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Geometría Analítica

GESTIÓN DITORIAL

Clemente Mora González Jefe del Departamento de Fomento Editorial Leticia Mejia García Coordinadora de Fomento Editorial Miguel Antonio González Vidales Gestión Administrativa Ulises Ramírez Hernández Coordinador de Diseño Gráfico

DIRECCIÓN GENERAL Av. Panamá #199 Esquina con Buenos Aires. Col. Cuauhtémoc Sur Tels. 01 (686) 9 05 56 00 al 08 Correo Electrónico: [email protected] Página Web: www.cecytebc.edu.mx CICLO ESCOLAR 2011-2 Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra incluido el diseño tipográfico y de portada por cualquier medio, electrónico o mecánico, sin el consentimiento por escrito del editor.

Nota: Al personal Docente interesado en enriquecer el contenido del presente documento, le agradecemos hacernos llegar sus comentarios o aportaciones a los siguientes correos:

[email protected] [email protected]

TORIO DIREC José Guadalupe Osuna Millán Gobernador del Estado de Baja California Javier Santillán Pérez Secretario de Educación y Bienestar Social del Estado CECYTE BC Héctor Montenegro Espinoza Director General Olga Patricia Romero Cázares Directora de Planeación Argentina López Bueno Directora de Vinculación Jesús Gómez Espinoza Director Académico Ricardo Vargas Ramírez Director de Administración y Finanzas Alberto Caro Espino Jefe del Departamento de Docencia MUNICIPIO DE MEXICALI Cristina de los Ángeles Cardona Ramírez Directora del Plantel Los Pinos Carlos Zamora Serrano Director del Plantel Bella Vista Jesús Ramón Salazar Trillas Director del Plantel Xochimilco Rodolfo Rodríguez Guillén Director del Plantel Compuertas Humberto Ignacio Ibarra Velazco Director del Plantel Misiones Francisco Javier Cabanillas García Director del Plantel Vicente Guerrero Cristopher Diaz Rivera Director del Plantel San Felipe MUNICIPIO DE TIJUANA Martha Xóchitl López Félix Directora del Plantel El Florido María de los Ángeles Martínez Villegas Directora del Plantel Las Águilas Jorge Ernesto Torres Moreno Director del Plantel Zona Río Rigoberto Gerónimo González Ramos Director del Plantel Villa del Sol Joel Chacón Rodríguez Director del Plantel El Pacífico Efraín Castillo Sarabia Director del Plantel El Niño Benito Andrés Chagoya Mortera Director del Plantel Cachanilla Gabriel Valdéz Manjarrez Director del Plantel Altiplano Juan Martín Alcibia Martínez Director del Plantel la Presa MUNICIPIO DE ENSENADA Alejandro Mungarro Jacinto Director del Plantel Ensenada Emilio Rios Macias Director del Plantel San Quintín MUNICIPIO DE ROSARITO Manuel Ignacio Cota Meza Director del Plantel Primo Tapia Héctor Rafael Castillo Barba Director del Plantel Rosarito Bicentenario MUNICIPIO DE TECATE Oscar Ambríz Salinas Director del Plantel Tecate

MENSAJE DEL GOBERNADOR DEL ESTADO Jóvenes Estudiantes de CECYTE BC: La educación es un valuarte que deben apreciar durante su estancia en el Colegio de Estudios Científicos y Tecnológicos del Estado de Baja California, dado la formación y calidad educativa que les ofrece la Institución y sus maestros. Por ello, asuman el compromiso que el Gobierno del Estado hace para brindarles educación media superior, a fin de que en lo futuro tengan mejores satisfacciones de vida, y se conviertan en impulsores y promotores del crecimiento exitoso, con la visión que tiene nuestra entidad en el plano nacional. Esta administración tiene como objetivo crear espacios y condiciones apropiadas para que en un futuro inmediato, el campo laboral tenga profesionistas técnicos de acuerdo al perfil de la industria que cada día arriba a nuestra entidad; por lo que los invito a ser mejores en sus estudios, en su familia y en su comunidad. En ustedes se deposita la semilla del esfuerzo y dedicación que caracteriza a los bajacalifonianos. Son el estandarte generacional que habrá de marcar la pauta de nuestro desarrollo.Como Gobierno del Estado, compartimos el reto de ser formadores de los futuros profesionistas técnicos que saldrán de CECYTE BC. Unamos esfuerzos, Gobierno, Sociedad, Maestros y Alumnos, para brindar y recibir una mejor educación en Baja California, ser punta de desarrollo humano, crecimiento industrial y económico, y factor importante del progreso de México.

