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• Juan Diego Cutipa Loayza

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• Geometría analítica

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GEOMETRIA ANALITICA SISTEMA DE COORDENADAS

PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO.

CARTESIANAS Este sistema está constituido por un plano y dos copias de la recta Real perpendiculares entre sí. El punto de intersección de estos dos ejes coincide con el CERO de ambos ejes. Y P  x, y  x:

y O

x

2. Área de la región de un polígono en función de las coordenadas del vértice. Dado un polígono cuyos vértices son: P1,P2,P3,...,Pn entonces:  0 x1   0 x2  0 x3

Primera Componente o Abscisa

y: Segunda Componente u Ordenada

X

 x1  x2 y1  y2 ;   2 2 

PM  

Suma A 

 MM  0 xn 

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS  d(A,B) 

 x2  x1 

2

  y 2  y1 

 0 x1 2

A   x1; y1 

,

B   x 2 ,y 2 

y

C   x 3 , y 3  los vértices de un triángulo cualquiera entonces:

dado,

siendo

“S”

su área,

Area del triángulo

y B

S A

x1 y1 1 1 x2 y 2 1 2 x3 y3 1

x

O C





Producto

Producto

ÁREA DE UNA REGIÓN TRIANGULAR: Sean

y1 0  0 0  Suma B MM  yn 0  y1 0 y2 y3

SP 

1 A  B 2

SP : Área del polígono 3. Recuerde que: Dado un  ABC, las coordenadas de su baricentro (G) son: B

x  x 2  x3 x 1 3

M

P

Se debe tomar el valor absoluto del determinante

A

N

C

ÁLGEBRA

Profs.:

-2-

Equipo de Profesores

y

y

y1  y2  y3 3

y1

ANGULO DE INCLINACION DE UNA Es el ángulo formado por el eje “x” y la recta medido en sentido antihorario. y



x

x

PENDIENTE DE UNA RECTA (m) Es un número real que se obtiene al calcular la tangente de dicho ángulo:

m  Tg y

60

m1  Tg60 

L2

3



a) 4 2 

x



b) 2

 2 2 u e) 5 2  2  u c)

2  2 u

d) 10 2 u

m 2  Tg120    3

A  x1;y1 

y

B  x 2;y2  podemos calcular su pendiente

a) (1;3) d) (2;1)

c) 3

En el

e) 5

y2  y1 x2  x1

A  3,4 

y

b) (3;1) e) (0,0)

c) (1,2)

4. A partir del gráfico. Calcular: m  n a) 1 C  3n;3m  2 b) 2

(m) de la siguiente manera. sr Sea x en ángulo de inclinación de L ACB

AB, siendo

B  5;2

NOTA Si se conoce las coordenadas por donde

 m  tag  

2 u

del segmento

x

pasa la recta, tales como

x2

Ojo: Se llama (m) pendiente de una recta a la tangente trigonométrica de su ángulo de inclinación.

3. Hallar las coordenadas del punto medio 120

x

C

x2  x1

2. Calcular el perímetro del triángulo ABC, siendo: A   1;3 , B  3;6  y C  2; 1

0    180

L1

y2  y1



PRÁCTICA DIRIGIDA 1. Hallar la distancia entre los puntos: A  4;2 y B  8;3 a) 10 u b) 11 u c) 12 u d) 13 u e) 14 u

y



A x1

RECTA

y

B

y2

B  n;8 

d) 4 A   2;2m  1

5. Hallar el área de la región de un triángulo cuyos vértices son: A  2;4  ,

Es decir:

diferencia de ordenadas m diferencia de abscisas

B   1;2 y C  5;2

a) 10 u2 d) 13 u2 Academia Antonio Raimondi Siempre los Primeros …

b) 11 u2 e) 14 u2

c) 12 u2

ÁLGEBRA

Profs.:

-3-

Equipo de Profesores 6. Calcular las coordenadas de un punto situado en el eje de abscisas que equidiste de los puntos A   3,6 B  7,4  a) (0;0) b) (1;0) c) (2;0) d) (3;0) e) (4;0) 8. Hallar las coordenadas del baricentro de un triángulo cuyos vértices son:

