISICA 100 GRUPO: F GESTION ACADEMICA: 2017 Nro. DE EXPERIMENTO: 3 TITULO DEL EXPERIMENTO: CAÍDA LIBRE DOC: ING. ROBERTO PARRA ZEBALLOS AUX: UNIV. JOSE LUIS ESTUDIANTE: UNIV. RODRIGUEZ CHAUCA JONATHAN CARRERA: ING CIVIL FECHA DE REALIZACION: 26 / 10 /16 FECHA DE ENTREGA: 09 / 11 / 16

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CAIDA LIBRE 1 OBEJETIVO GENERAL Estudio del movimiento de caída libre

1.1OBEJETIVO ESPECÍFICO Determinar y validar la ecuación experimental del movimiento en caída libre Determinar el valor de la aceleración de la gravedad “g”

2. FUNDAMENTO TEORICO Según Aristóteles, los cuerpos caen con una velocidad proporcional a su peso, es decir, que los objetos pesados caen rápidamente que lo ligeros. Décadas mas tarde, Newon demostró que en el vacio ( ausencia de la resistencia del aire) todos los cuerpos caen con la misma aceleración en un mismi punto de la superficie terrestre aun cuando sean muy diferentes en peso y tamaño. Se conoce que todo cuerpo situado sobre la superficie de la tierra experimenta la acción continua de una fuerza constante "su peso"; de no existir obstáculo alguno: Fuerza de rozamiento del aire, presión, o cualquier otra interacción, dicha acción pondría en movimiento uniformemente acelerado al cuerpo. Si permitimos que un cuerpo caiga en vacío, de modo que la resistencia del aire no afecte su movimiento, encontraremos un hecho notable: todos los cuerpos independientemente de su tamaño, forma o composición, caen con la misma aceleración en la misma región vecina a la superficie de la Tierra. Esta aceleración, denotada por el símbolo g , se llama aceleración en caída libre Se dice que un cuerpo se mueve en “caída libre”; cuando sobre él actúa únicamente la fuerza de atracción gravitacional; es decir, su propio peso. Mediciones de espacio y tiempo realizadas con precisión, muestran que 'a velocidad de los cuerpos en caída libre se incrementa en forma constante; es decir, se mueven con aceleración constante. Esta ⎸⎸

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aceleración se le conoce con el nombre "aceleración de la gravedad", y se le designa con la letra “g”. Mediciones en diferentes puntos de la Tierra muestran que g varía de un lugar a otro. Por ejemplo, aumenta con el incremento de la Latitud Geográfica y disminuye al aumentar la altura sobre el nivel del mar.

En la gráfica anterior se observa que la dirección de los vectores aceleración y velocidad, de un objeto que ha sido lanzado hacia arriba con una velocidad inicial; en el primer instante (bola a la izquierda) notamos que el vector velocidad apunta hacia arriba, en el sentido positivo del eje Y, mientras el vector aceleración ( g ) tiene una dirección hacia abajo, en el sentido negativo del eje Y. En el segundo instante cuando el objeto cae (bola a la derecha) la dirección de la velocidad es hacia abajo en el mismo sentido del desplazamiento y el vector aceleración ( g ) mantiene su misma dirección, en el sentido negativo del eje Y. De acuerdo con la cinemática, la altura que desciende un cuerpo en caída libre en función al tiempo es: h = 1/2gt2

Esta aceleración llamada aceleración de la gravedad terrestre “g” es una consecuencia de la fuerza de atracción que ejerce la tierra sobre cualquier objeto situado en su superficie, según: 𝐺𝑀𝑚 𝑅2

F=

donde:

G = constante de gravitación universal M= masa de la tierra m= masa del objeto ⎸⎸