MENSAJE DEL SECRETARIO DE EDUCACIÓN Alumno de CECYTE BC: La educación es una herramienta que aumenta tus oportunidades de desarrollo personal, y permite ampliar tu horizonte de posibilidades de progreso económico y social. Bajo esa perspectiva, el Gobierno del Estado de Baja California asume con responsabilidad su compromiso con los jóvenes en la tarea de crear espacios educativos en el nivel medio superior y ofrecerles programas de estudios tecnológicos, que les permitan integrarse con competencia a fuentes de trabajo y/o continuar estudios superiores. El Colegio de Estudios Científicos y Tecnológicos del Estado de Baja California, es un ejemplo de lo anterior. En las escuelas de esta Institución, los estudiantes pueden encontrar el camino de la superación y el apoyo para alcanzar las metas que visualizan para forjar su futuro. Entre esos apoyos se encuentran la publicación y entrega de este material educativo, que el CECYTE BC distribuye, con el objetivo de que lo utilices en beneficio de tus estudios. La tarea que han desarrollado maestros, alumnos y autoridades aducativas en torno a CECYTE BC, han convertido a esta Institución en un modelo para la formación de generaciones de profesionistas técnicos que demanda la indusdustria especializada que se asienta en la región. Además de eso, el Colegio se ha destacado por alentar el acercamiento de los padres de familia con la escuela, como una acción tendiente a fortalecer los vínculos que deben existir entre ellos, los docentes y administrativos en el proceso educativo, que es una responsabilidad compartida. Por todo esto, te felicito por realizar tus estudios en un plantel de CECYTE BC, y te exhorto a valorar este esfuerzo que hace la sociedad a través de la Administración Estatal y utilices con pertinencia los materiales que se te otorgan para apoyar tu formación profesional.

PRESENTACIÓN El libro que tienes en tus manos representa un importante esfuerzo del Colegio de Estudios Científicos y Tecnológicos del Estado de Baja California, que a través de sus academias de profesores te proporciona material de calidad para el estudio de las distintas asignaturas que cursarás en tu preparación como Bachiller Técnico. Los contenidos corresponden a los programas establecidos para cada una de las asignaturas de acuerdo a la reforma integral de la educación media superior, y enriquecidos por las competencias comunes del Sistema Nacional de Bachillerato. Este ejemplar, encierra conocimientos, aprendizaje, análisis y habilidades que deberás de poner en práctica en tu vida diaria, convertida en una acción educativa más, que el Colegio te ofrece para obtener una mejor formación académica. Te invitamos a que valores y obtengas el mayor provecho a esta obra, que fue diseñada especialmente para lo más preciado del Colegio: sus Alumnos.

