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Geometría Analítica y Vectores I

Guía Didáctica 2017

Campus Universitario San Lorenzo, Paraguay

Universidad Nacional de Asunción

Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Departamento de Educación a Distancia

Índice I. Identificación de la asignatura ..............................................................................................................3 II. Presentación del curso .........................................................................................................................3 III. Responsable del curso.........................................................................................................................3 IV. Objetivos .............................................................................................................................................4 V. Metodología .........................................................................................................................................4 VI. Contenido ............................................................................................................................................5 VII. Cronograma........................................................................................................................................9 VIII. Actividades para el estudiante ....................................................................................................... 11 IX. Asesoría de apoyo al aprendizaje de los estudiantes ...................................................................... 11 X. Evaluación ......................................................................................................................................... 12 XI. Recomendaciones y consideraciones finales ................................................................................... 13 XII. Bibliografía ...................................................................................................................................... 14

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I. Identificación de la asignatura 1. 2. 3. 4.

Código: Horas Semanales: Crédito: Prerrequisito:

14C 5 3 Ninguno

II. Presentación del curso La Geometría Analítica estudia las figuras mediante técnicas básicas del análisis matemático y del álgebra en un determinado sistema de coordenadas. Su desarrollo histórico comienza con la geometría cartesiana, impulsada con la aparición de la geometría diferencial del Carl Friedrich Gauss y más tarde con el desarrollo de la geometría algebraica. En un sistema de coordenadas cartesianas, un punto del plano queda determinado por dos números, llamados abscisa y ordenada del punto. Consecuentemente el sistema cartesiano establece una correspondencia biunívoca entre un concepto geométrico como es el de los puntos del plano y un concepto algebraico como son los pares ordenados de números. Esta correspondencia constituye el fundamento de la geometría analítica. Desde el punto de vista didáctico, la geometría analítica resulta un puente indispensable entre la geometría euclidiana y otras ramas de la matemática y de la propia geometría, como lo son el análisis matemático, el álgebra lineal, etc. Lo novedoso de la geometría analítica es que se representan figuras geométricas mediante fórmulas del tipo f x, y   0 , donde f es una función u otro tipo de expresión matemática: las rectas se expresan como ecuaciones polinómicas de grado 1, las circunferencias y el resto de las cónicas como ecuaciones polinómicas de grado 2, etc.

III. Responsable del curso Lic. Carmen Antonia Lugo Díaz [email protected] Licenciada en Ciencias Mención Matemática Pura, egresada de la Facultad de Ciencias Exactas y Naturales, UNA Ha realizado cursos de Introducción a la plataforma Moodle, Tutoría Virtual, cursos de investigación. Actualmente, se desempeña como Auxiliar de enseñanza en la materia de Geometría Analítica en la Facultad Politécnica - UNA, Tutora virtual de la asignatura Investigación en Educación de la Matemática II y Encargada de

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Cátedra de la Asignatura Ecuaciones Diferenciales de la Facultad de Ciencias Exactas y Naturales, UNA.

IV. Objetivos Objetivo general Generalizar nociones de la geometría elemental por los métodos de la geometría analítica. Objetivos específicos Al finalizar el curso los participantes estarán capacitados para: 1. Utilizar las propiedades de los vectores desde el punto de vista analítico. 2. Interpretar analíticamente y críticamente la información que representación gráfica de lugares geométricos y establecer conjeturas.

proporciona la

3. Resolver problemas que requieran el empleo del concepto de distancia entre dos puntos, punto medio de un segmento y área de un polígono en un plano cartesiano. 4. Resolver problemas que requieran la aplicación de funciones lineales en contextos varios. 5. Resolver problemas cuya solución requiera del uso del concepto, elementos y ecuaciones de la circunferencia. 6. Aplicar las ecuaciones de las cónicas (parábola, elipse e hipérbola) en la resolución de situaciones problemáticas. 7. Conocer el uso de las coordenadas polares para curvas y otros tipos de lugares geométricos.