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R=distancia que separa las masas(radio de la tierra) Como esta fuerza de atracción es inversamente proporcional a la distancia que separa ambas masas, es razonable pensar que la gravedad terrestre disminuya a medida que el objeto se alee de su centro. Para pintos situados a una misma distancia de centro de la tierra, el valor de g debe permanecer constante, en particular para un punto como el laboratorio de física. Si un objeto se suelta desde el reposo a una altura h q cae en un tiempo t esta dada por la ecuación: 1 2

h=v0t + 𝑔 𝑡 2 …2.1

con v0=0

1 2

h= 𝑔 𝑡 2 ……………………………….2.2 la ecuación 2.2 muestra la grafica que la aceleración de la gravedad “g” puede calcularse midiendo el tiempo “t” que emplea el objeto en caer la altura “h” para este fin el mecanismo de la figura al soltar la esfera metalica pone en marcha el cronometro y luego de caer la altur ah el impacto de la esfera contra la base detiene el cronometro

Con la finalidad de probar la validez de la ecuación 2.2 para distintas alturas de caída “h” medimos los tiempos “t” empleados obtendremos un conjunto de puntos experimentales(h,t) que al ser graficados de acuerdo con la ecuación 2.2 nos mostrara una curva potencial de la forma : h=Ktn Dónde

1

: K=2*g

n=2

La validación de la ecuación de caída libre (2.2) se realiza determinando experimentalmente K y n de la ecuación (2.3) se linealiza aplicando logaritmos: Aplicando logaritmos:

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logh= logK+ n logt

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Y con el C.V. logh =y

logK=a

logt=t*

Obtenemos la ecuacon lineal: Y= A+nx………………2.4 La ecuación 2.4 es equivalente a la ecuación 2.2 de modo que pro bando la validez de la ecuación 2.4 se determinan los valores experimentales de Ky N obtenendo una ecuación experimental de la forma: Y= AE+nEx…………….2.5 La comparación de los valores experimentales AE , nE con los valores de los valores teóricos A,n se realiza mediante de prueba hipótesis del siguiente modo :

Prueba de hipótesis para nE 𝐻𝑜 : 𝑛𝑒𝑥𝑝 = 𝑛𝑡𝑒𝑜 𝐻1 : 𝑛𝑒𝑥𝑝 ≠ 𝑛𝑡𝑒𝑜 Selección del estadístico: Donde:

𝑡𝑐𝑎𝑙𝑐 =

|𝑛𝑒𝑥𝑝 −𝑛𝑡𝑒𝑜 | 𝑆𝑛𝐸

∑((𝐴𝐸 +𝑛𝐸 ∗𝑋1 )−𝑌1 )2 )

𝑆𝑌⁄ =√( 𝑋



𝑛−2

…..2.6

𝑆𝑛𝐸 =

𝑆𝑌⁄ 𝑋 1 𝑛

…2.7

√(∑ 𝑋 2 − (∑ 𝑋1 )2 )

)…….2.8

Decisión se compara 𝑡𝑐𝑎𝑙𝑐 𝑐𝑜𝑛 𝑒𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑐𝑟𝑖𝑡𝑖𝑐𝑜 𝑡𝛼/2 n-2 entonces

𝑡𝑐𝑎𝑙𝑐 < 𝑡𝛼 𝑠𝑒 𝑎𝑐𝑒𝑝𝑡𝑎 𝑙𝑎 ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑠𝑖𝑠𝑖 𝑛𝑢𝑙𝑎 y concluios que nE=n=2 y la diferencia 2

observada es solo un error aleatorio. 𝑡𝑐𝑎𝑙𝑐 > 𝑡𝛼 se acepta la hipótesis alterna y nE es distinto de n teórico. 2

Prueba de hipótesis para AE Para la prueba de hipótesis del valor experimental AE y el teórico A este ultimo se determina mediante

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logK=A=log2 ∗ 𝑔 … … ……………2.9 Donde g es el valor teórico de la gravedad en la ciudad del La Paz determinas los valores experimentales a partir de: 𝐻𝑜 : AE = 𝐴 𝐻1 : AE ≠ 𝐴 Selección del estadístico 𝑡𝑐𝑎𝑙𝑐 =

∑ 𝑋2

|𝐴𝐸 −𝐴| 𝑆𝐴𝐸

…..2.10

𝑆𝐴⁄ =𝑆𝑌⁄ √( ∑ 2 )……. 𝑛 𝑥 −(∑ 𝑥 )2 𝐸

𝑋

𝑖

2.11 Decisión: se compara el valor de compara 𝑡𝑐𝑎𝑙𝑐 𝑐𝑜𝑛 𝑒𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑐𝑟𝑖𝑡𝑖𝑐𝑜 𝑡𝛼/2 n-2 entonces

