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• Ignacio Pizarro Meza

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Vectores

Lr.;s oelAos se puedat u.ffir para deterrninar La dirección d,el oector oelocídad d.el úento a cualquier instante, (@ Pat

La Croix, The IMAGE

Bank).

científicos e ingenieros utilizan las matemáticas como una herramienta básica para describir el comportamiento de los sistemas físicos. Las cantidades físicas que tienen propiedades de magnitud y de dirección son representadas por vectores. Algunos ejemplos de cantidades vectoriales son la fuerza, la velocidad y la aceleración. El primer interés de este capítulo es en el álgebra de vectores y sobre algunas propiedades generales de los vectores. Se discutirá la suma y resta de vectores junto con algunas aplicaciones comunes a situaciones físicas. La discusión del producto de vectores se realizará hasta que estas operaciones sean necesarias.l os

A 1o largo de todo él texto se usarán los vectores, por lo que es importante que el estuüante deberá familiarizarse tanto con las propiedades algebraicas como con las graficas.

I El producto punto o escalar

se

verá en la sección 7.3, y el producto cruz o vectorial

se presentará

en

la sección 11.2.

25

'/

ñ

I -iTSTCHES

f",1

5;,r.n.,q'.U**S i14F

$;lc'

DE COORDENADAS Y

l{'} nE

REFERENCLA

en un sistema de coordenadas cartesiano. Cada punto se designa con las

Muchos aspectos de la física tratan, de una forma u otra, con posiciones en el espacio. Por ejemplo, la descripción matemática del movimiento de un objeto requiere un método para describir la posición del objeto. Entonces, es conveniente quizás que primero se discuta cómo se describe la posición de un punto en el espacio, lo cual se efectúa por medio de coordenadas. Un punto en una línea se describe con una coordenada. Un punto en un plano se localiza con dos coordenadas, y se requerirán tres coordenadas para localizar un punto en el espacio. Un sistema de coordenadas usado para especificar posiciones en el espacio

coordenadas (*,

consta de:

Figura

2.1

Designación de puntos

ü.

l.

Un punto de referencia fijo O, llamado el origen.

2. Un conjunto de ejes específicos o üreceiones con una escala apropiada y una 3.

identificación de los ejes. Instrucciones que indiquen cómo identificar un punto en el espacio respecto al

origenyalosejes. Un adecuado sistema de coordenadas que se usará con frecuencia u elsistema de coordmadas cartesiano, alganas veces llamado sistema de coordenados rectangular. En la figura 2.1 se muestra dicho sistema de coordenadas en dos dimensiones. Un punto arbitrario en este sistema se identifica con las coordenadas (r, ü. La r positiva se toma a la derecha del origen, y Ia g positiva es hacia arriba del origen. La r negativa es hacia la izquierda del origen, y la A negativa es hacia abajo del origen. Por ejemplo, el punto P, que tiene coordenadas (5, 3), se puede en-

contrar caminando primero 5 metros a la derecha del origen, y 3 metros arriba del origen. En forma similar, para el punto Q, cuyas coordenadas son (-3,4), corresponde caminar 3 metros a la izquierda del origen, y 4 metros hacia arriba del origen. Algunas veces es más conveniente representar un punto en el plano por sus coordenadas polares, (r, 0), como en la figura 2.2a. En este sistema de coordenadas, r es la distancia desde el origen hasta el punto que tiene coordenadas cartesianas (r, a); y d es el ángulo entre r y un eje fijo, medido generalmente en sentido contrario a las manecillas del reloj, desde el eje r positivo. Del triángulo de la derecha de la figura 2.2b, se encuentra que sen 0 : A/r y cos 0 : xlr. (En el apéndice B.4 se da un resumen de funciones trigonométricas.) Por lo tanto, a partir de las coordenadas polares, se pueden obtener las coordenadas cartesianas a través de las ecuaciones

A

seno:! , r "crsg:I tan

.. o:!f./i

-/ r¡'

/ ',,,,

,/l

i

i

(2.3)

tan

Alx

v

,:'[VTa'

(2.4)

:

"""

*. i

T

b)

Figura 2.2 a) Las coordenadas polares planas de un punto se representan por la distancia r y el ángulo d. b) Triángulo rectángulo que se utiliza para relacionar (x, g) con (r, o).

