• Author / Uploaded
• el res

• Categories
• Triángulo
• Volumen
• Formas geométricas
• Geometría
• Geometría euclidiana

Citation preview

GU Í A DI DÁC T IC A

U N I DA D

14

ESO

Cuerpos geométricos. Volúmenes

1 CONTENIDO

1 Programación* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 Sugerencias didácticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

3 Actividades de refuerzo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 4 Actividades de ampliación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 5 Propuesta de evaluación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 6 Solucionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 *Esta programación podrás encontrarla también en el CD Programación.

Programación de aula Unidad 14

Cuerpos geométricos. Volúmenes

Con esta unidad se empieza a trabajar la geometría del espacio. Nos introducimos en un mundo que los alumnos no dominan muy bien: el de las tres dimensiones. Hay que poner especial cuidado en que vean adecuadamente las figuras, las comprendan y sean capaces de trabajar con ellas. Al dibujar en la pizarra distorsionamos la realidad, ya que realizamos una proyección de tres dimensiones a dos dimensiones, y habrá algunos alumnos que no sean capaces de visualizar bien las ideas que queremos trabajar. Por eso es importante que puedan manipular físicamente los cuerpos geométricos. La unidad comienza con un repaso de los poliedros y los cuerpos redondos y sus elementos, para después introducir el concepto de volumen de una figura cualquiera. Los alumnos deben comprender el concepto de volumen de una figura en el espacio y la necesidad de una unidad que permita medir y comparar el volumen de diversas figuras. Es importante que identifiquen las múltiples figuras del espacio y que distingan perfectamente los prismas de las pirámides y los cilindros de los conos, así como sus elementos, muy especialmente la base y la altura, dado que son los que aparecen en las fórmulas para el cálculo del volumen. No menos importante es que comprendan la utilidad de las fórmulas para el cálculo del volumen de las figuras y que, además de aprenderlas y utilizarlas correctamente, sepan cómo se pueden obtener todas a partir de la más sencilla: la que permite calcular el volumen del ortoedro.

OBJETIVOS

CRITERIOS DE EVALUACIÓN

1. Identificar las formas espaciales que aparecen en la realidad.

1.1. Reconocer las distintas figuras del espacio y sus elementos distinguiendo los distintos tipos de poliedros y de cuerpos redondos.

COMPETENCIAS BÁSICAS

• Lingüística 2. Interpretar expresiones matemáticas sencillas que permiten obtener el cálculo del volumen de las figuras del espacio.

2.1. Utilizar adecuadamente las fórmulas que permiten obtener el volumen de los poliedros. 2.2. Usar correctamente las fórmulas para el cálculo del volumen de los cuerpos de revolución.

• Matemática • Interacción con el mundo físico • Social y ciudadana • Tratamiento de la información y competencia digital • Aprender a aprender

3. Resolver problemas matemáticos relacionados con la vida cotidiana utilizando diferentes estrategias, procedimientos y recursos.

3.1. Aplicar las fórmulas del cálculo del volumen de las figuras del espacio para resolver problemas.

CONTENIDOS • Poliedros • Elementos de un poliedro: caras, aristas y vértices • Poliedros convexos y cóncavos • Poliedros regulares • Prismas rectos y prismas oblicuos • Prisma regular • Pirámides rectas y oblicuas • Pirámide regular • Cuerpos redondos: cilindro, cono y esfera

2

Unidad 14

Cuerpos geométricos. Volúmenes

• Eje de giro • Generatriz del cilindro y del cono • Superficie esférica • Casquete esférico. Círculo máximo • Paralelos y meridianos • Volumen del ortoedro y del cubo • Volumen del prisma y de la pirámide • Volumen del cilindro y del cono

Programación de aula

ORIENTACIONES METODOLÓGICAS 1. Conocimientos previos Para el correcto cálculo de volúmenes de cuerpos geométricos es necesario que los alumnos dominen las unidades de volumen y superficie del Sistema Métrico Decimal, en especial lo referente al cambio de unidades, así como el cálculo de áreas de figuras planas.

2. Previsión de dificultades Como ya hemos dicho anteriormente, la principal dificultad que vamos a encontrar es que a los alumnos les cuesta ver en dos dimensiones la representación de un cuerpo geométrico. Para solventarlo conviene que llevemos al aula cuerpos geométricos que puedan manipular.

3. Vinculación con otras áreas El estudio de los cuerpos geométricos está estrechamente relacionado con los contenidos de Educación Plástica y Visual. El concepto de volumen y su cálculo está relacionado con los contenidos de ciencias de la naturaleza, en especial con la densidad.

4. Esquema general de la unidad La última unidad sobre geometría está dedicada al cálculo del volumen de las figuras del espacio. Se inicia este estudio con un repaso de los poliedros y los cuerpos de revolución, así como de los elementos que los caracterizan: aristas, caras, vértices, bases, altura, apotema.

CUERPOS GEOMÉTRICOS

Poliedros

Cuerpos redondos

Prismas y pirámides

Cilindros, conos y esferas

Después se introduce el concepto de volumen de una figura en general, indicando la necesidad de elegir una unidad de medida. A partir de un ejemplo se obtiene la fórmula que permite calcular el volumen del ortoedro y, como caso particular, la del volumen del cubo. Por último, utilizando como referencia la fórmula del volumen del ortoedro y construyendo figuras de la misma área de la base que la del ortoedro y la misma altura, se obtienen las fórmulas para el cálculo del volumen del resto de las figuras del espacio.