V. Metodología Esta asignatura se desarrollará totalmente en la modalidad a distancia y la metodología utilizada es la de centrar los aprendizajes en la actividad de cada participante. Este modo de trabajo se ve favorecido por la plataforma virtual que se utilizará: Moodle, la cual tiene sus bases en el Constructivismo Social. El ingreso a la plataforma se realiza con el usuario y contraseña que tendrá cada estudiante. Se puede ingresar a la plataforma desde cualquier computadora con acceso a Internet, para lo cual se recomienda utilizar el navegador Mozilla. Las unidades de la asignatura se habilitarán gradualmente y, al inicio de cada una, se encontrará una bienvenida y los detalles de los pasos a seguir para el cumplimiento de los objetivos. Cada unidad tendrá Orientaciones donde se encontrará de forma detallada todo lo que se desarrollará en la misma. Además de poder encontrar en esta guía, también en

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dichas orientaciones estarán especificadas nuevamente las actividades y los plazos para cumplirlas. Para poder cumplir con todo lo planificado para este semestre, es responsabilidad de cada estudiante ingresar por lo menos cada dos días y tomar nota de las novedades que se produzcan, las asignaciones que debe realizar y los plazos máximos de entrega de las distintas actividades. La tutora virtual estará guiando constantemente en los trabajos individuales y grupales para la profundización de los nuevos conceptos aprendidos, apoyando en el uso de la plataforma y respondiendo a las consultas que se consideren necesarias, además de retroalimentar constantemente a los participantes sobre sus avances y dar recomendaciones acordes a lo que la situación requiera.

VI. Contenido A. Unidades programáticas 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

Vectores Sistema de coordenadas Gráfica de una ecuación y lugares geométricos Línea recta Transformación de coordenadas Circunferencia Las cónicas, la parábola, la elipse, la hipérbola Coordenadas polares Curvas planas de orden superior

B. Desarrollo de unidades programáticas 1. Vectores 1.1. 1.2. 1.3. 1.4. 1.5. 1.6. 1.7. 1.8. 1.9. 1.10. 2.

Segmento rectilíneo dirigido Vector. Concepto Versor. Definición Vectores iguales. Definición Suma de vectores. Definición Interpretación geométrica Producto de un escalar por un vector Producto escalar de vectores Ortogonalidad y paralelismo de vectores Proyección de un vector sobre otro

Sistemas de Coordenadas 2.1.

Sistemas coordenados en el plano. Concepto

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2.2. 2.3.

Carácter de la Geometría Analítica Distancia entre dos puntos dados

2.4.

División de un segmento en una razón dada

2.5.

Área de un polígono en función de las coordenadas de sus vértices

3. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos 3.1.

Dos problemas fundamentales de la Geometría Analítica 3.1.1. Primer problema fundamental 3.1.2. Intersecciones con los ejes 3.1.3. Simetría 3.1.4. Extensión de una curva. Campo de variación 3.1.5. Asíntotas

3.2.

Ecuaciones Factorizables

3.3.

Intersecciones de curvas

3.4.

Segundo problema fundamental

3.5.

Ecuación de un lugar geométrico

3.6.

Ecuación de la recta paralela al eje x

3.7.

Ecuación de la recta paralela al eje y

4. Línea Recta 4.1.

Definición

4.2.

Ecuación de una recta que pasa por un punto y tiene una pendiente dada.

4.3.

Ecuación de la recta paralela al eje x

4.4.

Ecuación de la recta paralela al eje y

4.5.

Ecuación de la recta dada su pendiente y su ordenada en el origen

4.6.

Ecuación de la recta que pasa por dos puntos

4.7.

Ecuación simétrica de la recta

4.8.

Forma general de la ecuación de una recta

4.9.

Discusión de la forma general

4.10. Posiciones relativas de dos rectas 4.11. Forma normal de la ecuación de la recta 4.12. Reducción de la forma general de la ecuación de una recta a la forma normal

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4.13. Aplicaciones de la forma normal 4.14. Ecuación de la recta que pasa por dos puntos, en forma de determinante 4.15. Familias de líneas rectas 4.16. Representación gráfica de una recta 4.17. Intersección de rectas 4.18. Condiciones de perpendicularidad y paralelismo 5. Transformación de Coordenadas 5.1.