0:

(2.1)

Además, se obtiene que

I

;a

i¡ A,E /' \" _*__-*"

(2.2)

í

i

,'' /r

x:rcos9 v:rsen0

Nótese que estas expresiones relacionan a las coordenadas (*, d con las coordenadas (r, 0) aplicándose únicamente cuando á está definido como en la figura 2.2a, donde 0 es un ángulo medido en contra de las manecillns del reloi desde el eje r positivo. Si el eje de referenciapara el ángulo polar 0 se elige en forma distinta al eje r positivo, o el sentido de crecimiento de 0 se elige en forma diferente, entonces se deberán cambiar las expresiones correspondientes que relacionan a los dos conjuntos de coordenadas.

2.2

EtEMPt0 2.f Coonden¡d¡s

Polares

Las coordenadas cartesianas de un punto están dadas por (x, y) : (-3.5, -2.5\ metros como se muesha en la figura 2.3. Encuentre las coordenadas polares de este punto.

Solución Note que deben

ESCA¡áNES

usarse los signos d*

t

,:,[Ff:@:

Tí

pre siffi¡

-t de y

hallar que g se encuentra en el tercer cuadrante dd de coordenadas. Esto es, 0 : 2L6o y no 36".

*'1-"'.1*

'-t

n); "t"t

VECTORES Y

4.Smetrs

-4-*¡ il

-4 *'t' t:tl "":1

J

..........i............i.-...

tan

:0.7L4

0:!

I

0:

,,'*'I.6Í,'.

La mayor{a de las calculadoras científicas proporciona las conversiones entre las coordenadas cartesianas y las coordenadas polares. Figura

2.2

2.3

(Ejemplo 2.1)

VECTORES Y ESCAIIMES

Las cantidades físicas que se encontrarán en este texto caben dentro de alguna de las siguientes categoúas: o son escalares o son vectores. Un escalar es una cantidaJque se especifica completamente por un número con unidades apropiadas. Esto es,

Un escalar tiene únieamente magnitud y no dirección. Y por otro lado, un r¡eetor €s una eantidad física especificada tanto en magnitud como en dirwción.

le'nnifer apunta hacia la de¡ecna. (Foto de Raymond A. Serway.)

EI número de manzanas en una canasta es un ejemplo de una cantidad escalar. Si se dice que hay 38 manzanas en la canasta, se especifica por completo la información requerida; no se nec€sita la direcrión. Otros eiemplos de canüdadm escalares so; la temperatura, el volumen, la masa y los intervalos de tiempo. Las reglas de la aritmética ordinaria se usan para manipular las eantidades escalares.

La fuerza

es un ejemplo de una cantidad vectorial. Para describir comple

tamente la fuerza sobre un objeto, se deben especificar la ürección de la fuerza aplicada y un número para indicar la magnitud de la fuerza. Cuando se describe el movimiento (la velocidad) de un objeto, se debe especificar cuán rápido se mueve y la dirección del movimiento. Oiro ejemplo simple de una cantidad vectorial es el desplazamiento de una partícula, definido como eL cambio de posición de la partícula. Supóngase que ia partícula se mueve de algun punto O al punto P a lo largo de una línea r@ta, como se muestra en la figura 2.4. Este desplazamiento se representa dibuiando una flecha desde O a P, donde la punta de la flecha indica la directión del desplazamiento, y la longitud de la flecha representa la magnitud del desplaza-