Atentamente

Héctor Montenegro Espinoza DIRECTOR GENERAL DEL CECYTE BC

gradecimiento Un especial agradecimiento a los Docentes y Administrativos de CECYTE BC, que colaboraron e hicieron posible la edición de estas Guías de Aprendizaje Básicas y Material Didáctico. El Colegio • MANUAL DE QUÍMICA I

• CÁLCULO INTEGRAL

Mario Báez Vázquez

Manuel Norberto Quiroz Ortega

APOYO INSTITUCIONAL DIRECCIÓN DE VINCULACIÓN

• ÁLGEBRA Andrés Sarabia Ley

COORDINADOR DEL COMPONENTE PROPEUDÉUTICO

DOCENTE DEL PLANTEL BELLAVISTA

Silvia Elisa Inzunza Ornelas DOCENTE DEL PLANTEL BELLAVISTA

Eloisa Morales Collin

DOCENTE DEL PLANTEL COMPUERTAS

Ismael Castillo Ortíz

DOCENTE DEL PLANTEL COMPUERTAS

Karla Grisel Duarte Sarabia COLABORADORA

• INGLÉS I y V

• GEOMETRÍA ANALÍTICA Emma Ayala Rodríguez

Verónica Murillo Esquivias

DOCENTE DEL PLANTEL MISIONES

Blanca Belén Torres Medina

DOCENTE GRUPO PORTALES

Adriana Ceras Morales

DOCENTE DEL PLANTEL LOS PINOS

DOCENTE DEL PLANTEL COMPUERTAS

Antonio Caro Espino

DOCENTE DEL PLANTEL LOS PINOS

Mario Alberto Curiel Ponce

DOCENTE GRUPO PORTALES

Arturo Sánchez Mariscal

• INGLÉS III

Joaquín Alberto Pineda Martínez

Verónica Murillo Esquivias

Manuel Arvizu Ruíz

Adriana Cera Morales

DOCENTE DEL PLANTEL BELLAVISTA DOCENTE DEL PLANTEL BELLAVISTA

DOCENTE DEL PLANTEL COMPUERTAS

DOCENTE DEL PLANTEL BELLAVISTA

DOCENTE GRUPO PORTALES

DOCENTE DEL PLANTEL BELLAVISTA

• BIOLOGÍA

• QUÍMICA I

Aidé Pedraza Mendoza

Aidé Araceli Pedraza Mendoza

Clara Angélica Rodríguez Sánchez

Juana Ramírez Rodríguez

Evelia Escalante Gámez

César Quintero Hernández

DOCENTE DEL PLANTEL COMPUERTAS

DOCENTE DEL PLANTEL COMPUERTAS

DOCENTE DEL PLANTEL COMPUERTAS

DOCENTE DEL PLANTEL XOCHIMILCO

DOCENTE DEL PLANTEL XOCHIMILCO

DOCENTE DEL PLANTEL XOCHIMILCO

• CTSyV II

• TIC’s

Blanca Azucena Casillas Cortéz

Alma Delia Valenzuela Márquez

Blanca Delia Román Palomares

Melchizedec Romero González

Martha Celia Román Palomares

Saúl Torres Acuña

DOCENTE DEL PLANTEL XOCHIMILCO

DOCENTE DEL PLANTEL XOCHIMILCO

DOCENTE DEL PLANTEL MISIONES

DOCENTE DEL PLANTEL XOCHIMILCO

DOCENTE DEL PLANTEL XOCHIMILCO

DOCENTE DEL PLANTEL XOCHIMILCO

• FÍSICA II

DOCENTE DEL PLANTEL LOS PINOS

Javier Iribe Mendoza

• CTSyV I

María Del Carmen Equihua Quiñónez

Oscar David Bustos Torres Roberto Rosales Zepeda

DOCENTE DEL PLANTEL BELLAVISTA DOCENTE DEL PLANTEL BELLAVISTA

Diana Fernández Serrano

Gilberto Méndez Fierros

Omar Romero Robles

Alvaro Soto Escalante

Susana Pérez Correa

Israel Cruz Muñoz

DOCENTE DEL PLANTEL ENSENADA

DOCENTE DEL PLANTEL COMPUERTAS

DOCENTE DEL PLANTEL ENSENADA

DOCENTE DEL PLANTEL BELLAVISTA

DOCENTE DEL PLANTEL ENSENADA

DOCENTE DEL PLANTEL BELLAVISTA

DOCENTE DEL PLANTEL ENSENADA

• CTSyV III

• LEOyE I

Clara Angélica Rodríguez Sánchez

Cecilia Armida Ante Navarro

Martha Moreno Ramírez

Gabriela Órnelas Bravo

David A. Rodríguez Carrasco

Jessica Melig Núñez

