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• Edgar Anddy Loarte Pacherres

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UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA LABORATORIO DE CALCULO POR ELEMENTOS FINITOS– MC 516

INDICE

ENUNCIADO DEL PROBLEMA………………………..2

SOLUCIÓN……………………………………………….3

DIAGRAMA DE FLUJO…………………………………13

CODIGO EN MATLAB……………………………….....14

CONCLUSIONES………………………………………..17

pág. 1

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1. ENUNCIADO DEL PROBLEMA

Dimensiones en mm Datos del material:

𝐸 = 3.1 ∗ 105

Peso del material:

𝛾 = 7.8

Sección de las barras:

∅ 50 𝑚𝑚

𝑁 𝑚𝑚2

𝑔𝑟−𝑓 𝑐𝑚3

Calcular: a) Las reacciones en los apoyos b) Los esfuerzos en cada barra de la armadura.

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2. SOLUCION 2.1.

Modelado del cuerpo

Ya que las barras son de sección transversal constante, se pueden modelar como elementos finitos, consideramos 6 elementos finitos con 5 nodos y 10 grados de libertad. Nodo 1 2 3 4 5

X (mm) -1500 0 1500 0 1500

Y (mm) 1500 1500 1500 0 0

pág. 3

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Cuadro de Conectividad: (e) 1 2 3 4 5 6 2.2.

Nodos (1) 1 1 2 2 3 4

(2) 2 4 4 3 4 5

1 1 1 3 3 5 7

GDL 2 2 2 4 4 6 8

3 3 7 7 5 7 9

4 4 8 8 6 8 10

Le (mm)

Ae (mm2)

1500 2121.321 1500 1500 2121.321 1500

1963.495 1963.495 1963.495 1963.495 1963.495 1963.495

Vectores desplazamientos

pág. 4

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El vector desplazamiento será: 𝑄1 𝑄2 𝑄3 𝑄4 𝑄5 𝑄6 𝑄7 𝑄 = 𝑄8 𝑄9 𝑄10 𝑄11 𝑄12 𝑄13 𝑄14 [𝑄15 ]

Donde Q7 = Q8 = Q9 = Q13 = Q14= Q15= 0, ya que la viga esta empotrada en los nodos 3 y 5. Los demás desplazamientos tendremos que calcularlos.

2.3.

Vectores carga

pág. 5

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2.4.

Matriz de rigidez

Calcularemos la matriz de rigidez global, sabemos que:

′

′ 𝐾𝑡𝑤

Respecto a 𝑋 :

=

𝐸𝐴 𝑒 (𝑙)

12 6𝑙𝑒 𝐸𝐼 𝑒 6𝑙𝑒 4𝑙𝑒 2 1 −1 [ ] + ( 𝑙3 ) [ −12 −6𝑙𝑒 −1 1 6𝑙𝑒 2𝑙𝑒 2

′ 𝐾𝑠𝑟 = 𝐿𝑟𝑡 (𝐾𝑡𝑤 )𝐿𝑤𝑠

Respecto a (X, Y):

−12 6𝑙𝑒 −6𝑙𝑒 2𝑙𝑒 2 ] 12 −6𝑙𝑒 −6𝑙𝑒 4𝑙𝑒 2

donde 𝐿𝑤𝑠 = 𝐿𝑟𝑡

También calculamos el momento de inercia de las barras. 𝐼=𝜋

𝑅4 = 4908738.5 𝑚𝑚2 4

Elemento 1:

𝒍=

𝒙 𝟐 − 𝒙𝟏 =𝟏 𝒍

𝒎=

𝒚𝟐 − 𝒚𝟏 =𝟎 𝒍

1 −1 𝐾1′ = 405788.966 ∗ [ ] −1 1 12 2.1 ∗ 105 ∗ 𝟒𝟗𝟎𝟖𝟕𝟑𝟖. 𝟓 9000 + [ −12 15003 9000 𝟏 𝟎 𝑳𝒕𝒓 = 𝟎 𝟎 𝟎 [𝟎

