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Geometría Analítica Y Calculo

782 Ejercicios de opción múltiple Ing. Raúl Martínez

Geometría Analítica y Cálculo

1. Identifique la sentencia falsa: a) El punto (0 , 2) pertenece al eje 𝑦. b) El punto (4 , 0) pertenece al eje 𝑥. c) El punto (500 , 500) pertenece a la bisectriz de los cuadrantes impares. d) El (80 , −80) pertenece a la bisectriz de los cuadrantes pares. e) El punto

3 + 1 , 3 + 1 pertenece a la bisectriz de los cuadrantes pares.

2. La distancia entre los puntos 𝑀 4 , −5 y 𝑁 −1 , 7 del plano 𝑥𝑂𝑦 es: a) 14 d) 13 b) 12 e) 9 c) 8 3. La distancia entre los puntos 𝐴 2𝑎 , −3𝑎 y 𝐵(3 , 2) es 26. Se puede afirmar que los posibles valores de 𝑎 son: a) − 2 y b) c) d) e)

2

1− 2 y 1+ 2 −1 y 1 −2 y 2 −3 y 2

4. El punto del eje de las abscisas, equidistante de los puntos 𝑃(−2 , 2) y 𝑄(2 , 6) es: a) 𝐴 2 , 0 c) 𝐶 3 , 0 e) (0 , 4) b) 𝐵 5 , 0 d) 0 , 0 5. Las coordenadas del punto 𝑃, del eje 𝑂𝑦, que es equidistante de los puntos 𝑄(2 , 0) y 𝑅(4 , 2), son: 11 a) 0 , 5 e) 0 , 4 c) 0 , b)

0,

9 12

2

d) 0 , 0

6. Sea 𝑄 −1 , 𝑎 un punto del tercer cuadrante. El valor de 𝑎 para que la distancia del punto 𝑃 𝑎 , 1 al punto 𝑄 sea 2 es: e) −1 a) −1 − 2 c) 1 + 2 b) 1 − 2

d) −1 + 2

7. El triángulo cuyos vértices son los puntos 𝐴 1 , 3 , 𝐵 −2 , −1 y 𝐶 1 , −2 es: a) Equilátero. e) Rectángulo. b) Escaleno. c) Isósceles. d) Obtusángulo.

Cursillo Pi

2

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8. Sea 𝑃(𝑥 , 𝑦) un punto equidistante de los ejes coordenados y de distancia 1 al origen. Se puede afirmar que el número de puntos que satisfacen esas condiciones es: a) 1 d) 4 b) 2 e) 5 c) 3 9. Siendo 𝐴 4 , 5 , 𝐵(1 , 1) y 𝐶 𝑥 , 4 , el valor de 𝑥 para que el triángulo 𝐴𝐵𝐶 sea rectángulo en 𝐵 es: a) 3 d) −3 e) −2 b) 2 c) 0 10. Dados los puntos 𝐴(2 , 1) y 𝐵 6 , 5 , las coordenadas del punto medio del segmento 𝐴𝐵 son: a) 2 , 3 d) 3 , 2 b) 4 , 3 e) (−1 , 0) c) −2 , −3 11. Siendo 𝑀(2 , 1) el punto medio de 𝐴𝐵 y 𝐴 3 , 3 , las coordenadas de 𝐵 son: 5 a) 1 , −5 d) ,1 2 b) (−1 , −5) c)

1,

5 2

12. Si 2 , 1 , (3 , 3) y 6 , 2 son los puntos medios de los lados de un triángulo, ¿Cuáles son sus vértices? a) −1 , 2 , 5 , 0 , ( 7 , 4) b) 2 , 2 , 2 , 0 , 4 , 4 c) 3 , 1 , 1 , 1 , 3 , 5 d) 3 , 1 , 1 , 1 , 3 , 5 e) N. d. a. 13. La distancia del origen del sistema cartesiano al punto medio del segmento de extremos −2 , 7 y (−4 , 1) es: a) 5 b) 2 2 c) 2 3

d) 3 3 e) 3 2

14. En el plano cartesiano, los puntos (1 , 0) y (−1 , 0) son los vértices de un cuadrado cuyo centro es el origen. ¿Cuál es el área del cuadrado? a) 1 c) 3 e) 5 b) 2 d) 4

Cursillo Pi

3

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15. Observando la figura, se puede afirmar que la medida de la mediana 𝐴𝑀 es: a)

2

b) 2 3 c) 3 3

d) 2 2 e) 3 2

16. Los puntos 0 , 0 , (1 , 3) y 10 , 0 son tres vértices de un rectángulo. El cuarto vértice del rectángulo es el punto: a) 9 , −3 d) 8 , −2 b) 9 , −2 e) (8 , −1) c) 9 , −1 17. Un lado de un paralelogramo tiene como extremos los puntos 𝐴 −3 , 5 y 𝐵(1 , 7). Se sabe que 𝑃(1 , 1) es el punto medio de las diagonales. Los otros vértices son los puntos: a) 4 , −1 y 1 , −5 b) 5 , −2 y 1 , −5 c) 5 , −3 y 2 , −5 d) 5 , −3 y 1 , −5 e) N. d. a. 18. Dados los puntos 𝐴(1 , 2) y 𝐵 3 , 0 , el segmento 𝐴𝐵 es prolongado, en sentido de 𝐴 hacia 𝐵, hasta el punto 𝐶, tal que 𝐴𝐶 = 3𝐴𝐵 . La suma de las coordenadas del punto 𝐶 es: a) 11 c) 4 e) −11 b) 7 d) 3 19. La ecuación de la recta sostén del segmento 𝐴𝐵 , donde 𝐴(7 , 11) y 𝐵 15 , −1 , es: a) 2𝑦 − 3𝑥 − 24 = 0 b) 3𝑦 − 2𝑥 + 17 = 0 c) 3𝑦 − 2𝑥 + 7 = 0 d) 2𝑦 + 3𝑥 − 43 = 0 20. El valor de 𝑥 para que los puntos 𝐴 𝑥 , 3 , 𝐵(−2 , −5) y 𝐶(−1 , −3) sean colineales es : a) −1 d) 3 b) 1 e) 4 c) 2 21. La ecuación de la recta que pasa por el punto (1 , 1) y forma un triángulo isósceles con los ejes coordenados es: a) 𝑥 + 𝑦 − 2 = 0 b) 𝑥 + 2𝑦 = 0 c) 2𝑥 − 𝑦 − 1 = 0 d) 2𝑥 − 2𝑦 − 3 = 0 e) 2𝑥 + 2𝑦 − 1 = 0

Cursillo Pi

4

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22. El triángulo 𝐴𝐵𝐶 tiene vértices 𝐴 0 , 0 , 𝐵 − pasa por 𝐴 y por el punto medio de 𝐵𝐶 es: a) 𝑥 = 0 b) 𝑦 = 0 5 c) 𝑦 = 𝑥 3

3 3 , 5 5

3 3 , . La ecuación de la recta que 5 5

y 𝐶 3 5

d) 𝑦 = 𝑥 3 5

e) 𝑦 = − 𝑥

23. Si el punto 𝑃 −1 , 2 es uno de los vértices de un cuadrado y 2𝑥 − 3𝑦 + 6 = 0 es la ecuación de la recta sostén de una de sus diagonales, la ecuación de la recta sostén de la otra diagonal es: a) 3𝑥 − 2𝑦 − 2 = 0 b) 3𝑥 + 2𝑦 − 1 = 0 c) 3𝑥 − 2𝑦 + 1 = 0 d) 3𝑥 + 2𝑦 + 1 = 0 e) 3𝑥 − 2𝑦 + 2 = 0 24. Los vértices de un triángulo 𝐴𝐵𝐶 son 𝐴 2 , 5 , 𝐵(4 , 7) y 𝐶(−3 , 6). El baricentro de ese triángulo tiene como coordenadas: 3 a) 3 , 6 d) ,9 2 b) 1 , 6 e) (9 , 3) 1 11 c) − , 2

2

25. La ecuación de la recta que pasa por el origen y forma con el semieje positivo de las 𝑥 un ángulo de a)

𝜋

4

rad es: d) 𝑥 − 2𝑦 = 0 e) 𝑥 − 𝑦 = 0

2𝑥 − 2𝑦 = 0

b) 2𝑥 − 2𝑦 = 0 c) 𝑥 − 2𝑦 = 0 26. La ecuación de la recta de pendiente 𝑚 = − a) 4𝑥 + 5𝑦 + 12 = 0 b) 4𝑥 + 5𝑦 + 14 = 0 c) 4𝑥 + 5𝑦 + 15 = 0 27. Si

𝑥 𝑎

+

𝑦 𝑏

d) 4𝑥 + 5𝑦 + 17 = 0 e) N. d. a.

= 1 y 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0 son rectas paralelas, entonces se puede afirmar que:

a) 𝐴𝑎 − 𝐵𝑏 = 0 b) 𝐴𝑎 = 𝐵𝑏 = 0 c) 𝐴𝑏 + 𝐵𝑎 = 0

Cursillo Pi

4 que pasa por el punto 𝑃(2 , −5) es: 5

d) 𝐴𝑏 − 𝐵𝑎 = 0 e) 𝐵𝑏 − 𝐴𝑏 = 0

5

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28. Si 2 , 3 es el punto medio de un segmento comprendido entre los dos ejes coordenados, entonces la pendiente de la recta que contiene ese segmento es: 3 2 2 b) − 3 2

a) −

c)

d) e)

3 2 1 2

3

29. La relación entre 𝑚 y 𝑛, para que las rectas de ecuaciones 2𝑥 − 𝑚𝑦 + 1 = 0 y 𝑛𝑥 + 3𝑦 + 5 = 0 sean paralelas, es: 𝑚 3 d) 𝑚 𝑛 = −6 a) = 𝑛 2 e) 𝑚 𝑛 = 6 𝑚 2 b) =− c)

𝑛 𝑚 𝑛

=

2

3

3

30. Las rectas 𝑟 𝑥 + 2𝑦 = 5 y 𝑠 4𝑥 + 𝑘𝑦 = 5 son paralelas si: a) 𝑘 = 8 d) 𝑘 = 5 b) 𝑘 = 7 e) 𝑘 = 4 c) 𝑘 = 6 31. La ecuación de la recta que pasa por el punto 𝑃(2 , −3) y es paralela a la recta que pasa por los puntos 𝐴(4 , 1) y 𝐵(−2 , 2) es: a) 𝑥 − 6𝑦 + 16 = 0 d) 2𝑥 + 6𝑦 + 16 = 0 b) 𝑥 + 6𝑦 − 16 = 0 e) 𝑥 + 6𝑦 + 16 = 0 c) 𝑥 − 6𝑦 − 16 = 0 32. Sea la recta 𝑟 de ecuación 2𝑥 − 3𝑦 − 5 = 0. La ecuación de la recta 𝑠, paralela a 𝑟, que contiene a 𝑃(1 , −2) es: a) 2𝑥 − 3𝑦 − 1 = 0 d) 3𝑥 + 2𝑦 + 1 = 0 b) 2𝑥 − 3𝑦 − 8 = 0 e) 2𝑥 + 3𝑦 + 4 = 0 c) 3𝑥 − 2𝑦 − 7 = 0 33. La ecuación de la recta 𝑟//𝑠 es: a) 𝑦 = −

3 𝑥−2 3

d) 𝑦 = 3𝑥 − 2 e) 𝑦 = −2𝑥 −

b) 𝑦 = − 3𝑥 − 2 c) 𝑦 =

Cursillo Pi

3 3

3 𝑥−2 3

6

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34. La ecuación de la recta que pasa por el origen y es paralela a la recta determinada por los puntos 𝐴(4 , 3) y 𝐵(5 , 6) es: a) 𝑥 = 3𝑦 b) 𝑦 = 5𝑥 + 6 c) 𝑦 = 3𝑥 d) 𝑦 = 4𝑥 − 3 e) N. d. a. 35. Las ecuaciones paramétricas de una recta son 𝑥 = 2𝑡 − 1 e 𝑦 = 3𝑡 + 2, donde 𝑡 ∈ 𝑅. Las intersecciones de esa recta con los ejes de las coordenadas son los puntos: a) −3 , 0 y 0 , 2 b) c)

1 1 ,0 y 0 ,− 3 2 7 7 ,0 y 0 ,− 3 2

d) −7 , 0 e)

−

y 0,7

7 7 ,0 y 0 , 3 2

36. Siendo 𝐴 −1 , −3 , 𝐵 1 , 2 , 𝐶 −1 , 3 interacción de las rectas 𝐴𝐵 y 𝐶𝐷 . a) 0 , 0 b)

11 23 , 9 9

c)

1 ,1

y 𝐷 4 , 2 , determine las coordenadas del punto 𝑀, d) 1 , 2 e)

4 3 , 3 5

37. Los valores de 𝑘,para los cuales las rectas 𝑥 + 2𝑦 − 2𝑘 = 0, 𝑘𝑥 − 𝑦 − 3 = 0 y 2𝑥 − 2𝑦 − 𝑘 = 0 son concurrentes en un mismo punto , son: a) −2 y 3/2 d) 2 y −3/2 1 e) 1/2 y 3/2 b) y 3 2

c) 2 y 3/2 38. Sea 𝑀 el punto de intersección de las rectas de ecuaciones 𝑥 − 𝑦 − 6 = 0. La ecuación de la recta paralela al eje de abscisas, que pasa por 𝑀, es: a) 𝑥 − 2𝑦 = 10 d) 𝑦 = −4 b) 𝑦 = 2 e) 𝑥 = 2 c) 𝑥 = −4 39. La recta que pasa por el origen y por la intersección de las rectas 𝑥 − 3𝑦 + 11 = 0 tiene la siguiente ecuación: a) 𝑦 = 2𝑥 d) 𝑦 = 5𝑥 b) 𝑦 = 3𝑥 e) 𝑦 = 6𝑥 c) 𝑦 = 4𝑥 Cursillo Pi

7

2𝑥 + 𝑦 − 6 = 0

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y

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40. Dos rectas 𝑟 y 𝑠 son perpendiculares. Entonces sus pendientes son: a) Iguales. b) Opuestas. c) Nulas. d) Inversas. e) Inversas y de signo cambiado. 41. En el sistema de coordenadas cartesianas ortogonales, la ecuación de la recta que pasa por el punto 𝐴(3 , 4) y es perpendicular a la recta 2𝑦 + 3𝑥 − 5 = 0 es: a) 𝑦 = 2𝑥 + 2 d) 2𝑥 + 3𝑦 + 6 = 0 b) 5𝑦 − 3𝑥 + 6 = 0 e) 5𝑥 − 3𝑦 + 8 = 0 c) 3𝑦 = 2𝑥 + 6 42. La recta h pasa por el punto 𝑃(1 , 0) y es perpendicular a la rectas dada por 𝑦 = 2𝑥 + 3. Si el punto 𝑄(𝑎 , 4) pertenece a la recta 𝑟, entonces 𝑎 vale: a) 0 c) −7 e) 3 d) 7 b) −3 43. La ecuación de la recta perpendicular a la recta de ecuación 2𝑥 + 3𝑦 − 6 = 0 , en el punto en que ésta interseca al eje de abscisas, es: 3 𝑥−3 2 3 b) 𝑦 − 3 = 𝑥 2 2 c) 𝑦 = 𝑥 − 3 3

a) 𝑦 =

2 3

d) 𝑦 − 3 = 𝑥 2 3

e) 𝑦 = − (𝑥 − 3)

44. La ecuación de la recta mediatriz del segmento cuyos extremos son 𝐴(2 , 1) y 𝑅(6 , 3) es: a) 𝑦 = 3𝑥 − 10 d) 𝑦 = 2𝑥 − 6 b) 𝑦 = −2𝑥 + 10 e) 𝑦 = 𝑥 − 2 c) 𝑦 = −𝑥 + 6 45. Los vértices de un triángulo son los puntos 𝐴 −1 , 2 , 𝐵(5 , 1) y 𝐶(3 , 6). El coeficiente lineal de la recta que pasa por 𝐶 y por el ortocentro del triángulo es: a) −24 d) −6 b) −12 e) 6 c) −10 46. Las rectas 4𝑥 + 6𝑦 − 5 = 0 y 14𝑥 + 30𝑦 + 2 = 0 se intersecan en un punto 𝑀. La recta que pasa por 𝑀 y es perpendicular a la recta de ecuación 12𝑥 − 5𝑦 + 1 = 0 es: a) 5𝑥 + 12𝑦 − 2 = 0 d) 10𝑥 + 24𝑦 + 7 = 0 b) 5𝑥 + 12𝑦 + 8 = 0 e) N. d. a. c) 10𝑥 + 24𝑦 = 0 Cursillo Pi

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47. La recta 𝑟, perpendicular a la recta 𝑠, tiene como ecuación: 2 5 2 3 e) 𝑦 = 𝑥 + 5 5

5 2

d) 𝑦 = 𝑥 + 1

a) 𝑦 = − 𝑥 + 1 5 2

b) 𝑦 = 𝑥 + 1 2 5

c) 𝑦 = − 𝑥 + 1 48. El simétrico del punto −1 , 1 en relación a la recta de ecuación 𝑦 = 2𝑥 es el punto: 7 1 a) −7 , 1 d) ,− b)

1 7 − , 5 5

c)

−

5

e)

5

7 , −1

7 1 , 5 5

49. La ecuación de la recta que pasa por los centros de las circunferencias 𝑥 2 + 𝑦 2 − 4𝑥 = 0 y 𝑥 2 + 𝑦 2 − 6𝑦 = 0 es: a) 2𝑥 − 3𝑦 + 6 = 0 d) 2𝑥 − 𝑦 + 6 = 0 b) 3𝑥 + 2𝑦 − 6 = 0

e) 𝑥 − 3𝑦 + 6 = 0

c) 3𝑥 + 𝑦 − 6 = 0 50. La ecuación de la circunferencia de radio igual a 5, concéntrica a la circunferencia 𝑥 2 + 𝑦 2 − 4𝑥 − 2𝑦 + 3 = 0, es: a) 𝑥 2 + 𝑦 2 + 4𝑥 − 𝑦 − 20 = 0 d) 𝑥 2 + 𝑦 2 − 4𝑥 − 2𝑦 − 20 = 0 b) 𝑥 2 + 𝑦 2 − 4𝑥 − 2𝑦 − 15 = 0

e) 𝑥 2 + 𝑦 2 − 2𝑥 + 𝑦 − 15 = 0

c) 𝑥 2 + 𝑦 2 + 4𝑥 + 𝑦 + 20 = 0 51. ¿Cuál es la ecuación de la circunferencia que pasa por el origen y tiene el punto 𝐶 −1 , −5 como centro? a) 𝑥 2 + 𝑦 2 + 2𝑥 + 10𝑦 = 0 d) 𝑥 2 + 𝑦 2 + 2𝑥 + 10𝑦 + 2 = 0 b) 𝑥 2 + 𝑦 2 − 2𝑥 − 10𝑦 = 0

e) N. d. a.

c) 𝑥 2 + 𝑦 2 − 26 = 0 52. El punto simétrico de 𝐴(1 , 1) en relación a la recta de ecuación 𝑥 + 𝑦 + 1 = 0 es: a) −2 , −2 d) 3 , 3 b) −1 , −1 c)

e) (−3 , −3)

0 ,0

Cursillo Pi

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53. Los ángulos formados por las rectas dadas por 3𝑥 − 𝑦 − 10 = 0 y 0𝑥 + 𝑦 − 6 = 0 son: a) 60° y 120° d) 135° y 45° b) 30° y 150°

e) 90°

y 90°

c) 0° y 180° 54. ¿Cuál es la distancia del origen a la recta de ecuación 𝑦 = −𝑥 + 2? a) 1 d) 2 e) 3 b) 2 3

c)

55. La distancia del punto 𝐴(3 , 2) a la recta 𝑦 = 𝑥 + 2 es: a)

3 2

3 2 2 9 e) 2

d)

b) 2 3 c) 6

56. Las rectas de ecuaciones 𝑟: 𝑥 + +3𝑦 = 5 y 𝑠: 𝑥 + 3𝑦 = 0 son paralelas. Las distancia entre ellas es: 9 2 8

d)

10

3 3 b) 4 3 c) 2

e)

10 2

a)

57. El área de un triángulo es

25 2

y sus vértices son 𝐴 0 , 1 , 𝐵(2 , 4) y 𝐶(−7 , 𝑘). El valor de 𝑘

puede ser: a) 3

d) 4

b) 2,5

e) 5

c) 2 58. Sean 𝑦 = 𝑥 , 𝑥 − 2𝑦 = 2 e 𝑦 = 0 las ecuaciones de las rectas sostén de los lados de un triángulo. El área del triángulo es: 1 d) 4 a) 2 e) 8 b) 1 c) 2

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59. La recta 𝑟 del plano cartesiano, de ecuación 3𝑥 + 4𝑦 − 𝑚 = 0, determinar con los ejes 𝑥 e 𝑦 3

un triángulo de área igual a . Se puede concluir que: 8

5 a) 𝑚 = 2

b) 𝑚 = −

7 3

c) 𝑚2 = 18 d) 𝑚2 = 9 e) N. d. a. 60. Sean 𝐴 y 𝐵 los puntos donde la recta𝑟: 𝑥 + 𝑦 + 2 = 0interseca a los ejes. Por el punto 𝑃(3 , 4) se traza la recta 𝑝 perpendicular a la recta 𝑟. Siendo 𝐶 el punto donde la recta la recta 𝑝 interseca al eje 𝑦, entonces el área del triángulo 𝐴𝐵𝐶 es: a) 1 d) 4 b) 2 e) 5 c) 3 61. La ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos 𝐴(3 , 3) y 𝐵(−1 , 3) y cuyo centro está en el eje de las abscisas es: a) 𝑥 2 + 𝑦 2 − 2𝑥 = 12 d) 𝑥 2 + 𝑦 2 + 4𝑥 = 46 b) 𝑥 2 + 𝑦 2 − 2𝑦 = 10 c)

𝑥−1

2

e) 𝑥 2 + 𝑦 2 = 1

+ 𝑦 2 = 25

62. Sean 𝑀(7 , −2) y 𝑁(5 , 4). Si 𝐶1 es una circunferencia que tiene el segmento 𝑀𝑁 como un diámetro, entonces la ecuación de 𝐶1 es: a) 𝑥 2 + 𝑦 2 − 12𝑥 − 2𝑦 + 27 = 0 b) 𝑥 2 + 𝑦 2 + 12𝑥 − 2𝑦 + 27 = 0 c) 𝑥 2 + 𝑦 2 + 12𝑥 + 2𝑦 + 27 = 0 d) 𝑥 2 + 𝑦 2 − 12𝑥 + 2𝑦 + 27 = 0 e) 𝑥 2 + 𝑦 2 + 12𝑥 + 2𝑦 − 27 = 0 63. La ecuación de una circunferencia de radio 4, tangente al eje de las 𝑦 en el origen, es: a) 𝑥 2 + 𝑦 2 − 8𝑦 = 0 d) 𝑥 2 + 𝑦 2 + 8𝑥 = 0 b) 𝑥 2 + 𝑦 2 + 8𝑦 = 0

e) 𝑥 2 − 𝑦 2 + 8𝑥 = 0

c) 𝑥 2 − 𝑦 2 − 8𝑥 = 0

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64. El mayor valor entero de 𝑘, para que la ecuación 𝑥 2 + 𝑦 2 + 4𝑥 − 6𝑦 + 𝑘 = 0 represente una circunferencia, es: a) 10 d) 16 b) 12 e) 15 c) 13 65. El valor de 𝑘 que transforma la ecuación𝑥 2 + 𝑦 2 − 88𝑥 + 10𝑦 + 𝑘 = 0 en la ecuación de una circunferencia de radio igual a 7 es: a) −4 d) 7 b) −8

e) −5

c) 5 66. El punto 𝑃(−3 , 𝑏) pertenece a la circunferencia de centro 𝐶(0 , 3) y radio 𝑟 = 5. ¿Cuáles son los valores de 𝑏? a) −14 y 20 d) −7 y 1 b) −20 y 14

e) 7 y −1

c) 8 y 2 67. Dados la circunferencia de ecuación 𝑥 2 + 𝑦 2 + 4𝑥 − 6𝑦 − 12 = 0 y el punto 𝐴 𝑝 , −1 , se puede afirmar que el valor de 𝑝, para que el origen de los ejes estén alineados, es: a) − b)

3 2

c) −

3 2

d)

2 3

e) N. d. a. 2 3

68. La circunferencia de centro 𝐶(3 , 5) y tangente al eje de las 𝑥 interseca al eje de las 𝑦: a) En el punto (0 , 3) b) En el punto 0 , 5 c) En los puntos 0 , 1 y 0 , 9 d) En los puntos 0 , 3 y 0 , −3 e) En el origen. 69. Los puntos de intersección de las rectas 𝑥 − 𝑦 = 0, 𝑥 + 𝑦 = 4 y 𝑥 = 4, tomados dos a dos, son vértices de un triángulo. El radio de la circunferencia circunscripta al triángulo mide: a) 6 d) 4 b) 0 e) 2 c) 8

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70. La ecuación de la circunferencia de radio 𝑟 = 2 y que corta al eje de las 𝑦 en los puntos 𝑃 0 , −1 y 𝑄 0 , 2 , que tiene coordenadas del centro positivas, es: a) 𝑥 2 + 𝑦 2 = 4 b) 𝑥 − 1 2 + 𝑦 − 2 2 = 2 c) 2𝑥 2 + 2𝑦 2 − 2 7𝑥 − 4𝑦 − 1 = 0 d) 2𝑥 2 + 2𝑦 2 − 4 7𝑥 − 8𝑦 − 2 = 0 e) N. d. a. 71. El segmento de extremos 𝑃(2 , 8) y 𝑄(4 , 0) es el diámetro de una circunferencia cuya ecuación es: a) 𝑥 + 13 2 + 𝑦 2 = 289 b) 𝑥 + 5 2 + 𝑦 − 2 2 = 85 c) 𝑥 + 1 2 + 𝑦 − 3 2 = 34 d) 𝑥 − 3 2 + 𝑦 − 4 2 = 17 e) 𝑥 − 7 2 + 𝑦 − 5 2 = 34 72. ¿Cuál debe ser el valor de 𝑚 para que la circunferencia de ecuacion 𝑥 2 + 𝑦 2 + 4𝑥 − 𝑚𝑦 − 6 = 0 pase por el punto 𝑃(0 , 1)? a) 𝑚 = 5 b) 𝑚 = −5 c) 𝑚 = 2 d) 𝑚 = −2 e) 𝑚 = 0 73. La recta de ecuación 𝑦 =

3 𝑥 es tangente a una circunferencia de centro 𝐶(2 , 0). ¿Cuál es el 3

radio de la circunferencia? a) 3 b) 2 c)

d) 1 e) 1/2

3

74. La ecuación de la circunferencia que pasa por 𝐴(6 , 0) y es tangente a la recta 𝑥 + 𝑦 = 0 en el origen es: a) 𝑥 − 3 2 + 𝑦 + 3 2 = 18 b) 𝑥 + 3 2 + 𝑦 − 3 2 = 18 c) 𝑥 − 3 2 + 𝑦 + 3 2 = 18 e) N. d. a 75. La recta que pasa por el centro de la circunferencia de ecuación 𝑥 2 + 𝑦 2 − 4𝑥 − 4𝑦 − 4 = 0 y es paralela a la recta de ecuación 2𝑥 + 3𝑦 = 0 es: a) 3 𝑥 − 2 + 2 𝑦 − 2 = 0 b) 2 𝑥 − 2 − 3 𝑦 − 2 = 0 c) 2𝑥 + 3𝑦 = −4 d) 3 𝑥 − 2 − 2 𝑦 − 2 = 0 e) 3 𝑥 − 2 + 3 𝑦 − 2 = 0 Cursillo Pi

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76. La ecuación de la recta que pasa por el centro de la circunferencia de ecuación 𝑥 2 + 𝑦 2 − 2𝑥 + 4𝑦 − 4 = 0 y es perpendicular a la recta de ecuación 3𝑥 − 2𝑦 + 7 = 0 es: a) 2𝑥 + 3𝑦 + 4 = 0 b) 3𝑥 + 2𝑦 + 1 = 0 c) 5𝑥 + 6𝑦 + 7 = 0 d) 3𝑥 − 2𝑦 − 7 = 0 e) 2𝑥 − 3𝑦 − 8 = 0 77. La circunferencia de ecuación 𝑥 2 + 𝑦 2 + 4𝑥 − 2𝑦 + 𝑘 = 0 es tangente a la recta de ecuación 𝑥 = 3. El valor de 𝑘 es: a) −80 d) 1 b) −20 e) 3 c) 0 78. La circunferencia de centro 𝐶(4 , 4) y que es tangente a la recta 𝑥 − 𝑦 + 4 = 0 tiene ecuación: a) 𝑥 2 + 𝑦 2 − 8𝑥 − 8𝑦 + 24 = 0 b) 𝑥 2 + 𝑦 2 − 8𝑥 − 8𝑦 − 24 = 0 c) 𝑥 2 + 𝑦 2 − 8𝑥 − 8𝑦 − 8 = 0 d) 𝑥 2 + 𝑦 2 − 8𝑥 − 8𝑦 + 40 = 0 e) N. d. a. 79. Los valores de 𝑚, para los cuales la recta de ecuación 𝑥 + 𝑦 + 𝑚 = 0 es tangente a la circunferencia de ecuación 𝑥 2 + 𝑦 2 = 25, son: a) 4 ó 7 b) 3 ó 4 c) −5 ó 5 d) −5 2 ó 5 2 e) −10 ó 10 80. Una de las rectas paralelas a la recta 𝑟: 3𝑥 − 4𝑦 = 0 y tangente a la circunferencia de ecuación 𝑥 − 5 2 + 𝑦 − 1 2 = 4 tiene por ecuación: a) 3𝑥 − 4𝑦 − 20 = 0 b) 3𝑥 − 4𝑦 − 21 = 0 c) 3𝑥 − 4𝑦 − 22 = 0 d) 3𝑥 − 4𝑦 − 23 = 0 e) 3𝑥 − 4𝑦 − 24 = 0 81. Se dan la recta 𝑟, de ecuación 𝑥 − 3𝑦 + 2 = 0, y la circunferencia 𝜆, de ecuación 2 2 𝑥 + 𝑦 + 2𝑥 − 6𝑦 + 1 = 0. La ecuación de la recta perpendicular a 𝑟, que pasa por el centro de 𝜆 es: a) 𝑦 = −3𝑥 d) 𝑦 = 3𝑥 − 6 b) 𝑦 = 3𝑥 e) 𝑦 = −3𝑥 + 6 c) 𝑦 = −3𝑥 − 6 Cursillo Pi

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82. La ecuación de la circunferencia que pasa por el origen, tiene centro con abscisa positiva sobre la recta 𝑦 = 2 y es tangente a la recta 𝑥 + 𝑦 − 8 = 0 es: a) 𝑥 2 + 𝑦 2 + 4𝑥 − 4𝑦 = 0 d) 𝑥 2 + 𝑦 2 + 2𝑥 − 4𝑦 = 0 b) 𝑥 2 + 𝑦 2 − 2𝑥 + 4𝑦 = 0 e) 𝑥 2 + 𝑦 2 + 2𝑥 + 4𝑦 = 0 c) 𝑥 2 + 𝑦 2 − 4𝑥 − 4𝑦 = 0

83. La ecuación de la recta tangente a la circunferencia 𝑥 − 3 2 + 𝑦 − 2 𝑃(6 , 6) es: a) 3𝑦 − 4𝑥 + 6 = 0 d) 4𝑦 − 3𝑥 − 6 = 0 b) 4𝑦 + 3𝑥 − 42 = 0 e) 3𝑦 + 4𝑥 − 42 = 0 c) 4𝑦 + 3𝑥 − 6 = 0

2

= 25 en el punto

84. Son dadas la recta 𝑟, de ecuación 𝑥 − 2𝑦 + 3 = 0, y la circunferencia 𝜆, de ecuación de la recta trazada por el centro de 𝜆 y perpendicular a 𝑟 es: a) 2𝑥 − 𝑦 + 3 = 0 d) 2𝑥 + 𝑦 − 3 = 0 b) 2𝑥 − 𝑦 − 3 = 0 e) 2𝑥 + 𝑦 = 0 c) 2𝑥 − 𝑦 = 0 85. La recta de ecuación 𝑥 + 𝑦 = 0 y la circunferencia de ecuación 𝑥 2 + 𝑦 2 − 2𝑥 − 2𝑦 + 1 = 0: a) No se intersecan. b) Son tangentes. c) Son secantes. d) Ambas pasan por (0 , 0). e) N. d. a. 86. Sean la recta 𝑟 de ecuación𝑥 − 𝑦 − 1 = 0y𝜆la circunferencia de ecuación 𝑥 − 3 𝑦 + 1 2 = 9. La longitud de la cuerda determinada por la intersección de 𝑟 y 𝜆 es: a) 3 d) 9 e) 9 2 b) 10

2

+

c) 3 2 87. Las circunferencias de ecuaciones 𝐶1 : 𝑥 2 + 𝑦 2 − 4𝑥 + 3 = 0 y 𝐶2 : 𝑥 2 + 𝑦 2 − 8𝑥 + 12 = 0 son: a) Exteriores. d) Concéntricas. b) Tangentes exteriores.

e) Secantes

c) Tangentes interiores.

Cursillo Pi

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88. La ecuación del conjunto de puntos equidistantes de la recta 𝑦 = −3 del punto 𝐹(0 , 3) es: a) 𝑥 2 = 𝑦 d) 𝑥 2 = 6𝑦 b) 𝑥 2 =

𝑦 2

e) 𝑥 2 = 12𝑦

c) 𝑥 2 = 4𝑦 89. La parábola de ecuación 𝑦 = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 pasa por los puntos 1 , 0 , (2 , 5) y entonces el valor de 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 es: a) 6 d) 5 b) 0 e) 4 c) 2

−4 , 5 :

90. La parábola, cuyo eje de simetría es 𝑂𝑦 y que pasa por los puntos de intersección de la recta 𝑥 + 𝑦 = 0 con la circunferencia de ecuación 𝑥 2 + 𝑦 2 + 8𝑦 = 0, tiene por ecuación: 1 4

a) 𝑦 = 𝑥 2 + b) 𝑦 = 4𝑥 2

1 8

1 4

d) 𝑦 = 𝑥 2 e) N. d. a.

1 c) 𝑦 = − 𝑥 2 4

91. ¿Cuál es la distancia del origen del sistema cartesiano al vértice 𝑉 de la parábola de ecuación 𝑥 2 − 6𝑥 + 10 = 0? a) 10 b) 10 c) 2 10

d) 5 e) N. d. a.

92. La recta ℓ pasa por el vértice de la parábola de ecuación 𝑦 = 4𝑥 − 𝑥 2 e interseca al eje de 𝑥 en el punto de abscisa 5. La ecuación de la recta ℓ es: 4 3

20 3 5 25 d) 𝑦 = 𝑥 − 2 2

5 2

25 2 4 20 b) 𝑦 = 𝑥 − 3 3

c) 𝑦 = − 𝑥 +

a) 𝑦 = − 𝑥 +

93. En un sistema de coordenadas cartesianas ortogonales, la ecuación 𝑥 2 + 4𝑦 2 = 4 representa: a) Una circunferencia con centro en el origen. b) Una parábola con vértice en el origen. c) Una circunferencia de radio igual a 2. d) Una elipse cuyo eje mayor es el doble del eje menor. e) Una elipse cuyo eje mayor es el cuádruplo del eje menor.