DOCENTE DEL PLANTEL COMPUERTAS DOCENTE DEL PLANTEL COMPUERTAS

DOCENTE DEL PLANTEL COMPUERTAS DOCENTE DEL PLANTEL COMPUERTAS DOCENTE DEL PLANTEL BELLAVISTA

• COORDINACIÓN Y REVISIÓN ACADÉMICA Maria Elena Padilla Godoy

COORDINADORA DE FORMACIÓN VALORAL

Alberto Caro Espino

JEFE DEL DEPARTAMENTO DE DOCENCIA

ÍNDICE AGRADECIMIENTOS OBJETIVO GENERAL…………………………………………………………………………...14 INTRODUCCIÓN A LA GEOMETRÍA ANALÍTICA…………………………………………...15 1. Antecedentes Históricos. 2. Sistemas de Coordenadas Cartesianas. 3. Localización de puntos en el plano. 4. Distancia entre dos puntos. 5. División de un segmento. 6. Área de un polígono. LINEA RECTA…………………………………………………………………………………….29 1. Definición. 2. Formas de la ecuación de la línea recta (punto pendiente, simétrica, pendienteordenada al origen y normal, General). 3. Grafica de una línea recta. CIRCUNFERENCIA……………………………………………………………………………....58 1. Definición y elementos característicos. 2. Formas de la ecuación de la circunferencia (ordinaria con centro C (0,0), con centro C (h, k) y General). ANTECEDENTES DE LAS CÓNICAS PARÁBOLA………………………………………………………………………………………..80 1. Definición y elementos característicos. 2. Formas de la ecuación de la circunferencia (ordinaria con centro C (0,0), con centro C (h, k) y General). ELIPSE……………………………………………………………………………………………100 1. Definición y elementos característicos. 2. Formas de la ecuación de la circunferencia (ordinaria con centro C (0,0), con centro C (h, k) y General). HIPERBOLA……………………………………………………………………………………..126 1. Definición y elementos característicos. 2. Formas de la ecuación de la circunferencia (ordinaria con centro C (0,0), con centro C (h, k) y General). BIBLIOGRAFÍA………………………………………………………………………………….153

13

OBJETIVO GENERAL El objetivo General del presente trabajo es ayudar al estudiante del tercer semestre de Geometría Analítica a comprender de qué manera se relaciona esta asignatura con su entorno, con las actividades que realiza y consigo mismo. La Geometría Analítica, es fundamental para el estudio y desarrollo de nuevos materiales que nos facilitan la vida diaria, razón por la cual esta asignatura siempre influye en la vida de todo ser humano. La Ecuación de la Recta, La Ecuación de la Circunferencia, La Ecuación del Elipse, La Ecuación de la Parábola y La Ecuación de la Hipérbola en sus diferentes representaciones (en el origen, fuera del origen y su forma general), son las cinco grandes temáticas en torno a las cuales se centrarán las actividades de aprendizaje en este curso. La Geometría Analítica, estudia las figuras geométricas utilizando un sistema de coordenadas y resuelve los problemas geométricos por métodos algebraicos, donde las coordenadas se representan por grupos numéricos y las figuras por ecuaciones, en base a esto abordaremos las temáticas anteriores partiendo de esta definición. Esperamos que la presente guía contenga el material básico para el desarrollo de este curso, bienvenidos!

