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UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MACHALA UNIDAD ACADÉMICA DE INGENIERIA CIVIL CARRERA DE INGENIERIA CIVIL Algebra Lineal Alumno: Cristhofer A. Salinas Curso: 2º “B” Tema: Dependencia e independencia lineal

Dependencia e independencia lineal. En álgebra lineal, un conjunto de vectores es linealmente independiente si ninguno de ellos puede ser escrito con una combinación lineal de los restantes. Por ejemplo, en R3, el conjunto de vectores (1, 0, 0), (0, 1, 0) y (0, 0, 1) es linealmente independiente, mientras que (2, −1, 1), (1, 0, 1) y (3, −1, 2) no lo es, ya que el tercero es la suma de los dos primeros.

Definición Dado un conjunto finito de vectores

, se dice que estos vectores

son linealmente independientes si existen números

, tales que:

Donde la única posibilidad que se cumpla esta ecuación es que dichos escalares sean todos nulos. En caso contrario, se dice que son linealmente dependientes. Nótese que el símbolo a la derecha del signo igual no es cero, sino que simboliza al vector nulo

. El

conjunto de vectores nulos forma la matriz nula. Si tales números no existen, entonces los vectores son linealmente independientes. La definición anterior también puede extenderse a un conjunto infinito de vectores, concretamente un conjunto cualquiera de vectores es linealmente dependiente si contiene un conjunto finito que sea linealmente dependiente. Utilizando conceptos de espacios vectoriales podemos redefinir la independencia lineal así: Un conjunto de vectores

de un espacio vectorial es linealmente independiente

si Esta idea es importante porque los conjuntos de vectores que son linealmente independientes, generan un espacio vectorial y forman una base para dicho espacio. Entre las propiedades de los vectores linealmente dependientes e independientes encontramos: 1. Un conjunto de vectores es linealmente dependiente si y solamente si alguno de los vectores es combinación lineal de los demás.

2. Si un conjunto de vectores es linealmente independiente cualquier subconjunto suyo también lo es. Obviamente, si tenemos un conjunto de vectores tales que ninguno de ellos es combinación de los demás, escogiendo solamente unos cuantos, no podrán ser combinación de los otros. 3. Si un conjunto de vectores es linealmente dependiente, también lo es todo conjunto que lo contenga. 4. Un conjunto de vectores son linealmente dependientes si y sólo si son paralelos. 5. Un conjunto de vectores son linealmente dependientes si los componentes entre ellos son proporcionales, bien sea directa o inversamente proporcional. Ya que un conjunto de vectores es linealmente dependiente si y solo si tiene algún vector que es combinación lineal de los demás, si metemos este conjunto de vectores en otro más grande, seguimos teniendo el vector que es combinación lineal de otros, por tanto, el conjunto más grande será linealmente dependiente.