miento. Si la partícula viaja a lo largo de alguna otra trayectoria de O a P_, como lo muestia la línea punteada de la misma figura, su desplazamiento es de cualquier modo OP. El vector desplazamiento a lo largo de cualquier trayectoria indirecta de O a P está definido en forma equivalente al desplazamiento para la trayectoria directa de O a P. fuí, se conoce compldammte el daspla.rn|r¿^to de una parttcala s¿ sr¿s coordmad.as inicial y final son conocidas. La trayectoria no nec€sita especificarse. En otras palabras, el derylnzamiento a indepmd,imte de Ia traEectorin, si los extremos de la trayectoria están fijos.

-\ ()_.) Figura 2.4 La línea

Punteada muestra cómo se mueve un¡ pertúcula desde el punto Q haeio P- ro vector desplazamiento es l¡ fic$n

dibujadadesdeOaP.

28

2

vEcroRES

Es importante notar que la distancia recorrida por una partícula

es

completamente diferente de su desplazamiento. Esta distancia recorrida (una cantidad escalar) es la longitud de la trayectoria, la cual en general puede ser mucho más grande que la magnitud del desplazamiento (Fig. 2.a). También, la magnitud del desplazamiento es la distancia más corta entre los puntos extre' Figura 2.5 Una partícula se mueve a lo largo del eje ¡ desde ri hasta rf, lleva a cabo un desplazamiento ¡ :

rf

- fi.

mos. Si la partícula se mueve a lo largo del eje r desde su posiciótx,iz la posición rr, como se muestra en Ia figura 2.5, su desplazamiento está dado por r¡ - x¡. Como se mencionó en el capítulo l, la letra griega delta maÉscula (A) se usa para denotar eI cambio en una cantidad. Por lo tanto, el cambio en la posición de la partícula (el desplazamiento), se escribe

A,x:

Definición de desplazamiento a lo largo de una recta

xf

- Íi

(2.5)

De esta definición, se ve que Ar es positiva si rt es mayor que ri, y negativa si r¡ es menor que fi. Por ejemplo, si una partícula cambia su posición desde ri : -3 unidades, arl : 5 unidades, su desplazamiento es igual a 8 unidades. Además del desplazamiento, existen muchas cantidades físicas que son vec-

tores. Entre éstos se incluyen la velocidad, la aceleración, la fuerza y el ímpetu, los cuales se definirán en capítulos posteriores. En este texto se usarán letras negritas, como A, para representar un vector arbitrario. Otro método común p"o denotar un vector es óolocando una flecha sobre la letra: .f. f," magnitud del vector A se escribe A o, de otra forma, lA I . Como se discutió en el capíhrlo 1, la magnitud de un veitor tiene unidades físicas tales como m para el desplazamiento o m/s para la velocidad. Los vectores se eombinan de acuerdo con ciertas reglas, eu€ se discutirán en las secciones 2.3 y 2.4.

2.3

ALGUNAS PROPIEDADES DE VECTORES

A y B son iguales si tienen la misma magnitud y apuntan en la misma dirección. Esto es, A : B sólo si A : B y actúan en direcciones paralelas. Por ejemplo, todos los vectores que se muestran en la figura 2.6 son iguales aunque tengan diferentes puntos de salida. Esta propiedad permite trasladar un vector en forma paralela a sí mismo en un diagrama, sin afectar el vector. De hecho, cualquier vector puede moverse paralelamente a sí rnismo sin afectar el vector.

Igualdad de dos vectores Dos vectores

Figura 2.6 Cuatro

representaciones del mismo vecto¡.

A

Figura

2.7

Cuando s€ suma un

vector A al vector B, la suma vectorial resultante.R es el vector que va del origen de A a la punta de B.