Cursillo Pi

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94. Un punto 𝑃 de la elipse

𝑥2 9

+

𝑦2 4

= 1dista 2 de uno de los focos. ¿Cuál es la distancia de 𝑃 al

otro foco de la elipse? a) 2

d) 5

b) 3

e) 7

c) 4

95. El eje menor de la elipse de ecuación 5𝑥 2 + 2𝑦 2 = 20 tiene una longitud igual a: 10 a) 2 d) 2 b) 4 e) 2 5 c) 10 96. La ecuación de la elipse que pasa por los puntos 2 , 0 , (−2 , 0) y (0 , 1) es: a) 𝑥 2 + 4𝑦 2 = 4 d) 𝑥 2 − 4𝑦 2 = 4 𝑦2 e) 𝑥 2 + 𝑦 2 = 4 b) 𝑥 2 + = 1 4

c) 2𝑥 2 − 4𝑦 2 = 1 97. La ecuación de la circunferencia con centro en el origen y cuyo radio es igual al semieje menor de la elipse de ecuación 𝑥 2 + 4𝑦 2 = 4 menor de la elipse de ecuación 𝑥 2 + 4𝑦 2 = 4 es: d) 𝑥 2 + 𝑦 2 = 1 a) 𝑥 2 + 𝑦 2 = 2 e) N. d. a. b) 𝑥 2 + 𝑦 2 = 16 2 2 c) 𝑥 + 𝑦 = 4 98. La recta que pasa por los puntos de intersección de la parábola 𝑦 = 𝑥 2 con la elipse 𝑥−2 2 4

+

𝑦2 16

= 1 es:

a) 𝑦 = −𝑥 b) 𝑦 = 2𝑥 + 1 c) 𝑦 = 2𝑥

d) 𝑦 = 3𝑥 e) N. d. a.

99. Una elipse tiene focos 𝐹1 (8 , 0) y 𝐹2 (−8 , 0)y vértices𝑉1 (10 , 0) y 𝑉2 (−10 , 0). Sabiendo que 𝐵 −5 , 𝑦 es un punto de la elipse, ¿Cuál es el área del triángulo 𝐵𝐹1 𝐹2 ? d) 24 a) 12 3 e) N. d. a. b) 12 c) 24 3

Cursillo Pi

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100. Dada la elipse de ecuación 25𝑥 2 + 9𝑦 2 − 90𝑦 = 0, señale la alternativa que indica correctamente las coordenadas del centro, de los focos, las medidas del eje mayor y menor y la distancia focal, respectivamente: a) 𝐶 0 , 0 , 𝐹1 0 , −4 , 𝐹2 0 , 4 , 10 , 6 , 8 b) 𝐶 0 , 5 , 𝐹1 0 , 1 , 𝐹2 0 , 5 , 4 , 8 ,6 c) 𝐶 0 , 3 , 𝐹1 1 , 0 , 𝐹2 5 , 0 , 10 , 6 , 3 d) 𝐶 5 , 0 , 𝐹1 1 , 0 , 𝐹2 9 , 0 , 6 , 8 , 10 e) 𝐶 0 , 5 , 𝐹1 0 , 1 , 𝐹2 0 , 9 , 10 , 6 , 8 101. La ecuación de la elipse de centro en el punto (2 , −6) de distancia focal 2𝑐 = 2 216 y cuyo eje mayor , paralelo a 𝑂𝑦, tiene longitud 2𝑎 = 30 es: a) b) c)

𝑥−2 2 225 𝑥−2 2 9 𝑥+6 2 15

+ + +

𝑦+6 2 590 𝑦+6 2 216 𝑦−2 2 216

=1

d)

𝑥−2 2 9

+

𝑦+6 2 225

=1

e) N. d. a.

=1 =1

102. La ecuación 9𝑥 2 + 4𝑦 2 − 18𝑥 − 16𝑦 − 11 = 0 es de una elipse. Los semiejes mayor y menor miden: a) 4 y 3 d) 3 y 2 b) 4 y 2

e) 3 y 1

c) 4 y 1 103. La ecuación de la recta que pasa por el punto 𝐴 3 , −2 y por el centro de la elipse de ecuación 𝑥 2 + 4𝑦 2 − 4𝑥 = 0 está dada por: a) 𝑦 + 2𝑥 − 4 = 0 d) 4𝑥 + 𝑦 − 2 = 0 b) 𝑦 − 2𝑥 + 4 = 0

e) 𝑦 − 4𝑥 + 2 = 0

c) 2𝑥 + 𝑦 + 4 = 0 104. Se dan la circunferencia de ecuación 𝜆: 𝑥 2 + 𝑦 2 = 4 y la ecuación de la elipse 𝜆1 : 9𝑥 2 + 𝑦 2 = 9 y el punto 𝑃(1 , 1). La afirmación correcta es: a) 𝑃 es el punto interior a 𝜆 y exterior a 𝜆1 . b) 𝑃 es el punto exterior a 𝜆 e interior a 𝜆1 . c) 𝑃 es el punto interior a 𝜆 y interior a 𝜆1 . d) 𝑃 es el punto exterior a 𝜆 y exterior a 𝜆1 . e) 𝑃 está sobre 𝜆1 y es exterior a 𝜆.

Cursillo Pi

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105.

1 4

Los puntos de intersección de la recta 𝑦 = 𝑥 − 1 con la hipérbola 𝑥 2 − 4𝑦 2 = 16

son: a) −4 , 0 y − y

c) 4 , 0

y −

Cursillo Pi

d) 4 , 0 y −

20 8 , 3 3

b) 4 , 0

106. a) 𝑦 b) 𝑦 c) 𝑦 d) 𝑦 e) 𝑦

20 8 ,− 3 3

20 8 ,− 3 3

e) N. d. a.

20 8 , 3 3

La ecuación de una de las asíntotas de la hipérbola de ecuación 𝑥 2 − 𝑦 2 = 16 es: = 2𝑥 − 1 = 4𝑥 =𝑥 = 2𝑥 + 1 = 2𝑥

19

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Respuestas:

Cursillo Pi

1.

e

28.

a

55.

d

82.

c

2.

d

29.

d

56.

e

83.

b

3.

c

30.

a

57.

a

84.

d

4.

e

31.

e

58.

c

85.

a

5.

e

32.

b

59.

d

86.

c

6.

e

33.

a

60.

c

87.

e

7.

c

34.

c

61.

a

88.

e

8.

d

35.

e

62.

a

89.

b

9.

d

36.

b

63.

d

90.

c

10.

b

37.

d

64.

b

91.

a

11.

a

38.

c

65.

b

92.

c

12.

a

39.

c

66.

e

93.

d

13.

e

40.

e

67.

d

94.

c

14.

b

41.

c

68.

c

95.

d

15.

e

42.

c

69.

e

96.

a

16.

a

43.

a

70.

e

97.

d

17.

d

44.

b

71.

d

98.

c

18.

d

45.

b

72.

b

99.

e

19.

d

46.

d

73.

d

100.

e

20.

c

47.

b

74.

c

101.

d

21.

a

48.

d

75.

e

102.

d

22.

a

49.

b

76.

a

103.

a

23.

b

50.

d

77.

b

104.

a

24.

b

51.

a

78.

a

105.

d

25.

e

52.

a

79.

d

106.

c

26.

d

53.

d

80.

b

27.

a

54.

b

81.

a

20

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107. En un sistema de coordenadas cartesianas, el punto P de coordenadas ( 1 , 2 ), la recta 𝑠 de ecuación 𝑥 + 𝑦 − 1 = 0 y la circunferencia 𝑐 de ecuación 𝑥 2 + 𝑦 2 + 4𝑥 + 4𝑦 + 4 = 0 Determine la suma de los números asociados a la(s) proposición(es) verdadero(s). 01)- La menor distancia del punto P a la circunferencia 𝐶 es de 3 unidades de longitud. 02)- La ecuación de la recta que pasa por el punto P y es perpendicular a la recta 𝑆: 𝑥 + 𝑦 − 3 = 0 04)- Con relación a la posición de 𝐶 y 𝑆, se puede afirmar que 𝐶 y 𝑆 son tangentes. 08)- El área del triángulo, cuyos vértices son el punto P, el centro de la circunferencia 𝐶 y el punto Q de coordenadas ( 1 , -2 ), es de 6 unidades de área. Rta.: 09 (sumar las opciones correctas). 108. Considerando una circunferencia de centro ( 2 , 1 ) que pasa por el punto (2 , -2 ), asigne la opción correcta. a) La ecuación de la circunferencia es (𝑥 − 2)2 + (𝑦 − 1)2 = 3 b) El interior de la circunferencia es representado por la inecuación 𝑥 2 + 4𝑥 + 𝑦 2 + 2𝑦 < 4 c) El interior de la circunferencia es representado por la inecuación 𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝒚𝟐 − 𝟐𝒚 < 4 d) El exterior de la circunferencia es representado por la inecuación 𝑥 2 − 4𝑥 + 𝑦 2 − 2𝑦 > 2 e) El punto ( 5 , -1 ) pertenece a la circunferencia. 109. En un sistema de coordenadas cartesianas en el plano, considere para cada número real 𝑚 , la recta de ecuación 𝑦 = 𝑚𝑥 y la circunferencia de ecuación 𝑥 2 + 𝑦 2 − 10𝑥 = 0 .Entonces, es correcta afirmar: 01)- La medida del radio de la circunferencia es de 5 02)- Si 𝑚 = 10, la recta es tangente a la circunferencia. 04)- Cualquiera que sea el valor de 𝑚, la recta contiene el origen del sistema. 08)- Si 𝑚 = 1, la recta determina en la circunferencia una cuerda de longitud 5 16)- La circunferencia es tangente al eje 𝑦 32)- Si 𝑚 = 3, uno de los puntos de intersección de la recta con la circunferencia es ( 1 , 3 ). Rta.: 53 (sumar las opciones correctas).

Cursillo Pi

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110. En un sistema de coordenadas cartesianas, son dadas tres rectas y los respectivos puntos de intersección, como en la figura de abajo.

Así mismo, encuentre el centro y el radio de la circunferencia determinada por los puntos A, B y C. Rta.: C

11 10

,

19 10

y 𝑟 = 2,1

111. La parábola de ecuación 𝑦 = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 pasa por los puntos ( 1 , 0 ) ; ( 2 , 5 ) y ( -4 , 5 ). Entonces el valor de 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 es: a) b) c) d) e) 112.

6 0 2 5 4 Considerando los puntos A( -1 , 0 ) y B( 2 , 3 ) del plano cartesiano, es correcto afirmar:

a) El punto medio del segmento𝑨𝑩 tiene abscisa igual a

𝟏 𝟐

y coordenada igual a

𝟑 𝟐

b) El simétrico del segmento 𝑨𝑩 en relación al eje de las abscisas es el segmento 𝑨𝑪, siendo C( -2 , -3). c) El Perímetro del triángulo 𝑨𝑩𝑫, siendo D( -2 , 3 ) es, en 𝒖𝟐 , un número real mayor que 10. d) La ecuación 𝑦 = −𝑥 + 1 representa la recta que contiene los puntos A y B. e) La ecuación 𝑥 2 + 𝑦 2 + 2𝑥 − 17 = 0 representa la circunferencia con centro en A, que pasa por el punto B. 113. Sea 𝐶 la circunferencia de centro en el origen, pasando por el punto P=( 3 , 4 ). Si 𝑡 es la recta tangente a 𝐶 por P, determine la circunferencia 𝐶´ de menor radio, con centro sobre el eje 𝑥 y tangente simultáneamente a la recta 𝑡 y a la circunferencia 𝐶. Rta.: Centro Cursillo Pi

25 4

, 0 ; radio =

5 4

22

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114. Determine las coordenadas del punto de la circunferencia (𝑥 − 4)2 + (𝑦 − 3)2 = 9 que queda mas próxima al origen ( 0 , 0 ). Rta.:

8 5

,

6

.

5

115. Una circunferencia tiene centro de abscisa 2 y solamente el punto ( 1 , 0 ) en común con la recta 2𝑥 + 𝑦 − 2 = 0. Calcule el radio. Rta.:𝑟 = 116.

5 2

Determine el valor de 𝑐 para el cual el sistema

𝑥−1 2+ 𝑦−1 2 =2 𝑥+𝑦+𝑐 =0 admita una única solución. Rta.: 𝑐 = 0 ó 𝑐 = −4 117. Considere la circunferencia que tiene centro en el origen de los ejes cartesianos 𝑂𝑥𝑦, con radio 𝑅 = 1 (unitario). Determinar las ecuaciones de las rectas tangentes a esa circunferencia y que pasan por el punto 𝑃

2 , 0 .

Rta.: 𝑥 + 𝑦 − 2 = 0 ;𝑥 − 𝑦 − 2 = 0 118. Por un punto 𝑃 del semi-eje positivo de la 𝑥 se trazan las tangentes al círculo de ecuación 𝑥 2 + 𝑦 2 = 3. El cuadrilátero cuyos vértices son 𝑃, el centro del círculo, y los dos puntos de tangencia, tiene área 3.Halle las ecuaciones de esas tangentes. Rta.: 3𝑥 − 𝑦 − 2 3 = 0 ; − 3𝑥 − 𝑦 + 2 3 = 0 119.

Determinar la ecuación de una circunferencia de radio 𝑅 = 3, centro en el primer

cuadrante, que produzca en el eje 𝑥 una cuerda de longitud 4 2y en el eje 𝑦 otra cuerda de longitud 2 5. Rta.: 𝑥 − 2

Cursillo Pi

2

+ 𝑦−1

2

=9

23

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120.

Considere el sistema:

𝑥−𝑦

2

+ 𝑥 1 + 2𝑦 ≤

𝑥−𝑦+𝑎 =0

7 8

Si 𝑎 = 𝑎0 es un número real positivo para el cual la solución del sistema 𝑥 = 𝑥0 , 𝑦 = 𝑦0 es única, calcule el valor de la razón Rta.: −

3

𝑥0 𝑦0

5

121.

La ecuación que pasa por los puntos ( 2 , 0 ) , (−2 , 0 ) y ( 0 , 1 ) es:

a) 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝟏𝟔 b) 𝑥 2 − 𝑦 = 0 c) 𝑥 2 − 𝑦 2 = 0 d) 4𝑥 2 + 𝑦 2 = 16 e)𝑥 2 − 𝑦 2 = 16 122. Considere la ecuación 𝑚 + 𝑛 − 1 𝑥 2 + 𝑚 − 𝑛 + 1 𝑦 2 + 2𝑥 + 2𝑦 − 2 = 0 Se puede afirmar que: a) b) c) d) e)

Si Si Si Si Si

123.

𝑚 = 0 y 𝑛 = 0, entonces la ecuación representa una elipse. 𝑚 = 𝑛 = 0, entonces la ecuación representa una recta. 𝑚 = 0 y 𝑛 = 1, entonces la ecuación representa una parábola. 𝑚 = 1 y 𝑛 = 2, entonces la ecuación representa una hipérbola. 𝒎 = 𝒏 = 𝟏, entonces la ecuación representa una circunferencia. Un punto 𝑃 de la elipse

𝑥2 9

+

𝑦2 4

= 1 dista 2 de una de los focos. Cual es la distancia de

𝑃 al otro foco de la elipse?. a) 2 b) 3

c) 4 d) 5

e) 7

124. Es dada una elipse de eje mayor 2𝑎 , eje menor 2𝑏 y distancia focal 2𝑐. El perímetro de un triángulo cuyos vértices son los focos y uno de los puntos de la curva es igual a: a) 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 b) 2(𝑎 + 𝑏 + 𝑐) c) 2(𝑎 + 𝑏)

Cursillo Pi

d) 𝟐(𝒂 + 𝒄) e) 𝑛. 𝑑. 𝑎

24

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Sea una elipse 𝐸 cuyos ejes coinciden con los ejes 𝑥 e 𝑦. Si 𝐸 pasa por el punto

125. A= 𝑥2

a) b) c)

6

𝒙𝟐 𝟒

𝑥2 8

2 , 1 y uno de sus focos es el punto F =

+

+

+

𝒚𝟐

𝟐 3𝑦 2 4

126.

2𝑦 2 3

=1

d)

= 𝟏

e)

3𝑥 2 8 𝑥2 16

2 , 0 entonces la ecuación de 𝐸 es:

+

+

𝑦2

4 7𝑦 2 8

=1 =1

=1

En la elipse de ecuación

𝑥2 16

+

𝑦2 9

= 1 , se inscribe un cuadrado. Uno de los vértices del

cuadrado tiene abscisa: a) b)

3

c)

5 3

4 5

d)

4

e) 5

12 5

4

127. Considere la elipse de ecuación 16𝑥 2 + 25𝑦 2 = 400. Sean 𝐹1 y 𝐹2 sus focos y 𝑃 uno de sus puntos. El triángulo 𝑃𝐹1 𝐹2 de área máxima es tal que su área vale. a) 6 b) 8

c) 10 d) 10,5 La distancia entre los focos de la cónica 3𝑥 2 − 𝑦 2 − 9 = 0 es:

128. a)

e) 12

3

c) 𝟒 𝟑

b) 2 3

e) 8 3

d) 6 3

129. Los valores de 𝑏 para los cuales la parábola 𝑦 = 𝑥 2 + 𝑏𝑥 tiene un único punto en común con la recta 𝑦 = 𝑥 − 1 son: a) −𝟏 y 3 b) −1y 2 130.

c) −3 y −1 d) 0 y −1

e) 0 y 2

La ecuación de una de las asíntotas de la hipérbola de ecuación

a) 𝑦 = 2𝑥 − 1 b) 𝑦 = 4𝑥

𝑥2 16

−

𝑦2 64

= 1 es:

c) 𝑦 = 𝑥 d) 𝑦 = 2𝑥 + 1

e) 𝒚 = 𝟐𝒙

131. Las declividades de la recta tangente a la parábola 𝑦 = 𝑥 2 y que pasan por el punto P = ( 0 , −2 ) son: a)

3 y − 3

c)

b) 3 2 y −3 2 Cursillo Pi

2 y − 2

e) 2 3 y −2 3

d) 𝟐 𝟐 𝐲 − 𝟐 𝟐 25

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132. Sea 𝑟 la recta que pasa por el vértice de la parábola 𝑦 = 𝑥 2 y por el punto de la misma cuya abscisa es 2. La ecuación de la recta tangente a la parábola y paralela a 𝑟 es: a) 𝒚 = 𝟐𝒙 − 𝟏 b) 𝑦 = 2𝑥 + 1 133.

c) 𝑦 = 𝑥 2 − 1 d) 𝑦 = 2𝑥 −

e) 𝑦 = 2𝑥 +

1

1 2

2

La inecuación 𝑥 2 + 2𝑥𝑦 + 𝑦 2 < 1 representa el interior de:

a) una circunferencia b) una hipérbole c) una parábola

d) un sector e) un ángulo

134. La ecuación 𝑥 2 + 𝑦 2 − 2𝑦 − 1 = 0 representa: a) una circunferencia d) un par de rectas perpendiculares b) una hipérbole e) n.d.a c) un par de rectas paralelas 135.

La curva de ecuaciones paramétricas: 𝑥 = 2 𝑐𝑜𝑠 𝑡 𝑡 ∈ ℜ 𝑦 = 3𝑠𝑒𝑛 𝑡

a) es una circunferencia b) es una hipérbole c) es una elipse

d) es un arco de parábola e) es un arco de circunferencia

136. El grafico de la función 𝑦 = 4 − 𝑥 2 es: a) una circunferencia d) una semi-recta b) una semi-circunferencia e) un arco de parábola c)una recta

Cursillo Pi

26

Ing. Raúl Martínez

137.

Observe la figura

En esa figura, la circunferencia tangencia a la recta de ecuación 𝑦 = 2𝑥 en el punto P de abscisa 𝑥 = 2 y tangente también al eje 𝑥. Determine el radio y las coordenadas del centro de la circunferencia. Rta.: centro = 2 5 , 5 − 5 ; radio = 5 − 5 138. Sean𝐶1 y 𝐶2 circunferencias de, respectivamente, centros 𝑂1 y 𝑂2 , radios 𝑟1 y 𝑟2 La ecuación de 𝐶1 es 𝑥 2 + 𝑦 2 − 10𝑦 + 15 = 0 y la ecuación de 𝐶2 es 𝑥 2 + 𝑦 2 + 20𝑦 + 15 = 0. Sean A y B los puntos de intersección de 𝐶1 y 𝐶2 . Considerando esas informaciones. 1. Determine las coordenadas de 𝑂1 y 𝑂2 y los radios 𝑟1 y 𝑟2 . Rta.: (𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 = 𝑟 2 2. Determine las coordenadas de A y B. Rta.: A= −3 , 6 y B= −1 , 2 3. Calcule el área del cuadrilátero 𝐴𝑂1 𝐵𝑂2 . Rta.: 2A( 𝑂1 𝐴𝑂2 ) = 25 139. Considere la parábola de ecuación 𝑦 = 8𝑥 − 2𝑥 2 y la recta que contiene los puntos( 4 , 0 ) y ( 0 , 8 ). Sean A y B los puntos de la intersección entre la recta y la parábola. Determine la ecuación de la mediatriz del segmento 𝐴𝐵 . Rta.: 2𝑥 − 4𝑦 + 7 = 0 140. Sea 𝑓: ℜ → ℜ la función determinada por 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥 + 𝑏 donde 𝑎 ∈ ℜ y 𝑏 ∈ ℜ si: lim (𝑎𝑥 + 𝑏) = 11 lim 𝑎𝑥 + 𝑏 = 13entonces, lim 𝑓(𝑥) es igual a:

𝑥→4

a) b) c) d) e)

𝑥→5

𝑥→1

1 3 5 7 9

Cursillo Pi

27

Ing. Raúl Martínez

141. a) b) c) d) e)

El lim sen 𝑥 3 − 2𝑥 + 𝑥→0

La función 𝑓 𝑥 =

𝑥 2 −1 𝑥 3 −1

no está definida para 𝑥 = 1. Para que la función 𝑓(𝑥) sea

continua en el punto 𝑥 = 1, se debe completarla con 𝑓 1 igual a: 0 +∞ 1/3 2/3 −∞

144.

Sobre la función 𝑦 = 𝑓 𝑥 =

1 , 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 3 se puede afirmar: 𝑥 − 3 , 𝑠𝑖 𝑥 > 3

Es definida y continua ∀ 𝑥 ∈ ℜ. Es definida y continua solamente para 𝑥 > 3. Es definida ∀ 𝑥 ∈ ℜ y discontinua solamente para 𝑥 = 3. Es definida y continua solamente para 𝑥 ≤ 3. N.d.a.

145. a) b) c) d) e)

−3𝑥 + 2𝑚, 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 1 es: 2𝑥 − 3𝑚, 𝑠𝑖 𝑥 > 1

−1 0 1 2 3

143.

a) b) c) d) e)

es igual a:

El valor de 𝑚 ∈ ℜ para que exista el lim 𝑓(𝑥) donde:

𝑓 𝑥 =

a) b) c) d) e)

2

0 1 2 3 4

142.

a) b) c) d) e)

𝜋

El lim

𝑥→∞

𝑥 4 − 𝑥 3 − 6𝑥 2 − 8 es:

−∞ −8 0 ∞ No existe

Cursillo Pi

28

Ing. Raúl Martínez

El valor del límite lim

146. a) b) c) d) e)

𝑥→∞

𝑥 2 + 2𝑥 + 3 − 𝑥 es:

Cero +∞ −∞ 2 1

147. a) −7 b) 0 c) 3 d) 5 e) ∞

El límite de la expresión 𝑦 = 𝑥 2 + 3𝑥 − 1 − 𝑥 2 − 7𝑥 + 1 , cuando 𝑥 → +∞, es:

148.

El

a) b) c) d) e)

2𝑥 2 −5

𝑥→+∞

El lim

es igual a:

4𝑥 2 +6𝑥+3 𝑥 2 −5

𝑥→∞

es igual a:

−2 −1 0 1 2 El lim

150. a) b) c) d) e)

6𝑥 2 −5𝑥

−1 2 3 5 6

149. a) b) c) d) e)

lim

−4 −2 −1 −3 −5

𝑥→2

3𝑥 2 −3𝑥−18

es igual a:

15 5 2 2 2 Si 𝐿1 = lim

151. a) 𝐿1 =

2𝑥 2 −12𝑥+16

1 2

𝑥→1

𝑥−1 𝑥 2 −1

es 𝐿2 = lim

𝑥→∞

2𝑥 2 − 7 5 𝑥 + 𝑥2

, entonces:

y 𝐿2 = 2

b) 𝐿1 = 0 y 𝐿2 = 2 c) 𝐿1 =

1 2

y 𝐿2 = 0

d) 𝐿1 = 0 y 𝐿2 = ∞ e) 𝐿1 =

Cursillo Pi

1 2

y 𝐿2 = ∞

29

Ing. Raúl Martínez

152.

𝑥 3 −𝑥 2 −2𝑥

El lim

𝑥 2 −3𝑥 + 2

𝑥→2

vale:

a) 0 b) 1

c) 2 d) 4

153.

𝑥 2 −4

El lim

es igual a:

𝑥 2 −3 𝑥 + 2

𝑥→2

a) −4 b) 1 154. a) b) c) d) e)

e) 6

c) 4 d) 2

e) N.d.a.

c) 2𝑝 d) 1,5 𝑝

e) 3𝑝

c) 3𝑎3 d) 4𝑎3

e) 5𝑎3

c) 8 d) 4

e)

c) 1/243 d) 1/81

e) 1/54

c) 75 5 d) 7

e) 1

𝑥 2 −4𝑥+4

El lim

𝑥−2

𝑥→2

No existe No es ningún número real Vale 2 Vale 0 Vale 4

155.

𝑥 3 −𝑝 3

El valor de lim

𝑥 2 −𝑝 2

𝑥→𝑝

es:

a) 0,5 𝑝 b) 𝑝 156. a) 𝑎3 b) 2𝑎3 157.

𝑥 4 −𝑎 4

El lim

vale:

𝑥−𝑎

𝑥→𝑎

𝑥−4

El valor de lim

𝑥−2

𝑥→4

es:

a) 2 b) 0

158.

El lim

𝑥→9

𝑥−3 𝑥 2 −9𝑥

es igual a:

a) 1/9 b) 1/27 159.

El lim

𝑥→7

𝑥−7 5

5

𝑥− 7

vale:

5

a) 5 74 b) 0 160. a) 𝑒 b) 7𝑒

Cursillo Pi

El lim

𝑥→+∞

2

1+

7 𝑥 𝑥

es igual a: c)

𝑒

e)

7

7

𝑒

d) 𝑒 7

30

Ing. Raúl Martínez

161.

El lim

sen 𝑥 5𝑥

𝑥→0

es:

a) 0 b) 1 162.

c) 5 d) 1/5

𝑕

𝑕→0

El lim

𝑥→0

1−cos 4𝑥 1−cos 2𝑥

a) 1 b) 4

164. a) 2 b) 1

𝑓 𝑥 −𝑓 𝑥+𝑕

Si 𝑓 𝑥 = cos 𝑥, entonces lim

a) 0 b) 1 163.

e) N.d.a

cuando 𝑥 −

c) 2 d) 0

e) No existe

es:

Si 𝑓 𝑥 = 𝑥 2 /𝑎 , entonces 𝑓′(𝑎) vale c) 0 d) 𝑎

166.

Si 𝑓 𝑥 =

a) −1

𝑥−2 𝑥

e) 2𝑎 𝑥2 4 es: 2𝑥 2 e) No existe

𝑥 3𝑥 2 6𝑥

, entonces 𝑓′(𝑥) es igual a: c) 𝑥 − 2

2

d) −

𝑥2

167.

es: e) −1/2

a) 3𝑥 2 b) 6𝑥 4

b)

2

c) −1 d) 1/2

1 La derivada de la función 𝑓(𝑥) dada por 𝑓 𝑥 = 2𝑥 5 3 c) −4𝑥 − 4 d) 15𝑥 4

165.

𝜋

e) 1 −

1

𝑥2

𝑥

Uno de los valores que anulan la primera derivada de 𝑓 𝑥 =

a) −2 b) −1

2

c) 1 d) 2

𝑥2 𝑥 −1

es:

e) 3

168. Si 𝑓 𝑥 = 𝑥 − 𝑥, entonces 𝑓 ′ 𝑥 = 0 si y sólo si: a) 𝑥 = 1/4 b) 𝑥 = 0 c) 𝑥 = 1/4 o 𝑥 = 0 d) 𝑥 = 2 e) 𝑥 = 0 o 𝑥 = 1 169. a) −8 b) 1

Cursillo Pi

Siendo 𝑓 𝑥 = 5 − 2𝑥 8 , la derivada 𝑓 ′ 3 es igual a: c) 8 d) 16

31

e) N.d.a.

Ing. Raúl Martínez

1

Dada 𝑓 𝑥 = 𝑥 2 + 1 2 , para 𝑓(𝑥) se tiene:

170. a)

1

1 2

𝑥2 + 1

2

1 2

−

b) 𝑥 𝑥 2 + 1 c) d) e)

1

1

𝑥2 + 1 2𝑥

2 1 2 1 2

1 2

𝑥2 + 1

−

𝑥2 + 1

−

1 2

2𝑥 + 1 𝑥

171. Derivando 𝑦 = 𝑥 + 1 a) 𝑥 + 1 𝑥 + 3 𝑒 3 b) 𝑥 − 1 𝑥 + 3 𝑒 𝑥 c) 𝑥 + 2 𝑥 − 3 𝑒 𝑥 d) 𝑥 − 1 𝑥 − 3 𝑒 𝑥 e) 𝑥 + 1 𝑥 − 2 𝑒 𝑥

2

∙ 𝑒 𝑥 , se obtiene:

172. Si 𝑓 𝑥 = sen 𝑥, entonces la cuarta derivada 𝑓 ′′′′ 𝑥 vale: a) − sen 𝑥 c) sen 𝑥 b) cos 𝑥 d) − cos 𝑥 Siendo 𝑓 𝑥 = log 𝑒 𝑥, entonces su primera derivada 𝑓 ′ 𝑥 es:

173.

a) 𝑓 ′ 𝑥 = b) 𝑓 ′ 𝑥 = c) 𝑓 ′ 𝑥 =

1 𝑥3 1 𝑥2 1 𝑥2

d) 𝑓 ′ 𝑥 = − ′

e) 𝑓 𝑥 = 174. a) 1 b) −1

1

1 𝑥

𝑥

La derivada de la función 𝑓 𝑥 = 𝑥 ∙ sen 𝑥 calculada en el punto 𝑥 = 𝜋, vale: c) 0 e) 𝜋 d) −𝜋

175. Si 𝑓 𝑥 = sen 𝑥 + cos 𝑥 + tg 𝑥, entonces 𝑓 ′ 0 es igual a: a) −1 c) 1/2 b) −1/2 d) 1

1 𝑥

e) 2

La derivada de la función 𝑓 𝑥 = log 2 𝑥 es:

176. a)

e) sen 𝑥 ∙ cos 𝑥

∙ ln 2

b) 1/𝑥

Cursillo Pi

c) d)

1 𝑥 1

∙ log 2 𝑒

e) N.d.a.

𝑥2

32

Ing. Raúl Martínez

177. 𝑓′ =

Sean 𝑓 𝑥 = cos 2𝑥 , 𝑔 𝑥 = sec 𝑥 𝜋 4

𝜋

∙ 𝑔′

4

y 𝑕 𝑥 = 3𝑥 − 2𝑥 2 . ¿Cuál es el valor de

∙ 𝑕′ 1 ?

a) 1/2 b) 2

c) −2

e) − 2

2

d)

2

178. La segunda derivada de la función 𝑓 𝑥 = 1/𝑥 es: a) 1/𝑥 2 c) 2/𝑥 3 b) −1/𝑥 2 d) −2/𝑥 3

e) −𝑥

179. La ecuación 𝑠 = 𝑡 4 − 8𝑡 2 representa el movimiento rectilíneo de una partícula. La aceleración en el primer instante de reposo después 𝑡 = 0, vale: a) 12 c) 20 e) 32 b) 16 d) 24 180.

La pendiente de la recta tangente a la curva 𝑦 =

a) −4 b) −2

4 𝑥−1

c) 0 d) 2

, en el punto 𝑥 = 2, es igual a: e) 4

181. La ecuación de la recta tangente a la curva 𝑦 = 𝑥 2 en el punto 1 , 1 es: a) 𝑦 = 2𝑥 − 1 c) 𝑦 = 3𝑥 − 2 b) 𝑦 = −𝑥 + 2 d) 𝑦 = 𝑥 182. La ecuación de la recta tangente a la curva de ecuación 𝑦 = 𝑥 3 − 5𝑥 + 1 en el punto de abscisa 𝑥 = 1 es: a) 𝑥 − 𝑦 − 4 = 0 c) 𝑥 + 𝑦 − 4 = 0 e) 2𝑥 + 𝑦 + 1 = 0 b) 𝑥 − 𝑦 + 4 = 0 d) 2𝑥 + 𝑦 − 1 = 0 183. La ecuación de la recta tangente a la curva 𝑦 = 2𝑥 2 − 1, en el punto de abscisa 1, es: a) 𝑦 = 4𝑥 − 3 c) 𝑦 = 2𝑥 + 3 e) 𝑦 = 3𝑥 + 2 b) 𝑦 = 4𝑥 − 1 d) 𝑦 = −2𝑥 + 1 184.

Una ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función 𝑓 𝑥 = 𝑥 3 − 6𝑥 2 + 11𝑥 −

6, en el punto de abscisa 𝑥 = a) 2𝑥 + 𝑦 + 6 = 0 b) 2𝑥 − 𝑦 − 6 = 0

𝜋 3

es: c) 2𝑥 + 𝑦 − 6 = 0 d) 𝑥 + 2𝑦 − 6 = 0

e) 𝑥 + 𝑦 − 4 = 0

185. La ecuación de la recta tangente a la curva definida por la función 𝑓 𝑥 = cos 𝑥 en el punto de abscisa 𝑥 = 𝜋/3 es: 1

a) 𝑦 − = 2 𝜋

3 2

b) 𝑦 − = − 3

𝑥− 3 2

𝜋

1

c) 𝑦 − = −

3

𝑥−

1 2

2 𝜋

d) 𝑦 − = 3

3 2

3 2

𝑥−

𝑥−

𝜋 3

1 2

e) N.d.a.

Cursillo Pi

33

Ing. Raúl Martínez

186. Sea la función 𝑓: ℜ → ℜ definida por 𝑓 𝑥 = 𝑥 3 − 9𝑥 2 + 24𝑥 + 5. El intervalo donde 𝑓 ′ 𝑥 < 0 es: a) −∞, 2 c) 2 , 4 e) 4 , +∞ b) −∞, 4 d) 2 , +∞ 187. La función 𝑓 de ℜ en ℜ es definida por 𝑓 𝑥 = 2𝑥 3 − 15𝑥 2 + 36𝑥 − 7. Esta función es decreciente en el intervalo: a) 2 , 5 c) 0 ,2 e) 2 , 3 b) 1 , 6 d) 3 , +∞ 188. a) b) c) d) e)

Si la derivada de la función 𝑓(𝑥) es

𝑥+1 𝑥−1

entonces 𝑓 es creciente en los intervalos:

−1 ,0 y 0 ,1 −∞, −1 y −1 , 1 −∞, −1 y 1 , +∞ −1 , 1 y 1 , +∞ N.d.a.

189. a) 0 b) 1

La función 𝑦 = 𝑥 3 − 3𝑥 tiene un punto de mínimo relativo para 𝑥 igual a: c) −1 e) 1/3 d) 3

190. El máximo y mínimo de la función 𝑓: ℜ → ℜ, definida por 𝑓 𝑥 = 𝑥 3 − 𝑥 2 , son respectivamente: a) 1/3 y 2/3 c) 0 y 2/3 e) 0 y 1 b) 2/3 y 1/3 d) 1 y 0 191. Sea 𝑓: − 3 , 3 → ℜ la función definida por 𝑓 𝑥 = 𝑥 3 − 3𝑥. El valor mínimo absoluto de 𝑓 y el valor máximo absoluto de 𝑓 son respectivamente: a) −2 y 0 b) −2 y 18 192.

La función 𝑦 =

a) 1 b) 2

c) 0 y 21 d) −2 y 2 𝑥2 + 1 𝑥2 − 4

e)

0 y 18

𝑥 ≠ ±2 tiene un punto máximo para 𝑥 igual a: c) −1 d) 0

e) −2

193. Se sabe que 𝑓 𝑥 = 𝑥 3 + 𝑎𝑥 2 − 𝑥 − 1 posee un máximo para 𝑥 = −1, se puede afirmar que 𝑓 admite un mínimo para: a) 𝑥 = 1/2 b) 𝑥 = 2

Cursillo Pi

c) 𝑥 = 1 d) 𝑥 = 3

34

e) 𝑥 = 1/3

Ing. Raúl Martínez

194.

