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APLICACIONES DE LAS INECUACIONES A LA ESCUELA DE INDUSTRIAS ALIMENTARIAS 1. Para una compañía que fábrica termostatos, el costo combinado de mano de obra y material es de $5 por termostato. Los costos fijos (los costos de un periódo dado sin importar la producción) son de $60,000. Si el precio de venta de un termostato es de $7. ¿Cuántos debe venderse para que la compañía obtenga utilidades? SOLUCIÓN: Como

Ganancia = ingreso total – costo total

Entonces debemos encontrar el ingreso total y el costo total y después determinar cuándo su diferencia es positiva. Sea q = el número de termostato que deben ser vendidos, entonces su costo es 5q Luego el costo total para la compañía es 5q + 60,000, el ingreso total de q termostatos será 7q y como: Ganancia = Ingreso total – costo total ≥ 0 Entonces7𝑞 − (5𝑞 + 60000) > 0, de donde 2q > 60000 entonces q > 30000 por lo tanto se deben vender al menos 30,001 termostatos para que la compañía obtenga utilidades.

2. El fabricante de cierto artículo puede vender todo lo que produce al precio de $60 cada artículo. Gasta $40 en materia prima y mano de obra al producir cada artículo y tiene costos adicionales (fijos) de $3000 a la semana en la operación de la planta. Encuentre el número de unidades que debería producir y vender para obtener una utilidad de al menos $1000 a la semana. Solución: Sea X = número de artículos producidos y vendidos a la semana. Como el costo total de producir X unidades es de $3000 más $40 por artículo, es decir: (40x + 3000) dólares el ingreso obtenido por vender X unidades a $60 cada una será de 60x dólares, por lo tanto:

Utilidad = ingresos – costos = 60x − (40x + 3000) = 20x − 3000 Como debe tener una ganancia de al menos $1000 al mes, tenemos la inecuación: Utilidad ≥ 1000 de donde 20x − 3000 ≥ 1000 entoncesx ≥ 200 Por lo tanto, el fabricante debe producir y vender al menos 200 unidades cada semana

3. La fábrica de Chocolate, la Ibérica , ha estimado que necesita X miles de dólares para adquirir 100,000(−1 + √1 + 0.001𝑥) acciones de la empresa de producción. Determinar el dinero que necesita “La Ibérica “ para adquirir un mínimo de 100,000 acciones de telefónica. Solución: Calculamos la cantidad de dinero que “La Ibérica” necesita para adquirir un mínimo de 100,000 acciones resolviendo la inecuación. 100,000(−1 + √1 + 0.001𝑥) ≥ 100,000 de donde (−1 + √1 + 0.001𝑥) ≥ 1 entonces √1 + 0.001𝑥 ≥ 2 elevando al cuadrado 1 + 0.001x ≥ 4 → 0.001x ≥ 3 , entonces x ≥ 3000 por lo tanto Antamina necesita al menos $3000,000 .

4. Las ventas mensuales X de cierto artículo cuando su precio es P dólares están dadas por 𝑃 = 200 − 3𝑥. El costo de producir X unidades del mismo artículo es 𝐶 = (650 + 5𝑥) dólar ¿Cuántas unidades de este artículo deberían producirse de modo que la utilidad mensual sea por lo menos de 2500 dólares? Solución Sea R= el ingreso en $ obtenido por vender X unidades al precio de P dólares por unidad, es decir: R = X (precio por unidad) = x(p) = x (200 – 3x) → R = 200x − 3x 2 C = el costo en $ de fabricar X unidad, es decir : C = 650 + 5x Como utilidad = Ingresos – Costos = (200x − 3x 2 ) − (650 + 5x) = 195x − 3x 2 − 650 Como la utilidad debe ser al menos de $2500, es decir: Utilidad ≥ 2500, de donde 195x − 3x 2 − 650 ≥ 2500, simplificando

x 2 − 65x + 1050 ≤ 0, factorizando se tiene: (x − 30)(x − 35) ≤ 0, aplicando puntos críticos +

-

+ 30

35

La solución es 30 ≤ 𝑥 ≤ 35 Luego para obtener una utilidad de al menos $2500 al mes, el fabricante debe producir y vender cualesquiera unidades de 30 a 35. 5. Una empresa láctea determina que el costo por cada producto ejemplar de una cierta cantidad de frasco de leche es de $1.50. El ingreso recibido de los distribuidores es de $ 1.40 por cada frasco leche. El ingreso por producto es de 10% del ingreso recibido de los distribuidores por todos los ejemplares vendidos por arriba de 10000 ¿Cuál es el número mínimo de frasco de leche que deben ser vendidas de modo que la obtenga utilidades? Solución: Sea q= número de frasco de leche vendidas El ingreso total recibido de los distribuidores es de 1.40q y el recibido por producto es (0.10)[(1.40)(q − 10000)] el costo total de la empresa láctea es 150q Como utilidad = ingreso – costo > 0 1.40q + (0.10)[(1.40)(q − 10000)] − 1.50q > 0 → 1.4q + 0.14q − 1400 − 1.5q > 0 0.04q − 1400 > 0 → 0.04q > 1400 → q > 35000 Por lo tanto el número total de frascos de leche debe ser mayor que 35000, es decir que al menos 35001 ejemplares deben ser vendidos para garantizar utilidades.