Suma

Cuando se suman dos o más vectotes, todos deben tener las mismas unidades. Por ejemplo, no tiene sentido sumar un vector velocidad a un vector de desplazamiento, puesto que son canüdades físicas distintas. Las cantidades escalares también obedecen la misma regla. Por ejemplo, carece de sentido sumar intervalos de tiempo y temperaturas. Las condiciones para la suma de vectores se expresan en forma más conveniente por métodos geométricos. Para sumar el vector B al vector A, primero se dibuja el vector A, representando su magnitud a una escala adecuada, sobre un papel grafico y entonces se dibuja eI vector B, & la misma escala, colocando su punto inicial sobre la punta de A, como se muestra en la figura 2.7. El oector regultante.R : A + B es el vector dibujado desde el inicio de A a la punta de B. Este se conoce como metodo d,el trüngulo. Un procedimiento gráfico alternati-

vo para la suma de dos vectores, conocido como la ley del paralelogramo, se muestra en la figura 2.8a. En esta corstrucción, los puntos iniciales de los dos vectores A y B están juntos y el vector resultante R es la diagonal de un paralelogramo formado con A y B como sus lados.

2.3

AI-GUNAS PROPTEDADES DE

TECTOI,ES

SS

\

F lgwr 2. E a) En esta construcción, la resultante R es la diagonal de un paralelogramo e b Estaconsbucciónmuetraque:A * B: B + A.

con lados A

y

Cuando se suman dos vectores, la suma es independiente del orden de la Esto se puede ver en la construc,ción geométrica que se aprecia en Ia figrra 2.8b y se cCInoce como la ley conmutativa de la suma: eu.noa.

A+B:B*A

(2.6) L*y c*rrmutativa

Si se suman tres o más vectores, su suma es independiente de la manera en la que se agrupen los vectores inüüduales. Una prueba geométrica de esto para tres vetores está dada en la figura 2.9. Ésta es la llamada ley asociativa de la su[la:

A+(B+C) :(A+B) +C

(2.7)

Lev asr¡ci¿tiva

Las construcciones geométricas se pueden usar también para sumar más de tres vectores. Esto se muestra en la figura 2.10 para el caso de cuatro vectores.

ElvectorsumaresultanteR: A + B + C + Des eloectorquecompletael plígono. En otras palabras, R s el oector dibuiad.o desde eI punto inicial del prímer t)ector lwsta ln punta del último oec'tor. Nuevamente, el orden de la suma no es importante.

fuí

una cantidnd que time magnitud y dírección, g tambien que obedece las Iq^ de suma de oectores como se describe en las figuras 2.7 a 2.10.

H

se concluye qtre

un oector

e,s

vector El negativo del vector A se define eomo aquel vector A da cero en la suma de vectores. Esto s, A + (-A) : 0.

negativo de un

que sumado a

Figura

2.9

Construcciones geomá'

tricas para comprobar la ley ciativa de la suma de vectores.

Figura 2.10 Construcción geométrica para sumar cuatro vectores. El vector resultante,R completa el polígono.

aso-

30

I \Ecrornr Los vectores

Ay

opuestas.

-A

üenen

la misma magnifud pero apuntan en

direceiones

Diferencia de vectores La operación de diferencia entre vectores hace uso de la definición del negativo de un vector. se define la operación A vector sumado al vector A: - Bcomo el

-B

A-B:A*(-B) FigE¡¡

2.ll

En la figura Esta construcción restar el vector g del

mue*¡a cómo lector á- El vector -8. magnitudyopuestoaB.

es de

igual

2'll

se muestra

vectores.

(2.8)

la construcción geométrica para la diferencia de

Multiplicación de.un vector por un escalar si un vector A se multiplica por una cantidad escalar positiva m, elproducto mA esun vector que tiene la misma dirección que A y magnitud mA. Si nr es una cantidad negativa, el vector znÁ tiene ürección opuesta aA. por ejemplo, "r""11", el vector 54 es;;;;r;; más grande queA y apunta en la misma dirácion queA. por otro lado, el vector -*A es la tercera parte de la longitud deA y apunta en iJirección opuesta a A (por el signo negativo).