𝟎 𝟏 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎

9000 9000000 −9000 4500000 𝟎 𝟎 𝟏 𝟎 𝟎 𝟎

𝟎 𝟎 𝟎 𝟏 𝟎 𝟎

𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟏 𝟎

−12 −9000 12 −9000

9000 4500000] −9000 9000000

𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟏] pág. 6

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Elemento 2:

𝑙=

𝑥1 − 𝑥4 −1 = 𝑙 √2

𝑚=

𝑦1 − 𝑦4 1 = 𝑙 √2

𝐾2′ = 286936.19 ∗ [ 1

−1] −1 1

12 9000√2 −12 2.1 ∗ 10 ∗ 4908738.5 9000√2 18000000 −9000√2 + 3 −12 12 (1500√2) −9000√2 √ [9000 2 9000000 −9000√2 5

𝑳𝒕𝒓 =

−𝟏

𝟏

√𝟐 𝟏 − √𝟐

√𝟐 𝟏 − √𝟐

𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 [

𝟎 𝟎 𝟎 𝟎

𝟏 𝟎 𝟎 𝟎

𝟎

𝟎

𝟎

𝟎

𝟎

𝟎

𝟎

𝟎

𝟎 −𝟏

𝟎 𝟏

√𝟐 𝟏 − √𝟐 𝟎

√𝟐 −𝟏 √𝟐 𝟎

9000√2 9000000 −9000√2 18000000]

𝟎 𝟎 𝟎 𝟏 ]

pág. 7

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Elemento 3:

𝑙=

𝑥2 − 𝑥4 =0 𝑙

𝑚=

𝑦2 −𝑦4 𝑙

=1

𝐾3 ′ = 405788.966 ∗ [ 1

−1] + 1 12 9000 −12 9000 2.1∗105 ∗4908738.5 9000 9000000 −9000 4500000 [ ] 15003 −12 −9000 12 −9000 9000 4500000 −9000 9000000 −1

𝟎 −𝟏 𝑳𝒕𝒓 = 𝟎 𝟎 𝟎 [𝟎

𝟏 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎

𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟏 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟏 𝟎 𝟎 −𝟏 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟏]

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Elemento 4:

𝑙=

𝑥3 − 𝑥2 =1 𝑙

𝑚=

𝑦3 − 𝑦2 =0 𝑙

5 −1] + 2.1 ∗ 10 ∗ 4908738.5 −1 1 15003 12 9000 −12 9000 9000 9000000 −9000 4500000 ∗[ ] −12 −9000 12 −9000 9000 4500000 −9000 9000000

𝐾4 ′ = 405788.966 ∗ [ 1

𝟏 𝟎 𝑳𝒕𝒓 = 𝟎 𝟎 𝟎 [𝟎

𝟎 𝟏 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎

𝟎 𝟎 𝟏 𝟎 𝟎 𝟎

𝟎 𝟎 𝟎 𝟏 𝟎 𝟎

𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟏 𝟎

𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟏]

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Elemento 5:

𝑙=

𝑦 − 𝑦4 𝑥3 − 𝑥4 1 1 = 𝑚= 3 = 𝑙 𝑙 √2 √2

𝐾5 ′ = 286936.19 ∗ [ 1

−1

−1] 1

12 9000√2 −12 2.1 ∗ 10 ∗ 4908738.5 9000√2 18000000 −9000√2 + 3 −12 12 (1500√2) −9000√2 [9000√2 9000000 −9000√2 5

𝟏 √𝟐 𝟏 √𝟐 𝑳𝒕𝒓 =

𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 [

−

𝟏 √𝟐 𝟏

√𝟐 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎

𝟏 𝟎 𝟎 𝟎

𝟎

𝟎

𝟎

𝟎

𝟎

𝟎

𝟎

𝟎

𝟎 𝟏 √𝟐 𝟏 √𝟐 𝟎

−

𝟎 𝟏

√𝟐 𝟏

√𝟐 𝟎

9000√2 9000000 −9000√2 18000000]

𝟎 𝟎 𝟎 𝟏 ]

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Elemento 6:

𝑙=

𝑥5 − 𝑥4 =1 𝑙

𝑚=

𝑦5 − 𝑦4 =0 𝑙

5 −1] + 2.1 ∗ 10 ∗ 4908738.5 −1 1 15003 12 9000 −12 9000 9000 9000000 −9000 4500000 ∗[ ] −12 −9000 12 −9000 9000 4500000 −9000 9000000

