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FACULTAD DE MEDICINA ´ DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS ´ UNIVERSIDAD ANDRES BELLO ´ MATEMATICAS AVANZADAS - FMM007

GU´IA DE VECTORES 1. Trace un segmento de recta dirigido en R2 , que represente cada uno de los vectores siguientes.     −2 −3 a) u1 = c) u3 = 3 −3     3 0 b) u2 = d ) u4 = 4 −3 2. Determine u+v, u−v, 2u y 3u−2v, si a) u= (2, 3) y v= (−2, 5) b) u= (0, 3) y v= (3, 2) c) u= (2, 6) y v= (3, 2) d ) u= (−1, 3) y v= (2, 4) e) u= (−4, −3) y v= (5, 2) f ) u= (3, 2) y v= (−2, 0) 3. Sea u= (1, 2), v= (−3, 4), w= (w1 , 4) y x= (−2, x2 ). Determine w1 y x2 de modo que: a) w=2u 3 b) x=v 2 c) w+x=u 4. Sea u= (−4, 3), u= (2, −5) y u= (w1 , w2 ). Determine w1 y w2 tales que: a) w=2u+3v b) u+u=2u-v c) w=1.5v−2u 5. De ser posible, determine escalares c1 y c2 , por lo menos uno distinto de cero, tales que:       1 3 0 c1 + c2 = 2 4 0 6. Determine el ´ area del tri´ angulo con v´ertices (3, 3), (−1, −1), (4, 1). 7. Determine el ´ area del tri´ angulo con v´ertices (0, 0), (0, 3), (4, 0). Verifique por medio de la f´ormula 1 A = 2 (base)(altura).

8. Determine el vector unitario en direcci´ on x. a) x= (2, 4)

b) x= (0, −2)

c) x= (−1, −3)

9. Determine el coseno del ´ angulo que forma cada par de vectores u y v. a) u= (1, 2) y v= (2, −3) b) u= (1, 0) y v= (0, 1) c) u= (−3, −4) y v= (4, −3) d ) u= (2, 1) y v= (−2, −1) 10. ¿Cu´ales de los vectores u1 = (1, 2), u2 = (0, 1), u3 = (−2, −4), u4 = (−2, 1), u5 = (2, 4), u6 = (−6, 3) son: a) Ortogonales? b) en la misma direcci´ on? c) en direcciones opuestas? 11. Demuestre que si u y v son vectores en Rn , entonces: a) |u·v| ≤ kukkvk b) ku+vk ≤ kuk + kvk 12. Demuestre la ley del paralelogramo ku+vk2 + ku−vk2 = 2kuk2 + 2kuk2