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• Denisse Urenda

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Módulo 5. Independencia lineal 5.2 Subespacios. Definición 1. Un subconjunto no vacío de 𝑊 de un espacio vectorial 𝑉 es llamado subespacio de 𝑉 si 𝑊 es un espacio vectorial bajo las mismas operaciones definidas en 𝑉. Para demostrar que un subconjunto 𝑊 es un subespacio de un espacio vectorial 𝑉 no es necesario demostrar los diez axiomas sino unos cuantos de ellos pues la mayoría de estos se “heredan” a 𝑊 por ser ya parte del espacio vectorial 𝑉. Esto se establece en el siguiente teorema. Teorema 1. Si 𝑊 es un subconjunto no vacío de un espacio vectorial 𝑉, entonces 𝑊 es un suespacio de 𝑉 si y solo si las siguientes condiciones se cumplen. 1. 2. 3.

0̅ ∈ 𝑊. Si 𝑢, 𝑣 ∈ 𝑊 entonces 𝑢 + 𝑣 ∈ 𝑊. Si 𝑢 ∈ 𝑊 y 𝛼 ∈ ℝ entonces 𝛼𝑢 ∈ 𝑊.

Este teorema nos dice que es suficiente verificar que en 𝑊 se encuentra el neutro aditivo de 𝑉 y que 𝑊 es cerrado bajo la suma y la multiplicación escalar (definidas en 𝑉). Ejemplo 1. Demuestra que el conjunto 𝑊 = {(𝑥1 , 0, 𝑥2 )|𝑥1 , 𝑥2 ∈ ℝ} es un subespacio de ℝ3 con las operaciones habituales definidas en ℝ3 . Para demostrar que 𝑊 es un subespacio de ℝ3 debemos demostrar que 𝑊 cumple con las tres condiciones establecidas en el teorema 1. -

-

-

̅ ∈ 𝑾: Es fácil demostrar que 0̅ es un elemento de 𝑊 pues solo basta con escribirlo 𝟎 de la forma en que los elementos de 𝑊 son. En este caso, si hacemos 𝑥1 = 𝑥2 = 0 podemos ver que 0̅ = (0,0,0) ∈ 𝑊. Si 𝒖, 𝒗 ∈ 𝑾 entonces 𝒖 + 𝒗 ∈ 𝑾: Debemos primero asumir que 𝑢 y 𝑣 son elementos de 𝑊, esto es, existen números reales 𝑢1 , 𝑢2 , 𝑣1 y 𝑣2 tales que 𝑢 = (𝑢1 , 0, 𝑢2 ) y 𝑣 = (𝑣1 , 0, 𝑣2 ). Para que 𝑊 sea cerrado bajo la suma, la suma 𝑢 + 𝑣 debe ser también de la forma de los elementos de 𝑊. En efecto, 𝑢 + 𝑣 = (𝑢1 , 0, 𝑢2 ) + (𝑣1 , 0, 𝑣2 ) = (𝑢1 + 𝑣1 , 0 + 0, 𝑢2 + 𝑣2 ) = (𝑤1 , 0, 𝑤2 ) ∈ 𝑊. Si 𝒖 ∈ 𝑾 y 𝜶 ∈ ℝ entonces 𝜶𝒖 ∈ 𝑾: De la misma manera que la anterior, debemos demostrar que 𝛼𝑢 es también un elemento de 𝑊, es decir, tiene la forma (𝑥1 , 0, 𝑥2 ). Si 𝑢 ∈ 𝑊 entonces existen números reales 𝑢1 , 𝑢2 tales que 𝑢 = (𝑢1 , 0, 𝑢2 ), así 𝛼𝑢 = 𝛼(𝑢1 , 0𝑢2 ) = (𝛼𝑢1 , 𝛼(0), 𝛼𝑢2 ) = (𝛼𝑢1 , 0, 𝛼𝑢2 ) = (𝑤1 , 0, 𝑤2 ) ∈ 𝑊.

Con lo anterior, podemos concluir que 𝑊 es un subespacio vectorial de 𝑉. Video: https://www.youtube.com/watch?v=3A82uPEPH94

5.3 Conjunto generador de un espacio vectorial. Definición 2. Sean 𝑣, 𝑣1 , 𝑣2 , … , 𝑣𝑘 vectores en un espacio vectorial 𝑉. Decimos que 𝑣 es combinación lineal de 𝑣1 , 𝑣2 , … . , 𝑣𝑘 si existen 𝛼1 , 𝛼2 , … , 𝛼𝑘 ∈ ℝ tales que 𝛼1 𝑣1 + 𝑎2 𝑣2 + ⋯ + 𝑎𝑘 𝑣𝑘 = 𝑣.