El mayor valor que 𝑦 puede asumir en la igualdad 𝑦 =

a) 1/2 b) 1/3

𝑥+2 2𝑥 2 +3𝑥+6

c) 1/4 d) 1/5

, con 𝑥 real, es:

e) 1/6

195. es: a) 12 b) 4/3

Si 𝑥 , 𝑦 satisface la ecuación 3𝑥 + 4𝑦 = 12, entonces el valor mínimo de

196.

El valor máximo de 𝑦 = 2 sen 𝑥 + cos 2𝑥, 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝜋/2, es:

c) 3 d) 4

a) 1,5 b) 2

𝑥2 + 𝑦2

e) 12/5

c) 2,5 d) 3

e) ∞

197. Entre todos los números reales 𝑥 e 𝑦, tales que 2𝑥 + 𝑦 = 60, existe un par 𝑎 y 𝑏 para el cual el producto 𝑥 ∙ 𝑦 es lo mayor posible. Entonces, 𝑏 − 𝑎 vale: a) 0 b) 10

c) 50 d) 15

e) 5

198. La distancia entre los puntos 𝑀 y 𝑁 de coordenadas 3 y 𝑘, respectivamente, es igual a 10. Los valores posibles de 𝑘, son: A) 10 y 7

B) −7 y 10

C) −7 y 13

D) 10 y 13

E) 7 y 13

199. Dada la recta de la figura, la abscisa del punto 𝑀 de modo que 𝑀𝐴 = 𝐴𝐵 + 𝐴𝐶 + 𝐵𝐶, es: A) −15 𝑀 𝐴 𝐵 𝐶 B) −21 C) −25 −6 −1 9 D) −30 E) −36 200. Dado el punto 𝐴 2 , −3 , las proyecciones del punto 𝐴 sobre los ejes 𝑋 e 𝑌 son respectivamente: A) −2 y 3 B) −3 y 2 C) 2 y −3 D) −2 y −3 E) 3 y −2 201. A) −2

La distancia del punto −2 , 3 al eje de las ordenadas es: B) 2 C) 1 D) 5

202. El punto del eje 𝑥 equidistante de 0 , −1 A) −1 , 0 B) 1 , 0 C) 2 , 0

Cursillo Pi

35

E)

y 4 , 3 es: D) 3 , 0

E)

Ing. Raúl Martínez

13

4 , 0

203. El producto de las coordenadas de un punto es un número positivo. Entonces el punto es del: A) 1𝑒𝑟 𝐶 B) 2𝑑𝑜 𝐶 C) 1𝑒𝑟 𝐶 ó 4𝑡𝑜 𝐶 D) 2𝑑𝑜 𝐶 ó 3𝑒𝑟 𝐶 E) 1𝑒𝑟 𝐶 ó 3𝑒𝑟 𝐶 204. El punto 𝑎 , −𝑏 pertenece al segundo cuadrante. Los puntos −𝑎 , 𝑏 y −𝑎 , −𝑏 pertenecen, respectivamente, a los cuadrantes: A) 3° y 1° B) 3° y 4° C) 4° y 3° D) 4° y 1° E) 1° y 3° 205. Un punto 𝑃 pertenece al eje de abscisas y es equidistante de los puntos 𝑀 1 , 4 y 𝑁 −1 , 2 . Las coordenadas del punto 𝑃 son: A) 1 , 0 B) 2 , 0 C) 3 , 0 D) 4 , 0 E) 6 , 0 206. El punto medio de 𝐴 −2 3 , 3 y 𝐵 4 3 , −3 se encuentra en: A) El 1𝑒𝑟 𝐶 C) El 4𝑡𝑜 𝐶 D) El 3𝑒𝑟 𝐶 B) El 2𝑑𝑜 𝐶

E) En el eje 𝑋

207. El punto 𝐴 tiene abscisa 𝑎y el punto 𝐵 tiene ordenada 𝑏. Ambos puntos se encuentran sobre la bisectriz del 1𝑒𝑟 𝐶 y 3𝑒𝑟 𝐶. Entonces 𝑑 𝐴 , 𝐵 mide: A) 𝑎 − 𝑏 B) 𝑏 − 𝑎 D) 2 𝑎 − 𝑏 E) 2 𝑎 − 𝑏 C) 2 𝑎2 + 𝑏2 208. La distancia del punto 𝐴 2𝑎 , 3 al punto 𝐵 1 , 0 es igual a 3 2. El valor de 𝑎 es: A) 1 o 2 B) −1 o −2 C) −1 o 2 D) 1 o −2 E) 1 o −2 209. Sabiendo que 𝐴 0 , 5 , 𝐵 3 , −2 perímetro del triángulo 𝐴𝐵𝐶, es: A)

58 + 6

B) 2 58 + 12

C)

y 𝐶 −3 , −2 232 + 6

son los vértices de un triángulo, el D) 2 58 + 3

E)

58 + 6

210. El triángulo de vértices 𝐴 0 , 3 , 𝐵 4 , 0 , 𝐶 5 , 3 es: A) Equilátero B) Escaleno C) Rectángulo D) Isósceles

E) B) y C)

211. El triángulo de vértices 𝐴 2 , 2 , 𝐵 −4 , 6 , 𝐶 4 , −12 es: A) Equilátero B) Escaleno C) Rectángulo D) Isósceles

E) B) y C)

212. Los puntos 𝐴 2 , 3 , 𝐵 𝑎 , −2 y 𝐶 5 , 0 forman un triángulo rectángulo recto en 𝐴. El valor de 𝑎 es: A) 2 B) 3 D) −3 C) 3 E) − 3 213. El área del triángulo rectángulo que tiene los dos catetos sobre los ejes coordenados y el punto medio de la hipotenusa en 𝑀 3 , 2 , es: A) 6 B) 13 C) 24 D) 36 E) 48 Cursillo Pi

36

Ing. Raúl Martínez

Las coordenadas del extremo 𝐴 del segmento 𝐴𝐵 es

214.

dicho segmento es 𝑀 A) 3 , −7

2 , 1 . Si el punto medio de

9 , 2 , el extremo 𝐵 tiene las siguientes coordenadas: 2

B) 7 , −3

C) 7 , 3

D) 3 , 7

Los puntos medios de los lados de un triángulo son los puntos 𝑅 −

215.

E) 3 ,1 , 𝑆 2

−3 , 7 1 ,0 2

y

𝑇 1 , 3 . Los vértices del triángulo son: A) 2, −2 ; −1 , 4 y 3 , 2 B) −2 , −2 ; 1 , 4 y −3 , 2 C) −2 , −2 ; −1 , 4 y 3 , 2 D) −2 , −2 ; −1 , −4 y 3 , 2 E) −2 , −2 ; 1 , 4 y 3 , 2 216. La mediana relativa al vértice 𝐴 del triángulo de vértices 𝐴 0 , 3 , 𝐵 4 , 0 , 𝐶 5 , 3 , mide: A)

3

90

B) C) D) E)

5

2

2 5

3

2 3

6

2 3

10

2

217. La mediana relativa al vértice 𝑄 del triángulo de vértices 𝑃 1 , 1 , 𝑄 3 , −4 y 𝑅 −5 , 2 , mide: A) 12 B) 10 C) 15 D) E)

221 2

15

218. Dados los puntos 𝐴 8 , 11 , 𝐵 −4 , −5 , 𝐶 −6 , 9 . Las coordenadas del circuncentro del triángulo 𝐴𝐵𝐶 son: A) 2 , 3 B) 3 , 2 C) −2 , 3 D) 3 , −2 E) −2 , −3 219. Las coordenadas del punto 𝐵, simétrico del punto 𝐴 −1 , 2 , en relación al punto 𝐶 3 , 4 son: A) −7 , 6 B) 6 , 7 C) 7 , 6 D) −6 , 7 E) −6 , −7

Cursillo Pi

37

Ing. Raúl Martínez

220. Las coordenadas de los puntos que dividen en tres partes iguales el segmento cuyos extremos son −2 , −1 y 3 , 2 son: A) − B) C) D) E)

1 ,0 3

y

1 4 ,0 y 3 3 1 − ,0 y 3 1 1 − , y 3 3 1 0 ,− y 3

4 ,1 3

,1 −

4 ,1 3

4 ,1 3 4 ,1 3

221. La suma de las abscisas de los puntos que dividen en cuatro partes iguales el segmento cuyos extremos son 3 , 2 y 9 , 5 es: A) 3 B) 4 C) 6 D) 9 E) 12 222. Los puntos 𝐴 −3 , 0 , 𝐵 −1 , 1 , 𝐶 −2 , 3 y 𝐷 −4 , 2 forman un cuadrado en el plano cartesiano. Las coordenadas del centro del cuadrado son: A) −2 ; 0,5 B) −2,5 ; 1,5 C) −3 ; 2,5 D) −1,5 ; 2 E) −3,5 ; 1 223. Un punto 𝐶 está sobre el segmento 𝐴𝐵 y a 3/4 de la distancia entre 𝐴 y 𝐵 a partir de 𝐴. Si las coordenadas de 𝐴 y 𝐵 son respectivamente 4 , 6 y −2 , 5 , las coordenadas de 𝐶 son: 1 21 , 2 4 1 9 ,− 2 4 1 9 , 2 4 5 13 − , 2 4 5 13 , 2 4

A) − B) C) D) E)

224.

Dado el segmento 𝐴𝐵 de extremos 𝐴 −4 , 1

que divide en la razón 11 12 , 5 5 16 29 , 5 5

𝐴𝐶 𝐶𝐵

y 𝐵 5 , 7 . Las coordenadas del punto 𝐶

− 4 son:

A) − B)

C) 1 , 8 D)

1 ,4 2

E)

9 ,6

225. Los extremos de la mediana 𝐴𝑃 de un triángulo 𝐴𝐵𝐶 son 𝐴 1 , 5 coordenadas de dicha mediana son: A) 2 , 4 B) 3 , 3 C) 4 , 2 D) 2,5 ; 3,5

Cursillo Pi

38

y 𝑃 4 , 2 . Las E)

Ing. Raúl Martínez

3,5 ; 2,5

226. Una de las diagonales de un cuadrado tiene extremos en los puntos 𝐴 1 , 1 y 𝐶 3 , 3 . Las coordenadas de los otros dos vértices del cuadrado son: A) 2 , 3 y 3 , 2 B) 3 , 1 y 1 , 3 C) 3 , 0 y 1 , 4 D) 5 , 2 y 4 , 1 E) (3 , 2) y 4 , 2

227.

El gráfico que muestra una recta de pendiente positiva es: 𝑦

𝑦

𝑥

𝑦

𝑦

𝑥

𝑥 B)

A)

𝑦

C)

𝑥 D)

𝑥 E)

228. Según el gráfico de la figura, la ecuación de la recta 𝑟 es: 𝑦 a) 2𝑥 + 3𝑦 = 0 b) 3𝑥 + 2𝑦 − 6 = 0 𝑟 2 c) 3𝑥 + 2𝑦 − 4 = 0 d) 2𝑥 − 3𝑦 + 6 = 0 e) 2𝑥 + 3𝑦 − 6 = 0 0 3 𝑥 229. Según el gráfico de la figura, la ecuación de la recta 𝑟 es: a) 𝑥 − 𝑦 − 4 = 0 𝑦 b) 𝑥 − 𝑦 + 4 = 0 𝑟 c) 𝑥 + 𝑦 − 4 = 0 135° d) 𝑥 + 𝑦 + 4 = 0 e) 𝑥 + 𝑦 = 0 0 4

𝑥

230. Dados los puntos 𝐴 0, −3 , 𝐵 1, 4 y 𝐶 −4, 6 . La suma de las pendientes de las rectas que pasan por los lados del triángulo 𝐴𝐵𝐶, es: b) −63/10

a) 63/10 231.

c) 87/20

Si los puntos 2, −3 , 4, 3 y 5,

a) −12

b) −6

d) 177/20

e) −87/20

𝑎 están en la misma recta, entonces el valor de 𝑎 es: 2

c) 6

d) 12

e) 18

232. El punto 𝑃 3 , 𝑚 es interior de uno de los lados del triángulo de vértices 𝐴 1 , 2 , 𝐵 3 , 1 y 𝐶 5 , −4 . Entonces: a) 𝑚 = −1

Cursillo Pi

b) 𝑚 = 1

c) 𝑚 = 0

39

d) 𝑚 = 1/2

e) 𝑚 = −2

Ing. Raúl Martínez

233. Sean 𝐴, 𝐵 y 𝐶 números reales cualesquiera. Dada la ecuación 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0, de las afirmaciones abajo, la correcta es: a) Si 𝐴 ≠ 0 y 𝐵 ≠ 0, entonces 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0 es la ecuación de una recta que pasa por el origen. b) Si 𝐵 ≠ 0 y 𝐶 = 0, 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0 es la ecuación de una recta que pasa por el origen, no paralela a ninguno de los ejes. c) Si 𝐴 = 0 y 𝐶 ≠ 0, 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0 es la ecuación de una recta paralela al eje 𝑥. d) Si 𝐴 ≠ 0 , 𝐵 = 0 y 𝐶 = 0, 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0 es la ecuación del eje 𝑥. e) Si 𝐴 = 0 , 𝐵 ≠ 0 y 𝐶 = 0, 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0 es la ecuación del eje 𝑦. 234. Dados los puntos 𝐴 1, 2 , 𝐵 2, −2 y 𝐶 4, 3 , la ecuación de la recta que pasa por 𝐴 y el punto medio del segmento 𝐵𝐶, es: a) 3𝑥 + 4𝑦 = 11 7 2

b) 4𝑥 + 𝑦 = 11 c) 𝑥 + 3𝑦 = 7 d) 3𝑥 + 2𝑦 = 7 e) 𝑥 + 2𝑦 = 5 235. La recta que pasa por el punto 𝑃 2, 3 y por el punto 𝑄, simétrico de 𝑃 en relación al origen, es: a) 2𝑦 = 3𝑥 b) 𝑦 = 3𝑥 − 3 c) 𝑦 = 2𝑥 − 1 d) 3𝑦 = 2𝑥 e) 3𝑦 = −2𝑥 236. a) b) c) d) e)

La ecuación de la recta que pasa por el punto 𝐴 2, 5 y que corta a la recta de ecuación

𝑦 = −𝑥 + 1 en un punto 𝐵, tal que 𝑑 𝐴, 𝐵 = 3 2, es: 𝑦 =𝑥+3 𝑦−5=− 𝑥−2 𝑦−5=3 𝑥−2 𝑦 = 2𝑥 + 1 𝑦 = −𝑥 − 3

237.

Una recta pasa por el punto 𝑃 1, −4 y corta a los ejes coordenados en los puntos 𝐴 y

𝐵. Sabiendo que a) b) c) d) e)

𝑂𝐴 𝑂𝐵

1

= , entonces la ecuación de la recta es: 2

2𝑥 + 𝑦 + 4 = 0 2𝑥 + 𝑦 − 1 = 0 2𝑥 + 𝑦 − 2 = 0 2𝑥 + 𝑦 + 2 = 0 2𝑥 + 𝑦 + 1 = 0

Cursillo Pi

40

Ing. Raúl Martínez

La abscisa del punto de la recta 𝑦 = 2𝑥 + 1 y equidistante de los puntos 0, 0 2, −2 , es: a) 2 b) −2 c) −3 d) −1/2 e) −1/3 238.

y

239. Dados los puntos 𝐴 2, 5 , 𝐵 −1, −4 , 𝐶 3, −1 y 𝐷 𝑘, −3 , el valor de 𝑘 para que el producto de las pendientes de la recta 𝐴𝐵 y 𝐶𝐷 sea −1 es: a) −9 b) 3 c) −3 d) 9 e) 15 240. La ecuación de la recta que pasa por el punto 𝐴 4, −3 y tiene pendiente −2/3 es: a) 2𝑥 + 3𝑦 + 17 = 0 b) 2𝑥 + 3𝑦 − 17 = 0 c) 2𝑥 + 3𝑦 − 6 = 0 d) 2𝑥 − 3𝑦 − 1 = 0 e) 2𝑥 + 3𝑦 + 1 = 0 La ecuación de la recta que pasa por los puntos 𝐴 1,

241. 3 2

1 2

y 𝐵 −2, −

3 es: 2

a) 𝑦 = 𝑥 − 1 3 2 2 7 c) 𝑦 = − 𝑥 + 3 6 2 1 d) 𝑦 = 𝑥 − 3 6 2 1 e) 𝑦 = 𝑥 + 3 3

b) 𝑦 = − 𝑥 + 2

242. La recta 5𝑥 − 3𝑦 + 1 = 0 pasa por el punto: a) 1, −2 b) 3, 5 c) 4, −7

d) −3, −5

−2, −3

e)

243. Si la pendiente de una recta es −3 y su coeficiente de posición es 2, su ecuación general es: a) 3𝑥 + 𝑦 + 2 = 0 b) 3𝑥 − 𝑦 − 2 = 0 c) 3𝑥 + 𝑦 − 2 = 0 d) 3𝑥 − 𝑦 + 2 = 0 e) 2𝑥 − 𝑦 − 3 = 0 244. La ecuación de una recta es 3𝑥 + 2𝑦 + 6 = 0, entonces los valores de la pendiente y el coeficiente de posición son respectivamente: a) −3 y −6

Cursillo Pi

b) −

3 y 3 2

c) 3 2 y −3

41

d) −

3 y −3 2

e)

3 2

Ing. Raúl Martínez

y3

245. La ecuación de una recta es 𝑦 − 𝑏 = 0, entonces: a) La recta es paralela al eje 𝑦 y pasa por el punto 𝑏, 0 b) La recta es paralela al eje 𝑦 y pasa por el punto c) La recta es paralela al eje 𝑥 y pasa por el punto 𝑏, 0 d) La recta es paralela al eje 𝑥 y pasa por el punto 0, 𝑏 e) Pasa por los puntos 0, 0 y 𝑏, 𝑏 246. De las siguientes afirmaciones respecto a la recta 2𝑦 + 3𝑥 − 12 = 0: I. La recta intersecta al eje 𝑥 en el punto 4, 0 II. La recta intersecta al eje 𝑦 en el punto 0, 6 III. La pendiente de la recta es negativa. Es/son correcta/s: a) Solo III b) I y II c) I y III d) II y III

e) Todas

247. Si la recta 𝑘 − 1 𝑥 + 2𝑘 + 1 𝑦 − 1 = 0 pasa por el punto 2, 1 , entonces el valor de 𝑘 es: a) 2 b) 1/2 c) 0 d) −1/2 e) −2 248. El área del triángulo formado por los ejes coordenados y la recta de ecuación 4𝑥 + 3𝑦 = 12 es: a) 5 b) 6 c) 7,5 d) 10 e) 12 249. El punto 𝑃 de ordenada 10 está sobre la recta cuya pendiente es 3 y que pasa por el punto 𝐴 7, −2 , entonces la abscisa de 𝑃 es: a) 11 b) 29/3 c) 7 d) −1 e) −3 250. a) 5

Si los puntos 𝐴 2, 3 , 𝐵 3, −2 y 𝐶 𝑎, 8 son colineales, entonces el valor de 𝑎 es: b) 3 c) 1 d) −3 e) −7

251. a) 8

La pendiente de la recta 𝐿: − 8𝑥 + 2𝑦 − 16 = 0, es: b) −8 c) 4 d) −4

e) 3

252. a) 4,5

El coeficiente de posición de la recta 𝐿: − 5𝑥 + 2𝑦 − 9 = 0, es: b) 5,4 c) −4,5 d) −5/4

e) 2

253. Qué valor debe tomar 𝑘 de modo que la recta 𝐿: − 8𝑥 + 2𝑦 − 𝑘 = 0 pase por el origen: a) 𝑘 = 8 b) 𝑘 = −2 c) 𝑘 = 0 d) 𝑘 = 2/3 e) 𝑘 = 1/3 254. De la recta 𝐿: 10𝑥 + 3𝑦 − 9 = 0 se puede decir que: I. Pasa por el origen II. Su pendiente es − 10 3 III. Su coeficiente de posición es 3 a) Solo I b) Solo II c) I y II d) II y III Cursillo Pi

42

e) Solo III Ing. Raúl Martínez

255. La recta 𝐿: − 12𝑥 + 2𝑦 − 3 = 0 intercepta el eje 𝑥 en el punto: a) 𝑃 3 ; 0 1 ;0 4 1 c) 𝑃 − ; 0 4 1 d) 𝑃 − ; −1 4 1 e) 𝑃 − ; 1 4

b) 𝑃

256. La ecuación de la recta que pasa por el punto 1, −4 , y es paralela a la recta 𝐿: 𝑥 + 5𝑦 − 3 = 0, es: a) −𝑥 + 𝑦 + 5 = 0 b) 𝑥 + 5𝑦 + 19 = 0 c) 𝑥 + 𝑦 + 3 = 0 d) −5𝑥 + 𝑦 + 9 = 0 e) 𝑥 + 5𝑦 + 21 = 0 257. La ecuación de la recta que pasa por el punto 5, 6 y que es paralela con la recta que une los puntos −4, 0 y 1, −6 es: a) −5𝑥 + 6𝑦 = 11 b) 6𝑥 + 5𝑦 = 60 c) −6𝑥 + 5𝑦 = 0 d) −5𝑥 − 6𝑦 = 0 e) 𝑦 − 2𝑥 = −4 258. a) −7

La pendiente de la recta que pasa por los puntos 𝑃 6, −2 y 𝑄 −8, 4 , es: b) −7/3 c) −1 d) −3/7 e) −1/7

259. Determinar el valor de 𝑘 para que las rectas 𝑦 + 3 = 𝑘𝑥, con 2𝑥 = −4𝑘 − 𝑦 sean perpendiculares. 140. 𝑘= 141. 𝑘= 142. 𝑘= 143. 𝑘= 144. 𝑘= 3/4 1/2 −1/2 −4/3 −2 260. Las rectas 2𝑥 + 3𝑦 = 2 y 𝑥 − 3𝑦 = 1 pasan por el punto 𝑎 , 𝑏 . Entonces 𝑎 + 𝑏 es igual a: A) 7 3 C) 5 3 E) 2 3 B) 0 D) 1 261. Para qué valores de 𝑎 la intersección de la recta 𝑦 = 𝑎 𝑥 + 2 con la recta 𝑦 = −𝑥 + 2 se da en el cuadrante 𝑥 ≥ 0 e 𝑦 ≥ 0: A) 1 ≤ 𝑎 ≤ 2 B) 0 ≤ 𝑎 ≤ 1

Cursillo Pi

C) 𝑎 ≤ −2 𝑜 𝑎 ≥ 2 D) 𝑎 ≤ −1

43

E) 𝑎 ≥ −2

Ing. Raúl Martínez

262.

La recta 𝑦 = 𝑥 − 1 intersecta al segmento de extremos 0 , 0 y 𝑎 , 𝑏 :

A) Para todo 𝑎 ≠ 𝑏.

𝑎 ,𝑏

tal que

B) 𝑎 + 𝑏 > 1 C) 𝑎 − 𝑏 > 1

D) 𝑎 − 𝑏 < 1 E) 𝑎 + 𝑏 < 1

263. Los valores de 𝑘 para los cuales las rectas 𝑥 + 2𝑦 − 2𝑘 = 0 , 𝑘𝑥 − 𝑦 − 3 = 0 y 2𝑥 − 2𝑦 − 𝑘 = 0 sean concurrentes en un mismo punto, son: A) −2 y 3 2 B) 1 2 y 3 C) 2 y 3 2 D) 2 y −3 2 E) 1 2 y 3 2 264. El triángulo determinado por las rectas 𝑥 − 1 = 0 , 𝑦 = 𝑥 e 𝑥 + 𝑦 − 4 = 0, es: A) Rectángulo. B) Equilátero. C) Obtusángulo. D) Acutángulo. E) Está inscripto en una circunferencia con centro en el origen.

265. A) B) C) D) E)

Considerando el gráfico, la ecuación de la recta 𝑟 es:

𝑦 = 3𝑥 + 1 3𝑦 + 3𝑥 = 1 𝑦 =𝑥+1 𝑦+𝑥 =1 3𝑦 − 2𝑥 = 3

𝑦 105° 𝑟 1

135° 𝑥

266. Las rectas 𝑟 y 𝑠 forman con los ejes coordenados triángulos de 6 unidades de área. Los coeficientes angulares de esas rectas son iguales a − 3 4. Sus ecuaciones son: A) 4𝑥 + 3𝑦 − 12 = 0 y 4𝑥 + 3𝑦 + 12 = 0 B) 4𝑎 + 3𝑦 − 24 = 0 y 4𝑥 + 3𝑦 + 24 = 0 C) 3𝑥 + 4𝑦 − 12 = 0 y 3𝑥 + 4𝑦 + 12 = 0 D) 3𝑥 + 4𝑦 − 24 = 0 y 3𝑥 + 4𝑦 + 24 = 0 E) 4𝑥 − 3𝑦 − 12 = 0 y 4𝑥 − 3𝑦 + 12 = 0 267. La ecuación de la recta que pasa por el punto 𝑃 3 , 4 y es paralela a la bisectriz del 2° cuadrante, es: A) 𝑦 − 𝑥 = 1 B) 𝑦 = −𝑥 − 7 C) 𝑦 + 𝑥 − 7 = 0 D) 2𝑦 − 7 = 𝑥 − 2 E) 3𝑥 + 6𝑦 = 33 Cursillo Pi

44

Ing. Raúl Martínez

268. La recta 𝑥 − 3𝑦 + 15 = 0 es paralela a la recta determinada por los puntos 𝐴 𝑎 , 𝑏 y 𝐵 −1 , 2 . Entonces: A) 𝑎 = −3𝑏 + 5 B) 𝑎 = 3𝑏 − 5 C) 𝑎 = 3𝑏 − 7 D) 𝑎 = −3𝑏 + 7 𝑏 3

E) 𝑎 = −

7 3

269. La ecuación de la recta que pasa por el origen y paralela a la recta determinada por los puntos de coordenadas 2 , 3 y 1 , −4 , es: A) 𝑦 = 𝑥 B) 𝑦 = 3𝑥 − 4 270.

Si

𝑥 𝑎

C) 7𝑦 = 𝑥 D) 𝑦 = 7𝑥 +

𝑦 𝑏

E) 𝑦 = −𝑥

= 1 y 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0 son rectas perpendiculares, entonces:

A) 𝐴𝑏 − 𝑎𝐵 = 0 B) 𝐴𝑎 + 𝐵𝑏 = 0

C) 𝑏𝐴 + 𝑎𝐵 = 0 D) 𝐴𝑎 − 𝐵𝑏 = 0

E) −𝑏𝐴 + 𝑎𝐵 = 0

271. De los siguientes pares de rectas, el par de rectas perpendiculares es: A) 𝑥 + 𝑦 − 1 = 0 ; −𝑥 − 𝑦 = 0 B) 𝑦 = 2𝑥 + 2 ; 𝑦 = −2𝑥 − 1 2

1 2

C) 𝑥 + 2𝑦 + 13 = 0 ; −𝑥 + 𝑦 = 0 D) 3𝑥 − 𝑦 =

1 1 ; − 𝑥−𝑦=9 2 3

E) Ninguna par anterior 272. El valor de 𝛼 para el cual las rectas 2𝑦 − 𝑥 − 3 = 0 y 3𝑦 + 𝛼𝑥 − 2 = 0 son perpendiculares, es: A) 6 C) 5 E) − 3 2 B) 3 2 D) − 2 3 273. La ecuación de la recta, que pasa por el punto recta 5𝑥 − 4𝑦 + 7 = 0, es: A) 4𝑥 − 5𝑦 + 40 = 0 B) 5𝑥 − 4𝑦 + 41 = 0 C) 5𝑥 + 4𝑦 + 9 = 0 D) 4𝑥 + 5𝑦 = 0 E) 5𝑥 + 5𝑦 − 6 = 0

Cursillo Pi

45

−5 , 4

y es perpendicular a la

Ing. Raúl Martínez

274. La ecuación de la recta perpendicular a la recta 𝑦 = 𝑥 y que pasa por la intersección de las rectas 2𝑥 − 3𝑦 − 1 = 0 y 3𝑥 − 𝑦 − 2 = 0 es: A) 2𝑥 + 2𝑦 + 5 = 0 B) −2𝑥 + 2𝑦 − 5 = 0 C) 7𝑥 + 7𝑦 − 6 = 0 D) 5𝑥 + 5𝑦 − 4 = 0 E) 5𝑥 + 5𝑦 − 6 = 0 𝑥 2

Los puntos de intersección de los ejes coordenados con la recta 𝑦 = + 2 determinan

275. A) B) C) D) E)

un segmento. La mediatriz de ese segmento es la recta: 2𝑥 + 𝑦 − 4 = 0 2𝑥 + 𝑦 − 3 = 0 2𝑥 + 𝑦 − 2 = 0 2𝑥 + 𝑦 + 3 = 0 2𝑥 + 𝑦 + 4 = 0

276. El punto 𝐴 −4 , 5 es el vértice de un cuadrado que tiene un diagonal contenida en la recta 7𝑥 − 𝑦 + 8 = 0. La ecuación de la recta que contiene a la otra diagonal es: A) 3𝑥 − 8𝑦 − 4 = 0 B) 𝑥 + 7𝑦 − 8 = 0 C) 𝑥 + 7𝑦 − 14 = 0 D) 𝑥 + 7𝑦 − 31 = 0 E) 𝑥 − 7𝑦 − 8 = 0 277. El punto de encuentro de las alturas del triángulo de vértices 𝐴 1 , 4 , 𝐵 0 , 1 𝐶 3 , 1 es: A) 1 ,

5 3

B) 1 , 3

C)

1,

3 5

E)

2,

y

5 3

D) 2 , 3

278. La proyección perpendicular del punto (2 , 3) sobre la recta 3𝑥 − 6𝑦 + 5 = 0 es el punto de coordenadas: A) B) C) D) E)

27 26 ,− 15 15 27 26 , 15 15 37 31 − ,− 15 15 37 31 , 15 15 27 37 , 15 15

Cursillo Pi

46

Ing. Raúl Martínez

279. Entre los puntos de la recta 𝑥 + 3𝑦 − 8 = 0 existe un punto 𝑄 cuya distancia al punto 𝑃 1 , 2 es mínima. Las coordenadas del punto 𝑄 son: 11 23 , 10 10

A)

B) 2 , 2 C) 8 , 0 D)

11 23 , 5 5

E)

1 ,2

280. Dado el punto 𝑃 2 , 3 , el punto simétrico de 𝑃 con relación a la recta 𝑦 = 𝑥 − 3 es: A) 1 , 4 B) 4 , 1 C) −1 , 6 D) 6 , −1 E) 4 , 6 281.

La tangente de uno de los ángulos formados por las rectas no perpendiculares 𝑎1 𝑥 + 𝑏1 𝑦 + 𝑐1 = 0y 𝑎2 𝑥 + 𝑏2 𝑦 + 𝑐2 = 0 es:

A) B) C) D) E)

𝑎 1 𝑏2 −𝑎 2 𝑏1 𝑎 1 𝑎 2 +𝑏1 𝑏2 𝑎 1 𝑎 2 −𝑏1 𝑏2 𝑎 1 𝑎 2 +𝑏1 𝑏2 𝑎 1 −𝑎 2 1+𝑎 1 𝑎 2 𝑎 1 𝑏2 +𝑎 2 𝑏1 𝑎 1 𝑎 2 −𝑏1 𝑏2 𝑎 1 +𝑎 2 1−𝑎 1 𝑎 2

282. es: A) 4

La cotangente del ángulo agudo formado por las rectas 𝑥 = 3𝑦 + 7 y 𝑥 = 13𝑦 + 9 B) 8

C) 10

D) 12

E) 14

283. 𝑥 + 2𝑦 + 𝑐 = 0 es ecuación de una recta: A) Perpendicular a la recta 2𝑥 + 𝑦 + 𝑐 = 0 B) Paralela a la recta 2𝑥 − 4𝑦 + 𝑐 = 0 C) Concurrente con la recta 3𝑥 + 6𝑦 + 2 = 0 D) Cuya distancia al punto −𝑐 , 1 es igual a 0 E) Formando un ángulo

𝜋

4

𝑟𝑎𝑑 con la recta 3𝑥 + 𝑦 + 𝑐 = 0

284. La altura del triángulo 𝐴𝐵𝐶 , relativa al vértice 𝐴, donde 𝐴 3 , 2 , 𝐵 1 , −3 𝐶 −4 , −1 es: A)

29

285. A) 10

Cursillo Pi

B) 3 29

C)

29 2

D) 2 29

La distancia entre las rectas paralelas 3𝑦 = 4𝑥 − 2 y 3𝑦 = 4𝑥 + 8 es: D) 2 C) 10 B) 5

47

Ing. Raúl Martínez

E)

E) 3

29/3

y

286. Las rectas 𝑥 + 2𝑦 − 3 = 0 y 𝑥 + 2𝑦 + 5 = 0 son paralelas. La ecuación de la recta equidistante de estas dos rectas es: A) 𝑥 + 2𝑦 + 1 = 0 B) 𝑥 + 2𝑦 − 1 = 0 C) 𝑥 + 2𝑦 − 2 = 0 D) 𝑥 + 2𝑦 + 2 = 0 5 3

E) 𝑥 + 2𝑦 − = 0 287. Hay dos puntos sobre la recta 𝑦 = 2 que distan 4 unidades de la recta 12𝑦 = 5𝑥 + 2. La suma de las abscisas de esos puntos, es: A) 44 5 C) 6 E) 40 5 B) −2 D) 42 5 288. Dados los puntos 𝐴 0 , −𝑘 , 𝐵 𝑘, 1 y 𝐶 0 , −1 , sabiendo que el área del triángulo 𝐴𝐵𝐶 es 10, entonces el valor de 𝑘 es: A) 3 y −2 C) 6 y −1 E) 4 y 2 B) 5 y −4 D) 2 y −5 289. A) 4,0 B) 3,5 C) 3,0 D) 5,0 E) 4,5

El área de la figura sombreada es: 4 3 2 1 0 1 2 3 4

𝑥

290. Las ecuaciones de las bisectrices de los ángulos formados por las rectas 3𝑥 + 4𝑦 − 2 = 0 y −6𝑥 + 8𝑦 + 5 = 0 son: A) 2𝑥 + 𝑦 − 1 = 0 y 𝑥 − 2𝑦 + 1 = 0 B) 𝑥 = 9 12 e 𝑦 = − 1 16 C) −32𝑥 + 16𝑦 + 25 = 0 y 8𝑥 + 16𝑦 − 5 = 0 D) −16𝑥 + 16𝑦 + 15 = 0 y 16𝑥 + 16𝑦 − 11 = 0 E) Ninguna de las opciones anteriores 291. La bisectriz interna del ángulo agudo formado por las rectas 3𝑥 + 4𝑦 + 1 = 0 y 3𝑥 − 4𝑦 − 1 = 0 es: A) 4𝑥 + 1 = 0 B) 𝑥 = 0 C) 3𝑥 − 1 = 0 D) 𝑦 = 0 E) Ninguna de las opciones anteriores 292. Dados los vectores 𝐴 = 2 , 4 , 𝐵 = 0 , 5 y 𝐶 = 2 , −4 , entonces la suma de los componentes del vector 2𝐴 + 3𝐵 + 3𝐶 es: A) −9 B) −15 C) 15 D) 21 E) 27 Cursillo Pi

48

Ing. Raúl Martínez

El módulo del vector 𝑣 =

293. 2𝑛

A)

B) − 2𝑛

2𝑛 , 2 𝑛 , siendo 𝑛 < 0, es: C) 2 𝑛 D) −2 𝑛

E) 4 𝑛

294. Dados los puntos 𝐴 −1 , 3 , 𝐵 1 , 0 y 𝐶 2 , −1 , el punto 𝐷 de modo que 𝐷𝐶 = 𝐵𝐴 es: A) 𝐷 4 , −4 B) 𝐷 −4 , 4 C) 𝐷 4 , 4 D) 𝐷 0 , 3 E) 𝐷 0 , −3 295. Si los vectores 𝑢 y 𝑣 forman un ángulo de 60°. El ángulo formado por los vectores 𝑢 y −𝑣 mide: A) 30° B) 60° C) 90° D) 120° E) 150° 296. El representante del vector 𝑢 = 4 , −3 𝐵 −1 , 𝑏 . El valor de 𝑎 + 𝑏 es: A) −7 B) −3 C) 2

tiene origen en 𝐴 𝑎 , 5

y extremo en

D) 3

E) 7

297. Sabiendo que los vectores 𝑢 y 𝑣 son perpendiculares tales que 𝑢 = 5 y 𝑣 = 12. Entonces 𝑢 + 𝑣 vale: A) 12 B) 13 C) 14 D) 15 E) 16 298. Si 𝑎 es un número real positivo, entonces: I) El versor de 𝑢 = 𝑎 , 0 es el vector fijo 1 , 0 II) El versor de 𝑢 = 0 , 4𝑎 es el vector fijo 0 , 1 III) El versor de 𝑢 = 𝑎 , 𝑎 es el vector fijo 1 , 1 IV) El versor de 𝑢 = −𝑎 , 0 es el vector fijo (1 , 0) De las proposiciones anteriores, son falsas: A) Sólo una B) Sólo dos C) Sólo tres 299. A) 5

D) Ninguna

E) Todas

El versor del vector −3𝑢 se obtiene multiplicando 𝑢 = 3 , 4 por el escalar: B) −5 C) 3/5 D) −5/3 E) −1/5

Dados los puntos 𝐴 𝑥, 𝑦 , 𝐵 2𝑥 + 3 ; 3𝑦 − 7 , 𝐶 𝑥 2 + 𝑥 + 𝑦 ; 𝑥𝑦 + 2𝑦 𝑥2 ;𝑥+𝑦𝑥+5 Los valores de 𝑥 e 𝑦 para que 𝐴𝐵 =𝐶𝐷 , son respectivamente:

300.

