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• Luiz Santiyan

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FICHA DE TRABAJO N° 12

Inecuaciones de segundo grado Presenta la siguiente forma general:

Resolución 1ero) Se verificará que "a" sea mayor que cero. Si a < 0 entonces se cambia el signo a todos los términos de la desigualdad, multiplicando por "-1" a ambos miembros, ejemplo: 2

Resolver: -2x + 7x - 3 >0 Multiplicando por -1:

2

(-1) . (-2x + 7x - 3) < 0 . (-1) 2

2x - 7x + 3 < 0 2do) Se calcula el discriminante para ver el tipo de raíces, se pueden presentar los siguientes casos: • Caso I:  > 0 En este caso el trinomio siempre será factorizable en los reales, para su resolución se empleará el método de los puntos críticos. Procedimiento: 1) Se descompone el trinomio en dos factores lineales, al igualar cada factor a cero se hallan los puntos críticos, si el trinomio no fuera factorizable en los racionales los puntos críticos se hallarán mediante la fórmula general de la ecuación de segundo grado. 2) Se ubican los puntos críticos en la recta numérica dividiéndola en 3 intervalos los cuales tendrán signos alternados a partir de la derecha empezando por (+). 3) Luego se considera cualquiera de los casos mostrados:  P(x) > 0; o, P(x)  0, el conjunto solución serán los intervalos positivos.  P(x) < 0; o, P(x)  0, el conjunto solución será el intervalo negativo. 2  2x  15 Ejemplo, Resolver: x  0

P( x ) Resolución: 1) Factorizando: (x - 5)(x + 3)  0 Puntos críticos

2) Ubicándolos en la recta numérica.

3) Luego como P(x)  0, el conjunto solución serán las zonas positivas

  x  ; 3 5; • Caso II:  = 0 En este caso el trinomio es un cuadrado perfecto y tiene una raíz doble ( un solo punto crítico). Dicho trinomio será siempre  0, recordar que:

IR 2

Ejemplo, Resolver: x - 6x + 9 > 0 Resolución: 2

1) Factorizando: (x - 3) > 0 Punto crítico: x - 3 = 0  x = 3 2) En la recta numérica:

3) Luego, como P(x) > 0, la solución será: x  - {3} (Observar que x = 3 no verifica) • Caso III:  < 0 En este caso el trinomio no es factorizable en los reales pues posee raíces imaginarias, este trinomio sería siempre positivo y su solución puede ser IR o  según sea la forma de la inecuación: 2

Ejemplo: Resolver: 9x + 6x + 2  0 2

Resolución:  = 6 - 4(9)(2) = -36 < 0 Entonces el trinomio será siempre (+)

 Conjunto solución: x  IR 

TEOREMA DEL TRINOMIO POSITIVO 2

El trinomio: ax + bx + c será (+) Para todo "x"  IR siempre que: a00

Ejercicios 1. Resolver: (x - 8) (x - 9)  0

6. Resolver: (x + 3)2 - 52 < 0

2. Resolver: (x + 7) (x + 4) < 0

7. Resolver: (x + 4)2 - 62 < 0

3. Resolver: (x - 4) (x + 2)  0

8. Resolver: (x + 9)2 - 5 > 0

4. Resolver: (x + 5) (x + 10) > 0

9. Resolver: (x + 4)2 - 3  0

5. Resolver: x2 - 32 < 0

10.Resolver: x2 - 2x(3) + 32  0

8. Resolver:

Bloque I x - 8x + 15 > 0

1. Resolver: a)

 ;5

b)

5; 

c)

3;5

d)

 ;3  5; 

e)

 ;5   3; 

2. Resolver:

 4;2

b)

2;4

d)

 4;2

e)

0;8

a)  2;5 d) 3;5

 2;4

c)

c)

e) 0;5

4. Resolver:

 2;4

x2 + 2x - 1 < 0

(5 - x) (x + 2)  6

b) 4 e) 12

c) 6

Bloque II

b) [-;3] e) [-3;3]

c) [3;]

x2 + 2x + n  0 a) 1 d) -2

b) -1 e) 3

c) 2

3. El mayor número entero "m" que satisface la desigualdad:

e) x   2  2 ;2  2

2x2 - 8x + 1  2m;  x IR. x2 + 4x + 4  0

a) 2;

b)

d) IR

e) IR

a) d) IR- {5}

10.Resolver:

b) x  d) x  IR- {6}

2. Hallar el menor número entero "n" tal que  x IR se cumpla que:

d) x   1  2 ;1  2

7. Resolver:

x(x - 12) - 36

a) [0;3] d) [-3;]

c) x   1  2 ;1  2

a) [3;  d) IR

c)

1. Resolver: x2  9 Indicar el intervalo solución:

b) x   1  2 ;1  2

6. Resolver:

9. Resolver:

a) 2 d) 10

a) x   2 ; 2

5. Resolver:

b) e) 

Indicar la suma de enteros que verifica.

(x - 1) (x - 2)  12 b) 1;5

a) d) {4}

a) x  [6; c) x IR e) x  {6}

x2 - 2x - 8 < 0

a)

3. Resolver:

x2 - 8x + 19  0

2

 ; 2 +



c) 0; 

c) [0;>

c) -3

4. Resolver:

a) x  c) x  {2} e) x  5. Resolver:

2

x + 10x + 27  0 b) e) 

b) 1 e) -4

x (x+4)(x + 6) + 16  (x+1)(x+2)(x+6)

x2 - 6x + 9  0 b) 0 II. (7x-1)  0 III. 2x2  x IV. (x-1)2  0 V. x2 - 2x +1 < 0 a) 1 d) 4

a)  2;3

x IR - {2-1} x  x IR x IR x 

b) 2 e) 5

c) 0;4

2

5 < x - 8x + 25 < 18

a)  7;1

b)  7;1

d)  1;1

e) 1; 7

c) 1;7



4. Resolver el siguiente sistema de inecuaciones:  4x 2 - 1 > 0  - 2x 2 + 5x > 3

c) 3

8. Si: [; ], es el conjunto solución de: x2 + 4x + 1  0

a) 1;

1 2

b)  1;1

d) 

3 ;1 2

e)



c) 1;

3 2

3 3 ; 2 2

Hallar: P = (+1)(+1) a) 2 d) 8

b) -4 e) -8

c) -2

  3  x 1  9. Resolver:    5 2   Se obtiene < a, b >. Indicar "ab". x2

a) 1

b) -1

d) -2

e)

c) 2

5 2

10.La inecuación cuadrática: x2 + ax + b  0; {a; b}  ZZ Tiene como conjunto solución: IR   1  5;1  5  2 3 Hallar: a - b a) 4 d) 60

b) 64 e) 65

c) 68

Bloque III 1. Resolver: (ax - b)2  (bx - a)2 Siendo: 0 < a < b a)