A   2,  3 , B  1,6  y C  7,0 

a) (0,1) d) (5,3)

b) (2,1) e) (3;5)

c) (4,3)

10. Sean los puntos A   2;0  y B  4;0  , hallar las coordenadas de un punto ubicado en el primer cuadrante que equidiste de A y B son: a) (3;4) b) (1;2) c) (2;1) d) (4;1) e) (1;4) 13. Dos vértices opuestos de un cuadrado ABCD son: A   3;2 y C  4;3 . Hallar el área de la región de dicho cuadrado. a) 50 u2 b) 40 u2 c) 35 u2 d) 25 u2

e) 20 u2

d) 4 u2 e) 2 u2

b) 24 u2

A  a,4 

P

x

M

e) 27 u2 LÍNEA RECTA

d) 26 u2

LA RECTA: Es un conjunto de puntos tal que al tomar dos puntos cualesquiera la pendiente es constante. Ecuación Pendiente – Intercepto con el eje “y” y

 0, b





C 2;5 15. A partir del gráfico, y hallar el área de Q la región sombreada, (P, Q, R y S) son puntos medios.  B   6,1 R

L

FORMA GENERAL

 A, B y C son coeficientes no todos nulos a la vez

 La recta es horizontal cuando A  0 y B0  La recta es vertical cuando B  0 y A0  La recta es oblicua cuando: A  0 y A B  0 de pendiente m   B

RECTAS PARALELAS  Si: L 1 // L 2

x

D  4, 1

m1  m2

RECTAS PERPENDICULARES Rectas perpendiculares (no son los ejes

Academia Antonio Raimondi Siempre los Primeros … A  4; 3

x

m

cartesianos)

S

L : y  mx  b

PROPIEDADES

B  6,b

P

c) 25 u2

L : Ax  By  C  0

14. Hallar el área de la región sombreada que se encuentra en la figura. a) 8 u2 y b) 6 u2 C   2,2 N c) 5 u2

a) 23 u2

ÁLGEBRA



Si: L 1 // L 2 DISTANCIA RECTAy

Profs.:

-4-

DE

m1 m2

UN

PUNTO

Equipo de Profesores d) 8  1 A

UNA

P1(x1,y1) d

L : ax  by  c  0

x

e) 10

4. En una misma recta ubicamos los puntos: A   2;a  , B  a;3a  y C  7;a  6  ; calcular “a”. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 5. A partir del gráfico, calcular: a) –1 y b) –3/4

L : ax  by  c  0 d  P1,L  

P(x1,y1)

ax1  by1  c 2

2

a b

INTERSECCION DE RECTAS La intersección de las rectas L 1 : a1x  b1y  c1  0 L 2 : a2x  b2y  c2  0 será un punto Po(xo,yo ) el cual se hallará resolviendo el sistema de ecuaciones: .... (I)  a1x  b1y  c1  0  .... (II)  a2x  b2y  c2  0



Po(xo,yo)  L 1 I L 2

PRÁCTICA DIRIGIDA 1. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el origen de coordenadas y tienen un ángulo de inclinación de 37º. a) 4x  3y  0 b) 4x  3y  0 c) 3x  4y  0 d) 3x  4y  0 3x  4y  12 e)

C  6,6 

c) –1/2 d) 1/2 e) 3/4

B  0,b  A  a,0 

0

x

3 pasa 2 el punto P  2;3  . Hallar el área de la región del triángulo formado por dicha recta y los ejes coordenados. a) 18 u2 b) 15 u2 c) 12 u2 6. Una recta L de pendiente m  

d) 10 u2

e) 9 u2

7. Dadas las rectas: L 1 : y  3x  1 L2 :y  x 3 Hallar la ecuación de la recta “L” que pasa por el punto de intersección de L 1 y L 2 siendo su pendiente m  2 a) 2x  y  9  0 b) 2x  y  5  0 c) 2x  y  3  0 d) 2x  y  6  0 e) 2x  y  9  0