Volúmenes

5. Temporalización Se propone el desarrollo de los contenidos de la unidad en ocho sesiones: 1.ª Introducción. Poliedros. 2.ª Medidas indirectas. Teorema de Pitágoras. 3.ª Prismas y pirámides. 4.ª Cilindros, conos y esferas. 5.ª Volumen del ortoedro, del cubo y del prisma. 6.ª Volumen de la pirámide, del cilindro y del cono. 7.ª Actividades de repaso y consolidación. 8.ª Trabajo en competencias mediante la doble página final de la unidad. En todas las sesiones, la exposición teórica debería ir acompañada de la realización de ejemplos y de ejercicios de los que se proponen tanto en los epígrafes como en las páginas finales de actividades. Por supuesto, el contexto de la clase es también un factor determinante para fijar el número de sesiones necesarias para desarrollar la unidad.

Cuerpos geométricos. Volúmenes

Unidad 14

3

Programación de aula

CONTRIBUCIÓN DE LA UNIDAD A LA ADQUISICIÓN DE COMPETENCIAS BÁSICAS Competencia lingüística Esta competencia se trabaja en toda la unidad, ya que la comprensión del texto es imprescindible para comprender y aplicar todos los conceptos que aparecen en ella. En particular, la sección “Desarrolla tus competencias” y, en general, los problemas con enunciado contextualizado desarrollan de forma más específica los descriptores recogidos en la subcompetencia comunicación escrita.

Competencia matemática Esta competencia impregna todas las secciones y actividades del libro, trabajando de forma más detallada las subcompetencias resolución de problemas y uso de elementos y herramientas matemáticos.

Competencia para la interacción con el mundo físico En las sugerencias didácticas se detalla cómo poder desarrollar las subcompetencias aplicación del método científico en diferentes contextos y conocimiento y valoración del desarrollo científico-tecnológico.

Competencia cultural y artística Las actividades y reseñas sobre la evolución de la arquitectura a lo largo de la historia permiten desarrollar la subcompetencia sensibilidad artística.

Competencia para el tratamiento de la información y competencia digital La unidad contiene variadas referencias a la utilización de medios tecnológicos para la búsqueda de información y la resolución de actividades interactivas.

Competencia para aprender a aprender A partir de las actividades de evaluación planteadas en las páginas finales de la unidad, particularmente en las secciones de “Autoevaluación” y “Aprende a pensar”, se puede trabajar en la adquisición de esta competencia, especialmente en lo concerniente a las subcompetencias de conciencia y control de las propias capacidades y de construcción del conocimiento.

Otras competencias de carácter transversal Aprender a pensar El proyecto educativo de SM considera importante reforzar el desarrollo de la capacidad de reflexión y el sentido crítico del alumno. La unidad presenta múltiples oportunidades en las que las actividades exigen al alumno un ejercicio reflexivo y crítico. En las sugerencias didácticas de los epígrafes y de las actividades se proponen algunas actividades de reflexión y debate.

4

Unidad 14

Cuerpos geométricos. Volúmenes

Programación de aula

TRATAMIENTO ESPECÍFICO DE LAS COMPETENCIAS BÁSICAS EN LA UNIDAD A lo largo de la unidad se pueden trabajar diversas competencias básicas que prescribe el currículo. Para esta unidad, en concreto, sugerimos realizar un trabajo más intensivo con algunas de ellas, para las que se han seleccionado descriptores competenciales específicos y actividades concretas de las propuestas en la unidad.

COMPETENCIA

SUBCOMPETENCIA

DESCRIPTOR

DESEMPEÑO

1.er nivel de concreción

2.º nivel de concreción

3.er nivel de concreción

4.º nivel de concreción

Lingüística

Comunicación escrita.

Leer, buscar, recopilar, procesar y sintetizar la información contenida en un texto para contribuir al desarrollo del pensamiento crítico.

– Extrae información de un texto que permita la identificación de los objetos en él descritos. Desarrolla tus competencias Problemas

Resolución de problemas.

Utilizar las matemáticas para el estudio y comprensión de situaciones cotidianas.

Uso de elementos y herramientas matemáticos.

Conocer y utilizar los elementos matemáticos básicos (distintos tipos de números, medidas, símbolos, elementos geométricos, etc.) en situaciones reales o simuladas de la vida cotidiana.

Aplicación del método científico en diferentes contextos.

Formular hipótesis y prevenir consecuencias sobre los problemas relevantes en situaciones reales o simuladas.

Matemática

– Identifica cuerpos geométricos en la vida cotidiana. En toda la unidad – Aplica las fórmulas del cálculo de volúmenes. En toda la unidad – Aplica el estudio de los cuerpos geométricos para diseñar un envase óptimo. Pon a prueba tus competencias: Compara y decide

Interacción con el mundo físico

– Identifica construcciones con cuerpos geométricos. Conocimiento y valoración del desarrollo científico-tecnológico.

Conocer y valorar la aportación del desarrollo de la ciencia y la tecnología a la sociedad.

Sensibilidad artística.

Adquirir sensibilidad y sentido estético para comprender, apreciar, emocionarse y disfrutar con el arte y otras manifestaciones culturales.