EJEMPLO 2.2 Un vlrt dc v¡crcione¡ Un autom6vílvrajaZ0.0 km hacia el norte y después 35.0

km en dirección 600 al oeste der norte, como se muestra en figura 2.12. Encuenrre la magnitud y la aito"lá" aur desplazamiento resultante del aulomóvii. l-a

Soluci_ón El problema se puede resolver geométricamente usando papel milimétrico y un trasportadár, como se veen

la figura 2.12. El

despiazamienio resultante

R es la

suma de los dos desplazamientos individuales A y B. Se puede obtener una solución algebraica para la magnitud de R "sando la ley de los cosenos de t^rigonoge!úa como se aplica para el triángulo obtuso (Apéidice

8.4). Comol

= l80o -

60o

2.A8, cos 0, se encuentra que

=

l20b yR2

_ A2;

82 _

+82-ZABcos0

: :

y(km)

48.2 km

La dirección de R medida desde la dirección norte puede obtener de la ley de los senos de trigono*"tri",

600

*np_sen0

r(km) Figyra

2.12

(Ejemplo 2.2) Méxodo

gráfico- para hallar el desplazamien_

BR

renp:

#

*,,

r:;#

sen

l2o. :0.62e

toresultanteR=A+8,

p: Por lo tanto, el desplazamiento resultante del automóvil de 48.2 km en la dirección 3g.go al oeste del norte.

es

32

2

\:EcroREs

2.15 Componentes de un vector B en un sistema de coordenaFigura

das inclinado.

en la ecuación 2.9. La magnitud y la dirección de B se obtienen de las expresiones equivalentes a las ecuaciones 2.L0 y z.LI. Por 1o tanto, se pueden exprsar las componentes de un vector en cu&lquier sistema de coordenadas, de acuerdo con cada situación Partieular. Las componentes de un vector, tales como las de un desplazamiento, son diferentes cuándo se ven de distintos sistemas de coordenadas. Inclusive, Ias componentes de un vector pueden cambiar con respecto a un sistema de coordenadas fijo si el vector cambia en magnitud, en orientación, o en ambas. Las cantidades vectoriales con frecuencia se expresan en términos de vectores unitarios. Un vector unitario o unidad es un oector sin ümensiones U de longitud unitaria, el cual se emplea para especificar una dirección dada. Los vectores unitarios no tienen otro significado físico, sino que simplemente se usan por conveniencia para describir una dirección en el espacio. Se utilizarán los rí*bolor i, j y kpara representar los vectores unitarios que apuntan en las direcciones x, U y z, respectivamente. Así entonces, los vectores unitarios i, i y k tor' man un coniunto de vectores mutuamente perpendiculares, como se muestra en la figura 2.L6a, donde la magnitud del vector unitario es igual a la unidad; es

decir, ldl :

ljl : llcl : l.

Considere un vector A que está en el plano ry, como en la figura 2.16b. El producto de la componente A, y el vector unitario i es el vector Aj paralelo al ái" * con magnitud ¿". Del mismo modo, Arj es un vector de magnitud A, paratálo ¿ eie V, Por lo tanto, en términos de los vectores unitarios, el vector A se escribe como

A:

(2.12)

A,i + Avj

Los v.ectores A¡í y Ai son las componentes vectoriales de A. No debe confundirse esto con A,y Ar,,las cuales siempre se refieren a las componentes deA. Ahora, suponga que se desea sumar los vectores B y A, en donde B tiene

componentes B, y B, EI procedimiento para obtener la suma es simplemente sumarlascomponentes xyA porseparado. ElvectorresultanteR : A + Bestá dado por

ft:

(,A"

+ B")i + (Av+

Bv)j

(2.13)

Por consiguiente, las componentes rectangulares del vector resultante están dadas por

Rr: \:

Ar+ B, Av+

Bs