𝑡𝑐𝑎𝑙𝑐 < 𝑡𝛼 𝑠𝑒 𝑎𝑐𝑒𝑝𝑡𝑎 𝑙𝑎 ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑠𝑖𝑠𝑖 𝑛𝑢𝑙𝑎 y concluios que AE=A y la diferencia 2

observada es solo un error aleatorio. 𝑡𝑐𝑎𝑙𝑐 > 𝑡𝛼 se acepta la hipótesis alterna que prueba que AE es 2

significativamente distinto del A teórico, probablemente debido a la presencia de algún error sistemático. 2.1 DETERMINACION DE LA ACELERACION DE LA GRAVEDAD Comprobada la validez de la ecuación de caída libre 2.2 podemos hallar el valor particular r de g en el laboratorio de física para ello disponemos dos maneras: 

A partir del valor de K determinando por regresión lineal y por comparación con la ecuación 2.2 la gravedad g resulta:

1

K=2*g 

→ g=2K

Por otro lado a medida que aumenta el tiempo de caída del objeto, aumentara también su velocidad dea cuerdo a la ecuación: V=v0+gt……………2.13

con v0=0

V=gt……………2.14

en donde g a partir de la ecuación 2.2 se calcula según ⎸⎸

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2∗ℎ …………………………………….2.15 𝑡2

g=

Remplazando 2.15en 2.14

V=

2∗ℎ …………………………….2.16 𝑡

Mediante la ecuación 2,16 para cada altura h y su tiempo de caída t se obtendrá la velocidad va adquirida por la esfera en ese tiempo con el conjunto de valores (v,t) calculados mediante la ecuacion2.16 se realizara la gra fica v vs t que de acuerdo a la ecuación 2.14 es una recta cuya pendiente es la aceleración de la gravedad “g” Finalmente por regresión lineal de la ecuacion2.14 cuya forma general es y=A+BX queda determina el valor de “g”.

2.3 MATERIALES EQUIPO DE CAIDA LIBRE MECANISMOS DE LIBERACION DE LA ESFERA DETECTOR DE IMPACTO CRONOMETRO ESFERA METSLICA O DE CRISTAL REGLA DE 1m 2.4PRECEDIMENTO Instale el cuerpo de caída libre fijando en la parte superior el mecanismo de liberación de la esfera, y a una cierta altura , el detector de impacto Practique con el equipo de caida libre verificando que el mecanismo liberador de la esfera suelte la esfera y ponga y ponga en marcha el cronometro simultáneamente, ala vez que el impacto de la esfera contra el detector de impacto, apague el cronometro. Para una caída “h” digamos 20cm mida el tiempo de caída t correspondiente. Para una misma altura h repita la medida del tiempo t cinco veces como minimo. Para distintas alturas de caida h=40,60,80,100 cm repita los pasos 3,4

CALCULOS Y GRAFICOS  Con el conjunto de puntos (t,h) construya la gráfica h vs t Para el tiempo 1 del experimento 1 ⎸⎸

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Los datos recogidos en el laboratorio nos sirven para la grafica h – t, y también para construir la tabla 1, la cual nos muestra la altura y los promedios de los tiempos.

N 1 2 3 4 5 6

H (m)

t (s) 0.1 0.85 0.70 0.55 0.42 0.25

0.452 0.417 0.378 0.335 0.285 0.221

La grafica es de h (m) – t(s) es la siguiente:

Gráfica h vs t 0.5 0.45 0.4

y = 0.0659x + 0.3167 R² = 0.0465

0.35 0.3

h

8

0.25

Series1

0.2

Linear (Series1)

0.15 0.1 0.05 0 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

t

Los datos de la tabla 1 se analizarán con la ecuación cinemática de movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (eje y); entonces se usa de aceleración constante donde la velocidad inicial es cero y la gravedad es 9.80 m/s²:

h  v0 t 

1 2 gt 2

pero como el móvil parte del reposo, es decir v 0 = 0, entonces: ⎸⎸

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h 

1 gt 2 2 h 

1 gt 2 2

y  Ax B ;