14

Saberes 

Nombre Instrucciones para el alumno

Saberes a adquirir

INTRODUCCIÓN A LA GEOMETRÍA

No. I

Lee detenidamente y analiza la información que a continuación se presenta. Si se presenta alguna duda aclararla con el profesor.  Antecedentes Históricos  Sistemas de Coordenadas Cartesianas  Localización de puntos Maneras A través de en el plano didácticas de exposiciones  Distancia entre dos lograrlo. y ejercicios puntos  División de un segmento  Área de un polígono

1.- Antecedentes Históricos La historia de las matemáticas considera al francés René Descartes como el fundador del sistema matemático moderno y por lo tanto padre de la geometría analítica.

Definición: La geometría analítica es la parte de las matemáticas que establece una conexión entre el algebra y la geometría euclidiana, y en la cual se estudian figuras geométricas referidas a un sistema de coordenadas.

2.- Sistema de coordenadas El sistema de coordenadas cartesianas divide un plano en cuatro regiones llamadas cuadrantes según se muestra en la figura, con dos ejes graduados que se cortan perpendicularmente, el eje de las “x” llamadas también abscisas y el eje de las “y” llamadas también ordenadas. Las coordenadas de los puntos localizados en el primer cuadrante, son positivos, en el segundo cuadrante los 15

puntos son, su abscisa negativa y su ordenada positiva, las dos coordenadas del tercer cuadrante son negativas, en el cuarto cuadrante los puntos son, su abscisa es positiva y su ordenada es negativa.

3.- Localización de puntos en el plano Cada punto que se localiza en un sistema de coordenadas cartesianas, tiene sus dos valores de referencia (x, y) su abscisa y su ordenada, dependiendo de su signo se determina el cuadrante en el que será localizado como se muestra en la figura superior.

Localizar el punto A (-3, 1) El primer número del par ordenado indica el desplazamiento horizontal con respecto al cero (-3). El segundo número del par ordenado indica el desplazamiento vertical con respecto al cero (1)

16

INSTRUCCIONES: Localiza en un sistema de coordenadas cartesianas los siguientes puntos e indica en que cuadrante se encuentran. A (-2,3) B ( 2,-3) C (2,3) D (-2,-3) E (0,5) F (5,0) G (4,4) H (-4,4)

4.- Distancia entre dos puntos Cada punto localizado en un sistema de coordenadas unido a otro punto, representa una ecuación con dos variables (x, y), al despajar una de las dos variables, podemos representar una recta que satisface a dicha ecuación.

4.1.- Distancia dirigida La distancia puede ser positiva o negativa dependiendo del sentido. Pero como se toma su valor absoluto la distancia es siempre positiva. Dado los puntos P1 y P2 en la recta numérica P1

-6

P2

-5

-4

-3

-2

-1

0

17

1

2

3

4

5

6

La distancia dirigida de P1 a P2 es 9:

P1P2 = 3 – (-6) = 9

La distancia dirigida de P2 a P1 es -9: P2P1 = -6- 3 =-9 Cuando no consideramos el sentido, hablamos simplemente de distancia entre los puntos. El valor absoluto de la distancia no dirigida entre los puntos, es la distancia entre ellos. P1 P2  x2  x1

ó P2 P1  x1  x 2

La distancia entre P1 y P2 es 9: P1P2  9  9;

P2 P1   9  9

La distancia entre dos puntos se puede presentar en tres formas: Horizontal Si los valores de “y” son iguales

Vertical Si los valores de “x” son iguales

d  x2  x1

d  y2  y1

Donde:

d = distancia

Distancia entre dos puntos en un plano Sean A1 (x1, y1) y B2 (x2, y2) dos puntos en el plano, así como también el segmento de recta

P1 P2

Al trazar por el punto P1 una paralela al eje x y por P2 una paralela al eje y, éstas se interceptan en el punto R, determinado el triángulo rectángulo P1RP2 y en el cual podemos aplicar el teorema de Pitágoras: 18

Inclinada Cuando los valores de “x” y “y” son diferentes

d  ( x2  x1 ) 2  ( y2  y1 ) 2

P1 P2 2 Pero

P1 P2 2

 P1 P2

2

 ( P1 R ) 2  ( RP 2 ) 2

P1 R  x 2  x 1 y

donde

RP 2  y 2  y 1

Sustituyendo los datos anteriores tenemos:

P1 P2

2

 x 2  x 1    y 2  y 1  2

2

Sacamos la raíz cuadrada de ambos lados

P1 P2 

x 2

 x1    y 2  y 1  2

2

Por lo tanto la distancia entre los puntos P1 y P2 está dada por:

d  P1 P2 

x 2

 x1    y 2  y 1  2

2

1.- Encuentra la distancia entre los puntos cuyas coordenadas son: P1 (-3,2) y P2 (5,2) Observamos que las ordenadas de los puntos son iguales por lo tanto utilizamos la formula: d  x2  x1 d  x2  x1 d  5  (3) d  53 d  8  8u

2.- Encuentra la distancia entre los puntos cuyas coordenadas son: P1 (0,5) y P2(0,-3) Observamos que las abscisas de los puntos son iguales por lo tanto utilizamos la formula: d  y2  y1

d  y2  y1 d  35 d  8 d  8u 19

3.- Encuentra la distancia entre los puntos cuyas coordenadas son: A (-3, -2) y B (2,4) Observamos que las “x” y “y” son diferentes, por lo tanto utilizamos la fórmula:

d  P1 P2 

x 2

 x1    y 2  y 1  2

d 

 x 2  x 1 2   y 2  y 1 2 2  (  3 ) 2  4  (  2 ) 2 2  (  3 ) 2  4  (  2 ) 2 2  (  3 ) 2  4  (  2 ) 2 2  3 2  4  2 2

d 

(5 ) 2  (6 ) 2 

d  d  d  d 

25  36 

2

61

d  7 . 81 u

INSTRUCCIONES: Encuentra la distancia entre los pares de puntos cuyas coordenadas se indican. 1) (7,3) y (12,5) 2) (7,4) y (1,11)

3) (2,8) y (6,1)

4) (2,6) y (2,2)

20

5.- División de un segmento Coordenadas de un punto que divide un segmento en una razón dada Para determinar las coordenadas (x, y) de un punto P que divide a un segmento cuyos extremos sean los puntos A (x1, y1) y AP B (x2, y2) en la razón r  , se aplica las PB siguientes fórmulas: Coordenadas Abscisa

x

x1  rx2 1 r

Ordenada

y

y1  ry2 1 r

Cuya representación grafica se observa en la figura.

Hallar las coordenadas del punto P(x, y) que divide al segmento cuyos extremos son los puntos A y B, y encuentra la distancia entre los puntos cuyas coordenadas son A (1, 1) y B 2 (11,6) en una razón de r  3 Aplicamos las fórmulas Sustituyendo los datos: x1 =1 y1 = 1, x2 =11 y2 = 6

x

x1  rx2 1 r

 2 (1)   (11)  3 x 2 1 3 22 25 1 3  3 x 5 5 3 3 25(3) 5 x (3)(5)

Por lo tanto tenemos que las coordenadas del punto P son: P(5, 3)

21

y

y1  ry2 1 r

2 (1)   (6) 3 y 2 1 3 12 15 1 3  3 y 5 5 3 3 15(3) y 3 (3)(5)

Punto medio El punto medio (Pm) es un caso particular de la división de un segmento en una razón dada, en la cual r = 1. De acuerdo con ello, obtenemos las fórmulas para calcular el punto medio:

xm 

x1  x2 2

ym 

y1  y2 2

Por lo tanto las coordenadas del punto medio son: Pm  ( xm , ym ) P2(x2 ,y2)

Pm (xm ,ym)

P1(x1 ,y1) Calcula las coordenadas del punto medio del segmento rectilíneo cuyos extremos son P1 (4, –2) P2 (3, 4) Aplicamos las fórmulas

xm 

Sustituyendo los datos

xm 

x1  x2 2

x1  x2 2 43 xm  2 7 xm  2 xm  3.5

x1 =4 y1 = -2, x2 =3 y2 = 4

Por lo tanto tenemos que las coordenadas del punto medio son: Pm  (3.5, 1)