Transformación de coordenadas. Definición

5.2.

Traslación de ejes coordenados

5.3.

Rotación de ejes coordenados

5.4.

Simplificación de ecuaciones por transformación de coordenadas

6. Circunferencia 6.1.

Definición. Elementos

6.2. Ecuación de la circunferencia con centro (0,0) y centro (h,k). Ejercicios de aplicación 6.3.

Forma general de la ecuación de la circunferencia

6.4.

Determinación de una circunferencia sujeta a tres condiciones dadas

6.5.

Análisis de discriminantes

6.6.

Posiciones relativas con una recta secante, tangente y normal

6.7.

Familias de circunferencias

6.8.

Eje radical

7. Las Secciones Cónicas 7.1.

Definición de cónica

7.2.

Definición de parábola 7.2.1. Ecuación de la parábola de vértice en el origen y un eje coordenado 7.2.2. Ecuación de una parábola de vértice (h,k) y eje paralelo a un eje coordenado 7.2.3. Función cuadrática 7.2.4. Algunas aplicaciones de la parábola

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7.3.

Definición de la Elipse 7.3.1. Ecuación de la elipse de centro el origen y ejes coordenados los ejes de la elipse 7.3.2. Ecuación de la elipse con centro en (h,k) y eje paralelo a los eje coordenados 7.3.3. Propiedades de la elipse

7.4.

Definición de la Hipérbola 7.4.1. Ecuación de la hipérbola con centro en el origen y ejes de coordenados los ejes de la hipérbola 7.4.2. Ecuación de la hipérbola con centro en (h,k) y eje paralelo a un eje 7.4.3. Asíntotas de la hipérbola 7.4.4. Hipérbola equilátera 7.4.5. Hipérbolas conjugadas 7.4.6. Propiedades de la hipérbola

8. Coordenadas polares 8.1.

Sistema de coordenadas polares

8.2.

Transformación de coordenadas polares a rectangulares y viceversa

8.3.

Trazado de curvas en coordenadas polares 8.3.1. Cardioide 8.3.2. Lemniscata de Bernoulli 8.3.3. Espiral de Arquímedes 8.3.4. Rosácea 8.3.5. Limasón

8.4.

Simetrías

8.5.

Fórmula de la distancia entre dos puntos en coordenadas polares

8.6.

Ecuación de la recta en coordenadas polares

8.7.

Ecuación de la circunferencia en coordenadas polares

8.8.

Ecuación general de las cónicas

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9. Curvas Planas de Orden Superior 9.1.

Clasificación de funciones

9.2.

Clasificación de las curvas planas

9.3.

Curvas planas algebraicas de orden superior

9.4.

Curvas paramétricas 9.4.1. Obtención de la Ecuación rectangular de una curva a partir de su representación paramétricas 9.4.2. Gráfica de una curva a partir de su representación paramétrica 9.4.3. Representación paramétrica de las cónicas

VII. Cronograma Para cumplir con todas las asignaciones en el tiempo previsto, se recomienda seguir este cronograma, lo cual no descarta que el participante pueda culminar las diversas actividades antes de estas fechas. Fechas

Unidades y Actividades

31 de julio

Inicio de Unidad I: Vectores

31 de julio al 04 de agosto

Lectura del material (Recursos) Unidad I Vectores Presentación Vectores AF-Actividad 1.1: Cuestionario AA-Actividad 1.2: Ejercitario sobre Vectores

04 al 08 de agosto 09 de agosto

Inicio de Unidad II: Sistema de coordenadas

09 al 13 de agosto

Lectura del material (Recursos) Unidad II Sistemas de coordenadas Presentación Sistemas de coordenadas

09 al 13 de agosto

AA-Actividad 2.1: Ejercitario sobre Sistema de coordenadas

14 de agosto

Inicio de Unidad III: Gráfica de una ecuación y lugares geométricos

14 al 15 de agosto

Lectura del material (Recursos) Unidad III Gráfica de una ecuación y lugares geométricos Presentación Gráfica de una ecuación y lugares geométricos AF-Actividad 3.1.: Cuestionario

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16 al 19 de agosto

AA-Actividad 3.2.: Ejercitario sobre gráfico de una ecuación y lugares geométricos.