𝐾6 ′ = 405788.966 ∗ [ 1

𝟏 𝟎 𝟎 𝑳𝒕𝒓 = 𝟎 𝟎 [𝟎

𝟎 𝟏 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎

𝟎 𝟎 𝟏 𝟎 𝟎 𝟎

𝟎 𝟎 𝟎 𝟏 𝟎 𝟎

𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟏 𝟎

𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟏]

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Luego pasando cada matriz de rigidez local al sistema XY, y operando t tenemos: La matriz de rigidez total de la armadura es: 𝐾 = 𝐾1 + 𝐾2 + 𝐾3 + 𝐾4 + 𝐾5 + 𝐾6

2.5.

Esfuerzos.

Para calcular los valores de los esfuerzos por elemento, aplicamos la siguiente ecuación:

𝜎𝑒 = ±[𝜎𝑁 + 𝜎𝑀 ]

Donde: 𝜎𝑁 : 𝑒𝑠𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑜 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙(𝑑𝑒𝑏𝑖𝑑𝑜 𝑎 𝑙𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛) 𝜎𝑀 : 𝑒𝑠𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑙𝑒𝑥𝑖𝑜𝑛(𝑑𝑒𝑏𝑖𝑑𝑜 𝑎𝑙 𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑓𝑙𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟)

𝐸𝑦 𝜎𝑒 = ( 2 ) [6𝜉𝑞1 + (3𝜉 − 1)𝑙𝑒 𝑞2 − 6𝜉𝑞3 + (3𝜉 + 1)𝑙𝑒 𝑞4 ] 𝑙 𝑒 𝐸 𝜎𝑀 = ( ) [−𝑙 𝑙 𝑒

−𝑚

𝑙

𝑞1 𝑞2 𝑚] [𝑞 ] 3 𝑞4

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3. DIAGRAMA DE FLUJO:

INICIO

Leer datos de entrada:E, Area, PA, PB, PC, (x,y) de los nodos

Calcula lee, l y m de cada elemento

Para i=1:n

Calculo de la matriz de Rigidez en cada elemento finito: K(i)=E(i)*A(i)/le(i)*[l m 0 0;0 0 l m]*[1 -1;-1 1]

Matriz de rigidez global: K=k1+k2+k3+k4+k5+k6

Calculo de los desplazamientos: Q(3:8)=inv(K38)*F(3:8) Calculo de las reacciones Ri=ki1*Q

Para i=1:n Calculo de esfuerzos: s(1)=E/le(i)*[-l(i) -m(i) l(i) m(i)]*Q’(1:4)

Imprime Reacciones, desplazamientos y esfuerzos FIN

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4. CODIGO EN MATLAB XY=[0 0;40 0;40 30;0 30]; C=[1 2;3 2;1 3;4 3]; A=1;E=29.5*10^6; Fx=[2 20*10^3]; Fy=[3 -25*10^3]; nfijos=[1 4]; npatinx=[2]; npatiny=[0]; %ingresando datos XY=1500*[-1 1;0 1;1 1;0 0;1 0]; %coordenada nodales C=[1 2;2 3;1 4;2 4;3 4;4 5]; %conectividad Fx=[1 -5000]; %Fuerzas en x [nodo,fuerza] Fy=[2 -2000;4 -3000]; %Fuerzas en y [nodo,fuerza] d=7.8; %peso especifico E=3.1*10^5; d=50; A=pi*d^2/4; nfijos=[3 5]; npatinx=[0]; npatiny=[0];

% nodos fijos en x,y % nodos fijos en y % nodos fijos en x

%--------------------------------------% procesando numeros de nodos y de elementos nn=size(XY);nn=nn(1);%num de nodos ne=size(C);ne=ne(1);%num de el ementos % Hallando la matriz de rigidez K % inicializando valores le=[];l=[];m=[]; K=zeros(2*nn,2*nn); for e=1:ne %hallando nodos de cada elemento i=C(e,1); j=C(e,2); %posiciones para cada nodo i,j xi=XY(i,1); yi=XY(i,2); xj=XY(j,1); yj=XY(j,2); %posiciones de GDL para nodos i,j Gi=[2*i-1 2*i]; Gj=[2*j-1 2*j]; %hallando logitud y cosenos directores de cada elemento le(e)=sqrt((xj-xi)^2+(yj-yi)^2); l(e)=(xj-xi)/le(e); m(e)=(yj-yi)/le(e); L=[l(e) m(e) 0 0; 0 0 l(e) m(e)]; pág. 14