0 Ejemplo 2. Demuestra que 𝑣 = [ 2 −2 0 [ ]. 1 3

8 0 2 −1 3 ] es combinación lineal de 𝑣1 = [ ] , 𝑣2 = [ ] y 𝑣3 = 1 1 0 1 2

Para demostrar que 𝑣 es una combinación lineal de 𝑣1 , 𝑣2 y 𝑣3 debemos encontrar tres números reales 𝛼1 , 𝛼2 y 𝛼3 tales que 𝑣 = 𝛼1 𝑣1 + 𝛼2 𝑣2 + 𝛼3 𝑣3 , Es decir, 0 [ 2

8 0 2 −1 3 −2 0 ] = 𝛼1 [ ] + 𝛼2 [ ] + 𝛼3 [ ] 1 1 0 1 2 1 3 −𝛼2 − 2𝛼3 2𝛼1 + 3𝛼2 =[ ] 𝛼1 + 𝛼2 + 𝛼3 2𝛼2 + 3𝛼3

Esto nos conduce a un sistema de ecuaciones 0 = −𝛼2 − 2𝛼3 8 = 2𝛼1 + 3𝛼2 2 = 𝛼1 + 𝛼2 + 𝛼3 1 = 2𝛼2 + 3𝛼3 Resolviendo este sistema podemos concluir que 𝛼1 = 1, 𝛼2 = 2 y 𝛼3 = −1, es decir, 0 [ 2

8 0 2 −1 3 −2 0 ] =[ ] + 2[ ]−[ ] 1 1 0 1 2 1 3

Por lo tanto, 𝑣 sí es combinación lineal de 𝑣1 , 𝑣2 y 𝑣3 . Video: https://www.youtube.com/watch?v=1ojWxDYj0f8 Definición 3. Sea 𝑆 = {𝑣1 , 𝑣2 , … , 𝑣𝑘 } un subconjunto de un espacio vectorial 𝑉. El conjunto 𝑆 es llamado el conjunto generador de 𝑉 si cada vector en 𝑉 puede ser escrito como combinación lineal de los vectores de 𝑆. En este caso se dice que 𝑆 genera a 𝑉. Ejemplo 3. Demuestra que el conjunto 𝑆 = {1, 𝑥, 𝑥 2 } genera a 𝑃2 . Recordemos que 𝑃2 es el conjunto de todos los polinomios de grado dos o menor. Para demostrar que 𝑆 genera a 𝑃2 debemos demostrar que cada vector en 𝑃2 se puede escribir como combinación lineal de 1, 𝑥 y 𝑥 2 , es decir, que existen números reales 𝛼1 , 𝛼2 y 𝛼3 tales que 𝑝 = 𝛼1 (1) + 𝛼2 𝑥 + 𝛼3 𝑥 2 donde 𝑝 ∈ 𝑃2 . Pero esto es obvio pues, si 𝑝 ∈ 𝑃2 entonces 𝑝 tiene la forma 𝑎 + 𝑏𝑥 + 𝑐𝑥 2 pues es un polinomio de grado dos o menor. Así, haciendo 𝑎 = 𝛼1 , 𝑏 = 𝛼2 y 𝑐 = 𝛼3 , tenemos que 𝑝 = 𝑎 + 𝑏𝑥 + 𝑐𝑥 2 = 𝛼1 (1) + 𝛼2 𝑥 + 𝛼3 𝑥 2 . Ejemplo 4. Demuestra que el conjunto 𝑆 = {(1,2), (0,4)} genera a ℝ2 . Sea 𝑢 ∈ ℝ2 , entonces 𝑢 = (𝑥, 𝑦) para 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ. Debemos demostrar que todos los vectores de ℝ2 pueden ser escritos como combinación lineal de los vectores en 𝑆, es decir, existen números reales 𝛼1 y 𝛼2 tales que

(𝑥, 𝑦) = 𝛼1 (1,2) + 𝛼2 (0,4) = (𝛼1 , 2𝛼1 + 4𝛼2 ) Esta ecuación vectorial nos lleva al sistema de ecuaciones 𝑥 = 𝛼1 𝑦 = 2𝛼1 + 4𝛼2 1

