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• Yajaira Abigail

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UNIDAD N° 7 GEOMETRIA ANALITICA Coordenadas Rectangulares

Distancia entre 2 puntos

Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje x o en una recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus abscisas.

Ejemplo:

d = 5 unidades

Rectas paralelas Son aquellas rectas que se encuentran en un mismo plano, presentan la misma pendiente y que no presentan ningún punto en común, esto significa que no se cruzan, ni tocan y ni siquiera se van a cruzar sus prolongaciones.

Si r=s

ᶛ1=ᶛ2 m1 = m2

Rectas perpendiculares Rectas perpendiculares son las que al cortarse forman cuatro ángulos iguales. Las rectas m y n son perpendiculares porque al cortarse forman 4 ángulos de 90º.

1

2

Determine los ángulos que se forman las rectas: Y=2X-1 Y= -2/3X+1/5 m1=2 m2= -2/3

Pendientes

Hallar Pendiente a la recta y=3x+1 m=3 b=4 y=3x+4

Determine si el punto 2,2 está sobre la reta 5x+4y-7=0 5x+4y-7=0 5(2)+4(2)-7=0 11=0

ANGULOS

El ángulo formado entre la recta l1 (inicial) y l2 (final) es  el cual es medido en sentido antihorario y cuyo ángulo suplementario es ’. Por geometría elemental sabemos que:   Tomando la tangente de ambos miembros la expresión queda de la siguiente manera: tg  = tg()

Aplicando la formula trigonométrica de adición y sustracción en el segundo miembro de la ecuación:

Recordando el concepto de pendiente de una recta tenemos que la tangente del ángulo  es la pendiente de la recta l2 y la tangente del ángulo  es la pendiente de la recta l1, que reemplazados en la expresión anterior resulta:

El ángulo ’ no es mas que el complemento de  por la que la primera expresión se puede expresar de la siguiente manera: ’ ’=  + ( –) Aplicando en esta última expresión la misma metodología se obtiene:

Estas dos expresiones determinan el ángulo entre las dos rectas y la única diferencia es simplemente el signo.

LINEA RECTA Analíticamente la línea recta es una ecuación lineal con 2 variables Formas de la ecuación de la línea recta a) Punto pendiente La ecuacion de la recta que pasa por el punto P1 (X1,Y1), cuya pendiente sea m es : Y-Y1=m(X-X1)

b) Forma pendiente- ordenada al origen La ecuación de la recta de pendiente m y que corta al eje “y” en el punto (0,b) siendo b la ordenada en el origen es Y= mx+b Encuentra la ecuacion de la recta,cuya interseccion con el eje "Y" es 4 y su pendiente es -3 SOLUCION : los datos son M =-3 y B = 4,al sustituir se obtiene : Y = MX+B Y = -3x+4 3x+Y-4 = 0

c) Cartesiana La ecuacion de la recta que pasa por los puntos P1(x1-y1) y P2(x2-y2) 𝑦 − 𝑦1 𝑦1 − 𝑦2 = 𝑥 − 𝑥1 𝑥1 − 𝑥2

d) Reducida o abscisa y ordenada en el origen La ecuacion de la redcta que corta a los ejes coordenadas x e y en los puntos (0,0) siendo la abscisa en el origen y (0,b) la ordenada en el origen respectivamente 𝑥 𝑦 = =1 𝑎 𝑏 e) General Una ecuacion lineal o de primer grado en las variables x e y es de la forma Ax+By+C=0, en dodne A B y C son constantes arbitrarias. La pendiente de la recta escrita en esta forma es 𝐴 𝑚=− 𝐵

LA CIRCUNFERENCIA La circunferencia es una línea curva cerrada cuyos puntos están todos a la misma distancia de un punto fijo llamado centro.

Ecuación de Circunferencia con centro en el origen

Ejemplos: hallar la ecuacion de la circunferencia con centro en el origen cuyo radio es 7m

Circunferencia con centro fuera del origen

Tomemos, por ejemplo, la circunferencia cuyo centro está dado por C (2, ─3), con radio r = 5 que se muestra en la figura

(x ─ 2)2 + (y ─ ─ 3)2 = 52 (x ─ 2)2 + (y + 3)2 = 52 (x ─ 2)2 + (y + 3)2 = 25 FORMULA GENERAL

PARABOLA PARÁBOLA CON VÉRTICE EN EL ORIGEN.

Tipo Vertical Horizontal

Ecuación X2=4PY Y2=4PX

Foco F(0,P) F(P,0)

Directriz D=Y= -P D=X= -P

PARÁBOLA CON VÉRTICE FUERA EN EL ORIGEN. (y - k)2 = 4p(X - h)

Hallar la ecuación de la parábola de vértice en el origen y foco en el punto ( 9,0 )

HIPERBOLA 

Una hipérbola es una sección cónica, una curva abierta de dos ramas obtenida al cortar un cono recto por un plano oblicuo al eje de simetría con ángulo menor que el de la generatriz.

Ecuación analítica de la hipérbola

x2 y 2  2 1 2 a b Ecuación analítica de la hiperbola con centro en (p,q) 

Si el eje focal de la hipérbola es paralelo al eje x , y si el centro de la hipérbola es el punto c(h,k)

 x  h a

2

2

y  k   b

2

2

1

 Si Si el eje focal de la hipérbola es paralelo al eje Y

E J E MPL OS

ELIPSE

Supongamos para simplificar que los focos están situados en los puntos F(c,0) y F'(-c,0) , tomemos un punto cualquiera P(x , y) de la elipse y supongamos que la suma de las distancias entre PF y PF' es igual a 2a , entonces tendremos que : Resolviendo: 𝑨𝒙𝟐 + 𝑩𝒚𝟐 + 𝐃𝐱 + 𝐄𝐲 − 𝐟 = 𝟎

Elipse con eje paralelos a OX y sin centro en el origen

Elipse con centro en el origen

Ejemplo Representa gráficamente y determina las coordenadas de los focos, de los vértices y la excentricidad de las siguientes elipses. 1