2. Hallar el ángulo de inclinación de una recta L que pasa por los puntos: A   3;2  y 8. Dado un triángulo cuyas vértices son B  1;5  los puntos: A   3;1 , B  2;5  y C  4;0  . a) 15º b) 30º c) 37º d) 45º e) 53º Hallar la ecuación de la recta que pasa por 1 el baricentro de dicho triángulo y por el 3. Una recta cuya pendiente es m  2 origen del sistema de coordenadas. pasa por los puntos P  0;6  y Q  a;2a  . a) y  x b) y  2x c) y  3x Hallar el valor de a=? y  x  2 y  x  3 d) e) a) 2 b) 4 c) 6 Academia Antonio Raimondi Siempre los Primeros …

ÁLGEBRA

Profs.: -5Equipo de Profesores a) 3x – y b) 3y – x =12 c) x = y d) 3x – y –12=0 9. Hallar la ecuación de la recta mediatriz e) 3x +12 = y del segmento AB, siendo A   2;3  y 15. Los vértices de un triángulo son: B  6;1 . A   3,1 , B  5;5  y C  1; 2  . Calcular la a) 4x  y  6  0 b) 4x  y  6  0 altura relativa al lado AB. 4x  y  6  0 4x  y  6  0 c) d) a) 5 u d) 12 u

e) 4x  y  0 10. Sabiendo que las rectas: L 1   a  2  x  2y  1  0 L 2   a  1 x  y  2  0 Se cortan en un punto situado en el eje de abscisas, hallar “a” a) –2 b) –1 c) 0 d) 1 e) 2 11. Hallar la ecuación de la recta “L” mostrada en la figura. a) 3x  4y  24  0 b) 3x  4y  24  0

53º

y

c) 3x  4y  24  0 d) 4x  3y  24  0 e) 4x  3y  12  0 0

x

8

12. Sean las rectas paralelas: L 1 :  a  1 x  2y  5  0 L 2 : 3x  ay  6  0 Hallar el valor positivo de “a” a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 13. Sean las rectas perpendiculares: L 1 : ax   a  2  y  6  0 L 2 :  2a  1 x  ay  1  0 Hallar el valor de “a” a) 5 b) 4 d) 2 e) 1

c) 3

14. Hallar la ecuación de la recta que tiene pendiente 3 y pasa por el punto (4 ; 0).

b) 2 5 u e) 1 u

c) 3 5 u

16. Dadas las rectas paralelas: L 1 : x  2y  4  0 L 2 : x  2y  9  0 Hallar la distancia entre dichas rectas. a) 3 u b) 5 u c) 2 2 u d) 3 3 u e) 4 5 u 17. Hallar la ecuación de la recta que tiene pendiente 2 y pasa por el origen de coordenadas. a) 2x + 1 = y b) 2y + 1 = x c) 2x = y d) 2x – y = 1 e) N. A. CIRCUNFERENCIA Se llama circunferencia al conjunto de puntos del plano que se encuentran a una distancia constante (radio) de un punto fijo (centro) de ese plano y

P  x;y 

k

C  h;k 

O

x

h

ECUACION ORDINARIA: d (C, P) = r



2

2

(x  h)  (y  k)  r

2

OBSERVACIÓN: La circunferencia de centro en el origen de coordenadas y radio r tiene por ecuación: x 2  y2  r 2 “Forma Canónica”

Academia Antonio Raimondi Siempre los Primeros …

ÁLGEBRA

Profs.:

-6-

Equipo de Profesores ECUACIÓN GENERAL DE LA CIRCUNFERENCIA Ecuación que tiene la forma: x 2  y2  Dx  Ey  F  0 Donde: Centro    D/2 ;  E/2  1 D 2  E 2  4F 2 Siempre que se cumpla la condición: Radio  r 

D 2  E 2  4F  0

d)  x  6  2   y  6  2  36 e) N. A. 4. Hallar la ecuación de la circunferencia inscrita en un cuadrado ABCD, donde A (5; 0) y B ( 5; 12), estando C a la derecha de B. a)  x  11 2   y  6  2  36 b)  x  11 2   y  6  2  36 2

 x  11   y  6   36 d)  x  11 2   y  6  2  36 e) N. A.