A) 5 y 8 B) 5 y −8 C) −5 y 8 D) 8 y 5 E) −8 y 5

Cursillo Pi

49

Ing. Raúl Martínez

y 𝐷 3𝑥 +

301. El vector 𝑢 = 𝑛 , A) Sólo 0 B) Sólo 2 C) Sólo −2 D) −2 y 0 E) 2 y 0

1 − 2𝑛 es unitario, entonces los valores posibles de 𝑛 son:

302. Los puntos 𝐴 , 𝐵 y 𝐶 son vértices de un triángulo equilátero cuyo lado mide 10 𝑐𝑚. Calcular el producto escalar de los vectores 𝐴𝐵 y 𝐴𝐶 . A) 25 B) 50 C) 75 D) 80 E) 100 303. es: A) 2

El valor de 𝑘 para que los vectores fijos 𝑢 = 2 , 5 y 𝑣 = −1 , 𝑘 sean colineales,

304.

Los lados de un triángulo rectángulo 𝐴𝐵𝐶 (recto en 𝐴) miden 5 , 12 y 13. El valor de

B) −3

C) 1 2

𝐴𝐵 ∙ 𝐴𝐶 + 𝐵𝐴 ∙ 𝐵𝐶 + 𝐶𝐴 ∙ 𝐶𝐵 . A) 144 B) 169

15 2 15 B) 𝑤 = − 2 15 C) 𝑤 = − 4

A) B) C) D) E)

15 2 15 ,− 2 15 , 4

15 15 ,− 2 4 15 15 E) 𝑤 = − , 4 2

,

D) 𝑤 = −

El gráfico que verifica la igualdad 𝑎 – 𝑏 = 𝑐 + 𝑑 es:

306. 𝑎

307.

𝑎

𝑐 𝑏

B)

𝑑

𝑎

𝑐 𝑏

C)

𝑑

𝑎

𝑐 𝑏

D)

𝑑

𝑎

𝑐

𝑏

𝑏

E)

9 4

𝑑

Dados los vectores 𝑢 = 3 , −4 y 𝑣 = − , 3 , los números reales 𝑎 y 𝑏 tales que

𝑢 = 𝑎𝑣 y 𝑣 = 𝑏𝑢 , son respectivamente: −4 3 , −3 4 4 3 , −3 4 −3 4 , −3 4 −1 4 , 3 4 −3 4 , 1 3

Cursillo Pi

E) 269 3

A) 𝑤 = −

A)

D) 229

1

2𝑢 – 𝑤 es:

𝑑

C) 204

E) − 5 2

Dados los vectores 𝑢 = 3 , −1 y 𝑣 = −1 , 2 , el vector 𝑤 tal que 4 𝑢 – 𝑣 + 𝑤 =

305.

𝑐

D) − 1 2

50

Ing. Raúl Martínez

308.

El vector 𝐵 es el opuesto del vector 𝐴 , entonces se verifica que:

A) 𝐴 ∙ 𝐵 = 𝐴 B) 𝐴 ∙ 𝐵 = 𝐵

2 2

C) 𝐴 ∙ 𝐵 = 0 D) 𝐴 ∙ 𝐵 = 𝐴 𝐵 E) 𝐴 ∙ 𝐵 = − 𝐴

2

309. El seno del ángulo formado por los vectores 𝑢 = 𝑚 , 1 y 𝑣 = 𝑚 , 2𝑚 , de manera que cumplan 𝑢 ∙ 𝑣 = −1, es: C) 3 10 D) 9 10 E) 1 10 A) 3 10 10 B) − 3 10 310.

Según la figura, podemos afirmar: 𝑎

A) 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 – 𝑒 = 0 B) 𝑑 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑒 – 𝑎 = 0

𝑒

𝑏

C) 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 – 𝑒 = 0 D) 𝑎 + 𝑒 + 𝑐 + 𝑑 – 𝑏 = 0

𝑑

E) 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 + 𝑒 = 0 311.

Sean los vectores 𝐴 = 𝑎 , 3

𝑐

y 𝐵 = −1 , 𝑏 . El valor de 𝑎𝑏 sabiendo que los

vectores 𝐴 y 𝐵 son perpendiculares y que 𝐴 = 5, es: A) 25 3 B) 3 C) 16 3 D) −3

E) − 25 3

312. Dados los vectores 𝑢 = −1 , 4 , 𝑣 = 3 , 𝑚 y 𝑤 = 2 , −3 . Sabiendo que 𝑢 y 𝑣 son perpendiculares, el coseno del ángulo formado por 𝑣 y 𝑤 mide: 15 5 15 5 1989 5 1989 A) − B) C) − D) E) 663 1989 663 663 1989 313.

Dados los puntos 𝑅 1 ,

7 2

y 𝑆 −2 ,

7 . El extremo del versor del vector 𝑅𝑆 que 4

tiene origen en 𝑅 es: A) − 3 4 , 7 4 B) 3 4 , 7 4 C)

1 4 ,− 7 4

D) − 1 4 , 3 7 4 E) 3 4 , 1 4 314. El valor de 𝑚 de manera que los vectores 𝑣 = −1 , 1 y 𝑤 = 𝑚 , 2 formen un ángulo de 60°, es: B) ±4 A) ±2 3 C) 4 ± 2 3 D) 4 − 2 3 E) 4 + 2 3

Cursillo Pi

51

Ing. Raúl Martínez

Sean 𝑢 y 𝑣 dos vectores tales que 𝑢 = 9 y vale: B) 4 C) 8

315. 𝑣 A) 2

𝑢 + 𝑣 ∙ 𝑢 – 𝑣 = 17. Entonces D) 16

E) 64

316. Sean 𝑢 y 𝑣 dos vectores tales que 𝑢 = 10 , 𝑣 = 5 y 𝑢 + 𝑣 = 5 7. Entonces, el ángulo formado por 𝑢 y 𝑣 mide: A) 0° B) 25° C) 30° D) 60° E) 75°

317. A) 0 B) 2 C) 4 D) 6 E) 8

El módulo de la suma de los vectores mostrados en la figura es:

318. Un vector que forman un ángulo de 45° con 𝑢 = −2 , −2 y un ángulo de 90° con el vector 𝑢 = 3 , 0 , tiene la forma: A) 0 , 𝑏 , 𝑏 > 0 D) 𝑏 ,0 , 𝑏 < 0 B) 0 , 𝑏 , 𝑏 < 0 E) 𝑏 , 𝑏 , 𝑏 > 0 C) 𝑏 ,0 , 𝑏 > 0 319. A) 5 B) 5 C) 1 D) 5 E) 5

4 2 6 4 2

Dados los vectores 𝐴 = 2 , 3 y 𝐵 = 5 , 1 . La proyección de 𝐴 sobre 𝐵 es: ,−1 4 ,1 2 ,5 6 ,1 4 ,−1 2

320. Si los vectores 𝑢 y 𝑣 forman un ángulo obtuso, se puede afirmar que: A) 𝑢 ∙ 𝑣 = 0 B) 𝑢 ∙ 𝑣 < 0 C) 𝑢 ∙ 𝑣 > 0 D) 𝑢 ∙ 𝑣 = 1 E) No se puede afirmar nada sobre el producto escalar 𝑢 ∙ 𝑣 321. Si el versor de la proyección de 𝑢 sobre 𝑣 es el vector además que 𝑣 2 = 3, entonces el vector 𝑣 es:

− 1 2 , 3 2 . Si se sabe

A) − 3 2 , 3 3 2 B) 3 2 , − 3 3 2 C)

± 3 2 ,∓3 2

D) ± 3 2 , ∓ 3 2 E)

±1 2 ,∓ 3 2

Cursillo Pi

52

Ing. Raúl Martínez

De las siguientes afirmaciones sobre los vectores no nulos 𝑢 y 𝑣 , la falsa es: A) Si la proyección de 𝑢 sobre 𝑣 es igual a 𝑢 , los vectores 𝑢 y 𝑣 son paralelos.

322.

B) Si la proyección de 𝑢 sobre 𝑣 es igual a 0 , los vectores 𝑢 y 𝑣 son perpendiculares. C) Si la proyección de 𝑢 sobre 𝑣 es igual a 𝑣 , los vectores 𝑢 – 𝑣 perpendiculares. D) El versor de la proyección 𝑢 sobre 𝑣 coincide con el versor de 𝑣 .

𝑣 son

y

E) Si la proyección de 𝑢 sobre 𝑣 es igual a – 𝑣 , los vectores 𝑢 y 𝑣 forman un ángulo mayor a 90°. 323. Sabiendo que 𝑎 es negativo y 𝑏 es positivo, la proyección de 𝑤 = 𝑏 , 𝑏 𝑣 = 𝑎 , 0 es: A) 𝑎 , 0 B) – 𝑎𝑏 , 0 C) 𝑏 , 0 D) – 𝑏 , 0 E) 𝑎 𝑏 , 0 El módulo de la proyección de 𝑢 sobre 𝑣 es igual a:

324. A)

𝑢 ∙𝑣 𝑣

sobre

2

B)

𝑢 ∙𝑣 𝑣

C)

𝑢 ∙𝑣 𝑣

2

D)

𝑢 ∙𝑣 𝑣

E)

–

𝑢 ∙𝑣 𝑣

325. Si la proyección de 𝑢 sobre 𝑣 tiene el mismo módulo que la proyección 𝑣 sobre 𝑢 , entonces se puede afirmar que: A) 𝑢 y 𝑣 son paralelos. B) 𝑢 y 𝑣 son perpendiculares. C) 𝑢 y 𝑣 tienen el mismo módulo. D) 𝑢 y 𝑣 tienen el mismo sentido. E) 𝑢 y 𝑣 forman un ángulo de 0°. 325. Sean 𝐴 = −1 ,0 ,1 , 2 , 3 , 𝐵 = 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 ,10 y la función 𝑓: 𝐴 → 𝐵 definida mediante la relación 𝑦 = 𝑥 2 + 1. Entonces el rango de 𝑓 es: A) 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 ,10 B) 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 ,10 C) 1 , 2 , 6 , 7 ,10 D) 0 , 1 , 4 , 9 E) 1 , 2 , 5 ,10 326. A) 9

Dadas las funciones 𝑓 𝑥 = 𝑥 2 + 2 y 𝑔 𝑥 = 1/𝑥. El valor de 𝑓 5 𝑔 3 es: B) 27 C) 3 D) 81 E) 36

327. A) 0

Dada la función 𝑓 𝑥 = 𝑥 4 − 16𝑥 2 , la cantidad de valores 𝑥 tal que 𝑓 𝑥 = −16 es: B) 1 C) 2 D) 3 E) 4

Cursillo Pi

53

Ing. Raúl Martínez

Sea la función 𝑓 𝑥 = 1/𝑥 2 , el valor de 𝑏 de modo que 𝑓

328. A) B) C) D) E)

1 𝑏

= 4 es:

−2 o 2 −1/2 o 1/2 −1/2 o 2 1/2 o −2 2

329. A) 0

La suma de los valores posibles de 𝑎 de modo que 𝑓 𝑎 = 𝑎, donde 𝑓 𝑥 = 𝑥 3 ,es: B) 1 C) 2 D) −1 E) −2

330.

Dada la función 𝑓 𝑥 = −2 − 3𝑥 y un número real ∆𝑥 ≠ 0, entonces

igual a: A) −2

B) 2

𝑓 𝑥+∆𝑥 −𝑓(𝑥) ∆𝑥

D) −3

C) 3

es

E) −5

Una función 𝑓 cumple que 𝑓 𝑕 + 1 = 𝑕2 − 2𝑕 + 3, entonces 𝑓 0 + 𝑓 2 vale: B) 9 C) 8 D) 3 E) 0

331. A) 6

332. Una función 𝑓 cumple que 𝑓 𝑎 + 1 = 2𝑎2 + 15. Entonces el valor de 𝑓 𝑏 es: A) 2𝑏2 + 15 B) 2 𝑏 + 1 2 + 15 C) 2𝑏2 + 16 D) 2 𝑏 − 1 2 + 15 E) 2𝑏2 + 14 La gráfica de la función𝑕 𝑥 =

333.

1 pasa por el punto 3 , 1 5 , entonces la gráfica de 𝑥2 −𝑎

𝑕 no puede pasar por un punto de abscisa: A) 0 B) ±1 C) ±2 334. A) 𝐷 B) 𝑅 C) 𝑅 D) 𝐷 E) 𝐷

Cursillo Pi

𝑓 𝑓 𝑓 𝑓 𝑓

D) ±3

La gráfica dada en el plano cartesiano representa una función, entonces: = 0 ,3 𝑦 1 = 0 ,3 = −1 , 1 = 0 ,3 −1 0 1 2 3 = −1 ,1

E) ±4

𝑥

−1

54

Ing. Raúl Martínez

335. La gráfica dada en el plano cartesiano representa una función. De las siguientes proposiciones: I) El dominio de 𝑓 es el conjunto −2 , 2 𝑦 II) El rango de 𝑓 es el conjunto −2 , 1 2 III) La función no está definida en −1 y 1 1 IV) Existen tres valores de 𝑥 tal que 𝑓 𝑥 = 0 Son falsas: 𝑥 A) Sólo una 2 −2 −1 0 1 B) Sólo dos −1 C) Sólo tres −2 D) Sólo cuatro E) Ninguna

336. La gráfica dada en el plano cartesiano representa una función. De las siguientes proposiciones, la falsa es: 𝑦 2 A) El dominio de la función es −3 , 2 B) Existen infinitos valores de 𝑥 tal que 𝑓 𝑥 = 0 1 C) La imagen de 0 es −1 𝑥 D) La preimagen de 1 es 1 0 −3 −2 −1 1 2 E) El rango de la función es −1 , 1 −1

337. La gráfica dada en el plano cartesiano representa una función, su dominio y rango son respectivamente: 𝑦 2 A) −4 , 2 y −2 , 2 B) −4 , 2 y −2 , 2 1 C) −2 , 2 y −4 , 2 1 2 𝑥 −4 −3 −2 −1 0 D) −4 , 2 y −2 , 2 − 1 −1 E) −4 , 2 − 2 y −2 , 2 − 1 −2

338. El dominio de la función 𝑓 𝑥 = 10 − 𝑥 es: A) −10 , 10 B) −∞ , 10 C) −∞ , −10

D) 10 , +∞

E) −∞ , 10

339. El dominio de la función 𝑓 𝑥 = 1 + 𝑥 2 es: A) −∞ , 1 B) −1 , +∞ C) −1 , 1

D) −∞ , +∞

E) −∞ , −1

340. El dominio de la función 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 2 + 𝑥 + 4 + 𝑥 − 3 es: A) −2 , +∞ B) −4, +∞ C) 3 , +∞ D) −2 , 3

Cursillo Pi

55

E) −∞ , +∞

Ing. Raúl Martínez

341.

Hallar el dominio de las siguientes funciones:

A) 𝑓 𝑥 = 1 − 𝑥 + 2𝑥 + 6 B) 𝑓 𝑥 = 18 − 2𝑥 + 𝑥 2 + 2 C) 𝑓 𝑥 =

𝑥+2 𝑥+2

D) 𝑓 𝑥 =

𝑥2 𝑥−4 𝑥−2

E) 𝑓 𝑥 =

1 𝑥−3

F) 𝑓 𝑥 =

𝑥−2 𝑥 − 3 2 −𝑥

G) 𝑓 𝑥 = H) 𝑓 𝑥 =

+

2 4−𝑥

+

𝑥 5−𝑥

2𝑥2 + 3𝑥 + 8 𝑥3 + 2𝑥2 − 15𝑥 18

𝑥2 −9

+ 𝑥21+4

I) 𝑓 𝑥 =

5

𝑥−7

J) 𝑓 𝑥 =

4

5−𝑥+

1 1 + 2 𝑥−6 𝑥 −81

342. A) −7

Si 𝑓 𝑥 − 3 = 𝑥 2 + 5𝑥 − 2, uno de los valores de 𝑘 tal que 𝑓 𝑘 = 𝑘 + 1, es: B) −4 C) −1 D) 3 E) 6

343. A) 16

Una función lineal 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥 + 𝑏 ; es tal que 𝑓 1 = 6 y 𝑓 4 = 18, hallar 𝑓 3 . B) 12 C) 14 D) −12 E) −14

344. A) 2

Sea 𝑓 𝑥 = 3 + 2𝑥 entonces 𝑓 2 + 𝑓 − 2 B) 4 C) 6

345.

Si la función 𝑓 satisface la relación: 𝑓 𝑥 + 1 = 𝑥𝑓 𝑥 , 𝑥 > 0. Si 𝑓

de 𝑓 A)

3 es: 2

𝜋/2

346. A) −9

Cursillo Pi

C) 3𝜋/2

B) 2 𝜋 Sea 𝑓 𝑥 =

3𝑥 2 + 1 ; 𝑥 < 3 2𝑥 − 5 B) 15

; 𝑥≥3

2

, es: D) 8

E) 10 1 = 2

D) 𝜋 2

𝜋, el valor

E)

𝜋

. El valor de 𝑓 5 + 𝑓 2 − 𝑓 3 , es: C) 16

56

D) −7

Ing. Raúl Martínez

E) 17

347.

De los siguientes gráficos: 𝑦

𝑦

𝑥

𝑥 I)

𝑦

II)

𝑦

𝑥 III)

𝑦

𝑥

𝑥 V)

IV)

No representa una función: A) Sólo I B) II y III C) I, IV y V D) IV y V E) I y III 348. Si 𝑓 es una función tal que 𝑓 1 = 𝑎, 𝑓 𝜋 = 𝑏 y 𝑓 𝑥 + 𝑦 = 𝑓(𝑥) ∙ 𝑓 𝑦 , ∀𝑥 , 𝑦 ∈ , entonces 𝑓 2 + 𝜋 es: A) 𝑎 B) 𝑏 C) 𝑎2 𝑏 D) 𝑎𝑏2 E) 𝑎2 + 𝑏 2𝑥−3

349. Sea 𝑓: ℜ → ℜ una función definida por 𝑓 𝑥 = . El elemento del dominio que 5𝑥 tenga −2/5 como imagen es: A) −15 B) −3 C) 0 D) 2/5 E) 3/4 Dadas las funciones 𝑓 y 𝑔 de ℜ en ℜ definidas por 𝑓 𝑥 = 𝑥 2 − 2𝑥 − 3

350.

y

3

𝑔 𝑥 = 𝑥 + 𝑚. Si 𝑓 0 + 𝑔 0 = −5, entonces 𝑓 𝑚 − 2 ∙ 𝑔 𝑚 es igual a: 2

A) −13 351. A) 𝑓 B) 𝑓 C) 𝑓 D) 𝑓 E) 𝑓

𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥

B) −5

C) 1

D) 3

E) 15

De las siguientes funciones, es impar: = 3𝑥 6 = 𝑥4 + 𝑥2 − 3 = 125 = 5𝑥 − 8 = 𝑥 3 − 2𝑥

352. Sean las funciones reales definidas por 𝑓 𝑥 = 𝑥 2 − 1 y 𝑔 𝑥 = 1/𝑥. Entonces, 𝑓 𝑔 −1 es igual a: A) −1 B) 0 C) 1 D) 2 E) −2 353. A) −1

Cursillo Pi

Si 𝑓 𝑥 = 3𝑥 + 1 y 𝑔 𝑥 = 2𝑥 2 , entonces 𝑓 𝑔 1 − 𝑔 𝑓 −1 B) 1 C) 15 D) 0

57

es igual a:

Ing. Raúl Martínez

E) −2

354. Considerando las funciones 𝑓 𝑥 = 2𝑥 + 1 y 𝑔 𝑥 = 𝑥 2 − 1. Entonces, las raíces de la ecuación 𝑓 𝑔 𝑥 = 0 son: A) Enteras B) Negativas C) Racional no enteras D) Inversos multiplicativos E) opuestas 355. Sea 𝑓: ℜ → ℜ una función definida por 𝑦 = 𝑓 𝑥 . Sabiendo que 𝑓 0 = 3, 𝑓 1 = 2 y 𝑓 3 = 0, el valor de 𝑥 tal que 𝑓 𝑓 𝑥 + 2 = 3 es: A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 356. Dadas las funciones reales 𝑓 𝑥 = 1 − 2𝑥 y 𝑔 𝑥 = 2𝑥 + 𝑘, el valor de 𝑘, de modo que 𝑓 𝑔 𝑥 = 𝑔 𝑓 𝑥 , es: A) −3 B) −1 C) −1/3 D) 1/3 E) 1 357. Si 𝑓 −1 es la función inversa de la función 𝑓, con ℜ en ℜ, definidas por 𝑓 𝑥 = 3𝑥 − 2, entonces 𝑓 −1 (−1) es igual a: A) −1 B) −1/3 C) −1/5 D) 1/5 E) 1/3

358.

Sea 𝑓 una función de ℜen ℜ, definida por 𝑓 𝑥 = 2𝑥 + 1. Si 𝑓 −1 es la función inversa

de 𝑓, entonces 𝑓 𝑓 A) 𝑓 1 359.

1 2

B) 𝑓 −2

− 𝑓 −1 5 es igual a: C) 2. 𝑓 1 2

D) 3. 𝑓 − 1 2

E) 1 2 . 𝑓 −1

Sea 𝑓: ℜ → ℜ, biyectiva, definida por 𝑓 𝑥 = 𝑥 3 + 1. Sea 𝑔: ℜ → ℜ, biyectiva, definida

por 𝑔 𝑥 = A) 23/6

4𝑥 + 1 1 . Entonces, 𝑓 −1 9 + 𝑔 𝑓 3 2

B) 11/6

C) 33/2

es: D) 9/8

E) 22/3

360. Las funciones 𝑓 , 𝑔 y 𝑕, de ℜen ℜ, son definidas por 𝑓 𝑥 = 3𝑥 − 2, 𝑔 𝑥 = 𝑥 + 1 y 𝑕 𝑥 = 𝑓 𝑥 − 𝑔 𝑥 . La función inversa de 𝑕 esta definida por: 2 3 𝑥− 3 2 1 1 𝑥− 2 3 2 𝑥+ 3 2 𝑥−1 3 1 3 𝑥+ 2 2

A) 𝑕−1 𝑥 = − B) 𝑕−1 𝑥 = C) 𝑕−1 𝑥 = D) 𝑕−1 𝑥 = E) 𝑕−1 𝑥 =

Cursillo Pi

58

Ing. Raúl Martínez

Dada la función 𝑓 𝑥 =

361.

B) 𝑦

𝑦

A)

𝑥 + 1, el grafico de la inversa de 𝑓 −1 𝑥 , es: 2

1

1 0

2

𝑥

−2

0

C)

𝑦

−1

0

El dominio de la función 𝑓 𝑥 =

A) 𝑥 ∈ ℜ − −4 B) 𝑥 ∈ ℜ − 2 C) 𝑥 ∈ ℜ − −4 363.

A) B) C) D) E)

El rango de la función 𝑓 𝑥 =

∪ ∪ ∪ ∪ ∪

𝑥 1

−2

7𝑥 + 1 , es: 𝑥−7

𝑥

4𝑥 − 1 , es: 𝑥+2

D) 𝑦 ∈ ℜ − −2 E) 𝑦 ∈ ∅

El dominio de la función 𝑓 𝑥 =

−∞ , −2 −∞, −2 −∞, −1 −∞, −2 −∞, −2

1

D) 𝑥 ∈ ℜ − 7 E) 𝑥 ∈ ℜ − 1

A) 𝑦 ∈ ℜ − −4 B) 𝑦 ∈ ℜ − 4 C) 𝑦 ∈ ℜ − 2

364.

1 𝑥

𝑥 −2

362.

E) 𝑦 2

D) 𝑦

𝑥−1 , es: 𝑥+2

−1, +∞ 1 , +∞ 2 , +∞ −1 , +∞ −1 , 9

365. El dominio de la función 𝑓 𝑥 = 4 − 𝑥 2 , es: A) 0 , 2 D) −2 , 0 B) −2 , 2 E) −2 , 2 C) 0 , +∞ 366. A) B) C) D) E)

0 ,5 0 ,5 0 ,5 0, 5 0 ,5

Cursillo Pi

El dominio de la función 𝑓 𝑥 =

− − − ∪

1 1 + 𝑥+ , es: 𝑥−2 5−𝑥

2 2 2 7 ,9

59

Ing. Raúl Martínez

367.

Los valores de 𝑥 de tal manera que la función 𝑓 𝑥 =

1−𝑥 está definida pertenece 2𝑥 + 1

al conjunto: A) −∞ , +∞ B) −∞ , 1 C) −∞ , −1 1 1 ∪ − ,1 2 2 1 1 −∞ , − ∪ − , 1 2 2

D) −∞ , − E)

368. El valor de 𝑘 para que 2 − 3𝑥, es: A) 4 B) 1 4 369. A) B) C) D) E)

𝑓∙𝑔 𝑥 = 𝑔∙𝑓 𝑥 C) − 1 4

El dominio de la función 𝑓 𝑥 + 1 =

siendo

𝑓 𝑥 = 2𝑘𝑥 + 1 y 𝑔 𝑥 =

D) −4

E) 0

−𝑥 es: 2−𝑥

−∞, −3 −∞ , 3 −∞ , −3 ∪ 3 , +∞ −∞ , +∞ −3 , 3

370. Sea 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥 + 𝑏. Los valores de 𝑎 y 𝑏 de manera que 𝑓 ∙ 𝑓 𝑥 = 9𝑥 − 3 son: A) 𝑎 = 3 y 𝑏 = 3/2 B) 𝑎 = 3 , 𝑏 = −3/4 y 𝑎 = −3 , 𝑏 = 3/2 C) 𝑎 = 3 y 𝑏 = −3/4 D) 𝑎 = −3 y 𝑏 = 3/2 E) 𝑏 = −3 y 𝑎 =

3 2

Calcular los siguientes límites aplicando las propiedades: 371.

372.

373.

374. 375.

376. Cursillo Pi

lim

3𝑥 2 − 5𝑥 + 2

Rta.: 4

lim

𝑥2 +2𝑥−3 4𝑥−3

Rta.: 4/7

lim

2𝑥2 −𝑥+1 3𝑥−2

𝑥→2

𝑥→−1

𝑥→1

lim

𝑥→−2

lim

𝑥→−1

lim

𝑥→2

3

2

Rta.: 4

𝑥3 +2𝑥2 −3𝑥+2 𝑥2 +4𝑥+3

Rta.: −2

𝑥 3 − 2𝑥 2 − 4𝑥 + 3

Rta.: 4

3𝑥+2

Rta.: −8/3

𝑥2 −6𝑥+5 60

Ing. Raúl Martínez

377.

lim

𝑥2 +2𝑥−3 5−3𝑥

lim

3𝑥2 −2𝑥−5 −𝑥2 +3𝑥+4

𝑥→−3

378.

𝑥→2

lim

379.

𝑥→−1

lim

380.

𝑥→−2

lim

381.

𝑥→1

3

3

Rta.: 1/8

2𝑥2 +3𝑥−4 5𝑥−4

Rta.: 5/3

3𝑥3 −5𝑥2 −𝑥+2 4𝑥+3

Rta.: 2

2𝑥2 +3𝑥+2 6−4𝑥

El límite, lim

382.

Rta.: 0

𝑥→2

Rta.: −2

𝑥2 −4 . 𝑥−2

a) No existe b) Es 4 El limite, lim

383. a) b) c) d) e)

e) Es +∞

c) Es cero d) Es 2

𝑥→2

𝑥2 −4𝑥+4 𝑥−2

No existe No es ningún número real Vale 2 Vale 0 Vale 4 El valor del límite lim

384.

𝑥→2

a) 0

b) 12

El límite lim

385.

𝑥→2

a) 0

c) 16

d) 8

e) +∞

c) 2

d) 4

e) 6

c) 2/3

d) 1/3

e) 7/3

c) 3𝑎3

d) 4𝑎3

e) 5𝑎3

𝑥3 −𝑥2 −2𝑥 vale: 𝑥2 −3𝑥+2

b) 1 2𝑥2 −5𝑥+3 vale: 𝑥→𝑎 𝑥3 −3𝑥2 +2

386.

El límitelim

a) 5/3

b) 4/3

El límite lim

387. a) 𝑎

𝑥3 −8 , es: 𝑥−2

3

Cursillo Pi

𝑥→𝑎

𝑥4 −𝑎4 vale: 𝑥−𝑎

b) 2𝑎3

61

Ing. Raúl Martínez

El límite lim

388.

𝑥→7

5

5

5

𝑥− 7

vale:

b) 0

a) 5 74 lim

389.

𝑥−7

𝑥→0

a) 1/3

1+𝑥−1 3

El límite lim

3

𝑥→1

a) 1/4

c) 3/5

d) 2/3

e) 3/2

c) 1/6

d) 1/7

e) 1/8

d) 1

e) 2

d) 3

e) 4

d) 3

e) +∞

5

7

e) 1

2𝑥+6−2 vale: 𝑥−1

b) 1/5

391.

d)

es igual a:

1+𝑥−1

b) 2/5

390.

c) 75

De las siguientes afirmaciones, la falsa es:

a) lim

𝑥→0

b) lim

𝑥→−3

c) lim

𝑥→1

d) lim

𝑥→5

e) lim

𝑥→0

3𝑥2 +𝑥 =1 𝑥 3𝑥2 +9𝑥 =9 𝑥+3 𝑥2 −1 =2 𝑥−1 𝑥−5 1 = 2 50 5𝑥 −125 𝑥2 −𝑥 = −1 𝑥

lim

392.

𝑥→∞

4𝑥2 +6𝑥+3 es igual a: 𝑥2 −5

b) −1

a) −2

El límite lim

393.

𝑥→+∞

a) 0

c) 0 𝑥 + 1 − 𝑥 es igual a:

b) 1 El límite lim

394.

𝑥→+∞

a) 0

c) 2 𝑥 2 + 𝑥 + 1 − 𝑥 2 − 𝑥 + 1 vale:

b) 1

395.

c) 2

Calcular los siguientes límites:

4−𝑥2 2+𝑥 𝑥→−2 4𝑥2 −9 b) lim3 2𝑥−3 𝑥→

a) lim

Rta.: 4 Rta.: 6

2

𝑥2 −4𝑥+3 𝑥2 −𝑥−6 𝑥→3 6𝑥2 +11𝑥+3 d) lim3 2𝑥2 −5𝑥−12 𝑥→−

c) lim

Rta.: 2/5 Rta.: 7/11

2

𝑥3 −1 𝑥→1 𝑥2 −1 𝑥4 −16 f) lim 8−𝑥3 𝑥→2

e) lim

Cursillo Pi

Rta.: 3/2 Rta.: −8/3

62

Ing. Raúl Martínez

𝑥2 −3𝑥+2 , g) lim 𝑓 𝑥 , donde 𝑓 𝑥 = 𝑥−1 𝑥→1

h) lim

𝑥,

𝑥 ≠ 1 Rta.: −1

𝑥=1

2𝑥3 +𝑥2 −4𝑥+1

𝑥→1

𝑥3 −3𝑥2 +5𝑥−3

Rta.: 2

i) lim

3𝑥3 −4𝑥2 −𝑥+2 2𝑥3 −3𝑥2 +1

Rta.: 5/3

j) lim

𝑥3 −3𝑥2 +6𝑥−4 𝑥3 −4𝑥2 +8𝑥−5

Rta.: 1

k) lim

𝑥4 −10𝑥+4 𝑥3 −2𝑥2

Rta.: 11/2

𝑥→1

𝑥→1

𝑥→1

l)

𝑥4 +2𝑥3 −5𝑥2 −12𝑥−4 2𝑥4 +7𝑥3 +2𝑥2 −12𝑥−8

lim

𝑥→−2

396.

Calcular los siguientes límites:

a) lim

1+𝑥−2 𝑥−3

𝑥→3

Rta.: 7/8

Rta.: 1/4

b) lim

𝑥−1 𝑥−1

Rta.: 1/2

c) lim

1− 1−𝑥 𝑥

Rta.: 1/2

d) lim

𝑥+3−2 𝑥−1

Rta.: 1/4

e) lim

1−2𝑥−𝑥2 −1 𝑥

Rta.: −1

f) lim

1+𝑥− 1−𝑥 𝑥

Rta.: 1

g) lim

2𝑥− 𝑥+1 𝑥−1

Rta.: 2/4

𝑥→1

𝑥→0

𝑥→1

𝑥→0

𝑥→0

𝑥→1

2− 𝑥+1 𝑥2 −9 𝑥→3 𝑥2 −4 i) lim 𝑥→2 𝑥+2− 3𝑥−2

h) lim

𝑥→1

a) lim

3

𝑥→−1

3

Cursillo Pi

𝑥+1−1 𝑥

Rta.: 1/3

𝑥+1

b) lim

𝑥→0

Rta.: 3

Calcular los siguientes límites: 3

𝑥→0

c) lim

Rta.:−8

𝑥2 −3𝑥+3− 𝑥2 +3𝑥−3 𝑥2 −3𝑥+2

j) lim

397.

Rta.:−1/24

Rta.: 3/2

2𝑥+3−1

8−2𝑥+𝑥2 −2 𝑥−𝑥2

Rta.: −1/6

63

Ing. Raúl Martínez

Si 𝑓 𝑥 =

398.

3𝑥 − 2 𝑠𝑖 𝑥 > 1 2 𝑠𝑖 𝑥 = 1 ; calcular los siguientes limites: 4𝑥 + 1 𝑠𝑖 𝑥 < 1

a) lim+ 𝑓 𝑥

Rta.: 1

b) lim− 𝑓 𝑥

Rta.: 5

c) lim 𝑓 𝑥

Rta.: No existe

𝑥→1 𝑥→1 𝑥→1

Si 𝑓 𝑥 =

399. a) b)

3𝑥 − 2𝑠𝑖 𝑥 ≥ −1 ; calcular los siguientes límites: 4 − 𝑥 𝑠𝑖 𝑥 < −1

lim

𝑓 𝑥

Rta.: 5

lim

𝑓 𝑥

Rta.: 5

𝑥→−1+ 𝑥→−1−

c) lim

𝑓 𝑥

400.

