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• Dennis Carranza Muñoz

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MATEMÁTICA APLICADA A LOS NEGOCIOS Unidad 1: Conjuntos, sumatorias y números reales

2.2 Sesión online

Inecuaciones: Aplicaciones

Motivación : Una empresa manufacturera calcula sus costos y utilidad a través de las siguientes expresiones: C = 27x + 30000 y U = 8x – 30000; respectivamente. Si logró un ingreso de por lo menos 140 000 dólares. a.¿Cuál es el mínimo costo que se requiere? b.¿Cuál es la mínima utilidad obtenida?

Logro de la sesión El alumno, al término de la clase: 

Resuelve situaciones del contexto administrativo y de negocios haciendo uso de las inecuaciones de primer grado.

Análisis de enunciado Solución de problemas En la descripción verbal de un problema, por lo general, existen palabras y frases que son claves para traducirlo a expresiones matemáticas que involucran las cuatro operaciones ya sea usando igualdades o desigualdades.

Enunciado Mi ingreso mensual no es menor que $200

Expresión M. Análisis

x  200

Ejemplos: Expresión verbal dentro del enunciado

La utilidad mínima sea de 5000 soles El costo total no exceda de $3000 El ingreso mensual sea de por lo menos 7500 dólares El ingreso total menos $35 no sea menor que 400 dólares Decide vender la tercera parte de sus productos, de esta manera, le queda menos de 30.

Variable o variables

Expresión matemática

U : Utilidad

U  5000

C : Costo Total

C  3000

I : Ingreso

I ≥ 7500

I : Ingreso total

I –35  400

x : Cantidad de sus productos

Definiciones : • Nivel de Producción (q): cantidad de unidades que una empresa produce y vende. • Costo Fijo (Cf ): es todo costo que es independiente del nivel de producción. • Costo unitario de producción (Cu): es el costo de producir una unidad. • Costo total (C): es el costo de producir q unidades. C = Cf + Cu q • Precio de venta (p): precio al cual se vende una unidad. • Ingreso (I): La cantidad de dinero generada por la venta de q unidades, cada una a un precio p. I = pq • Utilidad es la diferencia entre Ingreso y Costo, es decir: U=I - C

Ejemplo 1: Una empresa manufacturera calcula sus costos y utilidad de x unidades producidas y vendidas a través de las siguientes expresiones: C = 27x + 30000 y U = 8x – 30000; respectivamente. Si logró un ingreso de por lo menos 140 000 dólares. a.¿Cuál es el mínimo costo que se requiere? b.¿Cuál es la mínima utilidad obtenida?

Solución 1a i.

Sabiendo que: U  I – C

I U  C

I  8x  30 000  27x  30 000

I  35x iii.

I  140 000 35x  140 000 x  4 000

iv.

Para: x  4 000

C  27(4000)  30 000 C  138 000

v.

Respuesta: El mínimo costo será de 178 000 dólares

Solución 1b i.

Para: x  4 000

U  8(4000)  30000 U  2 000

ii.

Respuesta: La mínima utilidad será de 2000 dólares.

Ejercicio 2 Una empresa manufacturera calcula sus costos y utilidad de x decenas de unidades producidas y vendidas a través de las siguientes expresiones: C = 23x + 2 800 y U = 7x – 2 800, respectivamente; si logra un ingreso de por lo menos 150 000 dólares, a)¿Cuál es el mínimo costo que se requiere? b)¿Cuál es la mínima utilidad obtenida? Rpta.: a. $ 14 300 b. $ 700

Ejemplo 3 Una empresa que produce pantalones jeans (q en decenas), obtiene la utilidad U, mediante la siguiente expresión: U = 28q – 3500; y la empresa vende cada pantalón jean a $60. Si logró una producción entre 1400 y 2000 pantalones. a)¿Entre qué valores debe variar el costo, para la variación de producción mencionada? b)¿Entre que valores debe variar la utilidad, para los niveles de producción mencionados ?

Solución 3a i.

x = Número de pantalones jean en decenas

ii.

Luego:

iii.

Sabiendo: U  I – C

U  28x – 3500

I  60x

28x – 3500  60x – C C  32x  3500 iv. v.

Para: x  140

C  32(140)  3500  7980

Para: x  200

C  32(200)  3500  9900

Respuesta: El costo se encontrará entre 7980 y 9900 dólares

Solución 3b i.

ii.

Para: x  140

C  28(140)  3500  420

Para: x  200

C  28(200)  3500  2100

Respuesta: La máxima y mínima utilidad son 2100 y 420 dólares respectivamente.

Ejercicio 4 Una empresa que produce secadoras de cabello (q en cientos), obtiene la utilidad U, mediante la expresión U = 30q – 2 500; y la empresa vende cada secadora a $45. Si logró una producción entre 16 000 y 22 000 secadoras. a)¿Entre qué valores debe variar el costo, para la variación de producción mencionada? b)¿Entre que valores debe variar la utilidad, para los niveles de producción mencionados ? Rpta.: a. Entre $ 4 900 y $ 5 800 b. $ 2 000 y $ 4 100

Ejemplo 5 El dueño de una fábrica de chompas de lana de alpaca, determina que el costo unitario por la fabricación de cada chompa es de $35. Si los costos fijos ascienden a $2800 al mes y el precio de venta unitario es de $105. Si quiere lograr una utilidad de por lo menos $3500 en un mes y a lo más un costo de $7000 mensual. a)¿Cuál es el intervalo del número de chompas que se deben producir? b)Entre qué valores se encuentra el ingreso.

Solución 5a i. x = Número de chompas de lana ii. Luego: C  35x  2800 I  105x iii. Sabiendo: U  I –C U  105x  (35x  2 800)

U  70x  2800

iv.

U 70x  2800 70x x

   

v.

C 35x  2800 35x x

 7 000  7 000  4 200  120

3500 3500 6 300 90

vi. Respuesta: El intervalo del número de chompas que se deben producir es de 90 a 120.

Solución 5b i.

Para: x  90

x  120 ii.

I  105(90)  9 450 I  105(120)  12 600

Respuesta: El ingreso se encuentra entre 9450 y 12600 dólares.

Ejercicio 6 El dueño de una fábrica de chompas de lana de alpaca, determina que el costo unitario por la fabricación de cada chompa es de $25. Si los costos fijos ascienden a $ 3 000 al mes y el precio de venta unitario es de $125. Si quiere lograr una utilidad de por lo menos $ 5 000 en un mes y a lo más un costo de $ 6 000 mensual. a)¿Cuál es el intervalo del número de chompas que se deben producir? b)Entre qué valores se encuentra el ingreso. Rpta.: a. Entre 80 y 120 unidades b. Entre $ 10 000 y $ 15 000

Reflexiones: • Si la utilidad de una empresa está dada por la ecuación: U = 12q - 60000 ¿Cuántas unidades como mínimo debo producir para obtener una utilidad positiva? • Si el costo de total de una empresa está dada por la ecuación: C = 30q + 36 en miles de dólares ¿A cuánto asciende el costo fijo?