EJERCICOS 1. Hallar la ecuación de la circunferencia de centro (–3 ; –5) que pasa por el punto: (0 ; 0). a) x2  y2  6x  10y  0

5, Una circunferencia de centro M(-2,-3), halle su ecuación sabiendo que pasa por el origen de coordenadas. a) x2  y2  3x  5y  0 b) x2  y2  6x  4y  0

b) x2  y2  6y  10x  0

c) x2  y2  4x  6y  0

c) x2  y2  6y  10x  10

d) x2  y2  6x  4y  0

d) x2  y2  6x  10y  10 e) N. A. 2. Encontrar la ecuación de la circunferencia en la cual uno de sus diámetros es el segmento que une los puntos   2;7  y  6;11 a) x2  y2  4x  18y  65  0

e) x2  y2  4x  6y  0 6. Halle la ecuación de la circunferencia de radio 3 y que pasa por el origen de coordenadas y su centro esta en el eje de ordenadas. a) x2  y2  5x  0 b) x2  y2  8x  0 c) x2  y2  8x  0

b) x2  y2  6x  7  0

d) x2  y2  6x  0

e) x2  y2  6y  0

c) x2  y2  4x  18y  73  0 d) x2  y2  2x  12y  17  0 2

c)

2

2

e) x  y  4x  18y  65  0 3. Una circunferencia de longitud 12  unidades tiene su centro en el tercer cuadrante y es tangente a los ejes coordenados. La ecuación de dicha circunferencia es:

7. Según el grafico determine la ecuación de la circunferencia mostrada, si el área d la región triangular equilátera OAB es 4 3u2 , (P es punto de tangencia). y A

a)  x  6  2   y  6  2  36

B

b)  x  6  2   y  6  2  36 c)  x  6  2   y  6  2  36

O

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P

x

ÁLGEBRA

Profs.:

-7-

Equipo de Profesores a)

 x

3    y  3

b)

 x  2 3  2   y  2 2  4

c)

 x

3    y  5

2

4

d)

 x

5    y  7

2

4

e)

 x

7    y  1

2

 36

2

2

2

2

2

PARÁBOLA

9

Dada una recta L y un punto fijo F  L. La parábola es el conjunto de puntos tal que la distancia de dichos puntos a F y a L son iguales. Al punto fijo se le llama Foco y a L se le llama Directriz.

Y

8. La ecuación de la circunferencia cuyo centro está sobre el eje x y que pasa por los puntos  1,3  y  4,6  es: a)

 x  7  2  y2  45

b)

 x  7  2  y2  45  x  1 2   y  3  2  45

e)

 x  4  2   y  6  2  45

Elementos: p p V : Vértice LR : Lado Recto

F

R

V

L

Parámetro

L F : Foco X : Directriz L 1 : Eje Focal

Ecuacion de la Parabola con Eje Focal Paralelo al Eje "x".  :  y  k  2  4p  x  h 

9. Hallar la ecuación de la circunferencia de diámetro 20 unidades y que pasa por el punto (0 ; 0). Además, el centro de dicha circunferencia es C (6 ; K). a)  x  6  2   y  8  2  100 b)  x  6  2   y  8  2  81

V(h,k)

;

L : x  h p

F(h  p , k)

;

LR  4 p

Ecuación de la Parábola con Eje Focal Paralelo al Eje "y".  :  x  h  2  4p  y  k  V(h,k)

;

L : y  k p

F(h , k  p)

;

LR  4 p

Forma General

c)  x  8  2   y  6  2  81 2

P(x, y) L

P :

c) x2   y  7  2  45 d)

L1

x2  Dx  Ey  F  0 Eje Focal // al eje "y" (o coincidente con el eje Y)

2

d)  x  8    y  6   100 e) N. A.