Desarrolla tus competencias Pon a prueba tus competencias: Observa y realiza, aprende a pensar, modeliza y construye – Aprecia las obras de arquitectura.

Cultural y artística

Desarrolla tus competencias Pon a prueba tus competencias: Observa y realiza, aprende a pensar – Busca en diferentes páginas de internet para complementar la información.

Tratamiento de la información y competencia digital

Obtención, transformación y comunicación de la información.

Buscar y seleccionar información con distintas técnicas según la fuente o el soporte, valorando su fiabilidad.

En la red Desarrolla tus competencias – Visita la página librosvivos.net Actividades 7 y 14, organiza tus ideas, autoevaluación

Aprender a aprender

Construcción del conocimiento.

Admitir diversidad de respuestas posibles ante un mismo problema y encontrar diferentes enfoques metodológicos para solventarlo.

– Decide la respuesta adecuada de un problema entre cuatro posibles. Actividades de ampliación

Cuerpos geométricos. Volúmenes

Unidad 14

5

Programación de aula

EDUCACIÓN EN VALORES Tanto los contenidos de la unidad como las actividades ya citadas para el trabajo específico de las competencias nos permiten, además, desarrollar algunos de los aspectos que el currículo recoge como educación en valores: • Las actividades para realizar en grupo que se proponen en las sugerencias didácticas permiten desarrollar la educación para la convivencia y la educación en comunicación.

ATENCIÓN A LA DIVERSIDAD En este proyecto se incluyen los siguientes materiales, que complementan los ofrecidos en el libro del alumno y permiten trabajar la diversidad del alumnado. • Actividades de refuerzo. Una página fotocopiable con ejercicios para consolidar lo aprendido. • Actividades de ampliación. Una página fotocopiable con ejercicios para complementar y ampliar lo tratado en cada unidad del libro. • Propuesta de evaluación. Una prueba que cubre los contenidos de la unidad y sirve para comprobar el grado de asimilación y comprensión de los conceptos y procedimientos tratados. • Cuaderno de evaluación de competencias. En él se propone una prueba por bloque de contenidos que sirve para evaluar la adquisición por parte del alumno de la capacidad para aplicar los contenidos matemáticos tratados a situaciones en contextos reales, en conjunción con el resto de competencias básicas.

MATERIALES DIDÁCTICOS

Bibliográficos

Refuerzo y ampliación de contenidos de este curso • Cuadernos de refuerzo “Aprende y aprueba”. 1.º de ESO. – Unidad 6. Cuerpos geométricos. SM

• Cuadernos de Matemáticas. 1.º de ESO: N.º 6: “Medida”. – Unidad III. Cuerpos geométricos. Volúmenes. • Cuaderno de matemáticas para la vida. 1.º de ESO. – Los dados del rol. www.smconectados.com

Internet

SM

www.librosvivos.net Página en la que podemos encontrar una clasificación clara y concisa de los cuerpos geométricos: www.e-sm.net/1esomatprd27

Otros

Página de la Sociedad Andaluza de Educación Matemática Thales-CICA sobre áreas y volúmenes de cuerpos geométricos:

Otros materiales

www.e-sm.net/1esomatprd28

6

Unidad 14

• Cuerpos geométricos, preferiblemente con la base desmontable para comprobar las fórmulas de los volúmenes. • Láminas con el desarrollo plano de los diferentes cuerpos geométricos.

Cuerpos geométricos. Volúmenes

Sugerencias didácticas Entrada La foto de entrada de la unidad es una magnífica oportunidad para que los alumnos aprecien la geometría como parte imprescindible de las construcciones arquitectónicas. Podemos aprovechar para pedir a los alumnos que traigan al aula fotografías de edificios característicos de su lugar de vacaciones, de residencia… e identificar en ellos elementos geométricos. La entrada tiene su continuidad en las dos primeras actividades de “Pon a prueba tus competencias” con la construcción de una maqueta de las Torres KIO y con la evolución de la arquitectura.

Desarrolla tus competencias III. En el texto se describen perfectamente las cuatro torres, con lo que para la identificación de cada una de ellas será preciso que los alumnos hayan realizado una lectura comprensiva del mismo, anotando los datos más significativos. III. No tendrán problema para realizar esta actividad después de haber realizado la primera, ya que para entonces ya habrán identificado los elementos geométricos. III. El término skyline es un anglicismo con el que se denomina el panorama urbano de una ciudad. Literalmente significa línea de cielo y hace referencia a “la silueta de una ciudad”. IV. A la hora de realizar esta actividad pediremos a los alumnos que, si es posible, traigan al aula los objetos. Si no es posible, podrían traer fotografías de los mismos.

1. Poliedros • Es importante que los alumnos recuerden los elementos de un poliedro. Por ello, además de utilizar los dibujos de la unidad como apoyo a la explicación, es aconsejable llevar modelos de cada poliedro para que puedan “tocar” las caras, aristas y vértices en cada caso. • Conviene que los alumnos identifiquen los distintos tipos de poliedros. Para ello se pueden realizar actividades en las que tengan que identificar el tipo de poliedro que se presenta, bien a través de un dibujo o de los que existen construidos en madera o plástico. • No menos importante es que sean capaces de dibujar un poliedro determinado. El dibujo más o menos aproximado de las figuras resulta muy útil en la resolución de problemas geométricos. • Sería interesante guiar a los alumnos para que descubrieran por sí mismos que solo existen cinco poliedros regulares. Para ello les indicaremos que: – En cada vértice de un poliedro deben concurrir al menos tres caras.