De manera que, 𝛼1 = 𝑥 y 𝛼2 = 4 (𝑦 − 2𝑥). Así 1 1 (𝑥, 𝑦) = 𝑥(1,2) + [ 𝑦 − 𝑥] (0,4) 4 2 Video: https://www.youtube.com/watch?v=8NVATEV8W4c

5.4 Definición de dependencia e independencia lineal. Definición 4. Un conjunto de vectores 𝑆 = {𝑣1 , 𝑣2 , . . , 𝑣𝑘 } de un espacio vectorial 𝑉 es llamado linealmente independiente si la ecuación vectorial 𝛼1 𝑣1 + 𝛼2 𝑣2 + ⋯ + 𝛼𝑘 𝑣𝑘 = 0̅ Tiene como única solución la solución trivial, es decir, 𝛼1 = 𝛼2 = ⋯ = 𝛼𝑘 = 0 es la única solución. Si hay alguna otra solución no trivial, entonces 𝑆 es llamado linealmente dependiente. Ejemplo 5. Determina si el conjunto de vectores en 𝑃2 es linealmente independiente o linealmente dependiente. 𝑆 = {1 + 𝑥 − 2𝑥 2 , 2 + 5𝑥 − 𝑥 2 , 𝑥 + 𝑥 2 } Para determinar si 𝑆 es linealmente dependiente o independiente debemos ver si la ecuación 𝛼1 (1 + 𝑥 − 2𝑥 2 ) + 𝛼2 (2 + 5𝑥 − 𝑥 2 ) + 𝛼3 (𝑥 + 𝑥 2 ) = 0̅ Tiene como única solución la solución trivial o no. Nota que el 0̅ de 𝑃2 es juntamente 0 + 0𝑥 + 0𝑥 2, así, la ecuación anterior se puede escribir como 0 + 0𝑥 + 0𝑥 2 = 𝛼1 (1 + 𝑥 − 2𝑥 2 ) + 𝛼2 (2 + 5𝑥 − 𝑥 2 ) + 𝛼3 (𝑥 + 𝑥 2 ) = 𝛼1 + 𝛼1 𝑥 − 2𝛼1 𝑥 2 + 2𝛼2 + 5𝛼2 𝑥 − 𝛼2 𝑥 2 + 𝛼3 𝑥 + 𝛼3 𝑥 2 = (𝛼1 + 2𝛼2 ) + (𝛼1 + 5𝛼2 + 𝛼3 )𝑥 + (−2𝛼1 − 𝛼2 + 𝛼3 )𝑥 2 Esto nos lleva al sistema homogéneo de ecuaciones: 0 = 𝑎1 + 2𝛼2 0 = 𝛼1 + 5𝛼2 + 𝛼3 0 = −2𝛼1 − 𝛼2 + 𝛼3 Si aplicamos eliminación Gauss – Jordan a la matriz aumentada del sistema tenemos que el sistema tiene soluciones no triviales pues

1 1 2 0 0 [1 5 1 | 0] → [0 −2 −1 1 0 0

0 −2/3 0 1 1/3 | 0] 0 0 0

Lo que nos conduce a un número infinito de soluciones. El conjunto solución de este 2 3

1 3

sistema es ( 𝛼3 , − 𝛼3 , 𝛼3 ). Si tomamos a 𝛼3 = 3 tenemos la solución particular (2, −1,3), es decir, hemos encontrados soluciones no triviales para la ecuación 𝛼1 (1 + 𝑥 − 2𝑥 2 ) + 𝛼2 (2 + 5𝑥 − 𝑥 2 ) + 𝛼3 (𝑥 + 𝑥 2 ) = 0̅ En este caso 0 + 0𝑥 + 0𝑥 2 = 2(1 + 𝑥 − 2𝑥 2 ) − 1(2 + 5𝑥 − 𝑥 2 ) + 3(𝑥 + 𝑥 2 ) Por lo tanto, el conjunto 𝑆 es linealmente dependiente. Ejemplo 6. Determina si el conjunto de vectores en ℝ3 es linealmente independiente o linealmente dependiente. 𝑆 = {(1,2,3), (0,1,2), (−2,0,1)}. Para determinar si 𝑆 es linealmente dependiente o independiente debemos ver si la ecuación 𝛼1 (1,2,3) + 𝛼2 (0,1,2) + 𝛼3 (−2,0,1) = 0̅ Tiene como única solución la solución trivial o no. Nota que el 0̅ de ℝ3 es el vector (0,0,0). Así, la ecuación anterior se convierte en (0,0,0) = 𝛼1 (1,2,3) + 𝛼2 (0,1,2) + 𝛼3 (−2,0,1) = (𝛼1 − 2𝛼3 , 2𝛼1 + 𝛼2 , 3𝛼1 + 2𝛼2 + 𝛼3 ) Que nos lleva al sistema homogéneo de ecuaciones 0 = 𝛼1 − 2𝛼3 0 = 2𝛼1 + 𝛼2 0 = 3𝛼1 + 2𝛼2 + 𝛼3 Si aplicamos eliminación Gauss – Jordan a la matriz aumentada del sistema tenemos que el sistema tiene como única solución la solución trivial 𝛼1 = 0, 𝛼2 = 0 y 𝛼3 = 0. 1 0 [2 1 3 2