2

10. Halle la ecuación de la tangente a la circunferencia C : x 2  y2  169 en el punto de abscisa 12, situado en el primer cuadrante. a) 3x  7y  169  0 b) 12x  5y  169  0 12x  5y  169  0 c) d) 12x  5y  169  0 e) 5x  12y  169  0

y  Dx  Ey  F  0 Eje Focal // al eje "x" (o coincidente con el eje x) EJERCICOS 1. Hallar la ecuación de una parábola de foco F (4 ; 0) y vértice (4 ; –2) a) x2  7x  7y  0 b) x2  8x  7y  0 c) x2  7x  7y  0 e) N. A.

Academia Antonio Raimondi Siempre los Primeros …

d) x2  8x  8y  0

ÁLGEBRA

Profs.:

-8-

Equipo de Profesores 2.

hallar

el

vértice

de

la

y2  12y  x  0 a) (36,6) b) (-36,0) d) (36,-6) e) (6,-36)

parábola:

c) (36,6)

3.- Hallar la ecuación de la parábola con vértice en (4 ; –3) y foco en el eje X, siendo su eje paralelo al eje Y. a)  y  4  2  12 x  3 

b)  y  3  2  12 x  4 

c)  x  4  2  12 y  3  e) N. A.

d)  x  3  2  12 y  4 

4. Hallar la ecuación de la parábola con vértice en (6 ; 8) y foco en el eje Y, siendo su eje paralelo el aje de abcisas. a)  y  6  2  24  x  8 

b)  y  6  2  24  x  8 

c)  x  6  2  24  y  8  e) N. A.

d)  y  8  2  24  x  6 

5. Si y2  6y  2x  17  0 , es la ecuación de una parábola, calcule la distancia del vértice de dicha parábola al origen de coordenadas. a) 6 b) 5 c) 13 d)

e)

15

a)  y  4   12 x  3

b)  y  3  12 x  4 

c)  x  4   12 y  3

d)  x  3  12 y  4 

2

a) 5x 2  6y  0

b) 3x 2  8y  0

c) 3x 2  8y  0

d) 8x 2  3y  0

e) 8x 2  3y  0 9. Halle la ecuación de la directriz de la parábola, sabiendo que es simétrica respecto al eje de las abscisas, su vértice coincide con el eje de coordenadas y su foco es F(2,0). a) x  3  0 b) x  3  0 c) x  2  0 d) x  2  0 e) x  6  0 ELIPSE La elipse se define como el conjunto de puntos P  x,y  , tales que la suma de las distancias de P a los focos F1 , F2 es igual a una constante “2a” (a es el radio mayor de la elipse

d(P,F1)  d(P,F2)  2a 0 < e < 1

donde: e: excentricidad Y

17

6. Hallar la ecuación de la parábola con vértice en (4; –3) y foco en el eje X, siendo su eje paralelo al eje Y. 2

8. Halle la ecuación de la parábola simétrica con respecto al eje de ordenadas, sabiendo que su vértice es V(0,0) y pasa por el punto P(4,6).

a/e

L1 L

V1

F1 R

2

e) N. A. 7. Una parábola simétrica respecto al eje de ordenadas, tiene por directriz la recta L : y  0 y por vértice el punto V(0,3); halle las coordenadas del foco. a) (0,3) b) (3,0) c) (2,0) d) (0,6) e) (6,0)

a

b

Elementos: C : Centro

F1 y F2 : Focos L ' : Eje Focal

F2 V2

c

C

2

L2

B1

B2

a

c = a e V1 y V2 : Vértices L 1 y L 2 : Directrices V1V2 : Eje Mayor

B1B 2 : Eje Menor LR : Lado Recto

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X

ÁLGEBRA

Profs.:

-9-

Equipo de Profesores Ecuación de la Elipse con Eje Focal Paralelo al Eje "X".E:

C(h,k) F(h  c,k)

 x  h 2 a

2



 y  k 2 2

b

1

;

a L: x  h  ; e

LR 

2b2 a

EJERCICOS 1. La expresión: 2

2

9x  4y  18x  16y  11  0 ,

es

el

desarrollo de la ecuación de una Elipse. La posición del centro es: a) (2 ; 1) b) (2 ; –1) c) (1 ; 2) d) (1 ; 3) e) (2 ; 3) 2. Dada la ecuación de la elipse: 2