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Kl=(E*A/le(e))*[1 -1;-1 1]; %K local Kg=(L'*Kl)*L; %K global

%Kt: K temporal Kt=zeros(2*nn,2*nn); % colocando elementos ubicados en su posiciones globales Kt(Gi,Gi)=Kg([1 Kt(Gi,Gj)=Kg([1 Kt(Gj,Gi)=Kg([3 Kt(Gj,Gj)=Kg([3

2],[1 2],[3 4],[1 4],[3

2]); 4]); 2]); 4]);

%agregando la matriz Kt a K K=K+Kt; end %Crea el vector Fuerza a partir dew los datos Fx,Fy F=zeros(2*nn,1); F(Fx(:,1)*2-1)=Fx(:,2); F(Fy(:,1)*2)=Fy(:,2); % Enfoque de eliminación % coloca 1 en M1 para apoyos fijos % coloca 0 en M1 para apoyos móviles % distingue si un apoyo es fijo o si tiene patín M1=zeros(2*nn,1); %para apoyos fijos z=size(nfijos);z=z(2); for p=1:z M1(2*nfijos(p)-1:2*nfijos(p))=1; end %para apoyos con patin en x if(npatinx(1)~=0) z=size(npatinx);z=z(2); for p=1:z M1(2*npatinx(p))=1; end end %para apoyos con patin en y if(npatiny(1)~=0) z=size(npatiny);z=z(2); for p=1:z M1(2*npatiny(p)-1)=1; end end %coloca en elim las filas que se deben eliminar %coloca en usa las filas que no se eleiminan pág. 15

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usa=[];elim=[]; for p=1:2*nn if(M1(p)==0) %si el GDL es móvil usa=[usa p]; else %si el GDL es fijo elim=[elim p]; end end

%Halla Q usando el enfoque de eliminación Ku=K(usa,usa); %K modificada para usar cond frontera Fu=F(usa); %F modificada para usar cond frontera Qu=Ku\Fu; %Q que no son cond. Frontera Q=zeros(2*nn,1); Q(usa)=Qu;

%vector desplazamiento

%Hallando vector esfuerzo esf=zeros(ne,1); for e=1:ne i=C(e,1); j=C(e,2); %i,j nodos del elemento esf(e)=(E/le(e))*[-l(e) -m(e) l(e) m(e)]*Q([2*i-1 2*i 2*j-1 2*j]); end %Hallando reacciones %R tiene 2 columnas %la primera indica la posicion de la reacción %la segunda indica el valor de la reacción F=K*Q; R=[elim;F(elim)']';

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5. CONCLUSIONES



La barra 6 como era de esperarse no está sometida a esfuerzo alguno ya que sus dos extremos la sostienen.



La barra 4 presenta el mayor esfuerzo de tracción, esto debido a su ubicación en el sistema, ya que forma parte de la base (parte empotrada) que sostiene todo el sistema.



Los esfuerzos obtenidos son de mayor magnitud que en el caso de la tercera práctica, esto se da fundamentalmente por la flexión que ocurre en cada elemento, ya que los esfuerzos de tracción si son mínimos.



Este tipo de análisis es muy recomendado debido a que a partir de éste, podremos deducir el comportamiento (deformaciones) de cualquier armadura sometida a diferentes fuerzas e inclusive cargas distribuidas a lo largo de cada elemento (incluyendo su propio peso).



Los valores de las deformaciones en el sistema son más cercanos a la realidad debido a que en este caso estamos considerando el peso de cada elemento, ya que en comparación con los resultados obtenidos en la tercera práctica, las deformaciones en este caso son de mayor magnitud que en la práctica pasada.

pág. 17