– Con cuatro triángulos por vértice formarán el octaedro. – Con cinco triángulos por vértice formarán el icosaedro. Se darán cuenta de que con seis triángulos equiláteros por vértice ya no se puede formar un poliedro, pues la suma de los ángulos es 360º y obtendrían una figura plana. Una vez que hayan encontrado los tres poliedros regulares cuyas caras son triángulos equiláteros, repetiremos el proceso con poliedros cuyas caras sean cuadrados, pentágonos regulares y hexágonos regulares. Cuando hayan comprobado que la suma de los ángulos de tres hexágonos que concurren en un vértice es 360º, podrán afirmar que no existen poliedros regulares cuyas caras sean polígonos de seis o más lados.

ACTIVIDADES POR NIVEL Básico

1, 2, 23, 25 y 26

Medio

3, 29 y 30

2. Prismas y pirámides • Es importante que los alumnos distingan entre prismas y pirámides. • Deben reconocer los distintos tipos de prismas que hay, distinguiendo sus elementos e identificando cada uno de ellos con su desarrollo plano. • En las pirámides también deben reconocer sus elementos característicos, distinguiendo entre apotema de la base, apotema de la pirámide y altura de la misma. • Sería interesante dibujar en la pizarra una pirámide regular y marcar en ella el triángulo rectángulo que se forma con la apotema de la base, la apotema de la pirámide y la altura. También sería conveniente marcar el triángulo rectángulo que se forma con la altura, la arista lateral y el radio de la base. De este modo facilitaremos que puedan hallar los diferentes elementos de la pirámide con ayuda del teorema de Pitágoras.

ACTIVIDADES POR NIVEL Básico

4, 5, 24, 27 y 28

Medio

6 y 29 a 33

Alto

34, 35 y 69

3. Cilindros y conos • La posibilidad de ver y manipular las figuras geométricas resulta de gran ayuda para la comprensión de los conceptos. Por eso conviene que los alumnos experimenten siempre que sea posible.

A continuación les diremos que busquen los poliedros regulares que pueden formarse con triángulos equiláteros:

• Utilizaremos un rectángulo de cartulina para que vean cómo se genera un cilindro. Para ello pasaremos un hilo por uno de los lados y haremos girar el rectángulo por los extremos del hilo. De este modo identificarán el hilo con el eje de giro.

– Con tres triángulos por vértice formarán el tetraedro.

• A continuación pasaremos un hilo sobre otro de los lados del rectángulo, no paralelo al anterior, y haremos girar el

– La suma de sus ángulos debe ser menor que 360º.

Cuerpos geométricos. Volúmenes

Unidad 14

7

Sugerencias didácticas

rectángulo. De este modo visualizarán los dos cilindros diferentes que puede engendrar un rectángulo. • Para que los alumnos vean cómo se genera un cono haremos lo mismo que hicimos con el cilindro, solo que con un triángulo rectángulo de catetos diferentes, pasando esta vez el hilo por cada cateto. También podríamos coger un cartabón y hacerlo girar sobre cada uno de los catetos.

ACTIVIDADES POR NIVEL Básico

8

Medio

9, 10 y 36 a 38

• Al igual que hicimos para generar el cono con el cartabón o el cilindro con un rectángulo de cartulina, podemos hacer lo mismo para generar la esfera con el transportador de ángulos o con un semicírculo de cartulina. • Es importante que los alumnos, a partir de objetos esféricos cotidianos, puedan identificar las distintas zonas de la esfera como el casquete esférico y la semiesfera. • Se pueden realizar cortes en esferas realizadas con plastilina para identificar el círculo máximo en las mismas.

ACTIVIDADES POR NIVEL Básico

12

Medio

13, 39 y 40

16, 41, 43 y 56

Medio

76

Alto

48 a 50, 66, 68, 71 y 73 a 75

6. Volumen del prisma y de la pirámide • Conviene que los alumnos deduzcan por sí mismos las fórmulas siempre que sea posible.

• Pero si esto no es posible, se les puede pedir que lo construyan ellos en cartulina, por ejemplo, y que traten de rellenarlo de cubos pequeños como hicieron con el ortoedro. Deben concluir que si la base es la misma, necesitan igual número de cubos para recubrirla, y como la altura también lo es, el volumen debe coincidir. • Para comprobar la relación existente entre el volumen del prisma y de la pirámide podemos realizar en el aula la experiencia que viene en el epígrafe, llevando un prisma y una pirámide regular con la misma base y altura a los que se le puede quitar la base y rellenar el prisma con el contenido de exactamente tres pirámides, pudiendo emplear para ello arroz.