Donde A = 1/2g y

B =2 La ecuación corresponde a una parábola, por lo tanto requiere ser ajustada por el método de mínimos cuadrados, con los datos de la tabla 1. Ajustando la curva por el método de mínimos cuadrados tenemos: N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

H (m) 1,54 1,48 1,435 1,4 1,34 1,3 1,25 1,195 1,125 0,995

B

B

A

A

T (s) 0,561 0,552 0,543 0,536 0,525 0,515 0,507 0,496 0,482 0,453

Log H= y 0,1875 0,1703 0,1553 0,1461 0,1271 0,1139 0,0967 0,0755 0,0492 -0,0044 1,1174

Log t=x -0,2510 -0,2581 -0,2652 -0,2708 -0,2798 -0,2882 -0,2950 -0,3045 -0,3169 -0,3439 -2,8734

x*y -0,0471 -0,0439 -0, 0412 -0,0395 -0,0356 -0,0328 -0,0286 -0,0230 -0,0156 0,0015 -0,3058

X2 0,0630 0,0666 0,0703 0,0733 0,0783 0,0830 0,0870 0,0927 0,1004 0,1182 0,8331

N  xy   x  y N  x 2  ( x ) 2

B  2,046

10 * (0.3058)  (2,8734) *1.1174 10 * 0,8331  (2,8734) 2

 y  B x N

A  0,6979

1,1174  2.046 * (2,8734) 10

Pero el verdadero valor de A es: A = antilog (0,6979) = 4.987 En la ecuación matemática la constante “A” nos permite hallar el valor de la aceleración de la partícula esta vez la gravedad de la siguiente manera: ⎸⎸

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A= ½*g Donde “A” es un dato que ya obtuvimos con la regresión exponencial y despejando “g” obtendremos la gravedad experimental como se muestra a continuación: g=2A Finalmente remplazando obtenemos la gravedad experimental

g  9,97

g = 2(4.987)

m s2

Determinando la aceleración del móvil  Con Masa m= 18.6 g Construiremos la grafica h – t2, con la que determinaremos la aceleración del móvil. Para lo cual la altura es la misma que la anterior y los tiempos los elevaremos al cuadrado, como se muestra a continuación en la tabla 3. N H (m) T (s2) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 La grafica de estos puntos es:

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1,54 1,48 1,435 1,4 1,34 1,3 1,25 1,195 1,125 0,995

0,3147 0,3047 0,2948 0,2873 0,2756 0,2652 0,257 0,246 0,2323 0,2052

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Gráfica h vs t 0.25 0.2 0.15

y = 0.0307x + 0.1127 R² = 0.022

h

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Series1

0.1

Linear (Series1) 0.05 0 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

t^2

El grafico de h – t2 corresponde a una recta, por lo tanto ajustando por el método de mínimos cuadrados tenemos: N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

H (m)=y 1,54 1,48 1,435 1,4 1,34 1,3 1,25 1,195 1,125 0,995 13,04

B

B

T2 (s2)=x 0,3147 0,3047 0,2948 0,2873 0,2756 0,2652 0,257 0,246 0,2323 0,2052 2,6828

x*y

x2

0,4846 0,4509 0,4215 0,4022 0,3693 0,3447 0,3212 0,2927 0,2602 0,2031 3,5507

0,0990 0,0928 0,0869 0,0825 0,0759 0,0703 0,0660 0,0605 0,0539 0,0421 0,7302

N  xy   x  y N  x 2  ( x ) 2

10 * (3,5507)  (2,6828) * (13,04) 10 * (0,7302)  (2,6828) 2

B  4,98

⎸⎸

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A

A

 y  B x N 13,04  4,98 * (2,6828) 10 A  0,0336

Y la ecuación toma la forma de Y= A + Bx El valor de B es:

B= 4,98

Reemplazando en:

B = ½ g;

g  9,96

el valor de

m s2

Determinando la velocidad en cada punto de la esfera La aceleración encontrada es: g = 9.96 m/s2, entonces encontraremos las velocidades con los tiempos recolectados del laboratorio de la tabla 1. Por lo tanto la ecuación a emplear es: v = g*t (las velocidades en m/s) V = g * 0,561= 5,587 4,940 V = g * 0,552 = 5,498 =4,801 V = g * 0,543 = 5,408 =4,502 V = g* 0,536 =5,338

V = g* 0,525 = 5,229

V = g* 0,496 =

V = g* 0,515 =5,129

V = g* 0,482

V = g* 0,507 =5,049

Realizando la tabla 5, tendremos: N 1 2 3 4 5 ⎸⎸

T (s) 0,561 0,552 0,543 0,536 0,525

V (m/s) 5,587 5,498 5,408 5,338 5,229

V = g* 0,453

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6 7 8 9 10

0,515 0,507 0,496 0,482 0,453

5,129 5,049 4,940 4,801 4,502

La grafica de v – t es:

y = 9,9106x - 0,0003 R2 = 1

"V"

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5,2 5,1 5 4,9 4,8 4,7 4,6 4,5 4,4 0,44

V vs t

0,46

0,48

0,5

0,52

"t"

La grafica nos muestra que es una recta y no es necesario linealizar, por lo tanto su ecuación es: V = A + Bt; ajustando la misma tendremos:

N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

⎸⎸

T (s)=x 0,561 0,552 0,543 0,536 0,525 0,515 0,507 0,496 0,482 0,453 5,17

V (m/s)=y 5,587 5,498 5,408 5,338 5,229 5,129 5,049 4,940 4,801 4,502 51,481

x*y 3,1343 3,0349 2,9365 2,8611 2,7452 2,6414 2,5598 2,9462 2,3141 2,0394 26,717

x2 0,3147 0,3047 0,2948 0,2873 0,2756 0,2652 0,257 0,246 0,2323 0,2052 2,68301

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B

B

N  xy   x  y N  x 2  ( x) 2

10 * (26,717)  (5,17 * 51,481) 10 * 2,6830  (5,17) 2

B  10,01 A

A

 y  B x N 51,481  (10,01 * 5,17) 10

A  0,031 La ecuación es:

v =- 0.031 + 10,018t

I. Cuestionario

1. De los valores de g calculados cual le parece más confiable?, ¿Por qué?

R. El valor más confiable es el de 9.96 m/s2, Porque es el valor que más se aproxima al valor real de la gravedad.

2. Si en el experimento se emplean dos esferas A y B de distintos tamaños (RA > RB ) el valor de g obtenido con la esfera A será también mayor al obtenido con la esfera B? ¿porque? R.- Será igual ya que la masa de las esferas y el tamaño no tienen nada que ver con el tiempo y la gravedad en una caída en el vacio, tomando en cuenta el rozamiento con el aire allí si varia. 3. Se dejarán caer desde la misma altura y al mismo tiempo, 3 objetos el objeto A de 10g de masa, el objeto B de 100g de masa y el objeto C de 1kg de masa. Considerando caída libre ¿Cuál de los objetos llega primero al piso? R.- La gravedad imprime la misma aceleración a todos los cuerpos en caída libre en el vacio, pero también el rozamiento del aire hace que aquellos caigan con diferente ⎸⎸

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aceleración. Sin tomar en cuenta esta todos caen con la misma aceleración 4. En comparación con la gravedad de la tierra, ¿cómo son las gravedades de la Luna y del Sol? ¿menores al de la tierra? ¿Mayores? ¿Por qué? Podría citar sus valores de “g” R.- en el sol hay una gravedad de 274m/s2, lo que equivale a unas 27.9 gravedades terrestres lo que haría imposible el movimiento. La luna tiene una gravedad de 1,62m/s2, lo que equivale a 6 veces menos gravedad que en la tierra. En estos casos la gravedad varia significativamente en todos los planetas 5. Considere un planeta de la misma masa que el planeta tierra, pero sin atmosfera, es decir alrededor del planeta existe vacío. ¿Cómo será la aceleración de la gravedad en ese planeta comparada con la aceleración de la gravedad en la tierra? ¿Menor? , ¿Mayor?, ¿Igual?, ¿Porque? R.- La gravedad tiene el mismo valor, lo que sucede es que debido al rozamiento de el aire con el cuerpo su tiempo de caída variara. 6. ¿Si un objeto se lanza verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial V cual es la aceleración en su punto de máxima altura? R.- La aceleración resultaría ser la velocidad con la se lanzó a un inicio entre el tiempo que duró hasta llegar hasta su altura máxima.