Si 𝑓 𝑥 =

𝑥→−1

a) lim+ 𝑓 𝑥 𝑥→3

Rta.: 5 2𝑥 − 5𝑠𝑖 𝑥 ≥ 3 ; calcular los siguientes límites: 4 − 5𝑥 𝑠𝑖 𝑥 < 3 Rta.: 1

b) lim− 𝑓 𝑥

Rta.: −11

c) lim 𝑓 𝑥

Rta.: No existe

𝑥→3 𝑥→3

401. a) lim+ 𝑥→2

1 − 𝑥 2 𝑠𝑖 𝑥 < 2 Si 𝑓 𝑥 = 𝑠𝑖 𝑥 = 2 ; calcular los siguientes límites: 0 𝑥 − 1 𝑠𝑖 𝑥 > 2 𝑓 𝑥 Rta.: 1

b) lim− 𝑓 𝑥

Rta.: −3

c) lim 𝑓 𝑥

Rta.: No existe

𝑥→2 𝑥→2

402. a) lim+ 𝑥→3

2 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 3 Si 𝑓 𝑥 = 𝑥 − 3𝑥 + 2 ; calcular los siguientes límites: 8 − 2𝑥 𝑠𝑖 𝑥 > 3 𝑓 𝑥 Rta.: 2

b) lim− 𝑓 𝑥

Rta.: 2

c) lim 𝑓 𝑥

Rta.: 2

𝑥→3 𝑥→3

403. a) lim+ 𝑥→2

2𝑥 2 − 3𝑥 − 1 𝑠𝑖 𝑥 < 2 Si 𝑓 𝑥 = 𝑠𝑖 𝑥 = 2 ; calcular los siguientes límites: 1 2 −𝑥 + 6𝑥 − 7 𝑠𝑖 𝑥 > 2 𝑓 𝑥 Rta.: 1

b) lim− 𝑓 𝑥

Rta.: 1

c) lim 𝑓 𝑥

Rta.: 1

𝑥→2 𝑥→2

Cursillo Pi

64

Ing. Raúl Martínez

404. Calcular los siguientes límites: a) lim 4𝑥 2 − 7𝑥 + 3

Rta.: +∞

𝑥→+∞

3𝑥 3 + 2𝑥 2 − 5𝑥 + 3

Rta.: +∞

lim

3𝑥+2 5𝑥−1

Rta.: 3/5

d) lim

3−2𝑥 5𝑥+1

Rta.:−2/5

e) lim

5𝑥2 −4𝑥+2 3𝑥+2

Rta.: +∞

b) lim

𝑥→+∞

c)

𝑥→+∞

𝑥→+∞

𝑥→+∞

f)

lim

𝑥→+∞

g) lim

𝑥→+∞

h) lim

𝑥→+∞

i) j) k)

lim

𝑥→+∞

lim

𝑥→+∞

lim

𝑥→+∞

𝑥2 −3𝑥+4

Rta.: 0

3𝑥3 +5𝑥2 −6𝑥+2 𝑥2 +𝑥+1 𝑥+1 𝑥2 1+𝑥 𝑥

Rta.:1 Rta.: +∞

𝑥2 − 𝑥 + 1 − 𝑥

Rta.:−1/2

𝑥+ 𝑥+ 𝑥− 𝑥

Rta.: 1/2

𝑥+ 3 𝑥+ 4 𝑥 4𝑥+1

Rta.: 1/2

405. Dada la función 𝑓 𝑥 = 𝑥 2𝑛 siendo 𝑛 ∈ 𝑍 podemos afirmar que: a) 𝑓(𝑥) es impar si 𝑛 es par b) 𝑓(𝑥) es impar si 𝑛 es impar c) 𝑓(𝑥) es par sólo si 𝑛 es par d) 𝑓(𝑥) es siempre par e) 𝑓(𝑥) no es impar si 𝑛 es par 406. Sean𝑓 y 𝑔 funciones impares, entonces podemos afirmar que: a) 𝑓. 𝑔 es par b) 𝑓. 𝑔 es impar c) 𝑓/𝑔 es impar d) 𝑓 + 𝑔 es par e) 𝑓 − 𝑔 es impar 407. a) b) c) d) e)

Dadas las funciones 𝑕 𝑥 =

1 2

𝑓 𝑥 + 𝑓 −𝑥

y 𝑔 𝑥 =

1 2

𝑓 𝑥 − 𝑓 −𝑥

afirmar que: 𝑔 𝑥 es par y 𝑕(𝑥) es impar 𝑕(𝑥) y 𝑔 𝑥 son pares 𝑕(𝑥) y 𝑔 𝑥 son impares 𝑕(𝑥) es par y 𝑔(𝑥) es impar Ninguna es par

Cursillo Pi

65

Ing. Raúl Martínez

podemos

408. Sea 𝑓 𝑥 = 𝑥 2 . La función 𝑔(𝑥) de manera que 𝑓 ∘ 𝑔 𝑥 = 4𝑥 2 − 12𝑥 + 9 es: a) 4𝑥 2 b) 3 − 2𝑥 c) 𝑥 + 9 d) −𝑥 + 9 e) 4𝑥 2 + 9 409. Dadas las siguientes afirmaciones: I. Si 𝑓 𝑎 = 𝑓(𝑏), entonces 𝑎 = 𝑏 II. Una recta vertical puede cortar a la grafica de una función a lo sumo una vez III. Si 𝑓 𝑥 = 𝑓 −𝑥 ∀𝑥 en el dominio de 𝑓, entonces la grafica de 𝑓 es simétrica respecto al eje 𝑦. IV. Si 𝑓 es una función, entonces 𝑓 𝑎𝑥 = 𝑎𝑓(𝑥) Es o son verdaderas: a) I y II b) I, II y III c) II y III d) III y IV e) I y IV 410. Dadas las siguientes afirmaciones, la correcta es: a) Si 𝑓(𝑥) es creciente, entonces 𝑓 𝑎 = 𝑓(𝑏) si 𝑎 ≠ 𝑏 b) La función 𝑓 𝑥 = 𝜆𝑥 + 3 es creciente si λ > 0 c) Una función puede ser par e impar a la vez d) Si 𝑓(𝑥) es creciente entonces 𝑔 𝑥 = −𝑓(𝑥) es también creciente e) Si 𝑓(𝑥) es par, entonces 𝑔 𝑥 = −𝑓(𝑥) es impar

411. Si el punto 𝑃 2𝑚 − 8 , 𝑚 pertenece al eje 𝑦 entonces: a) 𝑚 es un numero primo b) 𝑚 es primo c) 𝑚 es un cuadrado perfecto d) 𝑚 = 0 e) 𝑚 < 4 412. Si el punto 𝑃 𝑟 − 12 ; 4𝑟 − 6 pertenece a la primera bisectriz, entonces podemos afirmar que: a) 𝑟 es un número natural b) 𝑟 = −3 c) 𝑟 es raíz de ecuación 𝑥 3 − 𝑥 2 + 𝑥 + 14 = 0 d) 𝑟 es un número entero menor de −3 e) No existe 𝑟 en estas condiciones

Cursillo Pi

66

Ing. Raúl Martínez

413. El punto 𝐴 pertenece al semieje positivo de las ordenadas, dados los puntos 𝐵 2 , 3 y 𝐶 −4 , 1 . Se sabe que desde el punto 𝐴 se visualiza los extremos del segmento 𝐵𝐶 sobre un ángulo recto. En estas condiciones, podemos afirmar que el punto 𝐴 es: A) 3 , 0 B) 0 , −1 C) 0 , 4 D) 0 , 5 E) 0 , 3 414.

Siendo 𝑤 la longitud de la mediana relativa al lado 𝐵𝐶 del triángulo

𝐴 0 , 0 ; 𝐵 4 , 6 y 𝐶 2 , 4 . Entonces 𝑤 2 es igual es: A) 25 B) 32 C) 34

∆ , y siendo 𝐴𝐵𝐶

D) 44

E) 16

415. Conociendo el baricentro 𝐵 3 , 5 , del triángulo ∆ donde 𝑥 2 , 5 ; 𝑦 −4 , 6 ¿Cuál 𝑋𝑌𝑍 es la longitud del segmento 𝐵𝑍? Rta.: 𝐵𝑍 = 651/2 416. Los puntos 𝐴 𝑚 , 7 , 𝐵 0 , 𝑛 y 𝐶 3 , 1 son los vértices de un triángulo cuyo baricentro es el punto 𝐺 6 , 11 . Calcular el valor de 𝑚2 + 𝑛2 Rta.: 850 417. A) 4

Si los puntos 𝑃 3 , 5 , 𝑄 −3 , 8 y 𝐶 4 , 𝑦 son colineales , entonces el valor de 𝑦 es: B) 3 C) 3,5 D) 4,5 E) 2

ANEXO: Posición relativa de dos rectas 1. Rectas coincidentes: 2. Rectas paralelas: 3. Rectas concurrentes:

𝑎 𝑎′

𝑎

𝑎′ 𝑎 𝑎′

= = ≠

𝑏 𝑏′

𝑏

𝑏′ 𝑏

= ≠

𝑐 𝑐′ 𝑐 𝑐′

𝑏′

Dadas las rectas: 𝑟 … … … … … 3𝑥 + 2𝑦 − 15 = 0 𝑠 … … … … … 9𝑥 + 6𝑦 − 45 = 0 𝑡 … … … … … 12𝑥 + 8𝑦 − 60 = 0 Podemos afirmar: a) Ellas son paralelas. b) Son concurrentes. c) 𝑟 ⫽ 𝑠 ⫽ 𝑡. d) 𝑟 es concurrente con 𝑠y con𝑡. e) Las tres ecuaciones representan un misma recta.

418.

Cursillo Pi

67

Ing. Raúl Martínez

419. Analice las afirmativas siguientes y marque falso o verdadero. a) Toda recta tiene coeficiente angular. ( ) b) Una recta perpendicular al eje de ordenada tiene coeficiente angular nulo.( ) c) Si la inclinación de una recta es un ángulo obtuso, su coeficiente angular es positivo. ( ) d) Si el coeficiente angular de una recta es positivo, su inclinación será un ángulo agudo. ( ) e) Si el coeficiente angular de una recta es nulo, ella es obligatoriamente coincidente con el eje de abscisas. ( ) f) Una recta perpendicular al eje de abscisas no tiene coeficiente angular. ( ) 420. Dadas las rectas de ecuaciones: 2𝑤 − 2 𝑥 + 𝑤 − 1 𝑦 + 𝑤 = 0 𝑤 − 3 𝑦 + 𝑥 − 2𝑤 = 0 Podemos afirmar: A) Estas rectas son perpendiculares para cualquier valor de 𝑤 B) Son perpendiculares si 𝑤 = 1 C) Son perpendiculares si 𝑤 = −1 D) Son perpendiculares si 𝑤 = 0 E) Estas rectas no pueden ser perpendiculares 421. La segunda derivada de 𝑦 = 1 + 𝑥 2 arctg 𝑥 es: a) 2𝑥 arctg 𝑥 + 1 b) 1 c) d)

2𝑥 1+𝑥2 2 1−𝑥2 1+𝑥2

2

e) 2 arctg 𝑥 + 422. a) b) c) d) e)

La derivada de 𝑓 𝑥 = sen3 (𝑥 2 ); es: 6𝑥 sen2 𝑥 2 3 sen2 𝑥 2 cos 𝑥 2 3𝑥 sen2 𝑥 2 cos 𝑥 2 6𝑥 sen2 𝑥 2 cos 𝑥 2 2𝑥 sen2 𝑥 2 cos 𝑥 2 Si 𝑓 𝑥 = 4 − 𝑥 2 y 𝑔 𝑥 = 5 − 2𝑥; la derivada de

423. a)

−6𝑥2 +10𝑥−8 5−2𝑥

424.

𝑥→+∞

b)

6𝑥2 +10𝑥+8 5−2𝑥

2

81𝑥4 −1 = 𝑎 y lim 3𝑥2 −8 𝑥→0

b) 2/3

c)

−6𝑥2 +10𝑥+8 5−2𝑥

2

𝑓 (𝑥) es igual a: 𝑔 2𝑥2 −10𝑥+8

d)

c) −3

2

d) 2

𝑥→3

b) 4

5−2𝑥

e)

6𝑥2 −10𝑥−8 5−2𝑥

𝑥 = 𝑏 ; el valor de 𝑎 + 𝑏 es: 1+𝑎𝑥−1

Dada la función 𝑓 𝑥 = 𝑥 2 − 3𝑥 + 1 ; el valor de lim

a) −3 Cursillo Pi

2

Si lim

a) 3 425.

2𝑥 1+𝑥2

c) 6 68

e) 11/3

𝑓 𝑥 −𝑓 3 ; es: 𝑥−3

d) 0

e) 3 Ing. Raúl Martínez

2

El lim

426.

𝑥→0

arcsen 𝑥2 es: cos 1−𝑥2

b) +∞

a) 0

c) −1

d) 1/2

e) −1/2

Sabiendo que lim 𝑓 𝑥 = −2, lim 𝑔 𝑥 = 2 y lim 𝑕 𝑥 = 2 el valor de lim

427.

𝑥→𝑎

𝑥→𝑎

𝑥→𝑎

𝑥→𝑎

𝑓𝑥 − 𝑔𝑥

𝑓 𝑥 +𝑔 𝑥 𝑕𝑥

a) 3

c) −2

b) 0

428. Sea 𝑓 𝑔 𝑥 a) 𝑥 − 2

d) −1

= 5𝑥 − 2 y 𝑓 𝑥 = 5𝑥 + 4 entonces 𝑔(𝑥) es igual a: b) 𝑥 − 6 c) 𝑥 − 6/5 d) 5𝑥 − 2

e) 1

e) 5𝑥 + 2

Si lim 𝑓(𝑥) = 𝑀, lim 𝑔(𝑥) = 𝑁 y lim 𝑕(𝑥) = 𝑃 entonces las proposiciones

429.

𝑥→2

I. II. III. IV.

𝑓𝑥 𝑀 lim = 2 𝑔 𝑥 𝑥→8 𝑁

lim

2𝑕 𝑥 . 𝑔 𝑥

lim

1

lim

𝑓 𝑥 −𝑔 𝑥

𝑥→8 𝑥→4 𝑥→8

2

Es/son falsa/s: a) Solo I

𝑥→2

𝑥→8

= 2𝑃. 𝑁

𝑓 𝑥 +𝑔 𝑥

=2 𝑀+𝑁 =4 𝑀−𝑁

b) I y IV

c) I y III

d) III y IV

e) Todos

430. La función 𝑓 es tal que 𝑓 2𝑥 + 3 = 3𝑥 + 2 en esas condiciones, 𝑓 3𝑥 + 2 es igual a: a) 2𝑥 + 3 b) 3𝑥 + 2 2𝑥+3 4 9𝑥+1 d) 2 9𝑥−1 e) 3

c)

𝑟1 : 𝑎𝑥 + 7𝑦 − 25 = 0 son las bisectrices de los ángulos formados por las rectas 𝑟2 : 14𝑎𝑥 − 32𝑦 − 25 = 0 𝑎1 𝑥 + 𝑏1 𝑦 + 𝑐1 = 0 y 𝑎2 𝑥 + 𝑏2 𝑦 + 𝑐2 = 0. Entonces el/los valor/es de 𝑎 es/son: a) Solo 4 b) Solo −4 c) 4 o −4 d) 4 o 2 e) 4 o 0

431.

Cursillo Pi

Si

69

Ing. Raúl Martínez

432. Dadas las siguientes afirmaciones, la correcta es: a) Una función inyectiva siempre es creciente b) La composición de funciones impares es una función par c) La composición de dos funciones inversas es igual a la función identidad d) Cualquier función no nula posee inversa e) Si 𝑓(𝑥) y 𝑔(𝑥) son inversas, entonces 𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 = 1 Sean 𝑓 𝑥 = 𝑥 y 𝑔 𝑥 = 2 − 𝑥. La opción falsa, es:

433. 𝑓∘𝑔 𝑔∘𝑓 𝑔∘𝑓 𝑔∘𝑔 𝑓∘𝑓

a) b) c) d) e)

434. a: a) 𝑓 𝑥 b) 𝑓 𝑥 c) 𝑓 𝑥 d) 𝑓 𝑥 e) 𝑓 𝑥

𝑥 = 2−𝑥 𝑥 =2− 𝑥 25 = −3 𝑥 =𝑥 𝑥 =4𝑥 Sea 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥 + 𝑏, 𝑎 y 𝑏 no nulos, si 𝑓 1 = 4 y 𝑓 −1 −1 = 0 entonces 𝑓 𝑥 es igual

= −𝑥 + 4 =5−𝑥 = −4𝑥 + 5 = 4𝑥 + 5 = 5𝑥 − 1

435. a) 24

Si 𝑓 2𝑥 + 2 = 3𝑥 + 6, el valor de 𝑓 6 es: b) 18 c) 15

436.

Si 𝑓 𝑥 =

I. II. III.

lim

𝑥→𝑎 −

lim

𝑥→𝑎 +

a) 25

Cursillo Pi

d) Todas

e) Ninguna

𝑓 𝑥 = −1 𝑓 𝑥 =1

lim 𝑓 𝑥 = 1

𝑥→𝑎

Si lim

𝑥→∞

a) 18

438.

e) 6

𝑥−𝑎 entonces, se deduce que: 𝑥−𝑎

De las afirmaciones anteriores, es o son verdaderas: a) Solo I y II b) Solo II y III c) Solo I y III 437.

d) 12

𝑥−4 +𝑥3 𝑥−81 = ℓ1 y lim = ℓ2 , entonces el valor de ℓ1 ∙ ℓ2 es igual a: 3 𝑥−9 2𝑥 +𝑥−3 𝑥→81

b) 1/2

c) 1

d) 9

Si lim 𝑓 𝑥 = −1 y lim 𝑔 𝑥 = 4, entonces el lim 𝑥→0

𝑥→0

b) 25/3

𝑥→0

c) 3

70

e) 36 𝑓 𝑥 −4

2

𝑔 𝑥 +5

d) −25/3

es igual a: e) −2

Ing. Raúl Martínez

𝑥

5 −3𝑥 Al calcular lim se obtiene: 𝑥 𝑥→0

439. a) −3/5 b) ln 2 c) 1/2 d) ln

5 3

e) 0 Sea la función 𝑓 𝑥 =

440.

en 𝑥 = 1, es: a) 2

c) 1

e) −2

d) 0

𝑥 + 1𝑠𝑖 𝑥 ≠ 1 . El valor de lim 𝑔(𝑥): 𝑥→1 𝜋 𝑠𝑖 𝑥 = 1 No existe porque la función no es continua en 𝑥 = 1. Es igual a 2 porque el valor del límite no depende del valor de 𝑔(𝑥) en 𝑥 = 1. Es igual a 𝜋 por ser la imagen de 𝑥 = 1. Los límites laterales son distintos. El límite no existe. Sea 𝑔 𝑥 =

441. a) b) c) d) e)

b) −1

𝑥 + 1 𝑠𝑖𝑥 ≤ 1 . El valor de 𝑎2 + 1 para que 𝑓(𝑥) sea continua 3 − 𝑎𝑥 2 𝑠𝑖𝑥 > 1

442. Si 𝑓(𝑥) es una función continua en 𝑥 = 𝑎: I. 𝑓 está definida en 𝑥 = 𝑎. II. lim 𝑓 𝑥 = 𝑎 𝑥→𝑎

lim

III.

𝑥→𝑎 +

𝑓 𝑥 =𝑓 𝑎

De las afirmaciones anteriores, la cantidad de opciones verdadera/s es/son: a) 1 b) 2 c) 3 d) Todas 443.

Si 𝑓 𝑥 =

e) Ninguna

2𝑥+4 entonces, la afirmación correcta es: 𝑥2 −4

a) 𝑓(𝑥) es continua en todo 𝑥 ∈ 𝑅. b) 𝑓(𝑥) está definida para todo 𝑥 ∈ 𝑅 excepto en 𝑥 = −2. c) lim 𝑓 𝑥 no existe. 𝑥→−2

d) 𝑓 𝑥 presenta una discontinuidad evitable en 𝑥 = −2. e) 𝑓 𝑥 presenta una discontinuidad no evitable en 𝑥 = −2.

444.

Dada la función 𝑓: 𝑅 → 𝑅 tal que 𝑓 𝑥 =

𝑓 𝑥 sea continúa, es igual a: a) 1 b) 0

Cursillo Pi

c) −1

71

𝑥2 −3𝑥+2𝑠𝑖 𝑥 ≠ 1 𝑥−1 𝑠𝑖 𝑥 = 1, el valor de 𝑚 para que

𝑚

d) 3

e) −3

Ing. Raúl Martínez

445.

Dada la función 𝑓 𝑥 = sen

a) cos

𝑥2 + 1

b) c) d) e)

𝑥 𝑥 2 +1 𝑥 𝑥 2 +1 2𝑥 𝑥 2 +1

sen 𝑥2 + 1 cos

𝑥2 + 1

cos

𝑥2 + 1

𝑥 2 + 1 cos

446.

𝑥2 + 1

Al derivar implícitamente 𝑒 𝑦 cos 𝑥 = 1 + sen 𝑥𝑦 se obtiene:

a) 𝑦 ′ =

𝑦 cos 𝑥𝑦 +𝑒𝑦 sen 𝑥 𝑒𝑦 cos 𝑥−𝑥 cos 𝑥𝑦

b) 𝑦 ′ =

𝑦 cos 𝑥𝑦 −𝑒𝑦 sen 𝑥 𝑒𝑦 cos 𝑥+𝑥 cos 𝑥𝑦

c) 𝑦 ′ =

𝑥 2 + 1 , entonces 𝑓 ′ 𝑥 es:

𝑦 cos 𝑥𝑦 +sen 𝑥 𝑥𝑦

𝑒𝑦 cos 𝑥−𝑥 cos

d) 𝑦 ′ =

𝑥 cos 𝑥𝑦 +𝑒𝑦 sen 𝑥 𝑒𝑦 cos 𝑥−𝑦 cos 𝑥𝑦

e) 𝑦 ′ =

𝑦 cos 𝑥𝑦 +𝑒𝑥 sen 𝑥 𝑒𝑥 cos 𝑥−𝑥 cos 𝑥𝑦

447. La ecuación de la recta tangente a la curva 𝑥 2 + 𝑥𝑦 + 𝑦 2 = 3 en el punto 1, 1 , es: a) 𝑦 = 𝑥 + 5 b) 𝑦 + 𝑥 = 2 3 2 5 d) 𝑦 + 𝑥 = 2 2

c) 𝑦 = 𝑥 + 7 e) 𝑦 = 𝑥 + 2

448. Uno de los extremos de un segmento rectilíneo de longitud 5 es el punto 𝐴 3, −2 . Si la abscisa del otro punto extremo es 6, una de sus ordenadas es: a) 1 b) −1 c) −6 d) 6 e) −2 449. Las coordenadas de los extremos 𝐴 y 𝐵 del segmento que es dividido en tres partes iguales por los puntos 𝑃 2, 2 y 𝑄 1, 5 son: a) 3, −1 y 0, −8 b) 3, −1 y 8, 0 c) −3, −1 y 0 , 8 d) 3, −1 y 0, 8 e) −3, 1 y 0, −8 450. El punto 𝑃 ordenada 10 está en la recta cuya pendiente es 3 y que pasa por el punto 𝐴 7, −2 . Entonces, la abscisa de 𝑃 es: a) 17 b) −1 c) 11 d) −3 e) 29/3 Cursillo Pi

72

Ing. Raúl Martínez

451. Dada las siguientes afirmaciones con respecto a la recta 2𝑦 + 3𝑥 − 12 = 0. I. La recta intercepta al eje 𝑋 en el punto 4, 0 . II. La recta intercepta al eje 𝑌 en el punto 0, 0 . III. La inclinación de la recta es un ángulo obtuso. IV. La ordenada al origen de la recta es 12. Es/son verdadera/s: a) Solo III b) I y II c) I y III d) I, II y III e) Solo IV

452. Una recta 𝑟, cumple las siguientes condiciones: a) Pasa por el punto 𝑃 1, 2 . b) Su pendiente verificar la relación 𝑚2 − 2𝑚 − 3 = 0. c) Su inclinación es un ángulo agudo. La ecuación de la recta 𝑟, es: A) 3𝑥 − 𝑦 − 1 B) 3𝑥 − 𝑦 + 1 = 0 C) 𝑥 − 𝑦 + 1 = 0 D) 𝑥 + 𝑦 − 3 = 0 E) 5𝑥 − 𝑦 − 2 = 0 453. Dada las rectas paralelas 𝐴1 𝑥 + 𝐵1 𝑦 + 𝐶1 = 0 y 𝐴2 𝑥 + 𝐵2 𝑦 + 𝐶2 = 0, podemos afirmar que: a) 𝐴1 𝐵2 + 𝐴2 𝐵1 = 0 b) 𝐴2 𝐵2 + 𝐴2 𝐵1 = 0 c) 𝐴1 𝐵1 + 𝐴2 𝐵1 = 0 d) 𝐴1 𝐵1 + 𝐴2 𝐵2 = 0 e) 𝑨𝟏 𝑩𝟐 − 𝑨𝟐 𝑩𝟏 = 𝟎 454. Sean 𝑟1 : 𝑘𝑥 − 2𝑥 − 𝑦 + 1 = 0 y 𝑟2 : 𝑘𝑥 = 𝑦 − 7 dos rectas. El valor de 𝑘 para que 𝑟1 y 𝑟2 sean perpendiculares, es: a) −1 b) 2 c) −2 d) 1/2 e) 1 455. Sea 𝑃 un punto que pertenece al semieje positivo de la ordenada, cuya distancia a la recta bisectriz de los cuadrantes impares es de 2 unidades, la suma de las coordenadas del punto 𝑃 es igual a: c) 0 a) 2 + 2 b) 2 d) 2 2 e) 3 456. El punto 𝑃 𝑥, 𝑦 se encuentra en el tercer cuadrante sobre la bisectriz de los cuadrantes impares. De acuerdo a esta información: I. El valor de −𝑥 es negativo II. La distancia del punto 𝑃 al origen es 𝑥 unidades III. La proyección del punto 𝑃 sobre el eje de ordenadas es el punto 𝑄 0, 𝑥 IV. La proyección del punto 𝑃 sobre el eje de abscisa es el punto 𝐴 −𝑥, 0 Es/son verdadera/s: a) I y III b) Solo III c) I, II y IV d) II y III e) I, III y IV Cursillo Pi

73

Ing. Raúl Martínez

457. En la siguiente grafica, cada cuadrado tiene 1 unidad de área, el módulo de la resultante de los vectores es igual a: 2

a)

b) 5 c) 2 d) 3 e) 1

Un vector fijo 𝐴 es tal que 𝐴

458.

= 1 y forma un ángulo de 120° con el eje 𝑋 positivo, en

esas condiciones, el extremo de 𝐴 , es: 1 2 1 − 2 1 − 2

− ,−

a) b) c)

, ,

3 2

1 2 3 2

3 1 ,− 2 2 3 1 , 2 2

−

d) e) 459.

Dadas las siguientes afirmaciones sobre los dos vectores 𝑈 y 𝑉 en el plano, la falsa es:

a) Si 𝛼𝑉 = 𝑂 , entonces 𝛼 = 0 o 𝑉 = 𝑂 b) Si 𝛼𝑉 = 𝛼𝑈 y 𝛼 ≠ 0, entonces 𝑈 = 𝑉 c) 𝑈 ∙ 𝑈 = 𝑈

2

d) Si 𝑈 ∙ 𝑉 = 0, entonces 𝑉 = 𝑂 o 𝑈 = 𝑂 e) 𝑉 ≠ 𝑂 , entonces

𝑉 𝑉

es un vector unitario

460. En el grafico de la figura, ¿Cuál/es de las siguientes afirmaciones es/son verdadera/s? I. 𝑓 −1 = 𝑓 2 II. 𝑓 3 = 0 𝑦 III. 𝑓 −2 − 𝑓 0 = 2 3

a) b) c) d) e)

Solo I Solo II Solo III I y II I, II y III

Cursillo Pi

2 1 −3 −2 −1

74

1

2

3 𝑥

Ing. Raúl Martínez

Dada la función 𝑓 𝑥 =

461. a) b) c) d) e)

1+6𝑥 𝑥−4 − 1−6𝑥 𝑥−4 − 1+6𝑥 𝑥−4 1+6𝑥 𝑥+4 −1−6𝑥 𝑥+4

4𝑥−1 para 𝑥 ≠ −6, la función inversa de 𝑓, es: 𝑥+6

462. Dos vértices consecutivos de un pentágono regular son A( −2 , 5 ) y B( 4 , −3). El perímetro de dicho pentágono es: a) 100 b) 60 c) 50 d) 25 e) 90 463. Dados los puntos A −1 , 7 y B( 11 , −8 ). Las sumas de las abscisas de los puntos que dividen al segmento AB en tres partes iguales es: a) 5 b) -5 c) 15 d) 10 e) 7 464. El punto P es colineal simultáneamente con A(−1 , −2) y B(2 , 1 ) y con los puntos C(2 , −1) y B(1 , −4). Entonces el punto P se encuentra en el: a) 1𝑒𝑟 𝐶 b) 2𝑑𝑜 𝐶 c)3𝑒𝑟 𝐶 d) 4𝑡𝑜 𝐶 e) eje X 465. Los puntos P y Q están situados respectivamente sobre las rectas 𝑦 = 𝑥 y 𝑦 = 4𝑥 de tal modo que A(1 , 2) es el punto medio del segmento PQ. La ordenada de Q es: a)

16

b)

3

8

c)

3

4

d)

3

2 3

e)

1 3

466. Sea 𝑟1 la recta que pasa por 𝐴 1 , 1 y 𝐵( −2 , 5). La ecuación de la recta 𝑟2 que pasa por 𝐶(2 , 3) y es perpendicular a 𝑟1 es: a) 4𝑥 + 3𝑦 − 17 = 0 b) 3𝑥 − 4𝑦 + 6 = 0 c)4𝑥 + 3𝑦 = 7 d) 𝑥 + 𝑦 = 5

e) 3𝑥 = 𝑦 + 5

467. El valor de k ϵ R∗ tal que la recta 𝑟: 𝑘 2 − 1 𝑥 + 9 + 8𝑘 − 𝑘 2 𝑦 + 8 = 0 sea paralela a la recta que pasa por los puntos 𝐴(3 , 5) y 𝐵(2 , −4) es: a) 1 b) 3 c) 4 d) 5 e) 2 468.

El valor de k ϵ R∗ tal que el punto ( 𝑘 , 1) está a una distancia igual a 1 unidad de la

recta r que pasa por los puntos 𝐴 0 , a) 1

b) 2

𝑘 2

y𝐵

2𝑘 3

, 0 , es:

c) 3

d) 4

e) 5

469. La recta r es perpendicular a la recta 5𝑥 − 𝑦 = 1 y forma con los semiejes positivos un triángulo de 62,5 unidades cuadradas. La ecuación de r es: a) 𝑥 + 25𝑦 = 5 b)𝑥 + 5𝑦 = 25 c)𝑥 + 5𝑦 + 5 = 0 d) 𝑥 + 5𝑦 + 15 = 0 Cursillo Pi

e) 5𝑥 + 𝑦 = 15 75

Ing. Raúl Martínez

470. La ecuación de la recta r que es perpendicular a la recta x=4 y que pasa por el punto de intersección de las rectas 𝑟1 : 𝑥 + 4𝑦 − 9 = 0 y 𝑟2 : 2𝑥 + 𝑦 − 4 = 0 es: 𝑥

a) 𝑦 = − + 1 4

𝑥

b) 𝑦 = − + 5

c) 𝑦 = 2

2

d) 𝑥 = 1

e) 𝑦 = 4

471. Los vectores 𝑢 = ( 𝑥 + 1 , 4) y 𝑣 = ( 𝑥 , −3) son perpendiculares. Si 𝑥 < 0 , las componentes del vector 𝑤 = 2𝑢 − 𝑣 son: a) (−2 , 11) b) (2 , 11) c)(−3 , 4) d) (−4 , −3) e) (−4 , 11) 472. Sabiendo que los vectores 𝑢 y 𝑣 forman un ángulo de 60° y , además 𝑢 = 5 y 𝑢. 𝑣 = 15, el valor de 2𝑣 . (3𝑢 − 𝑣 ) es igual a: a) 18 b) −15 c) 2 d) −18 e) 0 473.

Según la figura de abajo, el vector 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 + 𝑒 es igual a:

a) 𝑣 b) 2𝑣 c) 4𝑣 d) 5𝑣 e) 0

474.

El conjunto solución de la inecuación

a) −∞ ,

14

d) (−∞ ,

5 14 5

∪ (3 , +∞)

b) (−∞ ,

∪ (3 , +∞)

e)

14 3

14 5

5−2𝑥 3𝑥−9

≤ 1 es:

∪ 3 , +∞)

c) −∞ ,

14 5

∪ 3 , +∞)

, 3)

475. Una función de 𝑓: 𝐴 → 𝐵 es una regla que asigna: a) A cada elemento de B por lo menos un elemento de A b) A cada elemento de A al menos un elemento de B c) A cada elemento de A un único elemento de B d) A algunos elementos de A un único elemento de B e) A algunos elementos de B un único elemento de A 476. Sea la función 𝑓 𝑥 = 𝑥 2 − 𝑥 − 12 tal que 𝑓 𝑎 + 1 = 0 para un número real negativo 𝑎. El valor de 𝑓(𝑎 + 4) es igual a: a) 0

Cursillo Pi

b) −6

c) −12

76

d) 6

e) 12

Ing. Raúl Martínez

477. De las siguientes afirmaciones: I) La grafica de una función par es simétrica respecto al eje Y. II) La grafica de una función impar es simétrica respecto al origen de coordenadas III) Si 𝑓 tiene inversa, entonces las graficas de 𝑓 y de 𝑓 −1 son simétricos con respecto a 𝑦 = 𝑥. IV) Toda función biyectiva tiene inversa Es(son) correcta(s): a) Ninguna b) Solo una c) Solo dos c) Solo tres e) Todas 𝑥 2 −9

El dominio de la función 𝑓 𝑥 =

478.

𝑥−3

es el conjunto:

a) 𝑥 𝑥 ∈ 𝑅, 𝑥 ≤ −3 𝑦 𝑥 ≥ 3

b) 𝑥 𝑥 ∈ 𝑅, 𝑥 ≥ 3

d) 𝑥 𝑥 ∈ 𝑅, 𝑥 ≠ −3 𝑦 𝑥 ≠ 3

e) 𝑥 𝑥 ∈ 𝑅, 𝑥 ≠ 3

c) 𝑥 𝑥 ∈ 𝑅, 𝑥 > 3

479. Sea 𝑓: 𝑅 → 𝑅 con 𝑓 0 = 1 y tal que, para cualesquiera números reales 𝑥 y 𝑕 se satisface 𝑓 𝑥 + 𝑕 − 𝑓 𝑥 = 8𝑥𝑕 − 2𝑕 + 4𝑕2 . El valor de 𝑓(2) es igual a: a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14 480. El valor de lim𝑛 →∞ 𝑛 − 𝑛2 + 10𝑛 es: a) +∞ b) −∞ c) 5 d)−5 Si lim𝑛→∞

481. a) −

482.