ACTIVIDADES POR NIVEL

5. Volumen del ortoedro y del cubo • Para comprender el significado del volumen de un cuerpo se pueden utilizar policubos. Construyendo figuras y contando los cubos que se necesitan para cada una de ellas, los alumnos pueden calcular fácilmente su volumen y entender que lo que están midiendo es el espacio que ocupan. • La utilización de cubos de distinto tamaño para rellenar el espacio hueco que queda en una caja ayuda a entender la necesidad de definir una unidad de medida y cómo, dependiendo de esta, se obtienen distintos valores de medida para el mismo volumen. • Cualquier caja tiene forma de ortoedro, de modo que rellenándola con cubos pequeños de igual tamaño, es fácil obtener su volumen. • Pero ahora el objetivo es que deduzcan una forma rápida de calcularlo, así que se les pedirá que rellenen un lateral grande y otro pequeño de la base de la caja y calculen, sin añadir más cubos, cuántos serán necesarios para completarla. Hecho esto, completarán con cubos esa base. • Después, en una esquina de la caja colocarán cubos, unos sobre otros hasta alcanzar la altura de la misma, y se les indicará que por cada uno de ellos pueden volver a colocar tantos cubos como tenían en la base. Entonces, y sin añadir ninguno más, tendrán que calcular el número de cubos necesarios para rellenar la caja. • Conseguida la fórmula del volumen del ortoedro y considerando que el cubo es un caso particular en el que las tres dimensiones miden lo mismo, resulta fácil obtener la fórmula del volumen del cubo.

Unidad 14

Básico

• Para la del volumen del prisma se puede realizar la experiencia que se comenta al margen del epígrafe utilizando figuras geométricas hechas de plástico duro con un agujero en la base que permite llenarlas de agua.

4. Esferas

8

ACTIVIDADES POR NIVEL

Cuerpos geométricos. Volúmenes

Básico

18 y 42

Medio

19, 20, 45 a 47, 60 y 65

7. Volumen del cilindro y del cono • Como en el caso anterior, lo mejor es trabajar con un cilindro y un prisma ya construidos en un material que permita llenarlos de agua. Pero si no es posible, y dada la dificultad que existe para rellenar un cilindro con cubos pequeños, se puede utilizar otro material que facilite esta tarea sin que se rompan las figuras hechas en cartulina, empleando arroz, tal y como se indicó en el anterior punto. • También conviene realizar la experiencia indicada en el epígrafe para ver la relación existente entre el volumen del cono y el del cilindro.

ACTIVIDADES POR NIVEL Básico

21, 22, 51 y 57

Medio

52, 53 y 61 a 63

Alto

54, 55, 67, 70 y 72

Organiza tus ideas La esquematización de los contenidos de la unidad es de gran ayuda, sobre todo en unidades como esta, en las que aparecen fórmulas, puesto que se consigue tener todas en una hoja y elegir la necesaria en cada caso de un solo vistazo.

Sugerencias didácticas

Aunque el esquema de esta unidad es sencillo, se les puede orientar en su elaboración para que observen lo más importante pidiéndoles que:

Para construir la maqueta deberán recordar el concepto de escala tratado en la unidad 6. No les saldrán dimensiones decimales, ya que la escala es de 1 : 1000.

1. Distingan los dos tipos de figuras del espacio: poliedros y cuerpos redondos.

Como las Torres KIO son un ejemplo de prisma oblicuo, podemos preguntar a los alumnos si conocen algún otro edificio similar, es decir, “inclinado”. Si no es así, les diremos que lo busquen en la red, anotando su nombre, la forma de la base y la inclinación que tiene con respecto a la vertical.

2. Identifiquen los cinco poliedros regulares que existen. 3. Escriban los dos tipos de poliedros que existen, prismas y pirámides, hagan un dibujo de cada uno de ellos indicando sus elementos y escriban debajo la fórmula del volumen. 4. Repitan lo anterior con los cuerpos de revolución.

APRENDE A PENSAR: ARQUITECTURA Y GEOMETRÍA

5. Destaquen como casos especiales, dado que han sido el punto de partida para calcular el volumen de las demás figuras, el ortoedro y el cubo con las fórmulas correspondientes a cada uno de ellos.

Los edificios que aparecen en las imágenes corresponden a diferentes épocas y civilizaciones. De este modo, los alumnos percibirán que la geometría siempre ha estado presente en la arquitectura desde sus inicios.

También es interesante que en algún caso añadan fórmulas que relacionen los elementos de las figuras. Por ejemplo:

Pediremos a los alumnos que busquen edificios emblemáticos de diferentes épocas y culturas y los comparen entre sí, haciendo hincapié en las similitudes que hay entre las pirámides de Egipto y las mayas, a pesar de ser civilizaciones tan separadas. Así podrán intuir que las matemáticas siempre están “ahí”, simplemente hay que encontrarlas.

– Junto al volumen del cono se puede escribir la relación que existe entre la generatriz, la altura y el radio gracias al teorema de Pitágoras. – Junto al volumen de la pirámide pueden escribir las relaciones que existen entre la apotema de la base, la apotema de la pirámide y la altura de la misma. Conviene que los alumnos utilicen el esquema mientras resuelven los ejercicios. Así resulta más fácil encontrar la fórmula que necesitan y poco a poco las van aprendiendo.

La actividad 3 puede servir para realizar un debate sobre las “megaconstrucciones” que se están realizando en la actualidad y la competencia que hay entre las ciudades para tener el edifico más alto, sin importar su coste. COMPARA Y DECIDE: ELIGIENDO ENVASES

Actividades de ampliación Con estas actividades desarrollamos las competencias de aprender a aprender y de autonomía e iniciativa personal. Los alumnos deberán aplicar los contenidos del tema, decidiendo cuáles son los más apropiados para resolver cada una de las actividades. Asimismo, deberán elaborar sus propias estrategias para resolver los problemas, dado que estos no son guiados ni se ajustan a patrones preestablecidos que ya conozcan, lo que puede resultarles muy estimulante, aunque al comienzo les asuste un poco.