22

ym 

y1  y2 2

y1  y2 2 24 ym  2 2 ym  2 ym  1 ym 

INSTRUCCIONES: encuentra las coordenadas del P(x, y) que divida al segmento cuyos extremos son los puntos A y B y se encuentra a una razón r 2 1) A (-1,-4) y B (2,5) r  3

2) A (4,-3) y B (1,4) r  2

3) A (2,-5) y B (6,3)

4) A (-2,5) y B (10,-2)

r

2 3

23

INSTRUCCIONES: dados los siguientes pares de puntos, encuentra las coordenadas del punto medio. 1) (8,5), (2,9) 2) (3,2), (7,6)

3) (2,3), (9,6)

4) (5,15), (7,11)

5) (3,3), (5,7)

1 1 3 1 6)  , ,  ,   2 2  4 2

6.- Área de un polígono Áreas de polígonos a partir de vértices Es posible determinar el área de un polígono situado en un plano cartesiano aplicando un procedimiento sencillo. Éste se basa en la fórmula para hallar el área de un triángulo: bh A donde b es la base y h es la altura del triángulo. 2

24

El área de un polígono es igual a la suma de las áreas de los triángulos en que se descompone, sin traslapes.

Área de un triángulo Sean P1(x1,y1), P2(x2,y2), P3(x3,y3), los vértices de un triángulo cualquiera, entonces su área se determina mediante la siguiente fórmula: área del triangulo

Donde : A =

Sean P1(x1,y1), P2(x2,y2), P3(x3,y3),… Pn(xn,yn) los vértices de un polígono cualquiera, entonces su área se determina mediante la siguiente fórmula la cual consiste en construir una arreglo vertical que contiene las coordenadas de los vértices del polígono en el siguiente orden:

x1 1 A  x2 2 x3



1 2

y3 1

1

x

2

y

2

3

y

3

n

. . . y

n

. . . x x

25

y2 1

x x A

y1 1

1

y

y

1

1

Aéreas de polígonos a partir de vértices

Ejemplo: 1.- Calcula el área del triángulo cuyos vértices son A (0,0), B (5,6), C (7,2)

Se escribe el arreglo formado por tres hileras y dos columnas, debajo de la tercera hilera colocamos nuevamente el primer renglón:

Se encuentra la suma de cada uno de los productos de los dos números por los que pasa cada una de las diagonales:  (0)(6)  (5)(2)  (7)(0)  0  10  0  10 Se encuentra la suma de cada uno de los productos de los dos números por los que pasa cada una de las diagonales:  (5)(0)  (7)(6)  (0)(2)

 0  42  0  42 El valor del determinante es la resta de : Por lo tanto el área del triángulo es:

10 – 42 = - 32 1 1 32 A   32  (32)  2 2 2

26

0 1 5 A 2 7 0

0 6 2 0

0 1 5 A 2 7 0

0 6 2 0

0 1 5 A 2 7 0

0 6 2 0

A  16 u 2

Ejemplo: Calculo del área de una región de coordenadas (-6, 16), (16, 6), (-10, -4), (12, 12) y (20,8)

Se escribe el arreglo formado por cinco hileras y dos columnas, debajo de la quinta hilera colocamos nuevamente el primer renglón

A 

Se encuentra la suma de cada uno de los productos de los dos números por los que pasa cada una de las diagonales:  (16)(12)  (12)(16)  (6)(4)  (10)(8)  (20)(6)  192  192  24  80  120  608

Se encuentra la suma de cada uno de los productos de los dos números por los que pasa cada una de las diagonales:  (12)(6)  (6)(12)  (10)(16)  (20)(4)  (16)(8)  72  72  160  80  128  368 El valor del determinante es la resta de :