1 2

b)

9𝑛 4 −9 3𝑛 4𝑛 2 −4

= 𝑝 ylim𝑝→1

1 2

c)−

2+𝑝−𝑘 𝑝+1

3

= 1, entonces 𝑝 − 𝑘 es igual a: d)

2

3

e) −1

2

2𝑥 2 + 3 𝑠𝑖 𝑥 < −2 11 𝑠𝑖 𝑥 = −2 no es verdad que: Dada la función 𝑓(𝑥) = 𝑥 − 9 𝑠𝑖 − 2 < 𝑥 ≤ 10 11 − 𝑥 𝑠𝑖 𝑥 > 10

a) lim𝑥→2+2 𝑓 𝑥 = −𝑓(−2)

b) lim𝑥→2 𝑓 𝑥 = 𝑓(−2)

d) lim𝑥→10 𝑓 𝑥 = −𝑓(12)

Cursillo Pi

e) 0

c) ……

e) lim𝑥→1 𝑓 𝑥 = −7

77

Ing. Raúl Martínez

2 El valor de 𝑘 para que la función 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 3 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 𝑘 sea continua, es: 4𝑥 − 3 𝑠𝑖 𝑥 > 𝑘

483. a) 0

b) 1

c) 2

d) 3

e) 4

484. De las siguientes proposiciones, la falsa es: a) La derivada de una suma de dos funciones derivables es la suma de las derivadas de distintas funciones b) La derivada de una constante es cero c) La derivada de un cociente de dos funciones derivables existe siempre que la derivada del denominador sea no nulo d) La derivada de un producto de dos funciones en general es igual al producto de las derivadas de dichas funciones. e) La derivada de un polinomio de grado n≥ 1 es un polinomio de grado 𝑛 − 1 La función 𝑓(𝑥) =

485.

ln 𝑥+1 −ln ⁡ (1−𝑥) 𝑥

tiene una discontinuidad evitable en 𝑥 = 0 , el valor

de 𝑓(0) para que f sea continua en 𝑥 = 0 es: a) 0 b) 1 c) 2

d) 3

e) 5

486. Dada las siguientes afirmaciones: I) La derivada de una función en un punto es la pendiente de la recta normal a la grafica en el punto evaluado en dicho punto. II) La derivada de una función 𝑓(𝑡) con respecto a x en el punto de abscisa 𝑥 = 𝑡 se define como 𝑓 ´ 𝑡 = lim∆𝑥

𝑓 𝑡 + ∆𝑥 −𝑓(𝑡) ∆𝑥

siempre que exista el límite

III) La derivada de una función siempre existe a) FVV 487. a)

e) 488.

b) VFV Si

𝑥𝑦 𝑦𝑥

c) FVF

d) VFF

e) FFF

= 1 es una función implícita, el valor de 𝑦´ es:

𝑥 ln 𝑦 −𝑦 𝑦𝑙𝑛 𝑥−𝑥

b)

𝑥(xln 𝑦 −𝑦) 𝑦(𝑦𝑙𝑛 𝑥−𝑥)

c)

𝑦(xln 𝑦 −𝑦) 𝑥(𝑦𝑙𝑛 𝑥−𝑥)

d)

𝑦(xln 𝑦 +𝑦) 𝑥(𝑦𝑙𝑛 𝑥+𝑥)

𝑦 𝑥 (xln 𝑦 −𝑦) 𝑥 𝑦 (𝑦𝑙𝑛 𝑥−𝑥)

La derivada de tercer orden de la función 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑛(𝑠𝑒𝑛2 𝑥 ) es igual a:

a) −2𝑡𝑔𝑥. sec 2 𝑥 b) 2𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑥

c)−2𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 2 𝑥

d) 4𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 2 𝑥. 𝑐𝑜𝑡𝑔𝑥

e) −4𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 2 . 𝑐𝑜𝑡𝑔𝑥 Cursillo Pi

78

Ing. Raúl Martínez

489.

Si lim𝑥→2

𝑠𝑒𝑛 𝜋𝑥 2−𝑥

a) 2𝜋

= 𝐴 y lim𝑥→0

b) 2 − 𝜋

𝑒 𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝑥 −1 ln ⁡ (1+𝑥)

= 𝐵 , el valor de A+B es igual a:

c)𝜋 − 2

d) 𝜋 + 2

e) 1 − 𝜋

490. Dadas las siguientes afirmaciones: I) La proyección ortogonal de 𝐴( 0, −4 ) sobre el eje X es (−4, 0 ). II) Si un punto A tiene abscisa diferente de cero y ordenada nula, entonces A pertenece al eje de abscisas. III) Si un punto P pertenece a la bisectriz de los cuadrantes impares, entonces sus coordenadas son inversos aditivos. Podemos afirmar que: A) Solo I y II son verdaderas. B) I y III son falsos. C) Todas son falsas. D) Todas son verdaderas. E) Solo II y III son falsas. 491. De las siguientes afirmaciones, la correcta es: A) El punto simétrico de 𝐴(6) en relación al origen es 𝐴`(6). B) La abscisa del punto simétrico de 𝐵(−2) en relación a 𝐴(6) es 2. C) Si 𝑚 > 𝑛 y 𝑑(𝐴, 𝐵) = 6 siendo 𝐴(2) y 𝐵(𝑚) entonces 𝑚 = −2. D) Dados los puntos 𝑀(3) y 𝑁(𝑘) sabiendo que 𝑑(𝑀, 𝑁) = 10, entonces la suma de posibles valores de k es seis. E) Sean 𝐴(𝑎) y 𝐵(𝑏) con 𝑎 ≠ 𝑏, entonces 𝑑(𝐴, 𝐵) > 0 solo si 𝑎 > 𝑏. 492. Dadas las rectas 𝑟1 : 𝑎1 𝑥 + 𝑏1 𝑦 + 𝑐1 = 0 y afirmaciones: I) Si 𝑟1 es paralela a 𝑟2 entonces

𝑎1 𝑎2

=

𝑟2 : 𝑎2 𝑥 + 𝑏2 𝑦 + 𝑐2 = 0 y las siguientes

𝑏1 𝑏2

II) Si 𝑟1 es perpendicular a 𝑟2 entonces 𝑎1 𝑎2 − 𝑏1 𝑏2 = 0 III) Si 𝑐1 = 𝑐2 = 0, entonces 𝑟1 y 𝑟2 son concurrentes. IV) Si

𝑎1 𝑎2

=

𝑏1 𝑏2

=

𝑐1 𝑐2

= 𝑘, entonces 𝑟1 y 𝑟2 son coincidentes

Es(son) verdadera(s): A) I, II y III

Cursillo Pi

B) II y III

C) II y IV

79

D) III y IV

Ing. Raúl Martínez

E) n.d.a

493. La suma de los posibles valores de m de manera que los puntos 𝐴(0 , −3), 𝐵(−2𝑚, 11) y 𝐶(−1, 10𝑚) estén alineados, es: A) un numero entero. B) es una cantidad no negativa C) es un numero irracional D) es un numero fraccionario E) no existe 𝑚 𝜖 𝑅 con tal propiedad 494. Dada la ecuación 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0 con 𝑎 y 𝑏 no nulos simultáneamente, entonces podemos afirmar que: A) Si c=0 entonces la ecuación representa una recta paralela a uno de los ejes coordenados. B) Si a=c=0, entonces la ecuación representa una recta vertical. C) Si b=c=0, entonces 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0 representa la ecuación del eje X D) Si a=b=1 y c=0, entonces 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0 representa la ecuación de la bisectriz de los cuadrantes pares. E) Si a=b=−1 y c=0, entonces 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0 se reduce a la ecuación de la bisectriz de los cuadrantes impares. 495. Dada la ecuación de la recta (2𝑘 + 1)𝑥 − (𝑘 + 1)𝑦 + 4 − 2𝑘 = 0, el valor de k para que dicha recta forme un ángulo de 45º con la recta y=0 es: A) 1 B)2 C) -1 D) 0 E) -2 496. Las rectas 𝑟: 𝑎1 𝑥 + 𝑏1 𝑦 + 𝑐1 = 0 , 𝑠: 𝑎2 𝑥 + 𝑏2 𝑦 + 𝑐2 = 0 y 𝑡: 𝑎3 𝑥 + 𝑏3 𝑦 + 𝑐3 = 0 son tales que: 𝑟 es perpendicular a 𝑠 y 𝑠 es paralela a 𝑡 entonces se cumple que: A) 𝑎1 𝑏1 + 𝑎2 𝑏2 = 0 B) 𝑎1 𝑎3 − 𝑏1 𝑏3 = 0 C) 𝑎1 𝑎3 + 𝑏1 𝑏3 = 0 D)

𝑎1 𝑏1

+

𝑎2 𝑏2

=0

E) 𝑎1 𝑎2 − 𝑏1 𝑏2 = 0 𝑦

𝑥

𝑏

𝑎

497. Dadas las rectas 𝑟: 𝑎𝑥 + + 2 = 0 y 𝑠: − + 𝑏𝑦 + 2 = 0 y las afirmaciones: I) r y s son paralelas II) r y s son concurrentes III) r y s son perpendiculares La secuencia correcta es: A) FVV B) VFV

C) FVF

D) VFF

E) FFF

498. Si 𝛼 es el ángulo formado por las rectas 3𝑥 − 2𝑦 + 1 = 0 y la bisectriz de los cuadrantes impares entonces el valor de 𝑡𝑔 𝛼 es igual a: A)

Cursillo Pi

1 5

B)

3 2

C)

80

2 3

D) −1

Ing. Raúl Martínez

E) −

3 2

499. La recta r pasa por el punto de intersección de las rectas 2𝑥 + 𝑦 = 0 y 2𝑥 − 𝑦 = 0 y es paralela a la recta 𝑥 = 1, la ecuación de s pasa por el punto (1 , 1) y es perpendicular a r, sabiendo que el punto (a, 1) pertenece a la recta s, entonces el valor de a es igual a: A) 1

B) 2

C)

1

D) −1

2

E) 0

500. De las siguientes proposiciones, la falta es: A) Dos vectores iguales tienen el mismo versor. B) Dos vectores opuestos tienen versores opuestos. C) Dos vectores que tienen el mismo versor son iguales. D) Si dos vectores son perpendiculares, entonces sus versores también son perpendiculares. E) El versor de un vector unitario es el mismo valor. 501. Dados los vectores 𝐴 = (1 , 3) y 𝐵 = (0 , 1). El complemento del ángulo formado por los vectores 𝑢 = 2𝐴 − 4𝐵 y 𝑣 = 3𝐴 − 3 3𝐵 mide: A) 15º

B) 75º

C) 45º

D) 30º

E) 60º

502. De las siguientes proposiciones: I) Los vectores 𝑢 = (2, 3) y 𝑣 = (4 , 9) son colineales. II) Los vectores 𝑢 = (4, 5) y 𝑣 = (−5 , 4) son perpendiculares. III) La longitud del vector 𝑢 = (cos 2𝜃 , 𝑠𝑒𝑛(2𝜃)) es 2. IV) Los vectores 𝑢 = (−2, 5) y 𝑣 = (3 , 1) forman un ángulo obtuso. Es(son) verdadera(s): A) Ninguna

B) Solo una

C) Solo dos

D) Solo tres

E) Todas

503. Las longitudes de los vectores 𝑢 y 𝑣 , en ese orden están es relación 3 : 4. Si además dichos vectores forman un ángulo de 60º, el vector proyección del vector 𝑢 sobre el vector 𝑣 es igual a: 3

A) 𝑣 4

1

1

B) 𝑣

3

C) 𝑣

4

1

D) 𝑣

2

E) 𝑣

8

8

504. Según la figura de abajo, el vector 𝐵𝐴 expresado en función de 𝐵𝐶 = 𝑢 y 𝐶𝐷 = 𝑣 , es igual a: A) 3𝑢 + 𝑣

B

C

B) 𝑢 − 𝑣 C) 3𝑢 − 𝑣 D) 𝑣 − 𝑢 E) 𝑢 + 𝑣

Cursillo Pi

2𝑢

A

81

D

Ing. Raúl Martínez

505. Se sabe que los puntos 𝑀(0,3), 𝑁(−1, 𝑘) 𝑦 𝑃(−3,3) son colineales. El valor de 𝑘 es: a) −1 b) 1 c) 3 d) −3 e) 0 506. De las siguientes afirmaciones: I) Si el punto 𝑄(𝑚, 𝑛) pertenece a la bisectriz de los cuadrantes pares, entonces m y n tienen el mismo signo. II) Si el punto 𝑅(𝑎, 𝑏) pertenece a la recta de ecuación 𝑥 + 𝑦 = 0, entonces a y b tienen el mismo signo. III) Si el punto 𝑀(𝑝, 𝑞) pertenece al eje de las ordenadas, entonces q=0 IV) Si el punto 𝐴(𝑝, 𝑞) es un punto de la bisectriz de los cuadrantes pares y 𝐵(𝑚, 𝑛) es un punto de la bisectriz de los cuadrantes impares, entonces 𝑚 = −𝑝 𝑦 𝑛 = 𝑞 La cantidad de opción(es) verdadera(s) es(son): a) una b) dos c) tres d) cuatro e) cero 507. De las siguientes afirmaciones: I) Si el punto 𝑃(𝑚, 𝑛) es distinto al origen y pertenece al eje de ordenadas, entonces 𝑚 ≠ 0 y 𝑛 = 0. II) Si 𝑝 > 0 y 𝑞 > 0, entonces los puntos 𝐴(𝑝, −𝑞) y 𝐵(−𝑝, 𝑞) pertenecen a los cuadrantes pares. III) Si el punto 𝐴(−𝑘, 𝑛) pertenece a la bisectriz de los cuadrantes pares, entonces 𝑘 = 𝑛 IV) Si el punto 𝑄(𝑎, 𝑏) es del cuarto cuadrante, entonces 𝑎 > 0 y 𝑏 > 0 Es(son) falsa(s): a)Sólo una b) Sólo dos c) Sólo tres d) Todas e) Ninguna 508. Una recta tiene un ángulo de inclinación de 135º y pasa por el punto 𝐴(1,1). Si el punto 𝐵(3, 𝑘) pertenece a dicha recta, el valor de 𝑘 es: a) −3 b) 1 c) 3 d) − 1 e) 2 509. Sea A un punto que pertenece a la mediatriz del segmento de extremos 𝑃(0,3) y 𝑄(−4,1). Hallar la ordenada de A si su abscisa es 1. a) 2 b) −2 c) −4 d) 4 e) −1 510. Dos vértices consecutivos de un pentágono regular son 𝐴(−2,5) y 𝐵(4, −3). El perímetro de dicho pentágono es: a) 100 b) 60 c) 50 d) 25 e) 10 511. Dados los puntos 𝐴(−1,7) y 𝐵(11, −8). Las suma de las abscisas de los puntos que dividen al segmento AB en tres partes iguales es: a) 5 b) −5 c) 15 d) 10 e) 7 512. El punto P es colineal simultáneamente con 𝐴(−1, −2) y 𝐵(2,1) y con los puntos 𝐶(2, −1) y 𝐵(1, −4). Entonces el punto P se encuentra en él: a) 1𝑒𝑟 𝐶 Cursillo Pi

c) 3𝑒𝑟 𝐶

b) 2𝑑𝑜 𝐶 82

d) 4𝑡𝑜 𝐶 Ing. Raúl Martínez

e) eje X

513. Los puntos P y Q están situados respectivamente sobre las rectas 𝑦 = 𝑥 y 𝑦 = 4𝑥 de tal modo que 𝐴(1,2) es el punto medio del segmento PQ. La ordenada de Q es: a)

16

b)

3

8

c)

3

4 3

d)

2

e)

3

1 3

514. Sea 𝑟1 la recta que pasa por 𝐴(1, 1) y 𝐵(−2, 5). La ecuación de la recta 𝑟2 que pasa por 𝐶(2,3) y es perpendicular a 𝑟1 es: a) 4𝑥 + 3𝑦 − 17 = 0 c) 3𝑥 − 4𝑦 + 6 = 0 e) 4𝑥 + 3𝑦 = 7 b) 𝑥 + 𝑦 = 5 d) 3𝑥 = 𝑦 + 5 515. El valor de 𝑘 ∈ 𝑅 + tal que la recta 𝑟: 𝑘 2 − 1 𝑥 + 9 + 8𝑘 − 𝑘 2 𝑦 + 8 = 0 sea paralela a la recta que pasa por los puntos 𝐴(3, −5) y 𝐵(2, −4) es: a) 1 b) 3 c) 4 d) 5 e) 2 516. El valor de 𝑘 ∈ 𝑅 + tal que el punto ( k ,1 ) esta a una distancia igual a 1 unidad de la recta r 𝑘

2𝑘

2

3

que pasa por los puntos 𝐴(0 , ) y 𝐵( a) 1

, 0) es:

b) 2

c) 3

d) 4

e) 5

517. La recta 𝑟 es perpendicular a la recta 5𝑥 − 𝑦 = 1 y forma con los semiejes positivos un triangulo de área 62,5 unidades cuadradas. La ecuación de 𝑟 es: a) 𝑥 + 25𝑦 = 5 c) 𝑥 + 5𝑦 = 25 c) 𝑥 + 5𝑦 + 5 = 0 b) 𝑥 + 5𝑦 + 15 = 0 e) 5𝑥 + 𝑦 = 15 518. La ecuación de la recta 𝑟 que es perpendicular a la recta 𝑥 = 4 y que pasa por el punto de intersección de las rectas 𝑟1 : 𝑥 + 4𝑦 − 9 = 0 𝑦 𝑟2 : 2𝑥 + 𝑦 − 4 = 0 es: 𝑥

a) 𝑦 = − + 1 4 𝑥

b) 𝑦 = − + 5 2

c) 𝑦 = 2 d) 𝑥 = 1 e) 𝑦 = 4 519. La distancia entre los puntos 𝑃(𝑎, 0) y 𝑄(0, 𝑏) es igual a: a) 𝑎 + 𝑏 c) 𝑎2 − 𝑏2 b) 𝑎 + 𝑏 d) 𝑎2 + 𝑏2

e) 𝑎 + 𝑏

520. De las siguientes afirmaciones: I) Si el punto 𝑃(𝑘, 𝑛) pertenece a la bisectriz de los cuadrantes impares, entonces 𝑘 + 𝑛 = 0. II) Si un punto se encuentra en el tercer cuadrante, entonces la abscisa es positiva y la ordenada negativa. III) Si el punto 𝐻(𝑚, 𝑛) es el segundo cuadrante, entonces 𝑚. 𝑛 < 0. IV) Si el punto 𝑀(𝑎, 𝑏) pertenece a la bisectriz de los cuadrantes pares, entonces 𝑎 + 𝑏 = 0 La cantidad de opciones falsas es: a) una c) cero e) tres b) cuatro d) dos Cursillo Pi

83

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521. Sean los puntos 𝐴(1, 3) y 𝐵(3, 4). Se prolongo el segmento AB, en sentido de A a B, hasta el punto P de modo que BP sea cinco veces de la mitad de AB. La suma de las coordenadas de P es igual a: a) 10,5 c) 13,5 e) 15,5 b) 12,5 d) 14,5 522. Dada la ecuación de la recta (4𝑘 − 3)𝑥 − (𝑘 − 3)𝑦 + 4 − 2𝑘 = 0, el valor de k para que dicha recta pase por el origen es: a) 1 c) -1 e) -2 b) 2 d) 0 523. La suma de los valores posibles de k, para que las rectas 𝑥 + 2𝑦 − 2𝑘 = 0, 𝑘𝑥 − 𝑦 − 3 = 0 y 2𝑥 + 2𝑦 − 𝑘 = 0 pasen por el mismo punto, es: a) 2 c) 3/2 e) −1/2 b) 1/2 d) −3/2 524. Si el punto 𝐶(𝑥, 𝑦) es el punto medio del segmento cuyos extremos son los puntos 𝐴(−1, 3) y 𝐵(2 , 6). La distancia del punto C al origen, es: 81 a) 1/4 e) 5 c) b)

82 2

d)

4 82 4

525. De las siguientes afirmaciones: I) Si la recta de ecuación 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0 representa a una recta vertical, entonces 𝐵 = 0 II) Si la recta de ecuación 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0 representa a una recta que pasa por el origen, entonces 𝐴 = 𝐵 = 0 𝐶

III) El punto de intersección de la recta no vertical 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0 con el eje Y es − , 0 IV) La ordenada al origen de la recta no vertical 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0 es − La cantidad de opciones verdaderas es: a) una c) cero b) cuatro d) dos

𝐵

𝐶 𝐵

e) tres

526. Sabiendo que el punto 𝑃(−2, 6) pertenece a la recta 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0, entonces 𝑎 y 𝑏 están en la relación: a) 3 c) −3 e) 1 b) 1/3 d) −1/3 527. El valor de 𝑚 para que las rectas 𝑟: 𝑦 − 𝑥 + 3 = 0 y 𝑠: 𝑚𝑥 − 3𝑦 − 1 = 0 no se corten es: a) 1/3 c) −3 e) −1 b) 1/2 d) 3

Cursillo Pi

84

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528. Dadas las rectas 𝑟: 𝑎𝑥 − 3𝑦 + 2 = 0 y 𝑠: 𝑏𝑥 + 9𝑦 − 5 = 0 . Sabiendo que la recta 𝑟 es paralela a la recta 𝑠 y que la recta 𝑟 pasa por el punto 𝑄(1,2), el valor de 𝑎 + 𝑏 es: a) 8 c) −12 e) 16 b) 4 d) −8 529. El valor de k, para el cual, las rectas (𝑘 − 1)𝑥 + 6𝑦 + 1 = 0 y 4𝑥 + (𝑘 + 1)𝑦 − 1 = 0 son perpendiculares es: 1 a) 1/5 e)−5 c) − 5 2 b) d) 5 5

530. Sea 𝑟 una recta pendiente definida que forma un ángulo de 45° con la recta bisectriz de los cuadrantes impares e interseca a la recta 𝑠 en el punto 𝑃(1, −1). Si las rectas 𝑟 y 𝑠 son perpendiculares entonces la ecuación de 𝑠 es: a) 𝑥 = 1 c) 𝑥 = −1 e) 𝑥 + 𝑦 = 1 b) 𝑦 = −1 d) 𝑦 = 1 531. El valor de k para que el triangulo de vértices 𝐴(2, 𝑘), 𝐵(4,2) 𝑦 𝐶(5,3) tenga 6 unidades cuadradas de área es igual a: a) 6 c) ±6 e) ±12 b) 12 d) −12 𝑦

𝑥

𝑝

𝑝

532. Dadas las rectas 𝑟: 𝑘𝑥 + + 2 = 0 y 𝑠: + 𝑘𝑦 + 2 = 0, para las afirmaciones: I) r y s son coincidentes si 𝑘. 𝑝 = 1 II) r y s son concurrente si 𝑘. 𝑝 ≠ ±1 III) r y s son perpendiculares si 𝑘. 𝑝 = −1 La secuencia correcta es a) FVV c) FVF b) VFV d) VFF

e) VVF

533. Dos rectas, r y s, se intersecan en el punto P(1,2). Si la pendiente de una las bisectrices de los ángulos que forman r y s es 3. La ecuación de la otra bisectriz es: a) 3𝑥 − 𝑦 − 1 = 0 c) 3𝑥 + 𝑦 − 1 = 0 e) 𝑥 − 3𝑦 − 7 = 0 b) 𝑥 + 3𝑦 − 1 = 0 d) 𝑥 + 3𝑦 − 7 = 0 534. El cuadrado del modulo de la suma de los cinco vectores libres que aparecen el siguiente plano cartesiano, es igual a: a) 53 b) 106 c) 212 d) 65 e) 130

Cursillo Pi

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535. Si los vectores 𝑢 = (4 , 3) y 𝑣 = (𝑎 , 1) forman un ángulo de 45° y sabiendo que 𝑎 es positivo, el valor de 7𝑎2 es: 1 a) 7 e) 1 c) 49 1 b) d) −1 7

536. Dados los vectores 𝐴 = (1 , 2) y 𝐵 = (1 , 0). El modulo de la proyección de 𝑢 sobre 𝑣 , siendo los vectores 𝑢 = 2𝐴 − 4𝐵 y 𝑣 = 𝐴 − 3𝐵 es igual a: c) 2 a) 3 2

e) 3

d) 2 3

b) 2 2

537. El ángulo formado por los vectores 𝑢 y 𝑣 es el doble del ángulo formado por 𝑢 y la proyección de 𝑢 sobre 𝑣 . Si 𝑢 = 𝑣 = 4, el producto escalar 𝑢. 𝑣 es igual a: a) −2 c) 4 e) −8 b) 2 d) 8 538. De las siguientes afirmaciones: I) Si los vectores no nulos 𝑢 y 𝑣 son opuestos, entonces 𝑢 .𝑣 = − 𝑢 2 II) Si el producto escalar de los vectores no nulos es negativo, entonces dichos vectores forman un ángulo obtuso. III) Todo vector unitario es versor de algún vector IV) Si los vectores no nulos 𝑢 + 𝑣 y 𝑢 − 𝑣 son perpendiculares, entonces 𝑢 2 = 𝑣 2 La cantidad de opciones falsas es: a) una c) cero e) tres b) cuatro d) dos 𝑥−2

539. El conjunto solución de la inecuación a) −∞, 1 ∪ [

1 2

, +∞)

b) (−1, +∞)

𝑥+1

c) (−1,

≤ 1 𝑒𝑠: 1 2

)

e) [

541. El dominio de la función 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 1 + a) 𝑅 − {0} b) {𝑥 𝜖 𝑅 / 𝑥 > 0} c) {𝑥 𝜖 𝑅 / 𝑥 > −1 ∧ 𝑥 ≠ 0}

1 𝑥

b) −

19

Cursillo Pi

4 2

, +∞)

e) { −

5 2

}

𝑒𝑠: d) {𝑥 𝜖 𝑅 / 𝑥 ≥ −1} e) {𝑥 𝜖 𝑅 / 𝑥 > −1 ∧ 𝑥 = 0}

542. Sabiendo que 𝑔(2𝑥 − 3) = −2𝑥 2 − 5, el valor de 𝑔 19

2

d) 𝑅 − {−1}

540. El conjunto solución de la ecuación 𝑥 + 3 = 𝑥 + 2, es: 5 a) ∅ c) 2 b) {−5} d) { 5 }

a) −

1

c) d)

19 2

3 2

− 𝑔(2) es igual a: e)

1 2

19 8

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543. Sea 𝑓 una función tal que 𝑓 𝑘 + 1 = 2𝑓 𝑘 + 1 para todo número real k. Entonces 𝑓(𝑘 + 2) es igual a: a) 2𝑓 𝑘 + 1 c) 4𝑓 𝑘 + 1 + 1 e) 𝑓 𝑘 − 2 b) 4𝑓 𝑘 + 2 d) 4𝑓 𝑘 + 3 544. Sean las funciones 𝑔(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏 y 𝑓 impar tal que 𝑓 𝑥 + 𝑦 = 𝑓 𝑥 + 𝑓(𝑦) para cualesquiera 𝑥 e 𝑦 números reales, si 𝑓(𝑎) = 𝑏 y 𝑓(2𝑏) = 2𝑎, entonces el valor de 𝑓(𝑔(−1)) es igual a: a) 𝑎 + 𝑏 c) −𝑎 + 𝑏 e) 𝑏 b) 𝑎 − 𝑏 d) 2𝑎 545. Si en la siguiente figura se tiene la grafica de la función f, entonces se puede deducir que: I) La función 𝑓 está definida en 𝑥 = −5 II) La imagen de 𝑥 = 4 a través de 𝑓 es −4 III) Una pre imagen de 0 es −8 IV) El dominio de 𝑓 es [−8, 8] V) El rango de 𝑓 es [−6, 0] De las afirmaciones anteriores, es(son) correctas (s): a) Sólo IV b) Sólo I y IV c) Todas d) Sólo II, III y V e) ninguna 546. Dadas las funciones 𝑓 𝑥 = 8𝑥 + 5 y 𝑔 𝑥 = a) 3 b) 1/2

c) 9 d) 18

1 3𝑥−7

. El valor de

𝑓 ∘ 𝑔 (3) 𝑔(3)

es:

e) 6

547. De las siguientes gráficos, el único que corresponde a una función inyectiva es:

548. Se sabe que la función 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 + (𝑎 − 1)𝑥 + 𝑎 es una función par. El valor f(a) es igual a: a) −2 b) 2

Cursillo Pi

e) −1

c) 0 d) 1

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549. La matriz cuadrada de orden 2, 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗 ) con 𝑎𝑖𝑗 = −1 a)

1 2

b)

1 −2

2 4

1 −2 2 4 1 2 d) −2 4 c)

−2 4

𝑖+𝑗

. 𝑖. 𝑗 es: e)

−1 2

2 −4

𝑚 una matriz cuadrada 2x2 donde m es un número entero cualquiera. Si 1 𝑃 = (𝑎𝑖𝑗 ) es una matriz definida por 𝑃 = 𝑥 𝑛 + 𝑥 𝑛−1 + 𝑥 𝑛−2 + … . . + 𝑥 donde 𝑛 es un numero entero positivo (𝑛 ≥ 1), entonces podemos afirmar que:

550. Sea 𝑥 =

1 0

a) Un elemento 𝑎𝑖𝑗 de la matriz P es igual a 𝑚 b) Un elemento 𝑎𝑖𝑗 de la matriz P es igual a 𝑚 c) Un elemento 𝑎𝑖𝑗 de la matriz P es igual a 𝑛

𝑛(𝑛+1) 2 𝑛(𝑛−1)

2 𝑚 (𝑛−1) 2

d) P es una matriz cuyos elementos son todos enteros, si y solamente si, 𝑚 es par e) n.d.a 551. Sean 𝑀 y 𝐵 matrices cuadradas de orden n tales que 𝑀 − 𝑀 −1 = 𝐵 . Sabiendo que 𝑀𝑡 = 𝑀−1 , podemos afirmar que: a) 𝐵2 es la matriz nula c) 𝐵2 = −2𝐼 d) B es hemisimetrica 2 b) 𝐵 es la matriz nula d) B es simétrica e) n.d.a 552. Son dadas dos matrices A y B, cuadradas de orden 𝑝. La matriz 𝐼𝑃 y la matriz 𝑂𝑃 son, respectivamente, la matriz identidad y la matriz nula, cuadradas, de orden p. En esas condiciones: a) 𝐴𝐵 = 𝐵𝐴 b) Si 𝐴𝐵 = 𝑂𝑃 entonces 𝐵𝐴 = 𝑂𝑃 c) Si 𝐴𝐵 = 𝐼𝑃 entonces 𝐵𝐴 = 𝐼𝑃 d) 𝐴𝐵 = 𝐵𝐴 si y solo si 𝐴𝐵 = 𝐼 e) n.d.a 553. Un polinomio 𝑃 𝑥 = 𝑎𝑥 3 + 𝑏𝑥 2 + 𝑐𝑥 + 𝑑 es tal que 𝑃(−2) = −2 , 𝑃(1) = −3 , 𝑃 −1 = 3. Tenemos que: a) 𝑏 = 0 c) 𝑏 = 2 e) n.d.a b) 𝑏 = 1 d) 𝑏 = 3 554. Considere los polinomios 𝑃 𝑥 = 𝑎0 𝑥 4 + 𝑎1 𝑥 3 + 𝑎2 𝑥 4 + 𝑎3 𝑥 + 𝑎4 tales que 𝑃(2) = 𝑃(3) = 𝑃(4) = 𝑃(1) = 0, donde 𝑟 ∉ 2 ; 3 ; 4 . Si no hay otras raíces, tenemos, necesariamente, que: a) 𝑎0 > 4 c) 𝑎0 ≠ 0 e) n.d.a b) 𝑎0 < 0 d) 𝑎0 > 0 Cursillo Pi

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555. Sea P un polinomio tal que 𝑃 𝑥 = 𝑎𝑥 3 + 𝑏𝑥 2 + 𝑐𝑥 + 𝑑, donde 𝑎, 𝑑, 𝑐, 𝑑 son reales. Si 𝑃(𝑥) = 0 para todo x del conjunto 1, 2, 3, 4, 5 , tenemos que: a) 𝑃(6) = 𝑎 + 1 c) 𝑃(6) = 𝑎 + 3 e) n.d.a b) 𝑃(6) = 𝑎 + 2 d) 𝑃(6) = 𝑑 556. Denotamos por 𝑛(𝑥) el número de elementos de un conjunto finito 𝑥. Sean 𝐴, 𝐵 y 𝐶 conjuntos tales que 𝑛 𝐴 ∪ 𝐵 = 8, 𝑛 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝑞, 𝑛 𝐵 ∪ 𝐶 = 10, 𝑛 𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶 = 11 𝑦 𝑛 𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶 = 2. Entonces, 𝑛(𝐴) + 𝑛(𝐵) + 𝑛(𝐶) es igual a: a) 11 c) 15 e) 25 b) 14 d) 18 557. Considere tres conjuntos 𝐴, 𝐵 y 𝐶 , tales que: 𝑛 𝐴 = 28, 𝑛 𝐵 = 21, 𝑛 𝐶 = 20, 𝑛 𝐴 ∩ 𝐵 = 8, 𝑛 𝐵 ∩ 𝐶 = 9, 𝑛 𝐴 ∩ 𝐶 = 4 𝑦 𝑛 𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶 = 3. Siendo así, el valor de n 𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶 es: a) 3 c) 20 e) 24 b) 10 d) 21 558. Considere 𝑥 = 𝑔(𝑌) la función inversa de la siguiente función: "𝑦 = 𝑓 𝑥 = 𝑥 2 − 𝑥 + 1, 1

para cada número real 𝑥 ≥ ". En estas condiciones, la función 𝑔 es así mismo definida: 2

1

a) 𝑔 𝑦 = + 2

1

3

3

4

4

1

1

4

4

𝑦 − , para cada 𝑦 ≥

b) 𝑔 𝑦 = +

𝑦 − , para cada 𝑦 ≥

c) 𝑔 𝑦 =

𝑦 − , para cada 𝑦 ≥

3

3

4

4

d) 𝑔 𝑦 =

𝑦 − , para cada 𝑦 ≥

1

1

4

4

2

3

e) 𝑔 𝑦 = + 4

1

1

2

2

𝑦 − , para cada 𝑦 ≥

559. Consideramos las siguientes afirmaciones sobre una función 𝑓: 𝑅 → 𝑅. a) Si existe 𝑥 ∈ 𝑅 tal que 𝑓(𝑥) ≠ 𝑓(−𝑥), entonces f no es par b) Si existe 𝑥 ∈ 𝑅 tal que 𝑓 −𝑥 ≠ −𝑓(𝑥), entonces f es impar c) Si f es par e impar, entonces existe 𝑥 ∈ 𝑅 tal que 𝑓 𝑥 = 1 d) Si f es impar, entonces 𝑓𝑜𝑓 (f compuesta con f) es impar Podemos afirmar que están correctas las afirmaciones de números: a) 1 y 4 c) 1 y 3 e) 1, 2 y 3 b) 1, 2 y 4 d) 3 y 4 Cursillo Pi

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560. Sea 𝑓: 𝑅 → 𝑅 una función no nula, impar y periódica de periodo p. Considere las siguientes afirmaciones: I. 𝑓(𝑝) ≠ 0 II. 𝑓 −𝑥 = −𝑓 𝑥 + 𝑝 , ∀𝑥 ∈ 𝑅 III. 𝑓 −𝑥 = 𝑓 𝑥 − 𝑝 , ∀𝑥 ∈ 𝑅 IV. 𝑓 𝑥 = −𝑓 −𝑥 , ∀𝑥 ∈ 𝑅 Podemos concluir que: a) I y II son falsas c) II y III son falsas e) II y IV son falsas b) I y III son falsas d) I y IV son falsas 561. Sea F una función definida para todo x real, satisfaciendo las condiciones: 𝑓 3 =2 𝑓 𝑥 + 3 = 𝑓 𝑥 . 𝑓(3) Entonces 𝑓(−3) vale: a) −6 c) 1/2 e) −1 b) 0 d) 2 562. La función F asocia a cada real 𝑥 el menor elemento del conjunto 𝑥 + 1, máximo de 𝑓(𝑥) es: a) 4 b) 5

c) 11/12 d) 16/3

15−𝑥 2

. El valor

e) 19/4

563. La función f es tal que, para cada número real x, vale la relación 𝑓(𝑥) + 𝑓(𝑥 − 1) = 𝑥 2 . Si 𝑓(19) = 94, entonces 𝑓(94) vale: a) 3227 c) 3763 e) 4561 b) 3572 d) 4245 564. Sean f y g funciones reales definidas por 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 y 𝑔(𝑥) = 103𝑐𝑜𝑠 5𝑥 . Podemos afirmar que: a) 𝑓 es inyectiva, par y 𝑔 es impar b) 𝑔 es sobreyectiva y 𝑔𝑜𝑓 es par c) 𝑓 es biyectiva y 𝑔𝑜𝑓 es impar d) 𝑔 es par y 𝑔𝑜𝑓 es impar e) 𝑓 es impar y 𝑔𝑜𝑓 es par 565. Denotemos por 𝑛 𝑥 al número de elementos de un conjunto finito x. Sean A, B y C conjuntos talesque 𝑛 𝐴 ∪ 𝐵 = 8, 𝑛 𝐴 ∪ 𝐶 = 9, 𝑛 𝐵 ∪ 𝐶 = 10, 𝑛 𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶 = 11 𝑦 𝑛 𝐴∩𝐵∩𝐶 =2 Entonces, 𝑛(𝐴) + 𝑛(𝐵) + 𝑛(𝐶) es igual a: a) 11 c) 15 e) 25 b) 14 d) 18 Cursillo Pi