Para poder realizar esta actividad es preciso indicar a los alumnos que la superficie del desarrollo plano de los poliedros es el “área del poliedro”. Les pediremos que traigan al aula envases de la leche que consumen en sus casas. Seleccionaremos aquellos que tengan la misma capacidad y sean tetra briks. Los recortaremos para obtener su desarrollo plano y poder calcular de este modo la cantidad de material empleado para construir el envase. De este modo verán que es más económico aquel que tenga área menor. MODELIZA Y CONSTRUYE: GOLPEA EL ESFÉRICO

Pon a prueba tus competencias OBSERVA Y REALIZA: LAS TORRES KIO EN PAPEL Esta actividad está relacionada con la entrada de la unidad. En la fotografía pueden apreciarse otros dos edificios que configuran el skyline de la ciudad de Madrid. Los desarrollos planos que se han visto en la unidad han sido de prismas y pirámides rectos, fáciles de obtener. Con la construcción de la maqueta, los alumnos podrán apreciar que dos de las caras laterales de un prisma oblicuo son romboides.

Para realizar esta actividad podemos enseñar a los alumnos a construir polígonos regulares con GeoGebra, programa de libre distribución. De esta forma evitaremos el problema de la inexactitud de las construcciones con regla y compás. Otra forma de construir el icosaedro truncado es construir un icosaedro y cortarle las esquinas. Podemos utilizar la actividad 2 para establecer un debate y decidir cuál es el mejor balón de fútbol, el que tiene forma de icosaedro truncado o el que se utilizó en el Mundial de Sudáfrica 2010, que era casi esférico.

Cuerpos geométricos. Volúmenes

Unidad 14

9

Actividades de refuerzo Unidad 14

Cuerpos geométricos. Volúmenes

ORIENTACIONES METODOLÓGICAS Los alumnos deben distinguir entre figuras planas y figuras del espacio, y aprender correctamente sus nombres y sus elementos. Es importante que comprendan el concepto de volumen, utilicen adecuadamente sus unidades de medida y sepan cómo pasar de unas a otras. También deben aprender y utilizar las fórmulas que permiten calcular el volumen de cualquier figura geométrica. • Utilizar objetos cotidianos: folio, pizarra, lapicero, caja, trozo de cartón… para clasificar y nombrar figuras del espacio y figuras planas. • Tener en el aula los cuerpos geométricos en madera, plástico o cualquier otro material para que los alumnos puedan observar el tipo de caras que los forman, cuántas son, las diferencias entre unos y otros… • Proponer actividades que acostumbren al alumno a dibujar las figuras y representar en ellas sus elementos. • Utilizar el esquema de la unidad para resolver los ejercicios y problemas con el fin de que busquen las fórmulas y las aprendan poco a poco. • En la resolución de problemas, hacer esbozos y anotar los elementos conocidos y los que hay que obtener. • Plantear, mediante problemas, el cálculo del volumen de figuras que sean del entorno del alumno.

ACTIVIDAD DE GRUPO Los envases Organizar a los alumnos en grupos de tres y pedirles que lleven de casa algún envase que tenga una forma geométrica conocida: cajas de cereales, latas de refrescos, tetra briks… de tal manera que cada componente del grupo debe llevar un envase con una forma distinta. En el aula: • Cada grupo debe escribir en una hoja los envases que ha elegido y su forma geométrica. • Debajo del nombre harán un dibujo aproximado y anotarán en él las medidas de sus dimensiones: largo, ancho y alto, radio y altura… Para ello tendrán que realizar medidas directas sobre los envases. • Después calcularán el volumen de cada uno de ellos y comprobarán si coincide con el indicado en la caja o si al menos es aproximado. El inconveniente de la última comprobación es que en la mayoría de los casos, en los envases aparece el peso o el volumen, y es probable que estos alumnos no sepan bien cómo relacionar unas unidades con otras. Podemos ayudarles con un ejemplo o, si no nos parece adecuado para su nivel, simplemente calcular el volumen.

SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES PROPUESTAS 1.

2. a) 4 dm3

O C

V

E R T

I

T A

P

c) 9 dm3

3. Todas las figuras tienen 27 unidades de volumen salvo la c, que tiene 24.

I

4. Vcubo = l3 = 729 cm3

I

Vcilindro = Ab · h = 339,12 cm3

Z

1 · π · r2 · h = 2616,67 cm3 3

D

I

N

C

Vcono =

R

S

D

U

Vortoedro = Ab · h = 945 cm3

E M A

R

B A S E

Vprisma = Ab · h = 336 cm3

A P O T

A

C O N O

Vpirámide =

1 · Ab · h = 150 cm3 3

En el CD Banco de actividades se pueden encontrar más propuestas de actividades de refuerzo.