A 

A 

1 2

16 12  6  10 20 16

6 12 16  4  8 6

1 2

16 12  6  10 20 16

6 12 16  4  8 6

1 2

16 12  6  10 20 16

6 12 16  4  8 6

608 - ( - 368 ) = 976 1 1 976 A  488u 2 A  976  (976)  2 2 2

Por lo tanto el área del triángulo es 27

Ejercicios: 1) A(-1,1), B(3,4), C(5,-1)

2) A(0,4), B(8,0), C(-1,-4)

3) A(1,-6), B(6,1), C(-2,5)

4) A(0,3), B(8,-1), C(0,-7)

28

Saberes  LINEA RECTA

Nombre Instrucciones para el alumno

Saberes a adquirir

No. II

Lee detenidamente y analiza la información que a continuación se presenta. Si se presenta alguna duda aclararla con el profesor.  Conceptos de la línea recta  Pendiente e inclinación de una recta  Formas de la ecuación de la recta  Análisis del comportamiento de dos rectas  Distancia de un punto a una recta.  Distancia entre rectas paralelas  Angulo entre rectas

Maneras didácticas de lograrlo.

Antes de iniciar con el tema, debemos recordar:

 ¿Qué es pendiente?  Funciones trigonométricas  Identidades trigonométricas

D

esde el punto de vista analítico, la ecuación de una recta y su gráfica sirven para modelar situaciones de variada

naturaleza, donde la tasa de crecimiento o decrecimiento es constante

como:

pagos

de

impuestos,

alargamiento

de

materiales, costos de productos, interés simple de un capital, ingresos económicos, conversión de escalas de temperatura, etc.

29

A través de exposiciones y resolución de ejercicios

El uso de estos modelos lineales en la vida es muy extenso. Es importante por esta razón conocer las diversas definiciones de la línea recta, entre ellas se encuentran: Geométricamente Se define como la distancia más corta entre dos puntos Analíticamente Gráficamente

Es una ecuación de primer grado con dos variables. Es el lugar geométrico de la sucesión de puntos, tales que, tomados dos puntos diferentes cualesquiera P1 ( x1 , y1 ) y P2 ( x2 , y2 ) del lugar geométrico, el valor de la pendiente m es siempre constante

Características de la recta  La recta se prolonga al infinito en ambos sentidos.  La distancia más corta entre dos puntos está en una línea recta, (geometría euclidiana).  La recta es un conjunto de puntos situados a lo largo de la intersección de dos planos.

PENDIENTE E INCLINACIÓN DE UNA RECTA La pendiente ( m ) de una recta “ L ” se define como la razón que existe en la variación de ordenadas (eje y) entre la variación de abscisas (eje x).

La siguiente figura muestra la gráfica de la ecuación lineal y = 2x – 4, en ella se puede observar que el valor de y aumenta en 2 unidades cada vez que el valor de x aumenta una unidad, La razón de cambio de y entre el 2 cambio correspondiente de x es  2 . 1 A esta razón se le llama pendiente de la recta y se define como sigue: Si dos puntos (x1, y1) y (x2, y2) están en una recta “L” , la pendiente m de la recta, 30

se define como: m  Nótese que, en la definición x2

-

y2  y1 x2  x1

donde x2  x1

x1 no puede ser cero; esto es, x2  x1.

También se denomina pendiente o coeficiente angular de una recta a la tangente de un ángulo de inclinación.

m  tan Θ

La pendiente de una recta no vertical es un numero que mide que tan inclinada esta la recta y hacia donde esta inclinada. La recta de la figura por cada 3 unidades que avanza hacia la derecha, sube 4 unidades, decimos que la pendiente de la recta es

Si la pendiente de la recta es:

Positiva; la recta se eleva de izquierda a derecha. m>0 0  Θ  90

31

4 . 3

Negativa; la recta baja de izquierda a derecha. m