19 de agosto

Primera clase presencial obligatoria

20 de agosto

Inicio de Unidad IV: La línea recta

20 al 21 de agosto

Lectura del material (Recursos) Unidad IV La línea recta Presentación La línea recta

21 al 24 de agosto

AA-Actividad 4.1.: Ejercitario sobre línea recta

23 al 27 de agosto

AI-Actividad 4.2.: Foro sobre la línea recta

28 de agosto

Inicio de Unidad V: Transformación de coordenadas

28 al 29 de agosto

Lectura del material (Recursos) Unidad V Transformación de coordenadas Presentación Transformación de coordenadas AF-Actividad 5.1.: Cuestionario

30 de agosto al 02 de setiembre

AA-Actividad 5.2.: Ejercitario sobre transformación de coordenadas

02 de setiembre

Clase presencial no obligatoria De 10:00 hs a 12:00 hs

03 de setiembre

1ra. Prueba formativa

08 de setiembre

1er. Examen parcial

21 de setiembre 21 al 28 de setiembre

29 de setiembre 29 de setiembre al 02 de octubre 02 al 08 de octubre 08 al 15 de octubre 16 de octubre

Inicio de Unidad VI: Circunferencia Lectura del material (Recursos) Unidad VI Circunferencia Presentación Circunferencia AA-Actividad 6.1.: Ejercitario sobre circunferencia Inicio de Unidad VII: Las secciones cónicas Lectura del material (Recursos) Unidad VII Las secciones cónicas Presentación Las secciones cónicas AF-Actividad 7.1.: Lección AA-Actividad 7.2.: Ejercitario sobre las secciones cónicas AI-Actividad 4.2.: Foro sobre las secciones cónicas Inicio de Unidad VIII:

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Coordenadas polares

16 al 23 de octubre

Lectura del material (Recursos) Unidad VIII Coordenadas polares Presentación Coordenadas polares AA-Actividad 8.1.: Ejercitario sobre coordenadas polares

21 de octubre

Segunda clase presencial obligatoria

24 de octubre 24 al 29 de octubre 24 al 29 de octubre 28 de 0ctubre

Inicio de Unidad IX: Curvas planas de orden superior Lectura del material (Recursos) Unidad IX Curvas planas de orden superior Presentación Curvas planas de orden superior AA-Actividad 9.1.: Ejercitario sobre curvas planas de orden superior Clase presencial no obligatoria De 10:00 hs a 12:00 hs

30 de octubre

2da. Prueba formativa

30 de octubre al 01 de noviembre

Repaso de contenidos

02 de noviembre

2do. Examen parcial

Sábado 18 de noviembre

1er. Examen final

Domingo 10 de diciembre

2do. Examen final

Referencias AF: Actividad de Fijación AA: Actividad de Aprendizaje AI: Actividad Interactiva

VIII. Actividades para el estudiante En cada unidad de la asignatura el estudiante deberá realizar una o más actividades. Entre ellas se encuentran las Actividades de Aprendizaje (AA), como las tareas para subir archivos (ensayos y resúmenes) o cuestionarios, y las Actividades Interactivas (AI), como una wiki o foros. Por otra parte, las Actividades de Fijación (AF) no son sumativas ni obligatorias, pero se hallan vinculadas a las actividades de evaluación y son de gran importancia para la construcción de los aprendizajes.

IX. Asesoría de apoyo al aprendizaje de los estudiantes

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La asesoría para el aprendizaje que recibirá el estudiante está principalmente a cargo de la tutora virtual, quien debe acompañarlo en todo el semestre para el logro de los objetivos. Para recibir alguna tutoría presencialmente, la tutora estará disponible los siguientes días y horarios: Sábado 02 de setiembre de 10 a 12 horas (para clase presencial no obligatoria) Sábado 28 de octubre de 10 a 12 horas (para clase presencial no obligatoria) Para confirmar la asistencia a una tutoría presencial, el estudiante deberá comunicarse previamente con la tutora para confirmarla.