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566. El coeficiente angular de la recta tangente a la elipse

𝑥2 16

+

𝑦2 9

= 1 en el primer cuadrante y

que corta al eje de las abscisas en el punto P(8 , 0) es: a) − b) −

3

2

c) −

3 1

d) −

2

3 3

e) −

2 4

4

567. Sean 𝑋, 𝑌 y 𝑍 subconjuntos propios de R, con vacios. Con respecto a las afirmaciones: I. 𝑥 ∩ 𝑌 ∩ 𝑋 ∪ 𝑌 𝑐 ∪ 𝑋 ∪ 𝑋 𝑐 ∩ 𝑌 𝑐 𝑐 = 𝑥 II. Si 𝑍 ⊂ 𝑋 entonces (𝑍 ∪ 𝑌) ∪ 𝑋 ∪ 𝑍 𝑐 ∩ 𝑌 = 𝑋 ∪ 𝑌 III. Si 𝑋 ∪ 𝑌 𝑐 ⊂ 𝑍, entonces 𝑍 𝑐 ⊂ 𝑋 Tenemos que: a) Solo I es verdadera b) Solo I y II son verdaderas c) Solo I y III son verdaderas d) Solo II y III son verdaderas e) Todas son verdaderas 568. En relación a la teoría de los conjuntos, considere las siguientes afirmaciones relacionadas a los conjuntos A,B y C: I. Si 𝐴 ∈ 𝐵 y 𝐵 ⊆ 𝐶 entonces 𝐴 ∈ 𝐶 II. Si 𝐴 ⊆ 𝐵 y 𝐵 ∈ 𝐶 entonces 𝐴 ∈ 𝐶 III. Si 𝐴 ⊆ 𝐵 y 𝐵 ∈ 𝐶 entonces 𝐴 ⊆ 𝐶 Están correctas: a) Ninguna de las alternativas b) Solamente la alternativa I c) Solamente las alternativas I y II d) Solamente las alternativas II y III e) Todas las alternativas 3

569. Sea 𝑓 𝑥 = 𝑎 𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑏 𝑥 + 4, donde a y b son números reales diferentes de cero. Sabiendo que 𝑓 log10 log 3 10 = 5, el valor de 𝑓 log10 log10 3 es: a) 5 c) 0 e) −5 b) 3 d) −3 570. Sean las funciones 𝑓: 𝑅 ⟶ 𝑅, 𝑔: 𝑅 ⟶ 𝑅, 𝑕: 𝑅 ⟶ 𝑅. La alternativa que representa la condición necesaria para que si 𝑓 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑕 𝑥 , entonces 𝑔(𝑥) = 𝑕(𝑥) es : a) 𝑓(𝑥) = 𝑥 b) 𝑓(𝑓(𝑥)) = 𝑓(𝑥)

Cursillo Pi

c) 𝑓 es biyectiva d) 𝑓 es sobreyectiva

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e) 𝑓 es inyectiva

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571. Siendo el punto 𝐴(8 , −2) un vértice de un rombo ABCD y 2𝑥 + 𝑦 + 1 = 0 la recta que contiene los vértices B y D, marque la opción correspondiente al vértice C. a) (−2, −8) c) (4 , 3) e) (−1 , 7) b) (0 , −4) d) −4 , −8 572. Sea 𝑓: 𝑅 ⟶ 𝑅, donde 𝑅 es el conjunto de los números reales tales que: 𝑓 4 =5 𝑓 𝑥 + 4 = 𝑓 𝑥 . 𝑓(4) El valor de 𝑓(−4) es: a) −4/5 c) −1/5 e) 4/5 b) −1/4 d) 1/5 573. Considere los conjuntos 𝐴 = 𝐹: 𝐴 ⟶ 𝐵 tal que:

1 , 2 , 1 ,3 , 2 ,3

y 𝐵 = 1, 2 , 3 , 4 , 5 , y sea la función

𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 + 𝑦 Es posible afirmar que 𝑓 es una función: a) inyectora c) biyectiva b) sobreyectiva d) par

e) impar

574. Sean 𝑓, 𝑔: 𝑅 ⟶ 𝑅 tales que 𝑓 es par y 𝑔 es impar. De las siguientes afirmaciones: I. 𝑓. 𝑔 es impar II. 𝑓𝑜𝑔 es par III. 𝑔𝑜𝑓 es impar Es (son) verdadera(s) a) solo I c) solo III e) todas b) solo II d) solo I y II 575. Sea 𝑓: 𝑅 ⟶ 𝑅\ 0 una función satisfaciendo las condiciones: 𝑓(𝑥 + 𝑦) = 𝑓(𝑥)𝑓(𝑦), para todo 𝑥, 𝑦 𝜖𝑅 y 𝑓(𝑥) ≠ 1 para todo 𝑥 ∈ 𝑅\ 0 . De las afirmaciones: I. 𝑓 puede ser impar II. 𝑓(0) = 1 III. 𝑓 es inyectiva IV. 𝑓 no es sobreyectiva, pues 𝑓 𝑥 > 0 para todo 𝑥 ∈ 𝑅 Es(son) falsa(s): a) I y III c) I y IV e) I b) II y III d) IV 576. La distancia entre el vértice y el foco de la parábola de ecuación 2𝑥 2 − 4𝑥 − 4𝑦 + 3 = 0 es igual a: a) 2 c)1 e) 1/2 b) 3/2 d) 3/4

Cursillo Pi

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577. El conjunto imagen respectivamente: a) −3 , 3 y 2𝜋 b) −2 , 2 y

2𝜋 3

y

el

periodo

de 𝑓 𝑥 = 2 𝑠𝑒𝑛2 3𝑥 + 𝑠𝑒𝑛 6𝑥 − 1 son

c) − 2 , 2 𝑦 d) −1 , 3 y

𝜋

𝜋 3

e) −1 , 3 y

2𝜋 3

3

578. Considere el conjunto 𝐷 = 𝑛 ∈ 𝑁; 1 ≤ 𝑛 ≤ 365 y 𝐻 ⊂ 𝑃(𝐷) formando por todos los subconjuntos de D con 2 elementos. Escogiendo al azar un elemento 𝐵 𝜖 𝐻, la probabilidad de que la suma de sus elementos sea 183 es igual a: a) b)

1 730 46 33215

c) d)

1 365 92

e)

91 730

33215

579. Sean A y B subconjuntos finitos de un mismo conjunto X, tales que 𝑛 𝐵\𝐴 . 𝑛 𝐴\𝐵 𝑦 𝑛(𝐴 ∩ 𝐵) Forman, en este orden una progresión aritmética de razón 𝑟 > 0. Sabiendo que 𝑛 𝐵\𝐴 = 4 y 𝑛 𝐴 ∪ 𝐵 + 𝑟 = 64 entonces 𝑛(𝐴\𝐵) es igual a: a) 12 c) 20 e) 24 b) 17 d) 22 580. Sea A un conjunto con 14 elementos y B un subconjunto de A con 6 elementos. El numero de subconjuntos de A con un numero de elementos menor o igual a 6 y distintos de B es: a) 28 − 9 c) 28 − 26 e) 28 b) 28 − 1 d) 214 − 28 581. Sean X, Y, Z, W subconjuntos de N tales que 𝑋 − 𝑌 ∩ 𝑍 = 1,2,3,4 , 𝑌 = 5, 6 , 𝑍 ∩ 𝑌 = ∅ 𝑊 ∩ 𝑋 − 𝑍 = 7 , 8 , 𝑋 ∩ 𝑊 ∩ 𝑍 = 2,4 . Entonces el conjunto 𝑋 ∩ (𝑍 ∪ 𝑊) − 𝑊 ∩ (𝑌 ∪ 𝑍) es igual a: a) 1,2,3,4,5 c) 1,3,7,8 e) 7,8 b) 1,2,3,4,7 d) 1,3 582. Considere en el plano cartesiano 𝑥𝑦 el triangulo delimitado por las rectas 2𝑥 = 𝑦, 𝑥 = 2𝑦 y 𝑥 = −2𝑦 + 10. El área de ese triangulo mide: a) 15/2 c) 11/6 e) 7/2 b) 13/4 d) 9/4 583. Sea 𝑓: 𝑅 ⟶ 𝑅 definida por 𝑓 𝑥 = 77𝑠𝑒𝑛 5(𝑥 + 𝜋/6) y sea B el conjunto dado por 𝐵 = 𝑥 ∈ 𝑅: 𝑓 𝑥 = 0 . Si 𝑚 es el mayor elemento de 𝐵 ∩ −∞, 0 y n es el menor elemento de 𝐵 ∩ (0 , +∞ ), entonces 𝑚 + 𝑛 es igual a: a) b)

Cursillo Pi

2𝜋 15 𝜋 15

𝜋

c) − d) −

30 𝜋

e) −

2𝜋 15

15

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584. El conjunto solución de 𝑡𝑔2 𝑥 − 1 1 − 𝑐𝑜𝑡𝑔2 𝑥 = 4, 𝑥 ≠ a) b)

𝜋 3 𝜋 4

+

𝑘𝜋

+

𝑘𝜋

4 4

, 𝑘𝜖𝑍

c)

, 𝑘𝜖𝑍

d)

𝜋 6 𝜋 8

+

𝑘𝜋

+

𝑘𝜋

4 4

, 𝑘𝜖𝑍

𝑘𝜋 2

, 𝑘 ∈ 𝑍, es: e)

𝜋 12

+

𝑘𝜋 4

, 𝑘𝜖𝑍

, 𝑘𝜖𝑍

585. Considere la ecuación 𝑎 𝑥 − 𝑎−𝑥 /(𝑎 𝑥 + 𝑎−𝑥 ) = 𝑚, en la variable real x, con 0 < 𝑎 ≠ 1. El conjunto de todos los valores de m para las cuales esta ecuación admite solución real es: a) −1 , 0 ∪ (0 , 1) d) (0 , ∞) b) −∞ , −1 ∪ (1 , +∞) e) (−∞ , +∞) c) (−1 , 1) 586. Sea U un conjunto no vacio con 𝑛 elementos, 𝑛 ≥ 1. Sea S un subconjunto de P(U) con la siguiente propiedad: Si 𝐴, 𝐵 ∈ 𝑆, entonces 𝐴 ⊂ 𝐵 𝑜 𝐵 ⊂ 𝐴 El número máximo de elementos que S podrá tener es: a) 2𝑛−1 b) 𝑛/2, si 𝑛 fuera par, y (𝑛 + 1)/2 si 𝑛 fuera impar c) 𝑛 + 1 d) 2𝑛 − 1 e) 2𝑛−1 + 1 587. Si 𝛼 𝜖 0 , 2𝜋 es el argumento de un numero complejo 𝑧 ≠ 0 y 𝑛 es un numero natural tal que 𝑧/|𝑧| 𝑛 = 𝑖𝑠𝑒𝑛(𝑛𝛼) entonces es verdad que: a) 2𝑛𝛼 es múltiplo de 2𝜋 b) 2𝑛𝛼 − 𝜋 es múltiplo de 2𝜋 c) 𝑛𝛼 − 𝜋/4 es múltiplo de 𝜋/2 d) 2𝑛𝛼 − 𝜋 es múltiplo no nulo de 2 e) 𝑛𝛼 − 2𝜋 es múltiplo de 𝜋 588. Sean la recta 𝑠: 12𝑥 − 5𝑦 + 7 = 0 y la circunferencia 𝑐: 𝑥 2 + 𝑦 2 + 4𝑥 + 2𝑦 = 11. La recta p, que es perpendicular a 𝑠 y es secante a 𝑐, corta al eje en un punto cuya ordenada pertenece al siguiente intervalo. a) − b) −

91 12 81 12

,− ,−

81 12 74 12

c) − d)

74

,−

12 30 74 12

,

30 12

e)

75 12

,−

91 12

12

589. Los focos de una elipse son 𝐹1 0 , −6 𝑦 𝐹2 0 , 6 . Los puntos 𝐴(0 , 9) y 𝐵(𝑥 , 3), 𝑥 > 0, están en la elipse. El área del triangulo con vértices en B, 𝐹1 y 𝐹2 es igual a: a) 22 10

c) 15 10

b) 18 10

d) 12 10

Cursillo Pi

94

e) 6 10

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590. Considere los conjuntos 𝑆 = 0, 2, 4, 6 , 𝑇 = 1,3, 5 𝑦 𝑈 = 0, 1 y las afirmaciones: I. 0 ∈ 𝑆 𝑦 𝑆 ∩ 𝑈 ≠ ∅ II. 2 ⊂ 𝑆\𝑈 𝑦 𝑆 ∩ 𝑇 ∩ 𝑈 = 0, 1 III. Existe una función 𝑓: 𝑆 ⟶ 𝑇 inyectiva IV. Ninguna función 𝑔: 𝑇 ⟶ 𝑆 es sobreyectiva Entonces, es(son) verdadera(s): a) solo I b) solo IV c) solo I y IV d) solo II y III e) solo III y IV 591. Una circunferencia pasa por los puntos 𝐴 = 0 , 2 , 𝐵 = 0 , 8 𝑦 𝐶 = (8 , 8). Entonces, el centro de la circunferencia y el valor de su radio, respectivamente son: a) (0 , 5) y 6 c) (4 , 8) y (5 , 5) e) (4 , 6) y 5 b) (5 , 4) y 5 d) (4 ,5) y 5 592. Considere todos los números 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦 que tienen modulo 𝑥 2 + 4𝑦 2 = 4 . Entonces, el producto de ellos es igual a: a) b)

25

c)

9 49

d)

16

81

7 2

y están en la elipse e) 4

25 25 7

593. Sea 𝐷 = 𝑅\ 1 y 𝑓: 𝐷 ⟶ 𝐷 una función dada por 𝑓 𝑥 = I. 𝑓 es inyectiva y sobreyectiva II. 𝑓 es inyectiva y sobreyectiva III. 𝑓(𝑥) + 𝑓(1/𝑥) = 0, para todo 𝑥 ∈ 𝐷, 𝑥 ≠ 0 IV. 𝑓(𝑥). 𝑓(−𝑥) = 1, para todo 𝑥 ∈ 𝐷 Entonces, son verdaderas: a) solo I y III c) solo II y III b) solo I y IV d) solo I, III y IV

𝑥+1 𝑥−1

. Considere las afirmaciones:

e) solo II, III y IV

594. La distancia focal y la excentricidad de la elipse con centro en el origen y que pasa por los puntos (1 , 0) y (0 , −2 ) son respectivamente: a) 3 𝑦 b)

Cursillo Pi

1 2

1 2

𝑦 3

c)

3 2

𝑦

d) 3 𝑦

95

1

e) 2 3 𝑦

2

3 2

3 2

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595. Considere las siguientes afirmaciones sobre el conjunto 𝑈 = 0, 1, 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 : I. ∅ ∈ 𝑈 𝑦 𝑛(𝑈) = 10 II. ∅ ⊂ 𝑈 𝑦 𝑛(𝑈) = 10 III. 5 ∈ 𝑈 𝑦 5 ⊂ 𝑈 IV. 0, 1, 2, 5 ∩ 5 = 5 Se puede decir, entonces que es(son) verdadera(s): a) solo I y III b) solo II y IV c) solo II y III d) solo IV e) todas las afirmaciones 596. Sea el conjunto 𝑆 = 𝑟 𝜖 𝑄 ; 𝑟 ≥ 0 𝑦 𝑟 𝑧 ≤ 2 , sobre el cual son hechas las siguientes afirmaciones: I.

5

∈𝑆 y

4

7 5

∈𝑆

II. 𝑥 ∈ 𝑅: 0 ≤ 𝑥 ≤ 2 ∩ 𝑆 = ∅ III. 2 ∈ 𝑆 Se puede decir, entonces, que es(son) verdadera(s): a) I y II c) II y III b) I y III d) I

e) II

597. Considere la función 𝑓: 𝑅 ⟶ 𝐶, 𝑓 𝑥 = 2 cos 𝑥 + 2𝑖𝑠𝑒𝑛𝑥. Entonces, ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝑅, el valor del producto 𝑓(𝑥). 𝑓(𝑦) es igual a: a) 𝑓(𝑥 + 𝑦) c) 2𝑓(𝑥 + 𝑦) e) 2𝑓(𝑥) + 2𝑖𝑓(𝑦) b) 4𝑖𝑓(𝑥 + 𝑦) d) 𝑓(𝑥𝑦) 598. Considerando las funciones 𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛 −1 , +1 → − 3

4

𝜋 2

,

𝜋 2

y 𝑎𝑟𝑐 𝑐𝑜𝑠 −1 , +1 → 0, 𝜋 ,

marque el valor de 𝑐𝑜𝑠(𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 + arccos ): a) b)

5

6

c)

25 7

d)

25

5

1

e)

3 2

5 12

5

599. El conjunto de todos los valores de 𝛼, 𝛼 ∈ ] −

𝜋 2

,

𝜋 2

[ , tales que las soluciones de la

4

ecuación (en 𝑥) 𝑥 4 − 48 𝑥 2 + 𝑡𝑔 𝛼 = 0 sean todas reales, es: a) −

𝜋

b) −

𝜋

Cursillo Pi

3 4

,0 ,

𝜋 4

c) −

𝜋 6

d) 0 ,

96

,

𝜋 6

e)

𝜋 12

,

𝜋 3

𝜋 3

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600. Considere una función 𝑓: 𝑅 ⟶ 𝑅 no constante y tal que 𝑓(𝑥 + 𝑦) = 𝑓(𝑥). 𝑓(𝑦),∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝑅. De las afirmaciones: I. 𝑓(𝑥) > 0, ∀𝑥 ∈ 𝑅 II. 𝑓 𝑛𝑥 = 𝑓 𝑥 𝑛 , ∀𝑥 ∈ 𝑅, ∀𝑛 ∈ 𝑁 ∗ III. 𝑓 es par Es(son) verdadera(s): a) solo I y II c) solo I y III e) ninguna b) solo II y III d) todos 601. Considere el conjunto 𝑆 = forma a) 86 b) 9!

18! 𝑎! 𝑏!

𝑎, 𝑏 ∈ 𝑁𝑥𝑁: 𝑎 + 𝑏 = 18 . La suma de todos los números de la

, ∀ 𝑎 , 𝑏 ∈ 𝑆, 𝑒𝑠: c) 96 d) 126

e) 12!

602. Considere los contra dominios de las funciones arco-seno y arco-coseno siendo − 0 , 𝜋 , respectivamente. Con respecto a la función 𝑓: −1 , 1 → − 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛𝑥 + arccos 𝑥, tenemos que: a) 𝑓 es no creciente e impar b) 𝑓 no es par ni impar c) 𝑓 es sobreyectiva

𝜋 2

,

3𝜋 2

𝜋 2

,

𝜋 2

,

,𝑓 𝑥 =

d) 𝑓 es inyectiva e) 𝑓 es constante

603. Sean r y s dos rectas paralelas distando entre sí 5 cm. Sea P un punto en la región interior a estas rectas, que distan 4 cm de r. El área del triangulo equilátero PQR, cuyos vértices Q y R están respectivamente, sobre las rectas r y s, es igual en 𝑐𝑚2 a: a) 3 15 b) 7 3

c) 5 6 d)

15 2

e)

3

604. Los valores de 𝑥 ∈ 𝑅, para los cuales la función real dada por f(𝑥) = esta definida, forman el conjunto: a) [0 , 1] c) −5 , 0 ∪ [1 , ∞] b) [−5 , 6]

7 2

15

5 − 2𝑥 − 1 − 6

e) −5 , 0 ∪ [1 , 6]

d) (−∞ , 0] ∪ [1 , 6]

605. Sea A un conjunto con 8 elementos y B un conjunto tal que 𝐴 ∪ 𝐵 contenga 12 elementos. Entonces, el número de elementos de 𝑃(𝐵\𝐴) ∪ 𝑃(∅) es igual a: a) 8 c) 20 e) 9 b) 16 d) 17

Cursillo Pi

97

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606. Sean 𝑓 y 𝑔 dos funciones definidas por 𝑓 𝑥 =

2

3𝑠𝑒𝑛𝑥 −1

y𝑔 𝑥 =

La suma del valor mínimo de 𝑓 con el valor mínimo de 𝑔 es igual a: 1 a) 0 c) b) −

2

1

d)

4

1 2

3𝑠𝑒 𝑛 2 𝑥−1

, 𝑥 𝜖𝑅

e)1

1 4

607. Sea 𝑓: 𝑅 → 𝑃 𝑅 dada por 𝑓 𝑥 = 𝑦 ∈ 𝑅; 𝑠𝑒𝑛 𝑦 < 𝑥 . Si A es tal que 𝑓(𝑥) = 𝑅, ∀𝑥 ∈ 𝐴, entonces a) 𝐴 = [−1 , 1] b) 𝐴 = 𝑎 , ∞ , ∀𝑎 > 1 c) 𝐴 = 𝑎 , ∞ , ∀𝑎 ≥ 1 d) 𝐴 = (−∞, 𝑎], ∀𝑎 < −1 e) 𝐴 = (−∞, 𝑎], ∀𝑎 ≤ −1 608. En un sistema de coordenadas cartesianas, dos rectas 𝑟 y 𝑠, con coeficientes angulares 2 y 1/2, respectivamente, se interceptan en el origen 𝑂. Si 𝐵 ∈ 𝑟 y 𝐶 ∈ 𝑠 son dos puntos en el primer cuadrante tales que el segmento 𝐵𝐶 es perpendicular a r y el área del triangulo OBC es igual a 12.10−1 , entonces la distancia de B al eje de las ordenadas vale: a) 8/5 c) 2/5 e) 1 b) 4/5 d) 1/5 609. Sea 𝐾 > 0 tal que la ecuación 𝑥 2 − 𝑥 + 𝑘 𝑦 2 − 𝑦 = 0 define una elipse con distancia focal igual a 2. Si (𝑝 , 𝑞) son las coordenadas de un punto de la elipse, con 𝑞2 − 𝑞 ≠ 0, entonces

𝑝−𝑝 2 𝑞 2 −𝑞

es igual a:

a) 2 + 5

c) 2 + 3

b) 2 − 5

d) 2 − 3

e) 2

610. Sea 𝑀 un punto de una elipse con centro 𝑂 y focos 𝐹 y 𝐹`. La recta 𝑟 es tangente a la elipse en el punto 𝑀 y 𝑠 es una recta, que pasa por 𝑂, paralela a 𝑟. Las rectas soportes de los radios vectores 𝑀𝐹 y 𝑀𝐹` interceptan la recta 𝑠 en 𝐻 y 𝐻` , respectivamente. Sabiendo que el segmento 𝐹𝐻 mide 2 cm, la longitud 𝐹`𝐻` es: a) 0,5 cm b) 1 cm c) 1,5 cm d) 2 cm e) 3 cm 611. Sean dos conjuntos 𝑥 e 𝑦 y la operación ∆, definida por 𝑥∆𝑦 = 𝑥 − 𝑦 ∪ (𝑦 − 𝑥). Se puede afirmar que: a) 𝑥∆𝑦 ∩ 𝑥 ∩ 𝑦 = ∅ d) 𝑥∆𝑦 ∪ 𝑥 − 𝑦 = 𝑥 b) 𝑥∆𝑦 ∩ 𝑥 − 𝑦 = ∅ e) 𝑥∆𝑦 ∪ 𝑦 − 𝑥 = 𝑥 c) 𝑥∆𝑦 ∩ 𝑦 − 𝑥 = ∅ Cursillo Pi

98

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612. Sea 𝐴(𝑎, 𝑏) el punto de la cónica 𝑥 2 − 𝑦 2 = 27 más cercano a la recta 4𝑥 − 2𝑦 + 3 = 0. El valor de 𝑎 + 𝑏 es: a) 9 c) 0 e) − 9 b) 4 d) −4 613. Si las curvas 𝑦 = 𝑥 2 + 𝑎𝑥 + 𝑏 y 𝑥 = 𝑦 2 + 𝑐𝑦 + 𝑑 se interceptan en cuatro puntos distintos, la suma de las ordenadas de estos cuatros puntos. a) depende solo del valor de c b) depende solo del valor de a c) depende solo del valor de a y c d) depende solo de los valores de a y b e) depende solo de los valores de a, b, c y d 614. Considere una circunferencia C fija de radio R. A partir de los puntos A y B pertenecientes a C, se trazan rectas tangentes a C que se interceptan en un punto P, tal que 𝑃𝐴 = 𝑃𝐵 = 𝑘. Siendo K un valor constante, el lugar geométrico de P es una: a) recta c) parábola e) elipse b) circunferencia d) hipérbola 615. Sean C una circunferencia de radio 𝑅 > 4 y centro (0 , 0) y 𝐴𝐵 una cuerda de C. Sabiendo que (1 , 3) es el punto medio de 𝐴𝐵 , entonces una ecuación de la recta que contiene 𝐴𝐵 es: a) 𝑦 + 3𝑥 − 6 = 0 c) 2𝑦 + 𝑥 − 7 = 0 e) 2𝑦 + 3𝑥 − 9 = 0 b) 3𝑦 + 𝑥 − 10 = 0 d) 𝑦 + 𝑥 − 4 = 0 616. Sea 𝑃(𝑥) una función polinomial

1

satisfaciendo la relación 𝑝 𝑥 𝑝

Sabiendo que 𝑝(3) = 28 el valor de 𝑝(4) es: a) 10 c) 45 b) 30 d) 55

𝑥

=𝑝 𝑥 +𝑝

1 𝑥

.

e) 65

617. Una progresión aritmética 𝑎𝑛 , donde 𝑛 ∈ 𝐼𝑁 ∗ , tiene 𝑎1 > 0 y 3𝑎8 = 5𝑎13 . Si 𝑆𝑛 es la suma de los 𝑛 primeros términos de esta progresión, el valor de 𝑛 para que 𝑆𝑛 sea máxima es: a) 10 c) 19 e) 21 b) 11 d) 20 618. Sean 𝑟, 𝑠, 𝑡 y 𝑣 números enteros positivos tales que

𝑟 𝑠

𝑡

< . Considere las siguientes 𝑣

relaciones: I.

(𝑟+𝑠)

II.

𝑠 𝑟 (𝑟+𝑠)

<
4 2 b) 𝑟1 + 𝑟2 < 2

e) 𝑟1 < 1 𝑦 𝑟2 < 2

633. Sea un polinomio 𝑝 𝑥 = 𝛼𝑥 3 + 𝛽𝑥 2 + 𝑦𝑥 + 𝛿 un polinomio de tercer grado cuyas raíces son términos de una progresión aritmética de razón 2. Sabiendo que 𝑝 −1 = −1, 𝑃 0 = 0 𝑦 𝑝 1 = 1, los valores de 𝛼 𝑦 𝐵 son respectivamente: 1 4 a) 2 𝑦 − 1 d) − 𝑦 3 3 b) 3 𝑦 − 2 1 1 e) 𝑦 2 2 c) −1 𝑦 2 634. Sea 𝑝 𝑥 = 𝑥 5 + 𝑏𝑥 4 + 𝑐𝑥 3 + 𝑑𝑥 2 + 𝑒𝑥 + 𝑓 un polinomio con coeficientes enteros. Se sabe que las cinco raíces de 𝑝(𝑥) son números enteros positivos, siendo 4 de ellos pares y un impar. El número de coeficientes pares de 𝑝(𝑥) es: a) 0 c) 2 e) 4 b) 1 d) 3 635. Sean 𝐴 y 𝐵 conjuntos finitos y no vacios tales que 𝐴 ⊂ 𝐵 y 𝑛 𝐶: 𝐶 ⊂ 𝐵\𝐴 Entonces , de las afirmaciones de abajo: I. 𝑛 𝐵 − 𝑛(𝐴) es único II. 𝑛 𝐵 + 𝑛(𝐴) ≤ 128 III. la dupla ordenada (𝑛 𝐴 , 𝑛(𝐵)) es única a) solo I c) solo III e) ninguna b) solo II d) solo I y II

= 128 .

636. El sistema 𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 = 𝑎 𝑦 + 2𝑧 = 𝑏 3𝑥 − 𝑦 − 5𝑐𝑧 = 0 a) es posible, ∀𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑅 b) es posible cuando 𝑎 =

7𝑏 3

𝑜 𝑐≠1

c) es imposible cuando 𝑐 = 1, ∀𝑎, 𝑏, ∈ 𝑅 d) es imposible cuando 𝑎 ≠

7𝑏 3

, ∀𝑐 ∈ 𝑅

e) es posible cuando 𝑐 = 1 y 𝑎 ≠ Cursillo Pi

7𝑏 3

102

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637. Si los números reales 𝛼 y 𝛽 con 𝛼 + 𝛽 =

4𝜋 3

, con 0 ≤ 𝛼 ≤ 𝛽, maximizan la suma 𝑠𝑒𝑛 𝛼 +

𝑠𝑒𝑛 𝛽; entonces 𝛼 es igual a: a) b)

𝜋 3

c)

3 2𝜋

d)

3

3𝜋 5 5𝜋

e)

7𝜋 12

8

638. El polinomio de grado 4 𝑎 + 2𝑏 + 𝑐 𝑥 4 + 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 𝑥 3 − 𝑎 − 𝑏 𝑥 2 + 2𝑎 − 𝑏 + 𝑐 𝑥 + 2(𝑎 + 𝑐) , con 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑅 , es una función par. Entonces la suma de los módulos de sus raíces es igual a: a) 3 + 3

c) 2 + 2

b) 2 + 3 3

d) 1 + 2 2

e) 2 + 2 2

639. Considere las funciones 𝑓 𝑥 = 𝑥 4 + 2𝑥 3 − 2𝑥 − 1 y 𝑔 𝑥 = 𝑥 2 − 2𝑥 + 1. La multiplicidad de las raíces no reales de la función compuesta 𝑓 o 𝑔 es igual a: a) 1 c) 3 e) 5 b) 2 d) 4 640. En el plano, considere S el lugar geométrico de los puntos cuyo suma de los cuadrados de sus distancias a la recta 𝑡: 𝑥 = 1 y al punto 𝐴 = (3 , 2) es igual a 4. Entonces S es: a) Una circunferencia de radio 2 y centro (2 , 1) b) Una circunferencia de radio 1 y centro (1 , 2) c) Una hipérbole d) Una elipse de ejes de longitud 2 2 y 2 e) Una elipse de ejes de longitud 2 y 1 641. Un polinomio P es dado por el producto de 5 polinomios cuyos grados forman una progresión geométrica. Si el polinomio de un grado menor tiene grado igual a 2 y el grado de P es 62, entonces el de mayor grado tiene grado igual a: a) 30 c) 34 e) 38 b) 32 d) 36 642. La suma de todos las soluciones distintas de la ecuación cos 3𝑥 + 2 cos 6𝑥 + cos 9𝑥 = 0, 𝜋

que están en el intervalo 0 ≤ 𝑥 ≥ es igual a: 2

a) 2𝜋 b)

Cursillo Pi

23𝜋 12

c) d)

9𝜋 6 7𝜋

e)

13𝜋 12

6

103

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643. Si A, B, C fueran conjuntas tales que: 𝑛 𝐴 ∪ 𝐵 = 23, 𝑛 𝐵 − 𝐴 = 12, 𝑛 𝐶 − 𝐴 = 10, 𝑛 𝐵 ∩ 𝐶 = 6 𝑦 𝑛 𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶 = 4 Entonces 𝑛 𝐴 , 𝑛 𝐴 ∪ 𝐶 , 𝑛 𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶 en este orden. a) Forman una progresión aritmética de razón 6 b) Forman una progresión aritmética de razón 2 c) Forman una progresión aritmética de razón 8, cuyo primer término es 11 d) Forman una progresión aritmética de razón 10, cuyo último término es 31. e) No forman una progresión aritmética 644. Marque la opción que indica el modulo del numero complejo a) cos 𝑥 b)

1+𝑠𝑒𝑛 𝑥 2 2

1 1+𝑖 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑥

, 𝑥 ≠ 𝜋𝑘, 𝑘 ∈ 𝑧.

d) 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝑥 e) 𝑠𝑒𝑛 𝑥

c) cos 𝑥 645. Sean 𝑥, 𝑦, 𝑧 números reales positivos tales que sus logaritmos en una dada base k son números primos satisfaciendo log k 𝑥𝑦 = 49 , 𝑙𝑜𝑔𝑘 𝑥/𝑧 = 44 . Entonces log k 𝑥𝑦𝑧 es igual a: a) 52 c) 67 e) 97 b) 61 d) 80 646. Sean 𝑥 e 𝑦 dos números reales tales que 𝑒 𝑥 , 𝑒 𝑦 y el cociente suma 𝑥 + 𝑦 es igual a: a) 0 b) 1

c) 2 𝑙𝑜𝑔5 3 d) log 5 2

𝑒 𝑥 −2 5 4−𝑒 𝑦 5

. Son todos racionales. La e) 3 𝑙𝑛 2

647. Sea 𝑄(𝑧) un polinomio de quinto grado, definido sobre el conjunto de los números complejos, cuyo coeficiente de 𝑧 5 es igual a 1. Siendo 𝑧 3 + 𝑧 2 + 𝑧 + 1 un factor de 𝑄 𝑧 , 𝑄 0 = 2 y 𝑄 1 = 8, entonces podemos afirmar que la suma de los cuadrados de los módulos de las raíces de 𝑄(𝑧) es igual a: a) 9 c) 5 e) 1 b) 7 d) 3 648. Siendo C un número real a ser determinado, descomponga el polinomio 9𝑥 2 − 63𝑥 + 𝑐, en una diferencia de dos cubos 𝑥 + 𝑎 3 − 𝑥 + 𝑏 3 . En este caso, 𝑎 + 𝑏 − 𝑐 es igual a: a) 104 c) 124 e) 144 b) 114 d) 134

Cursillo Pi

104

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649. Sea 𝑥 un número real en el intervalo 0 < 𝑥 < 𝜋/2. Marque la opción que indica la longitud del menor intervalo que contiene todas las soluciones de la desigualdad. 1 𝜋 𝑥 1 𝑡𝑔 − 𝑥 − 3 cos2 − sec 𝑥 ≥ 0 2 2 2 2 a) b)

𝜋

c)

2 𝜋

d)

3

𝜋

e)

4 𝜋

𝜋 12

6

650. Considere el polinomio 𝑝 𝑥 = 𝑥 3 − 𝑎 + 1 𝑥 + 𝑎, donde 𝑎 ∈ 𝑧. El conjunto de todos los valores de 𝑎, para los cuales el polinomio 𝑝(𝑥) solo admite raíces enteras es: c) 6𝑛2 − 4𝑛, 𝑛 ∈ 𝑁 d) 𝑛(𝑛 + 1), 𝑛 ∈ 𝑁

a) 2𝑛, 𝑛 ∈ 𝑁 b) 4𝑛2 , 𝑛 ∈ 𝑁 651. Sobre el numero 𝑥 =

e) 𝑁

7 − 4 3 + 3 es correcto afirmar que:

a) 𝑥 ∈ ] 0, 2 [ b) 𝑥 es racional

c) 2𝑥 es irracional d) 𝑥 2 es irracional

e) 𝑥 ∈ ]2 , 3[

652. Considere la ecuación en 𝑥 𝑎 𝑥+1 = 𝑏1/𝑥 , donde a y b son números reales positivos, tales que ln 𝑏 = 2 ln 𝑎 > 0. La suma de las soluciones de la ecuación es: a) 0 c) −4 e) −5 b) −4 d) 5 653. Sea 𝛼 un numero real, con 0 < 𝛼 < 1. Marque la alternativa que representa el conjunto de todos los valores de 𝑥 tales que 𝛼

2𝑥

2x 2

1 α

0. Sabiendo que − es una raíz de P y que 𝑃(2) = 5460, se tiene que el valor de a) b)

5 4 3 2

c) d)

𝑛 2 −𝑞 3 𝑞4

2

es igual a:

7

e)