10

Unidad 14

d) 9 dm3

C E L

G E N E R A T R

b) 4 dm3

Cuerpos geométricos. Volúmenes

Más recursos en tu carpeta

ACTIVIDADES de REFUERZO

Cuerpos geométricos. Volúmenes

Unidad 14

1. Observa los dibujos. Encuentra las palabras que se refieren a las figuras completas o al elemento marcado con trazo más grueso. Coloca después una letra de esa palabra en cada recuadro. 8 letras

10 letras

4 letras

7 letras

6 letras

2. Halla el volumen de las figuras teniendo en cuenta que cada cubo equivale a 1 decímetro cúbico.

3. Encuentra la figura que tiene distinto volumen que el resto. b)

c)

d)

4. Las medidas de las siguientes figuras están dadas en centímetros. Ana y Juan calcularon su volumen en el folio que hay escrito al lado, pero ahora no saben cuál corresponde a cada una de ellas. Ayúdales y escribe debajo de cada figura su volumen correspondiente. CÁLCULOS V = l 3 = 729 cm3 25 12 V = Ab · h = 339,12 cm3 20 1 V = · · r 2 · h = 2616,67 cm3 9 3 6 V = Ab · h = 945 cm3 18 9 V = Ab · h = 336 cm3 15

7

6

14 8

5

V=

1 · A · h = 150 cm3 3 b

Cuerpos geométricos. Volúmenes

Unidad 14

Página fotocopiable

a)

11

Actividades de ampliación Unidad 14

Cuerpos geométricos. Volúmenes

ORIENTACIONES METODOLÓGICAS Estos alumnos han adquirido los conocimientos básicos de la geometría del espacio, por ello deben orientar estos conocimientos en la utilización de las fórmulas del volumen para fines distintos al de su propio cálculo, en la obtención del volumen de figuras que resultan de la composición de las formas básicas y en la resolución de problemas en los que el cálculo del volumen sea un paso intermedio para conseguir otros objetivos como son: • Calcular volúmenes de figuras obteniendo previamente alguno de los elementos de la fórmula. • Utilizar la fórmula del volumen para calcular alguna de las dimensiones de un cuerpo geométrico. • Resolver problemas relacionados con la vida cotidiana insistiendo en que hagan un dibujo aproximado, anotando los elementos conocidos y los desconocidos, y las fórmulas que los relacionan. • Obtener el volumen de una figura que resulte de la composición de otras más sencillas. • Resolver problemas en los que las fórmulas del volumen se utilicen con una finalidad distinta a la del cálculo del mismo.

ACTIVIDAD DE GRUPO Del plano al espacio: los hexaminós Se formarán grupos de tres o cuatro alumnos y se les darán las siguientes pautas: 1. Recordaremos que los poliminós son figuras formadas por cuadrados iguales unidos por sus lados de forma que al menos un lado de cada cuadrado coincida con el lado de otro cuadrado. Los triminós tienen tres cuadrados, los cuatriminós están formados por cuatro cuadrados, y así sucesivamente. 2. Les entregaremos una cuadrícula de un tamaño grande (1,5 × 1,5 cm sería ideal) y les pediremos que, de forma individual, intenten dibujar todos los hexaminós que sea posible. 3. Cuando hayan finalizado, les comunicaremos que hay 35 hexaminós diferentes, y en ese momento empezará la labor del grupo. 4. Entre los miembros del grupo deberán intercambiarse los dibujos obtenidos para ver cuáles son los que les faltan y completar la colección. 5. Cuando el grupo haya conseguido los 35 hexaminós, les pediremos que los dibujen todos juntos de un modo limpio y ordenado para poder realizar la actividad final. 6. Explicaremos que de esos 35 hexaminós, solo 11 corresponden al desarrollo de un cubo (si no manejan ese concepto, habrá que detenerse y aclararlo). Su trabajo entonces consistirá en encontrar esos 11 hexaminós, para lo cual les proporcionaremos cartulina, tijeras y cinta adhesiva, a fin de que los recorten y puedan tratar de formar los cubos.

SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES PROPUESTAS 1. 7 cm

17. 10 080 m3

2. 7 cm

18. 1391,15 cm3

3. a) La apotema del hexágono mide 4,33 cm.

19. VAZUL = x · y · z

a) El volumen del prisma es de 584,55 cm3.

VROJA = 1,5x · 1,5y · 0,5z = 1,125xyz

b) La altura del cono es de 10,43 cm.

Tiene más volumen la caja roja.

b) El volumen es de 133,79 cm3 4. La altura de la pirámide mide 34,58 cm. El volumen de la pirámide es de 4610,67 cm3. 5. Vprisma − Vcilindro = 131,73 cm3 de madera tiene la pieza. 6. Se necesitan 108 volúmenes, que son 3 enciclopedias y un tercio.

10. La pirámide de Keops mide 146,44 metros de altura y 230,12 metros de lado de la base. Vpirámide = 2 584 920,53 m3 de tierra Vcamión = 3,6 m3 2 584 920,53 : 3,6 = 718 033,48 Se necesitarán 718 034 camiones.

En el CD Banco de actividades se pueden encontrar más propuestas de actividades de ampliación.