X. Evaluación La evaluación de la asignatura es continua. Todos los trabajos presentados tendrán un periodo de evaluación por parte de la tutora, quien al finalizarlo hará una devolución escrita con las revisiones y sugerencias. Para las evaluaciones del proceso y finales se tendrán en cuenta lo que dicta el Reglamento de Educación a Distancia en su Artículo 27: las evaluaciones de proceso tendrán una ponderación de 40% y las evaluaciones finales del 60%; las cuales se detallan a continuación:

Evaluación de Proceso Actividad de aprendizaje Envío de tareas a través de la plataforma Participación en las actividades colaborativas Evaluación Parcial Total

Ponderación

Evaluación Final

Ponderación n

Evaluación Final

60%

15% 15% 10% 40%

Total

60%

Según el artículo 42 del mencionado reglamento, se calificará con notas numéricas del 1 al 5, conforme a lo establecido en el artículo 96 del Estatuto de la Universidad Nacional de Asunción.

La aprobación de una asignatura implica un rendimiento promedio mínimo de 60% (sesenta por ciento) de la suma de la evaluación de proceso y la evaluación final.

Las calificaciones finales se regirán por la siguiente escala:

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Reprobado

1% - 59%

1(Uno)

Insuficiente

Aprobado

60% - 70%

2(dos)

Regular

71% - 80%

3(tres)

Bueno

81% - 90%

4(cuatro)

Distinguido

91% - 100%

5(cinco)

Sobresaliente

Además de los objetivos específicos establecidos para cada actividad o asignación, se tendrán en cuenta en las evaluaciones los siguientes aspectos:  Participación en foros y actividades grupales. Calidad, pertinencia y cantidad de las participaciones. Con respecto a los foros, específicamente, es bueno tener en cuenta que son espacios de construcción colectiva, de interacción con los compañeros participantes, con los pares. No se escribe en ellos para el profesor, sino para el análisis y la reflexión grupal. Por lo tanto, las participaciones en los foros de debate e intercambio se publican exclusivamente en los foros. Por ninguna causa se aceptarán ni tendrán en cuenta participaciones enviadas por mail al docente luego del cierre de los foros.  Disposición a colaborar con los otros compañeros.  Redacción, claridad de expresión, coherencia.  Ortografía y gramática, respeto por las normativas del idioma.  Uso correcto de las herramientas de comunicación: mensajería de la plataforma, correo electrónico, foro, chat, etc. Cada actividad tendrá un tiempo límite para su cumplimiento y/o presentación. Luego de ese tiempo sólo se darán tres días más para que se realicen entregas. Si las mismas no se realizan en este tiempo se tendrá la puntuación 0 en esa actividad. Una vez que hayas presentado una tarea, la tutora realizará la devolución de la misma corregida en un tiempo de no más de diez días hábiles.

XI. Recomendaciones y consideraciones finales La modalidad a distancia, si bien tiene la ventaja de la flexibilidad, requiere de un gran esfuerzo del estudiante, principalmente de su organización, en el caso de esta asignatura la dedicación semanal mínima de 5 horas.

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Además, se debe prestar mucha atención a las indicaciones y condiciones de entrega de tareas, realizar la lectura de materiales de manera reflexiva y valorar cada experiencia de aprendizaje. El fracaso en las actividades de evaluación del aprendizaje se debe, en gran parte, a deficiencias de fijación. Por ello, las Actividades de Fijación (AF) deben merecer la máxima atención. El desarrollo de las mismas favorece el logro de las actividades sumativas.

XII. Bibliografía ALEGRÍA (2002). Utilidad de las matemáticas. Las cónicas y sus aplicaciones (en línea). Consultado 8 jun 2011. Disponible en www.ehu.es/~mtpalezp/conicas.pdf KINDLE, J. H. 2000. Geometría analítica plana y del espacio. México, MX: Mc Graw Hill. 150 p. LEHMANN, Ch. H. 2010. Geometría analítica. México, MX: Limusa. 494 p. SPIEGEL, Murray. 1969. Análisis Vectorial. Libros McGraw-Hill. SWOKOWSKI. 2006. Algebra y Trigonometría con Geometría Analítica. 11ª Edición. México. Internacional Thomson Editores.

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