2

9x  25y  26x  150y  36  0 La suma de las coordenadas del centro de dicha elipse es: a) 1 b) 5 c) 5 d) 3 e) 2 2

x  4y  2x  16y  13  0 la longitud de su lado recto es: 1 a) b) 2 c) 1 2 1 d) 3 e) 3 4. Hallar la ecuación de una Elipse con centro en (–12 ; –5), tangente a los ejes coordenados. a)  x  6  2   y  6  2  36 b)  x  5  144

2



 y  12  2 25

 x  12 2  y  5  2 144



25

1

1



1

25

a)  x  13  169

2

b)  x  13  25

2

 

 y  3 2 25

 y  3 2 169

2

c)  x  3    y  13  169 25 d)  x  13  144

2

e)  x  13  25

2

 

c) d)

1 1

2

1

 y  3 2 25

 y  3 2 144

1 1

6. Una Elipse tiene su eje focal paralelo al eje Y. El centro (2 ; 3 ) y uno de los focos dista 1 y 9 unidades, respectivamente, de los vértices. La ecuación de esta Elipse es: a) 2 2 2

3. Dada la ecuación de la elipse: 2

144 e) N. A.

5. Hallar la ecuación de una Elipse, cuyos focos son los puntos F1 (1 ; 3) y F2 (25 ; 3). Además, el eje menor mide 10 unidades.

V(h  a,k) B(h, k  b)

;

 y  12  2  x  5  2

b)  x  3    y  2  16 9

2

c)  x  2    y  3  9 25

2

2

d)  x  2    y  3  25 9

2

2

2

2

e)  x  3    y  2  25 9

1 1 1 1

7. La ecuación de una elipse es: 2x2 +3y2 = 6. Hallar la distancia entre los focos. a) 1 d) 2

b) 2 e) 2 2

c) 3

8. El triple de la longitud del lado recto de

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Profs.:

- 10 -

Equipo de Profesores la elipse de vértices V1  2,2  ; V2  2, 4  y

a)

1 excentricidad e  es: 3 a) 18 b) 16 d) 20 e) 10

d) c) 12

 9;5  8;6

b)  7;8  e)

 4;9

3. Determinar la ecuación de la parábola cuyo vértice está en el origen y el foco en

 3;0

  13;0  y  13;0  ; uno de sus focos es  12;0  ,

a) x 2  12y

b) x 2  6y

determinar la ecuación de la elipse.

d) y2  12x y

e) y2  4x

9. Los vértices de una elipse son

2

2

a) x  y  1 144 169 2

2

c) x  y  1 25 169

2

2

b) x  y  1 169 25 2

2

d) x  y  1 36 169

2 2 e) x  y  1 49 169

10. En la siguiente elipse de ecuación:  x2  6x  4y2  16y  21 ¿Cuál de las proposiciones dadas a continuación es verdadera? a) Su centro es (3,2) y eje mayor mide 4 b) Su centro es (2,3) y eje mayor mide 4 c) Su centro es (3,2) y eje mayor mide 2 d) Su centro es (2,3) y eje menor mide 2 e) Su centro es (3,2) y eje menor mide 4 PREGUNTAS TIPO EXAMEN DE ADMISION 1. Determinar la ecuación general de la circunferencia de centro   7; 5  y que

c)  10;3

c) y2  6x

4. Una parábola con vértice en el origen tiene como directriz a la recta y   2 . Determinar su ecuación: a) x 2  8y

b) y2  8x

d) y2  4x

e) x 2  6y

c) x 2  2y

5. Determinar las coordenadas del foco de la parábola: y2  16x  0 a) d)

 0;4   2;6

b) e)

 4;0  4;0

c)

 0;4 

6. Una circunferencia tiene por ecuación: x2 + y2 – 4x + 8y –29 = 0 Hallar la posición del centro. a) (2;4) b) (–4; 2) c) (–2: – 4) d) (–2; 4) e) (2; –4)