−2 0 1 0 | 0] → [0 1 0 0

0 0 0 1 0 | 0] 0 1 0

Por lo tanto, el conjunto 𝑆 es linealmente independiente. Video: https://www.youtube.com/watch?v=qkuLGEaAExk Video: https://www.youtube.com/watch?v=IwDDu1GzdLY

5.5 Base y dimensión de un espacio vectorial. Definición 5. Un conjunto de vectores 𝑆 = {𝑣1 , 𝑣2 , … , 𝑣𝑛 } en un espacio vectorial 𝑉 es una base para 𝑉 si 1. 𝑆 genera a 𝑉. 2. 𝑆 es linealmente independiente. Ejemplo 7. Demuestra que 𝑆 = {1, 𝑥, 𝑥 2 } es una base de 𝑃2 . En el ejemplo 3 demostramos que 𝑆 = {1, 𝑥, 𝑥 2 } genera a 𝑃2 , solo basta demostrar que 𝑆 = {1, 𝑥, 𝑥 2 } es linealmente independiente, es decir, que la ecuación 0 + 0𝑥 + 0𝑥 2 = 𝛼1 + 𝛼2 𝑥 + 𝛼3 𝑥 2 Tiene como única solución, la solución trivial. En efecto, 𝑆 es linealmente independiente pues la ecuación anterior nos lleva al sistema 0 = 𝛼1 0 = 𝛼2 0 = 𝛼3 Por lo tanto, 𝑆 es una base para 𝑃2 . Ejemplo 8. 𝑆 = {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)} es una base para ℝ3 . 1 Ejemplo 9. 𝑆 = {( 0

0 0 ),( 0 0

1 0 0 0 ),( ),( 0 1 0 0

0 )} es una base para ℳ2×2 (ℝ). 1

En los ejemplos anteriores habría que demostrar que 𝑆 genera a 𝑉 y que 𝑆 es linealmente independiente. Las bases presentadas en los ejemplos 7, 8 y 9 son llamadas bases estándar para los espacios vectoriales correspondientes. Definición 6. Si un espacio vectorial tiene una base que consiste en 𝑛 vectores, entonces la dimensión del espacio 𝑉 es 𝑛 y lo denotamos comodim 𝑉 = 𝑛. Ejemplo 10. dim(𝑃2 ) = 3 pues el numero de elementos que tiene la base {1, 𝑥, 𝑥 2 } es 3. dim(ℝ3 ) = 3 pues el numero de elemento que tiene la base {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)} es 3. dim(ℳ2×2 (ℝ)) = 4 pues el número 1 0 0 1 0 0 0 0 ),( ),( ),( )} es 4. {( 0 0 0 0 1 0 0 1

de

elementos

que

tiene

la

base

De forma general la dimensión de ℝ𝑛 es 𝑛, la dimensión de 𝑃𝑛 es 𝑛 + 1 y la dimensión de ℳ𝑚×𝑛 (ℝ) es 𝑚𝑛. No todos los espacios vectoriales tienen dimensión finita, hay algunos que tienen dimensión infinita como 𝑃(ℝ), el conjunto de todos los polinomios reales, o el conjunto 𝐶[𝑎, 𝑏], el conjunto de las funciones continuas en el intervalo [𝑎, 𝑏]. Video: https://www.youtube.com/watch?v=aJ33Fzerlhc