7. Un objeto desde el reposo demora un tiempo t en caer una altura h ¿Qué tiempo demorara el mismo objeto en caer desde el reposo a una altura 4h?

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8. El nevado del Illimani tiene una altura aproximada 6.400 m sobre el nivel del mar, ¿Cuál será el valor de g en el pico de este nevado? Realizando un análisis con la ley de atracción de masas

9. Un objeto lanzado verticalmente hacia arriba con una velocidad B alcanza una altura h. ¿Si el objeto se lanza con doble velocidad, su altura alcanzada será también el doble? ¿el triple? ¿la mitad? ¿Por qué? R.- Porque la altura depende de la velocidad con la que se va a lanzar según la ecuación

10. Desde el techo de un edificio se suelta a una esfera A, transcurridos dos segundos se suelta otra esfera B, Durante la caída la distancia que los separa al momento de soltarse la esfera B. ¿Permanecerá constante?, ¿Disminuirá?, ¿Ira en aumento? ¿Por qué? Respuesta.- La distancia permanecerá constante ya que la aceleración será igual en ambas esferas y dependientemente de etsa varia la velocidad y el desplazamiento de ambas esferas . 11. Desde el techo de un edificio se lanza verticalmente hacia arriba un objeto A con velocidad V. en ese mismo instante se ⎸⎸

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lanza hacia abajo un segundo objeto B con la misma velocidad V ¿Cuál de ellos llegara al suelo con mayor velocidad? ¿Por qué? R.-Ambos llegan con la misma velocidad final, ya que en el primer tramo de A el módulo de la velocidad de lanzamiento es igual en el tramo de subida como en el de bajada cuando pasan por el mismo punto en este caso el borde del edificio. 12. Para determinar la validez de la ecuación se suelta un objeto a parir del reposo de 10 diferentes alturas, los datos de la altura de caída (en metros) y tiempo (en segundos) transformados en logaritmos se ajustan por mínimos cuadrado, la ecuación experimental obtenida es: Y=A 0.679+1.89t, a partir de esta ecuación, calcule la aceleración experimental Y = 0.679 + 1.89t

y = A + Bx

2.6 DISCUSON DE RESULTADO Los resultados no variaron en gran medida debido a errores fortuitos se presentan pero con mayor concentración fue posible minimizarlos 2.7CONCLUSIONES Se pudo estudiar el movimiento en caída libre Se determinó la ecuación en caída libre con los datos sacados de experimento. Se determinó el valor de aceleración de la gravedad .

Con los datos obtenidos pudimos comprobar que el movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (M. R. U. A.), en la dirección vertical tiene las mismas características que la del movimiento horizontal y la única variante es que en la caída libre de los cuerpos la aceleración es igual a la gravedad y haciendo un análisis pudimos comprobar que:

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La distancia recorrida por u móvil que tiene aceleración es directamente proporcional al cuadrado del tiempo empleado, por esta razón la gráfica distancia en función del tiempo es una parábola. La regresión potencial de la distancia en función del tiempo se asemejo a una parábola y obtuvimos la gravedad experimentalmente con los datos recolectados del laboratorio, en el primer caso para la esfera grande la gravedad encontrada se acerco bastante a la gravedad en La Paz que es 9.77 m/s2, esto quiere decir que nuestros datos estuvieron bien, y que no existió un porcentaje alto de error, la gravedad experimental fue: g = 9. m/s2. .

2.8 BIBLIOGRAFIA  Medidas y errores Alfredo Álvarez- Eduardo Huayta  Guía experimental Alfredo Álvarez- Eduardo Huayta 2.9 ANEXOS

. Este es el equipo de caída

libre y aquí se realizaron los experimentos para las distintas alturas y tiempos

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