• Author / Uploaded
• Reginaldo Aliaga Limaylla

Citation preview

INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO.

La resolución de las inecuaciones es muy parecida a la resolución de las ecuaciones. Se resuelve como una ecuación de segundo grado y se estudian los signos que obtenemos con las soluciones. eje mp l os 1 x 2 − 6x + 8 > 0

x 2 − 6x + 8 > 0 x 2 − 6x + 8 = 0

P (0) = 0 2 − 6 · 0 + 8 > 0 P (3) = 3 2 − 6 · 3 + 8 = 17 − 18 < 0 P (5) = 5 2 − 6 · 5 + 8 = 33 − 30 > 0

S = ( -∞ , 2)

(4, ∞ )

2 x 2 + 2x +1 ≥ 0

x 2 + 2x +1 = 0

(x + 1) 2 ≥ 0

Todo núm ero el ev ad o al cuadr ado es m a yo r o i gu al que ce ro . S =

Pasos p ara r esol ver i n ecu aci on es d e segu n d o grad o 1º Igu al am os el pol i nom i o del pri m er m i em bro a cero y obt enem os l as raí c e s de l a ecu aci ón de segundo grado. 2º R epresent am os es t os val ores en l a re c t a real . Tom am os un punt o de cada i nt e rv al o y eval uam os el s i gno en cada i nt e rva l o: 3º La sol uci ón est á com puest a por l os i nt erval os (o e l i nt erval o) que t en ga n el m i sm o si gno que el pol i nom i o.

S i el d i scri m i nant e es i gual a ce ro:

S ol u ci ón x 2 + 2x +1 ≥ 0

(x + 1) 2 ≥ 0

x 2 + 2x +1 > 0

(x + 1) 2 > 0

x 2 + 2x +1 ≤ 0

(x + 1) 2 ≤ 0

x 2 + 2x +1 < 0

(x + 1) 2 < 0

x = − 1

C uando no t i ene raí ces re al es, l e dam os al pol i nom i o cual qui er val o r si : El si gno obt eni do coi nci de con el de l a desi gual dad, l a s ol uci ón es

.

El si gno obt eni do n o coi nci de con el d e l a d esi gu al dad, n o t i ene sol uci ón.

S ol u ci ón

x 2 + x +1 ≥ 0 x 2 + x +1 > 0 x 2 + x +1 ≤ 0 x 2 + x +1 < 0 Método gráfico: en el proceso de factorizar una inecuación cuadrática nos resultan inecuaciones de la forma La solución de esta inecuación también se puede hallar utilizando un método gráfico, conocido coloquialmente como el "Método de las cruces o del cementerio". La eficacia del "Método de las cruces" se manifiesta cuando deseamos resolver una inecuación de grado n > 2, o sea, cuando al factorizar nos resulta una inecuación de la forma

Procedimiento en el método gráfico 1. Se factoriza el polinomio 2. Se organizan los factores de tal modo que la incógnita quede escrita en la parte izquierda de cada paréntesis y con signo positivo 3. Se traza una recta real por cada factor y una recta real adicional para el resultado 4. Se calculan las raíces contenidas en cada factor 5. Se ubican en cada recta real las respectivas raíces calculadas en el paso anterior 6. Se trazan rectas verticales por cada punto-raíz 7. A la izquierda de cada raíz ubicada en su respectiva recta, se señala con un signo menos y a la derecha con un signo más 8. Aplicando la "Ley de los signos" se halla el resultado de multiplicar los signos de cada columna, dicho resultado se escribe en el lugar correspondiente de la recta real de resultados 9. Si el sentido de la inecuación es >, la solución estará constituida por todos los intervalos, en la recta resultado, señalados con el signo más; en cambio si el sentido de la inecuación es