12

Unidad 14

Cuerpos geométricos. Volúmenes

Más recursos en tu carpeta

ACTIVIDADES de AMPLIACIÓN Unidad 14

Cuerpos geométricos. Volúmenes

11. El volumen de un cubo es de 343 metros cúbicos. ¿Cuánto mide su lado? 12. Calcula la altura de un cilindro de 1,8 decímetros de diámetro sabiendo que su volumen es de 1780,38 centímetros cúbicos. 13. Halla el volumen de las siguientes figuras: a)

b) 9 cm

11 cm

h

5 cm

7 cm

14. Calcula el volumen de una pirámide cuadrangular sabiendo que el lado de la base mide 2 decímetros, y la apotema de la pirámide, 36 centímetros. 15. Los soportes de unas estanterías se sujetan al techo y al suelo mediante unas piezas de madera con forma de prisma cuadrangular de 10 centímetros de altura y 4 de lado de la base. En el centro del mismo hay un hueco de forma cilíndrica de 9 centímetros de altura y 2 de diámetro. ¿Qué cantidad de madera se necesita para hacer el soporte? 16. Una enciclopedia está formada por 25 volúmenes de 20 ⴛ 28,50 ⴛ 3,5 centímetros cada uno. ¿Cuántas enciclopedias se necesitarían para llenar una caja de 6 ⴛ 5,7 ⴛ 6,3 decímetros? ¿Cuántos volúmenes? 17. La figura siguiente representa la capilla de un castillo. Calcula el volumen que ocupa. 20 m 15 m 18 m

32 m

18. De un queso se ha cortado una cuña como se muestra en la figura. Calcula el volumen del trozo que ha quedado. 50° 10,5 cm 7 cm

19. David tiene dos cajas, una azul y otra roja. La caja azul es el doble de alta que la roja, pero la caja roja es una vez y media más ancha y más larga que la caja azul.

10. Trabajo de investigación. 1. Busca las dimensiones de alguna de las pirámides de Egipto. 2. Halla las toneladas de tierra que se necesitarían para construir una igual, pero maciza. Si se transportara la tierra en camiones con un remolque de 3 metros de largo, 1,5 de ancho y 0,8 de alto, ¿cuántos se necesitarían para construirla? Cuerpos geométricos. Volúmenes

Unidad 14

Página fotocopiable

¿Cuál de ellas tiene mayor capacidad?

13

PROPUESTA de EVALUACIÓN Unidad 14

Cuerpos geométricos. Volúmenes

APELLIDOS:

NOMBRE:

FECHA:

CURSO:

GRUPO:

1. Escribe el nombre de cada cuerpo geométrico y del elemento señalado con la a. a)

b) a

a

2. Dibuja las siguientes figuras geométricas y señala en ellas todos sus elementos. a) Pirámide pentagonal

b) Cilindro

3. Calcula el volumen de: a) Un prisma triangular, sabiendo que su base es un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 5 y 9 centímetros, y su altura, 12 centímetros. b) Un cubo de 7 decímetros de arista. c) Una pirámide cuadrangular cuya altura mide 18 centímetros, y el lado de la base, 6 centímetros. 4. Halla la altura de un ortoedro de 1800 centímetros cúbicos de volumen sabiendo que la medida del ancho y el largo del mismo es de 10 y 15 centímetros, respectivamente. 5. Calcula el volumen de los siguientes cuerpos geométricos. a)

b) 13 cm

14 cm

8 cm

7 cm

6. Halla el volumen de los siguientes cuerpos. a)

b) 9 cm 6 cm

5 cm 20 cm

5 cm

12 cm

7. El volumen de un cilindro es de 113,04 decímetros cúbicos, y el diámetro de la base mide 2 decímetros. ¿Cuánto mide su altura? Página fotocopiable

8. Calcula el volumen de un cono de 10 centímetros de diámetro y 13 centímetros de generatriz.

14

9. ¿Dónde caben más litros de agua, en un depósito cilíndrico de 5 metros de radio y 5 metros de altura, o en uno cúbico de 5 metros de arista? 10. Se quiere construir una caja con forma de prisma de base cuadrada. Su volumen debe ser de 6,75 metros cúbicos, y su altura, de 3 metros. Calcula cuánto debe medir el lado de la base Unidad 14

Cuerpos geométricos. Volúmenes

Propuesta de evaluación

Cuerpos geométricos. Volúmenes

Unidad 14

SOLUCIONES DE LA PROPUESTA DE EVALUACIÓN 1. a) Prisma hexagonal. La letra a es la altura.

b) Cono. La letra a es la generatriz.

Vértice

2. a)

Cara lateral

b) Altura

Altura

Bases

Radio

Base

3. a) V =

5·9 · 12 = 270 cm3 2

b) V = 73 = 343 dm3 1 c) V = · 62 · 18 = 216 cm3 3 4. V = a · b · h ⇒ h =

5. a) l =

72 72 cm ⇒ V = l2 · 13 = ⋅ 13 = 318,5 cm3 2 2

b) Apotemabase =

6. a) V =

82 − 42 = 6,93 cm

V =

1 6 · 8 · 6,93 · 14 = 77616 , cm3 · 2 3

1 · π · 52 · 6 = 157 cm3 3

b) Alturabase = 7. h =

V 1800 ⇒h = = 12 cm a·b 10 · 15

52 − 15 , 2 = 4,77

V =

(9 + 12) ⋅ 4,77 · 20 = 10017, cm

3

2

113,04 = 36 dm La altura mide 36 decímetros. π · 12

8. Por el teorema de Pitágoras: h = 132 − 52 = 12 cm 1 V = · π · 52 12 = 314 cm3 3 9. Vcilindro = π · 52 · 5 = 392,7 m3 Vcubo = 53 = 125 m3 Cabe más en el depósito cilíndrico. 10. Abase =

6,75 = 2,25 m3 ⇒ l = 3

2,25 = 15 , m Página fotocopiable

La base debe medir 1,5 metros.

Cuerpos geométricos. Volúmenes

Unidad 14

15