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• Luis Santamaria Chavesta

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INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO Una inecuación de segundo grado con una incógnita es cualquier desigualdad que, directamente o mediante transformaciones de equivalencia se puede expresar

de

una de las formas siguientes:

a x 2+ bx+ c> 0; a x 2 +bx +c 0 , entonces el primer miembro tiene dos raíces reales iguales Ejemplos: 2

2

2

2

∎x −14 x+ 49 ≥0 ∎x −10 x+25> 0 ∎x −18 x +81 0 y a> 0 ; el primer miembro se puede factorizar y tiene

dos raíces reales diferentes. Se resuelve mediante el método de los puntos críticos, este método también se cumplen para polinomio de grado mayor a dos que sean factorizables.  Se factoriza el primer miembro, es indispensable que el primer coeficiente de  Se  Se  Se

cada factor lineal sea positivo. halla los valores críticos (raíces) ubica los valores críticos sobre una recta real coloca entre estos valores críticos los signos (+) y (-) alternados de

derecha a izquierda, empezando siempre con el signo (+)  El conjunto solución lo conforman la unión de intervalos con signo positivo P ( x ) ≥ 0 , o la unión de intervalos con signo negativo si

si

P (x ) ≤ 0

Ejemplos: ∎x 2 +14 x +45> 0 ∎x 2−11 x +28 ≥ 0 ∎x 2−5 x−6< 0 ∎x 2−12 x+35 ≤ 0 Tercer caso: Si

∆< 0

2

a x + bx+ c> 0; ∀ x ∈ R ⟺ Ejemplos: ∎x 2 + x +2>0 ∎x 2 +8 x +20>0

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el primer miembro tiene raíces complejas a>0 ∧ ∆ 0 5. x 2−7 x +12 ≥0 6. 9> x 2 +14 7. x ( x+1 ) 6 10.3 y > 4−11 y 11. x 2+3> 0 12. ( x +2 )( x−3 ) >2−x 13. x 2 ≥ 4 14. ( 2 x +1 )( x−3 )< 9+ ( x+ 1 )( x−4 ) 2

2

15. 9 x 0 20. x 2+ 9≥ 6 x APLICACIONES

3 1. El cuadrado de la edad de Viviana, menos

3 más

65 es mayor que

. En cambio el doble de su edad,

23 da un número menor que

. ¿Cuántos años tiene Viviana?

2. Las dimensiones de un terreno son de

8

5 metros de largo por

metros de ancho; si se aumenta

30 m 2 una misma cantidad a ambas dimensiones, el área aumenta más de valor entero de dicha cantidad.

. Calcule el mínimo

3. Si “x” unidades pueden venderse mensualmente al precio de $ p cada una, donde p=200-3x. El costo de producir “x” unidades al mes del mismo artículo es C=650+5x dólares ¿Cuántas Lic. Mat. Yessica del Milagro Chunga More.

unidades de este artículo deberán producirse y venderse de modo que la utilidad mensual sea de por lo menos 2 500 dólares? 4. Si “x” unidades pueden venderse diariamente al precio de $ p cada una, donde p=60-x, ¿Cuántas unidades deben venderse para obtener un ingreso diario de al menos $ 800? Rpta.

20 ≤ x ≤ 40

5. En el ejercicios 4, tiene un costo de C=260+8x dólares producir “x” unidades al día ¿Qué precio “p” por unidad debe fijarse para obtener una utilidad de al menos 400 dólares? Rpta.

30 ≤ p ≤ 38

6. x” unidades de cierto artículo pueden venderse al mes en el mercado, al precio de $ p por unidad, con p=600-5x. ¿Cuántas unidades deben venderse cada mes para obtener ingresos por lo menos de $ 18 000? Rpta.

60 unidades

7. En el ejercicios 6, si cuesta (8000+ 75x) dólares producir “x” unidades al mes ¿Cuántas unidades deberán producirse y venderse cada mes con el objeto de obtener una utilidad de al menos 5 500 dólares? Rpta. 45 ≤ x ≤60 8. Una empresa puede vender a 100 dólares por unidad todos los artículos de primera necesidad que produce. Si se fabrican x unidades por día, y el número de dólares del costo total diario de producción es

C=x 2+20 x +700

¿Cuántas unidades deberán producirse para que la compañía

genere una ganancia? 9. Se estima que el costo total de producir “q” unidades diarias de un artículo es

C ( q )=0.4 q2 +3 q+10

y que cuando el precio por unidad es

p=9−0.1 q

las ventas serán de

“q” artículos ¿Cuál deberá ser el nivel de producción a fin de obtener utilidades? 10. Un peluquero atiende un promedio de 100 clientes a la semana y les cobra $5 por corte. Por cada incremento de $ 0.75 en la tarifa el peluquero pierde 10 clientes ¿Qué precio máximo deberá fijar de modo que los ingresos semanales no sean menores de los que él obtiene por cada tarifa de $5? Rpta. $ 7.50 11. Un peluquero atiende un promedio de 120 clientes a la semana y les cobra $4 por corte. Por cada incremento de $ 0.50 en la tarifa el peluquero pierde 8 clientes ¿Qué precio máximo deberá fijar para obtener ingresos semanales de al menos $ 520? Rpta. $ 6.50 12. Un fabricante puede producir cada balón de futbol a un costo de $40. Los consumidores han comprado 2000 balones en el año al precio de $50 cada balón. El industrial quiere subir los precios y estima que por cada aumento de $1 en el precio, las ventas bajan en 50 balones ¿Qué precio deberá fijar a cada balón con la finalidad de lograr una utilidad de por lo menos $ 30 000? 13. Un supermercado se encuentra con grandes existencias de carne de res que debe vender rápidamente. El gerente sabe que si la carne se ofrece a “p” soles por kilo, venderá “x” kilos, con x=1000-20p ¿Qué precio mínimo deberá fijar con el fin de obtener ingresos de por lo menos 12 000 soles? Lic. Mat. Yessica del Milagro Chunga More.

14. La ecuación de ingresos de cierta compañía es

I =340 p−4 p 2 ; donde “p” es el precio en

dólares del producto que fabrica esa compañía ¿Cuál será el precio para que el ingreso sea de $6 000, si el precio debe ser mayor de $ 50? 15. Un granjero desea delimitar un terreno rectangular y tiene 200 yardas de cerca disponible. Encuentre las dimensiones posibles del terreno si su área debe ser de al menos 2 100 yardas cuadradas.

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