7. Dadas las siguientes proposiciones: (* La recta: 3y  9  0 es vertical. pasa por el punto   6; 3  * La longitud de la hipotenusa del triángulo rectángulo de vértices (1,0), a) 3x2  3y2  4x  2y  6  0 (4,0) y (1,4) es de 5 unidades. 2 2 b) x  y  8y  0 * El punto medio del segmento que une los puntos (4,5) y (4,5) es (0,0). c) x2  y2  4x  2y  3  0 * La distancia del origen de coordenadas 2 2 d) x  y  14x  10y  69  0 a la recta L: 3x  2y  13  0 es 13 e) x2  y2  2x  6y  6  0 unidades. * La distancia del punto (4,10) a la recta 2. Una circunferencia de centro  3; 2 x = 0 es de 10 unidades. pasa por el punto de  12;0  . Indicar otro Señalar la alternativa correcta que contiene la secuencia verdadera (V) – falso punto por donde pasa esta circunferencia. Academia Antonio Raimondi Siempre los Primeros …

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Profs.:

- 11 -

Equipo de Profesores (F). a) FVVFF d) FVVVF

b) FFVFF e) VFFFV

c) FVFVF

8. El foco y la directriz de la parábola cuya ecuación es: y  x 2 son: 1  1  ,0 ; x   4  4 

b) F   



c) F    

d) F   



e) F   

1 0,  ; 4 1 0,   4 1 0,  ; 4 1   ,0 4 

c) x2  2x  8y  32  0

1 y  4 ; y y

d) x2  2x  8y  31  0

1 4

e) x2  2x  8y  31  0

1 4

; x

MISCELÁNEA 1 4

9. Hallar el foco de la parábola: 2

a) (1,2) d) (1,2)

y  8x  4y  20  0 b) (2,1) e) (1,1)

c) (1,1)

10. La longitud del lado recto de una parábola con vértice en el origen de eje coincidente con el eje “x” que pasa por el punto (2,4) es: a) 16 b) 2 c) 1 d) 8 e) 4 11. La distancia del vértice al foco de la parábola. 2 y  3x  8y  7  0 es:

1 3 1 d) 4 a)

4 3 3 e) 4 b)

a) x2  2x  8y  32  0 b) x2  2x  8y  31  0

a) F  



13. Una parábola tiene su foco en el punto F(-1,2) y su directriz es la recta L : y 6  0 Determine su ecuación:

c)

5 3

1. Hallar la ecuación de la recta que pasa por (5,1) y tiene la misma pendiente que la recta determinada por los puntos (0,3) y (2,0). a) 3x  2y  13  0 b) 3x  2y  14  0 c) 3x  2y  15  0 d) 3x  2y  16  0 3x  2y  17  0 e) 2. Hallar “k” para el cual la recta: L 1 : ky   k  1 y  18  0 sea paralela a la L 2 : 4x  3y  7  0 recta. a) 4 b) 5 c) 6 d) 16 e) 7 3. Hallar el valor de k para el cual la recta: L 1 : kx   k  1 y  3  0 sea perpendicular a la recta L 2 : 3x  2y  11  0 a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 4. Hallar la distancia del punto: Q   10,2 a la recta L : 2x  y  7  0

a) 3 4 b) 3 5 c) 3 6 12. Calcular las coordenadas del foco de d) e) 3 7 3 8 una parábola de vértice (3,4) con eje focal paralelo al eje x, y que pasa por el punto 5. Los elementos del centro de la cónica (6,10). 2 2 a) (4,4) b) (2,4) c) (3,3) 9x  9y  12x  24y  16  0 suman. d) (2,4) e) (3,5) Academia Antonio Raimondi Siempre los Primeros …

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- 12 -

Profs.:

Equipo de Profesores a) 

2 3

d) 2

b) e) 

2 3

c) 2

3 2

6. Cuál de las siguientes proposiciones es verdadera si la ecuación de la parábola es: 2 x  10x  13   12y I. La directriz es y  4 II. El foco está en (5,4) III. El foco está en (5, - 2) IV. El eje de simetría es y = 1 V. Nada de lo anterior 7. Hallar la ecuación de la parábola cuyo 3  foco es F   0 ,  y cuya directriz es la 2  recta D : 2y  3  0 a) x2  6y d) x2  4y

b) x2  9y 2 4 e) x  3

c) x2  y

8. Una parábola de eje paralelo al eje y pasa por los puntos Q   0;1 , S   1;4  y T   2;1 su vértice es: a)  1,0  d)  1;1

b)  0;0  e)   1; 1

c)  1;0

9. Hallar la longitud del radio vector del punto de la parábola x2  9y  0 cuya 3 abscisa es igual a  . 2 5 3 7 a) b) c) 2 2 3 d) 2 e) 1

11. Hallar la longitud del radio vector del punto de la parábola y2  9x cuya ordenada es igual a 6. 25 a) b) 25 c) 4 4 50 4 d) e) 4 25 13. Los puntos extremos de una cuerda de una circunferencia son A  2,7  y B  4,1 , la ecuación de esta circunferencia que tiene su centro en el eje y es: a) x2  y2  6y  11  0 b) x2  y2  6y  29  0 c) x2  y2  6y  29  0 d) x2  y2  6y  11  0 e) x2  y2  6y  11  0 14. La ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto C(2,3) y que es tangente a la recta 2x  y  2  0 es: a) 5x 2  5y2  20x  30y  16  0 b) x2  y2  4x  6y  13  0 c) 5x 2  5y2  20x  30y  16  0 d) x2  y2  4x  6y  16  0 e) 5x 2  5y2  20x  30y  16  0 15. Hallar la ecuación de la tangente a la circunferencia x2  y2  4x  6y  12  0 en el punto A   5;7  a) 3x  4y  13  0 b) 4x  3y  41  0 c) 4x  3  1  0 d) 3x  5y  50  0 3x  4y  43  0 e)

16. Hallar el valor de “k” para que al 10. La longitud del segmento que une el 2 circunferencia: 2x 2  2y2  8x  16y  k , foco de la parábola y   9x con el punto Sea tangente al eje x. de intersección de está con la recta. a) –2 b) –4 c) –6 3x  4y  12  0 es: d) –8 e) 8 25 26 25 a) b) c) 4 3 3 17. La ecuación de la circunferencia que 25 26 tiene el segmento AB como diámetro, con d) e) A = (1;2) y B = (5 ; 12), es: 6 5 Academia Antonio Raimondi Siempre los Primeros …

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- 13 -

Profs.:

Equipo de Profesores 2 2 a)  x  3   y  6  36

20. la ecuación de la circunferencia cuyo centro esta en (2 ; 3) y es tangente a: L :x y 2 0

2 2 b)  x  3   y  7   18 2 2 c)  x  3   y  7  29

2

d)  x  1

  y  3

2

a) x2  y2  8x  6y  23  0

 20

2

2

e)  x  1   y  4   49 18. Hallar la ecuación de la circunferencia con centro (3 ; 1) y tangente a la recta L:x + y + 3= 0. a) 2x 2  3y2  12x  4y  29  0

b) 2x 2  3y2  9x  14y  29  0 c) 2x 2  8x  y2  12y  23  0 d) x2  y2  x  y  16  0 e) x2  y2  x  y  49  0

b) 2x 2  2y2  12x  4y  29  0 c) x2  y2  12x  4y  29  0 d) x2  2y2  6x  2y  36  0 e) 2x 2  y2  14x  y  49  0 19. hallar la longitud de la tangente trazado desde el punto P = (10 ; 8) a la circunferencia: 2

2

x  y  2x  4y  1  0 a)

b)

113 d) 10,5

119 e) 12

c)

123

20. Una cuerda de la circunferencia: 2

2

4x  4y  8x  4y  7 Esta sobre la recta x + 2y – 2 = 0, entonces la longitud de la cuerda será. a) 3 b) 2 3 c) 2 d) 2 2

e) 3 3

21. Hallar la ecuación de una recta tangente a la circunferencia cuya ecuación es: 2 2 x  y  2x  4y  15 y pasa por el punto de tangencia (1;2). a) x  y  1  0 b) x  y  2  0 c) x  y  3  0 d) x  2y  5  0 e) 2x  y  5  0

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