4 11

15 8

6

657. Dividiéndose el polinomio 𝑃 𝑥 = 𝑥 5 + 𝑎𝑥 4 + 𝑏𝑥 2 + 𝑐𝑥 + 1 por (𝑥 − 1), se obtiene resto igual a 2. Dividiéndose 𝑃(𝑥) por (𝑥 + 1) se obtiene resto igual a 3. Sabiendo que 𝑃(𝑥) es divisible por (𝑥 − 2), se tiene que el valor de a) −6 b) −4

𝑎𝑏 𝑐

es igual a:

c) 4 d) 7

e) 9

658. Sean 𝑎, 𝑏, 𝑐 reales no nulos y distintos 𝑐 > 0. Siendo par la función dada por 𝑓(𝑥) = −𝑐 < 𝑥 < 𝑐, entonces 𝑓(𝑥), para −𝑐 < 𝑥 < 𝑐, es constante e igual a: a) 𝑎 + 𝑏 c) 𝑐 b) 𝑎 + 𝑐 d) 𝑏

𝑎𝑥 +𝑏 𝑥+𝑐

,

e) 𝑎

659. La división de un polinomio 𝑓(𝑥) por (𝑥 − 1)(𝑥 − 2) tiene resto 𝑥 + 1. Si los restos de las divisiones de 𝑓(𝑥) por 𝑥 − 1 y 𝑥 − 2 son, respectivamente los números 𝑎 y 𝑏 , entonces 𝑎2 + 𝑏2 vale: a) 13 c) 2 e) 0 b) 5 d) 1 660. Considere las siguientes afirmaciones sobre números reales positivos: I. Si 𝑥 > 4 e 𝑦 > 2, entonces 𝑥 2 − 2𝑦 > 12 II. Si 𝑥 > 4 e 𝑦 < 2, entonces 𝑥 2 − 2𝑦 > 12 III. Si 𝑥 2 < 1 e 𝑦 2 > 2, entonces 𝑥 2 − 2𝑦 < 0 Entonces, de estas es(son) verdaderas(s) a) solo I b) solo I y II

Cursillo Pi

c) solo I y III d) solo II

106

e) todos

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661. Sabiendo que la ecuación 𝑥 3 − 𝑝𝑥 2 = 𝑞𝑚 , 𝑝 , 𝑞 > 0 , 𝑞 ≠ 1, 𝑚 ∈ 𝑁, posee tres raíces reales positivas a, b y c, entonces log 𝑞 𝑎𝑏𝑐 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐 2 𝑎+𝑏+𝑐 es igual a: a) 2𝑚 + 𝑝 𝑙𝑜𝑔𝑞 𝑃 c) 𝑚 + 𝑝 𝑙𝑜𝑔𝑞 𝑃 e) 𝑚 − 2𝑝 𝑙𝑜𝑔𝑞 𝑃 b) 𝑚 + 2𝑝 𝑙𝑜𝑔𝑞 𝑃 d) 𝑚 − 𝑝 𝑙𝑜𝑔𝑞 𝑃 662. Sean 𝐴 y 𝐵 matrices cuadradas de orden n tales que 𝐴𝐵 = 𝐴 y 𝐵𝐴 = 𝐴 . Entonces 𝐴 + 𝐵 𝑡 2 es igual a: a) 𝐴 + 𝐵 2 b) 2(𝐴𝑡 . 𝐵𝑡 )

c) 2(𝐴𝑡 + 𝐵𝑡 ) d) 𝐴𝑡 + 𝐵 𝑡

e) 𝐴𝑡 . 𝐵𝑡

EVALUACIÓN FORMATIVA (15 Temas) 663. Dada las rectas 𝑟: 3𝑥 − 𝑎𝑦 + 2 = 0 y 𝑠: 𝑏𝑥 − 𝑦 + 2 = 0. Sabiendo que la recta r es paralela a la recta 𝑠 y que la recta s pasa por el punto 𝐵(2 , 2), el valor de 3𝑏 − 𝑎 es: a) 1 c) 0 e) 16 b) 4 d) −8 664. Dados los vectores 𝑢 = (4 , 3) y 𝑣 : 3𝑢 − 4(2 , 3) el valor de la suma de los componentes de la proyección de 𝑢 sobre 𝑣 es? a) 7 c) 25 e) 2 b)

7 25

d)

49 25

665. De las siguientes afirmaciones: I) La ordenada al origen de una recta es el valor de la abscisa de un punto, en donde la recta intersecta al eje X. II) Si el ángulo de inclinación de la recta se encuentra entre 90° y 180°, la pendiente de la recta es negativa. III) Dos rectas son paralelas si el producto de sus pendientes es igual a −1. IV) La pendiente de una recta es la inclinación de la recta respecto al eje X. Es(son) falsa(s): a) una b) dos

Cursillo Pi

c) tres d) todas

107

e) ninguna

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666. 𝑥 + 2𝑦 + 𝑐 = 0 es la ecuación de una recta: a) perpendicular a la recta 2𝑥 + 𝑦 + 𝑐 = 0 b) paralela a la recta 2𝑥 − 4𝑦 + 𝑐 = 0 c) concurrente con la recta 3𝑥 + 6𝑦 + 2 = 0 d) cuya distancia al punto (𝑐, −𝑐) es igual a cero e) paralelo al eje X Es(son) verdadera(s): a) una b) dos

c) tres d) ninguna

e) todas

667. El punto 𝑀(𝑥 , 𝑥 + 1) es el punto medio del segmento cuyos extremos son los puntos 𝐴(−𝑥 + 3, 5) y 𝐵(5𝑥 − 1 , 3𝑥 − 2), entonces el valor de la pendiente del segmento 𝐴𝐵, es: a) −5 c) 3 e) 1 b) −1 d) 7 668. El punto 𝐵(𝑎 , 𝑏) pertenece a la recta 𝑦 = 2𝑥 y dista 10 unidades de la recta 4𝑥 + 3𝑦 = 0. Si 𝑎 es positivo, el valor de 𝑏 es: a) 1

c)

b) 5

d)

1

e) 10

2 1 4

669. Dados los vectores 𝑢, 𝑣 𝑦 𝑤 vectores de 𝑅2 y un escalar 𝑘, entonces: I) 𝑢 + 𝑣 es un vector II) 𝑢. (𝑣 + 𝑤) es un vector III) 𝑘(𝑢 − 𝑣 ) es un escalar IV) 𝑐𝑜𝑠𝜃 =

𝑢 .𝑣 𝑢

𝑣

, donde 𝑢. 𝑣 es siempre positivo

La cantidad de afirmaciones falsa(s) es (son): a) 1 c) 3 b) 2 d) 4

e) ninguna

670. Los puntos 𝐴(𝑎 , 𝑎), 𝐵(𝑎, 𝑎 + 2) y 𝐶(𝑎 + 2, 𝑎 + 1) son los vértices de un triangulo de área igual a 6𝑢2 ,entonces el valor 𝑎 es: a) −4 c) −3 e) 6 b) 3 d) 4 671. Para que puntos 𝐴 𝑘, −1 , 𝐵 −1, 𝑘 𝑦 𝐶(4 , −2) sean vértices de un triangulo, el valor de 𝑘, debe ser: a) Distinto solamente a −1 d) Igual a −1 y a 3 b) Distinto solamente a 3 c) Igual a 3 c) Distinto a −1 y a 3 Cursillo Pi

108

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672. En la figura, el punto 𝑅 divide interiormente a 𝑃𝑄 que mide 𝑡 𝑐𝑚 en la razón

𝑃𝑅 𝑅𝑄

2

= . La 5

medida del segmento 𝑅𝑄 en 𝑐𝑚 es:

P

Q

R

a) 𝑡 − 2 b)

c)

𝑡

d)

5

2𝑡 7

e)

7𝑡 5

5𝑡 7

673. Para que los puntos (𝑘 , 4); (11 , 𝑘) y (−1, 3) pertenezcan a una misma recta, el(los) valor(es) posibles de k, es(son): a) −3 ó − 5 b) −5

c) 5 d) 3

674. Si 𝑢 = 3 , 0 y 𝑣 = 1 , − 2 . El ángulo formado por suplemento es: a) 55° 30´ 45´´ b) 124° 29 ´ 15´´

c) 54° 44´ 8´´ d) 35° 15´ 52´´

e) 3 ó 5

−2𝑢 y 3𝑣 es el ángulo cuyo

e) 125° 15 ´ 52´´

675. El valor de 𝑚 de manera que la distancia entre los puntos 𝐴(2) y 𝐵(𝑚) sea de 6 unidades es: A

B

c) −6 d) 6

a) 4 b) −4

e) 8

676. Dados dos vectores 𝑣1 y 𝑣2 tales que, 𝑣1 = 𝑘. 𝑣2 ; (𝑘 > 0) y además se cumple que 𝑣1 𝑣2

a) b)

Cursillo Pi

1 6 1 4

=

1 6

,

3 6

, entonces el valor de k es: c) d)

1

e) 3

3 2 3

109

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677. De la siguiente figura podemos afirmar que: I) La pendiente de la recta es negativa II) La ordenada al origen es −3 III) La distancia del origen a la recta es 3𝑢 a) Ninguna b) La opción I

c) La opción II d) La opción III

e) Todas

678. De las siguientes afirmaciones, la correcta es: a) Si lim𝑥→𝑥 0 𝑔(𝑥) = +∞, entonces 𝑙𝑖𝑚𝑥→𝑥 0

𝑐 𝑔 𝑥 2

= −∞ 𝑠𝑖 𝑐 > 0

b) Si lim𝑥→𝑥 0 𝑓(𝑥) = +∞, y lim𝑥→𝑥 0 𝑔(𝑥) = 𝑘, con 𝑘 ∈ 𝑅 entonces 𝑙𝑖𝑚𝑥→𝑥 0 c) Si lim𝑥→𝑥 0 𝑓(𝑥) = +∞, y lim𝑥→𝑥 0 𝑔(𝑥) = 𝑘, con 𝑘 ∈ 𝑅 entonces 𝑙𝑖𝑚𝑥→𝑥 0 d) Si 𝑓 𝑥 =

𝑎 0 𝑥 𝑚 + 𝑎 1 𝑥 𝑚 −1 + … +𝑎 𝑚 −1 𝑥 + 𝑎 𝑚 𝑏0 𝑥 𝑛 +𝑏1 𝑥 𝑛 −1 +⋯+𝑏𝑛 −1 𝑥+𝑏𝑛

𝑓 𝑥 𝑔(𝑥) 𝑔 𝑥 𝑓(𝑥)

=0 =0

, con 𝑎0 ≠ 0 y 𝑏0 ≠ 0 entonces 𝑙𝑖𝑚𝑥→∞ 𝑓(𝑥) = 0 si

𝑚>𝑛 e) Si 𝑓 𝑥 =

𝑎 0 𝑥 𝑚 + 𝑎 1 𝑥 𝑚 −1 + … +𝑎 𝑚 −1 𝑥 + 𝑎 𝑚 , 𝑏0 𝑥 𝑛 +𝑏1 𝑥 𝑛 −1 +⋯+𝑏𝑛 −1 𝑥+𝑏𝑛

con 𝑎0 ≠ 0 y 𝑏0 ≠ 0 entonces 𝑙𝑖𝑚𝑥→∞ 𝑓(𝑥) =

𝑎𝑚 𝑏𝑛

𝑚=𝑛 𝑥 2 −9

679. Dada la función 𝑓 𝑥 = I) lim𝑥→−3− 𝑓(𝑥) = −6 II) lim𝑥→−3+ 𝑓(𝑥) = −6 III) lim𝑥→−3 𝑓(𝑥) = 𝑓(−3) Es(son ) verdadera(s): a) Sólo I y II b) Sólo II y III

𝑥+3

𝑠𝑖 𝑥 ≠ −3 de las siguientes afirmaciones:

6 𝑠𝑖 𝑥 = −3

c) Sólo I y III d) Todas

680. Si 𝑎 es un número positivo y 𝑏 es el triple de 𝑎. Entonces 𝑙𝑖𝑚𝑥→∞ a) 1 b) 3

c) d)

1 27 1

𝑎𝑥 3 +𝑏𝑥 2 +𝑥+1 𝑏𝑥 3 +𝑎𝑥 2 −𝑥+2 1

e)

es igual a:

3

9

681. El valor del 𝑙𝑖𝑚𝑥→∞ [ 𝑥 2 + 𝑥 + 1 − 𝑥 2 − 𝑥 + 1] es: a) 0 c) 6 b) 1 d) 2

Cursillo Pi

e) Ninguna

110

e) −2

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si

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682. Si 𝑓 y 𝑔 son continuas en cualquier punto, 𝑙𝑖𝑚 𝑓 𝑥 = 5, 𝑙𝑖𝑚 𝑔 𝑥 = 3 y 𝑕 𝑥 = 𝑥→𝑚

𝑔 𝑥 − 𝑚 . 𝑓(𝑥 − 𝑛) Entonces el valor de 𝑕(𝑚 + 𝑛) es: a) 2 c) 5 b) 3 d) 8

𝑥→𝑛

e) 15

683. De las proposiciones siguientes: I) Si una función es continua en 𝑥0 , está definida en 𝑥0 II) Si una función está definida en 𝑥0 , tiene límite en 𝑥0 III) Si una función tiene límite en 𝑥0 y no está definida en 𝑥0 , presenta una discontinuidad evitable en dicho punto. IV) Si la función tiene límite en 𝑥0 , entonces la función es continua en 𝑥0 Es(son) verdadera(s): a) Sólo I c) Sólo III e) I y III b) II, IV d) I, II y III 3 𝑆𝑖 𝑡 ≤ −1 𝑎𝑡 + 𝑏𝑡 + 1 684. Sea la función 𝑔 𝑡 = 𝑆𝑖 − 1 < 𝑡 > 2 Los valores de a y b para que 𝑔(𝑡) sea 3 𝑡 𝑆𝑖 𝑡 ≥ 2 2 2

continua en 𝑡 = −1 y en 𝑡 = 2 son, respectivamente: a) 𝑎 = 2 y 𝑏 = −1 c) 𝑎 = 1 y 𝑏 = −1 b) 𝑎 = −1 y 𝑏 = 2 d) 𝑎 = 0 y 𝑏 = 1 685. La derivada de la función 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 2𝑥 2 es igual a: 2 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 2𝑥 a) 2 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 2𝑥 c) 1+𝑥 2 b) 4 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 2𝑥 2 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 2𝑥 d) 2

e) 𝑎 = 1 y 𝑏 = 0

e)

4 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 2𝑥 1+4𝑥 2

1+4𝑥

686. Si 𝑓 𝑥 = 1 − 𝑥 2 . 𝑕 𝑥 ; donde 𝑕(𝑥) es derivable en todos los reales, entonces la derivada de 𝑓(𝑥) es igual a: a) 𝑕` 𝑥 + 𝑥[2𝑕 𝑥 + 𝑥𝑕`(𝑥)] b) 𝑕` 𝑥 − 𝑥[2𝑕 𝑥 − 𝑥𝑕`(𝑥)] c) 𝑕` 𝑥 − 𝑥[2𝑕 𝑥 + 𝑥𝑕`(𝑥)] d) −𝑕` 𝑥 − 𝑥[2𝑕 𝑥 − 𝑥𝑕`(𝑥)] c) 𝑕` 𝑥 + 𝑥[2𝑕 𝑥 − 𝑥𝑕`(𝑥)] 687. Si la ecuación de la recta tangente a 𝑓(𝑥) = 1 − 2𝑥 en el punto 𝑥 = 1 es 𝑛𝑦 + 𝑥 + 1 = 0 entonces el valor de 𝑛 es: a) 1/2 c) −1 e) 2 b) −1/2 d) 1

Cursillo Pi

111

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688. La ecuación de la recta tangente a la curva 𝑥 2 + 𝑥𝑦 + 𝑦 2 = 3 en el punto (1 , 1) es: 3 a) 𝑦 = 𝑥 + 5 e) 𝑦 = 𝑥 + 2 c) 𝑦 = 𝑥 + 7 2 b) 𝑦 + 𝑥 = 2 5 d) 𝑦 + 𝑥 = 2 2

689. De las siguientes afirmaciones: I) Si el punto 𝑃(𝑎 , 𝑏) pertenece al eje de ordenadas y distinto al origen, entonces 𝑎 = 0 II) Si el punto 𝑃(𝑎 , 𝑏) pertenece al eje de abscisa y distinto al origen, entonces 𝑎 = 0 III) El punto de intersección de la recta 2𝑥 − 𝑦 = 4 con el eje X es el punto 𝐴(0 , −4) IV) La inclinación de la recta 𝑥 − 2 = 0 es 90° Es(son) falsa(s): a) Solo I y IV c) Solo IV e) Solo I b) Solo II y III d) Solo III 690. Si un punto 𝐴(𝑎 , 𝑏) pertenece a la recta 2𝑥 − 4𝑦 = 1. El punto 𝐴, 𝐵(−4 , 0) y el origen del sistema forma un triangulo de área 3𝑢2 , el valor de 𝑎 + 𝑏 es: a) 7/2 c) 2 e) 0 b) 3/2 d) 5 691. Para que 𝑏1 : 2𝑥 + 2𝑦 − 1 = 0 y 𝑏2 : 14𝑥 − 𝑘𝑦 + 3 = 0 representan a las bisectrices de los ángulos formados por las rectas que 𝑟: 3𝑥 − 4𝑦 + 1 = 0 y 𝑠: 8𝑥 − 6𝑦 + 1 = 0, el valor de 𝑘 debe ser igual a: a) 14 c) 1 e) 2 b) −14 d) −1 692. Un triangulo isósceles tiene por base el segmento 𝐴𝐵, 𝐴(2,0) y 𝐵(6,0), el tercer vértice esta sobre la recta 𝑦 = a) 8 b) 4

3𝑥 2

+ 2. La altura del triangulo correspondiente al vértice C es: c) 16 d) 10

e) 32

693. Sabiendo que 𝑟: 𝑎𝑥 − 2𝑦 = 0 y 𝑠: 𝑏𝑥 + 6𝑦 = 5 son dos rectas perpendiculares, que la recta 𝑟 pasa por el punto (2 , 3). El valor de 𝑚 − 𝑛 es: a) −2 c) −5 e) 6 b) 3 d) 5 694. Una recta corta a los eje de coordenadas en los puntos 𝐴 8 , 0 𝑦 𝐵 0 , 5 . La ecuación de la recta perpendicular a la recta AB y que pasa por el punto de intersección de las rectas 4𝑥 − 3𝑦 + 6 = 0 y 2𝑥 + 𝑦 − 12 = 0 es: a) 8𝑥 + 6 = 𝑦 b) 6𝑥 + 8 = 5𝑦

Cursillo Pi

c) 8𝑥 − 6 = 𝑦 d) 8𝑥 − 6 = 5𝑦

112

e) 8𝑥 + 6 = 5𝑦

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695. Las rectas 𝑟: 𝑎𝑥 + 2𝑦 = 3 y 𝑠: 5𝑥 + 𝑏𝑦 = 7 se intersectan en el punto (−1, 3), la tangente del menor de los ángulos que forman 𝑟 y 𝑠, es: a) − b)

2

2

c)

23

d)

23

23

e) −

2 23

1 4

8

696. La recta que pasa por 𝑀(2 , 3) y es paralela a la recta 𝑦 − 3𝑥 − 1 = 0 determina con los ejes de coordenadas un triangulo; el área de este triangulo es: a) 3/2 c) 3 e) 6 b) 2/3 d) 2 697. La ecuación de la recta tangente a la curva 𝑦 = 2𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥 en el punto

𝜋 2

, 𝜋 es:

a) 𝑦 − 2𝑥 = 0 b) −𝑦 + 3𝑥 = 0 𝑥

c) 𝑦 = − 5 2

d) 3𝑦 + 5𝑥 − 1 = 0 3

e) 7𝑦 − 𝑥 + = 0 2

698. Si 𝑠𝑒𝑛(𝑥 + 𝑦) = 𝑦 2 cos 𝑥, al hallar 𝑦 , se obtiene: a) b) c)

𝑦 2 𝑠𝑒𝑛𝑥 +cos ⁡ (𝑥+𝑦)

d)

2𝑦𝑐𝑜𝑠 𝑥−cos (𝑥+𝑦) 𝑠𝑒𝑛𝑥 +cos ⁡ (𝑥+𝑦)

e)

2𝑦 −cos (𝑥+𝑦)

𝑦 2 𝑠𝑒𝑛𝑥 +cos ⁡ (𝑥+𝑦) cos (𝑥+𝑦) 𝑠𝑒𝑛𝑥 +cos ⁡ (𝑥+𝑦) 2𝑦𝑐𝑜𝑠 𝑥−cos (𝑥+𝑦)

𝑦 2 𝑠𝑒𝑛𝑥 +cos ⁡ (𝑥+𝑦) 2𝑦 −cos (𝑥+𝑦)

699. Al calcular limt→0

1 𝑡 1+𝑡

−

1 𝑡

se obtiene:

a) −1/2 b) 0 700. Al calcular limt→1 a) − b) 2

1 8

c) ln 2

e) ∞

d) 3 1+3𝑥 1+4𝑥 2 +3𝑥 4

3

se obtiene: c) d)

1

e) 0

8 1 2

701. Al multiplicar un vector por un numero real negativo, se altera(an): a) la magnitud del vector b) la magnitud y sentido del vector c) la magnitud y dirección del vector d) la magnitud, la dirección y el sentido del vector e) la dirección del vector Cursillo Pi

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702. Dados los vectores 𝑢 = (−1 , 0) y 𝑣 = (𝑚 , 2) de 𝑅2 , el valor de 𝑥 para que los vectores 𝐴𝐵 y 𝐴𝐶 sean perpendiculares es: a) −6 c) −2 e) 6 b) 2 d) 4 703. Sea 𝑢 un vector de 𝑅2 cuyo modulo es 15 y colineal con el vector 𝑎 = (4 , −3) y del mismo sentido, la suma de las componentes del vector 𝑢 es: a) 9 c) −3 e) 12 b) −12 d) 3 1

𝑥+1

𝑥

𝑥+2

704. Considerando las funciones 𝑓(𝑥) = 𝑥 + y 𝑔(𝑥) = 𝑓𝑜𝑔 es: a) 𝑅 − −2 , −1 b) 𝑥 ∈ 𝑅

d) 𝑥 ∈ 𝑅/𝑥 > 2 c) 𝑥 ∈ 𝑅/0 < 𝑥 < 2

, podemos afirmar que el dominio e) 𝑅 − 2 , 1

705. De la siguiente grafica, se deduce que: I) 𝑙𝑖𝑚 𝑓 𝑥 existe 𝑥→0

II) 𝑓 es continua en 𝑥 = 0 III) 𝑙𝑖𝑚 𝑓 𝑥 existe 𝑥→1

IV) 𝑙𝑖𝑚 𝑓 𝑥 existe 𝑥→−1

La cantidad de proposiciones verdaderas es: a) una c) tres b) dos d) todas

e) ninguna

706. Los vectores 𝐴, 𝐵 y 𝐶 se muestran en la figura, cuyas magnitudes son 10 unidades, 15 unidades y 20 unidades respectivamente. El vector 𝐴 − 𝐵 − 𝐶 es: a) 5 unidades dirigidas hacia la derecha b) 25 unidades dirigidas hacia la izquierda c) 15 unidades dirigidas hacia la derecha d) 40 unidades dirigidas hacia la derecha e) 5 unidades dirigidas hacia la izquierda 707. Las funciones 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 y 𝑔(𝑥) = 𝑥 3 tienen como dominio todos los números reales, entonces podemos afirmar que: a) 𝑓. 𝑔 es impar c) 𝑓 + 𝑔 es par 𝑓 d) 𝑔 °𝑓 es impar b) es par 𝑥 ≠ 0 𝑔 e) 𝑔 − 𝑓 es impar

Cursillo Pi

114

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708. Sea 𝑓(𝑥) una función decreciente en todos los números reales tal que 𝑓(1) = 0 y 𝑓(−2) = 6. Por ser 𝑓 una función decreciente, siempre se cumple que: a) 𝑓(0) > 𝑓(1) c) 𝑓(−1) < 𝑓(0) e) 𝑓(0) = 𝑓(−1) b) 𝑓(1) > 𝑓(−2) d) 𝑓(−1) < 𝑓(1) 709. De las siguientes afirmaciones, la verdadera es: a) una función 𝑓: 𝑅 → 𝑅 posee inversa si y solo si 𝑓(𝑥) ≠ 0 para todo número real 𝑥. b) una función par es siempre biyectiva c) una función biyectiva siempre posee inversa d) los gráficos de 𝑓(𝑥) y la de su inversa 𝑓 1 (𝑥) son simétricos con respecto a la recta 𝑥 + 𝑦 = 0 e) Sea 𝑓 1 (𝑥) la inversa de 𝑓(𝑥), entonces 𝑓 1 𝑥 . 𝑓 𝑥 = 1 para todo 𝑥 ∈ 𝐷(𝑓) 1

710. El dominio de la función real dada por la formula 𝑓 𝑥 = + 𝑥

a) 𝑥/𝑥 ∈ 𝑅, 𝑥 < 2 b) (0, + ∞)

1 𝑥−2

es:

c) [0, +∞) d) [2, +∞)

e) 𝑥/𝑥 ∈ 𝑅, 𝑥 > 2

711. ¿Cuál de los siguientes gráficos representa una función constante?

712. La ecuación de la recta tangente al grafico de 𝑓(𝑥) = 𝑥 𝑥 2 en el punto de abscisa 𝑥 = 1, es: a) 𝑥 + 𝑦 = 0 c) −𝑥 + 𝑦 = 0 e) 𝑥 − 𝑦 + 2 = 0 b) 𝑥 − 𝑦 = 0 d) 𝑥 + 𝑦 − 2 = 0 713. Sea 𝑓(𝑥) = ln⁡ (𝑡𝑔 𝑥 ), la derivada 𝑓(𝑥), es: 2 a) 𝑠𝑒𝑐 𝑥. 𝑡𝑔𝑥 c) 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 2𝑥 b) 2𝑠𝑒𝑐2𝑥 d) −2𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 2𝑥

e) 2 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 2𝑥

714. Dada la función 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛𝑥 podemos afirmar que: a) 𝑅(𝑓) = 𝑦 ∈ 𝑅: −2 ≤ 𝑦 ≤ 1 b) 𝑓 𝐼𝑉 𝑥 = −𝑐𝑜𝑠𝑥 c) existe un número finito de 𝑥 ∈ 𝑅 tal que 𝑓(𝑥) = 0 d) 𝑓 −1 𝑥

=

1 1−𝑥 2

siendo 𝑓 −1 (𝑥) la inversa de 𝑓(𝑥)

e) 𝑓` 𝑥 . 𝑓 𝑥 = 𝑡𝑔𝑥

Cursillo Pi

115

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715. Si 𝑔(𝑥) =

𝑥+𝑘 𝑥−2

6

a) −64 b) −12

716. Si 𝑓(𝑥) =

𝑠𝑖 𝑥 ≠ 2

𝑥 2 −5𝑥+6

𝑠𝑖 𝑥 = 2

. El valor de 𝑘 2 − 4 para que 𝑔(𝑥) sea continua en 𝑥 = 2 es: c) 60 d) −10

2𝑥 + 1 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 1 𝑘

a) 3 b) −8

e) 10

es una función continua en 𝑥 = 1, el valor de 𝑘 2 − 1 es:

𝑠𝑖 𝑥 > 1 c) 8 d) −3

e) 2

717. De la siguiente grafica, se deduce que la falsa es: a) 𝐷 𝑓 = 𝑥 ∈ −∞ , 0 ∪ (0 , +∞) b) limx→−2− 𝑓 𝑥 = 1 c) 𝑅 𝑓 = 𝑦 ∈ [0 , +∞) d) limx→1 𝑓 𝑥 = 2 e) 𝑓 es continua para todo 𝑥 ∈ (1 , +∞)

718. Al sumar las coordenadas de los puntos de trisección y el punto medio del segmento dirigido con extremos 𝐴(−15) y 𝐵(3); se obtiene: a) −7 c) −15 e) −20 b) −12 d) −18 719. De las siguientes afirmaciones: I) Si el punto 𝑄(𝑎, 𝑏) es distinto al origen y pertenece al eje ordenadas, entonces 𝑎 ≠ 0 y 𝑏 = 0 II) Si 𝑎 > 0 y 𝑏 > 0, entonces los puntos 𝐵(𝑎 , −𝑏) y 𝐶(−𝑎 , 𝑏) pertenecen a los cuadrantes pares III) Si el punto 𝐴(−𝑚 , 𝑛) pertenece a la bisectriz de los cuadrantes pares, entonces 𝑚 = 𝑛 IV) Si el punto 𝑃 (𝑎 , 𝑏) es del cuarto cuadrante, entonces 𝑎 > 0 y 𝑏 > 0 Es(son) falsa(s): a) Solo una b) Solo dos

c) Solo tres d) todas

e) ninguna

720. Uno de los extremos de un segmento rectilíneo de longitud 5 es el punto 𝐴(3 , −2). Si la abscisa del otro punto extremo es 6, uno de los posibles valor de su ordenada es: a) 1 b) −1

Cursillo Pi

c) −6 d) 6

116

e) −2

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721. A partir de la figura dada podemos afirmar que la longitud del segmento AB es: a) 5 b) 7 c) 17 d) 29 e) 41 722. Siendo los puntos 𝐴(−1 , 5) y 𝐵(2 , 1) vértices consecutivos de un cuadrado, la medida de la diagonal de ese cuadrado, es: a) 2 c) 3 2 e) 5 2 b) 2 2

d) 5

723. Si 𝑀(3 , 2) es el punto medio entre 𝐴(1 , 3) y B, entonces la distancia del punto B al origen es: a) 6

c) 11

b) 10

d) 26

e) 30

724. Para que el punto M( 𝑥 2 + 2𝑥, 15 ) pertenezca a la bisectriz de los cuadrantes impares, el(los) valor(es) de x es(son): a) −5 c) 3 e) 9 b) −1 d) 7 725. Sean los puntos 𝑀(−2 , 3), 𝑁 6 , −3 , y 𝑃(𝑥, 𝑦) colineales, si es: a) 5 b) 23

c) −5 d) −23

𝑀𝑃 𝑃𝑁

= −2. El valor de 𝑥 − 𝑦 e) 12

726. Sabemos que el segmento que une los puntos 𝑃1 (−2 , −1 ) y 𝑃2 (2 , 2 ) se prolonga hasta el punto 𝑃(𝑥, 𝑦) . Si se cumple que 𝑃2 𝑃 = 3𝑃1 𝑃2 , entonces la diferencia positiva de las coordenadas del punto 𝑃 es: a) 8 c) 3 e) 5 b) 2 d) 4 727. La suma de las coordenadas de los puntos de trisección del segmento cuyos extremos son los puntos 𝑃1 (−5 , 3) y 𝑃2 (4 , 21) es: a) 23 b) 19

Cursillo Pi

c) 17 d) −23

117

e) −25

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728. Los puntos 𝐴(𝑎 , 2𝑎 − 1) , 𝐵(𝑎 + 1 , 2𝑎 + 1) y 𝐶(𝑎 + 2 , 2𝑎 + 3) son colineales para: a) Todos los valores de 𝑎 b) Sólo para dos valores posibles de 𝑎 c) Ningún valor de 𝑎 d) Sólo para un valor de 𝑎 e) Sólo para tres valores posibles de 𝑘 729. La recta determinada por 𝐴(𝑎 ,0) y 𝐵(0 , 𝑏) pasa por 𝐶(3 , 4). Entonces la relación que hay entre 𝑎 y 𝑏 es: a) 4𝑎 + 3𝑏 = −𝑎𝑏 c) 4𝑎 − 3𝑏 = 𝑎𝑏 e) 4𝑎 + 3𝑏 = 𝑎𝑏 b) −4𝑎 + 3𝑏 = 𝑎𝑏 d) 3𝑎 + 4𝑏 = −𝑎𝑏 730. En la figura, está representada una recta, el valor de 𝑝 es: a) 4 b)

15 4

c) 7 d) 5 e)

12 5 3

731. En la figura adjunta, la ecuación de la recta 𝑙1 es 𝑦 = 𝑥, 𝑦 la ecuación de la recta 𝑙2 es 2

1

𝑦 = 𝑥 + 2 . El área del triangulo 𝑂𝑃𝑄 mide, en unidades 2

cuadradas: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 6 732. De las siguientes afirmaciones: I) El punto de intersección de la recta 2𝑥 − 3𝑦 − 12 = 0 con el eje 𝑋, es el punto (0 , −4) II) El punto de intersección de la recta 𝑥 − 5𝑦 − 3 = 0 con el eje 𝑌 es el punto (3 , 0) III) Si la pendiente de la recta 𝑙1 es 𝑚1 y la pendiente de la recta 𝑙2 es 𝑚2 y 𝑚1 . 𝑚2 = 0 entonces 𝑙1 y 𝑙2 son paralelas. IV) La ecuación de la recta del eje 𝑌 es 𝑦 = 0 Es(son) falsa(s): a) una c) tres e) ninguna b) dos d) todas

Cursillo Pi

118

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733. De las siguientes afirmaciones: I) La recta 3𝑥 + 4𝑦 = 0 pasa por el origen II) La recta 2𝑥 − 1 = 0 es paralela al eje 𝑋 III) Las rectas 𝑥 − 𝑦 + 2 = 0 y 2𝑥 − 2𝑦 + 5 = 0 son paralelas IV) Las rectas 2𝑥 − 3𝑦 − 1 = 0 y 2𝑥 + 𝑦 + 2 = 0 no son perpendiculares Es(son) falsa(s): a) II y IV b) I, III y IV

c) Sólo II d) II, III y IV

e) Sólo IV

734. De las siguientes afirmaciones: 𝜋

I) Si 𝛼 es la inclinación de una recta 𝑟 y < 𝛼 < 𝜋, entonces la pendiente de 𝑟 es positiva 2

II) Si el punto 𝑃(−𝑎, 𝑏) es un punto del tercer cuadrante, entonces 𝑎 > 0 y 𝑏 < 0 III) Si el punto 𝑃(𝑚, −𝑛) se encuentra en la bisectriz de los cuadrantes impares, entonces 𝑚 = −𝑛 IV) Si una recta una pendiente de 45°, su inclinación vale 1 Es(son) verdadera(s): a) una c) todas e) tres b) ninguna d) dos 735. De la ecuación de la recta 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0, donde a, b y c son números reales distintos de cero, deduce que: I) Su intersección con el eje 𝑋, es el punto 0 , − II) Su intersección con el eje 𝑌, es el punto − III) Su pendiente es −

𝑎 𝑏

IV) Su ordenada al origen es − Es(son) falsa(s): a) una b) dos

𝑐 𝑎

𝑏 𝑐

,0

𝑐 𝑏

c) tres d) todas

e) ninguna

736. Dadas las rectas 𝑟1 : 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0 y 𝑟2 : 𝑚𝑥 + 𝑛𝑦 + 𝑝 = 0 con 𝑏 y 𝑛 distinto a cero se deduce que: I) Si 𝑐 = 𝑝 y 𝑏 = 𝑛, entonces 𝑟1 y 𝑟2 interceptan al eje Y en el punto 0 , −

𝑝 𝑛

II) Si 𝑎 = 𝑚 y 𝑏 = 𝑛, entonces 𝑟1 y 𝑟2 tienen las mismas pendientes. 𝑎

𝑛

𝑏

𝑚

III) Si 𝑟1 es perpendicular a 𝑟2 entonces = −

IV) Si 𝑏 = 0 entonces 𝑟1 es una recta vertical Es(son) verdadera(s): a) Sólo una c) Sólo tres b) Sólo dos d) Todas

Cursillo Pi

119

e) Ninguna

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737. Una recta 𝑟, cumple las siguientes condiciones: a) Pasa por el punto P(1 , 2) b) Su pendiente verifica la relación 𝑚2 − 2𝑚 − 3 = 0 c) Su inclinación es un ángulo agudo La ecuación de la recta 𝑟 es: a) 3𝑥 − 𝑦 − 1 c) 3𝑥 − 𝑦 + 1 = 0 b) 𝑥 + 𝑦 − 3 = 0 d) 5𝑥 − 𝑦 − 3 = 0

c) 𝑥 − 𝑦 + 1 = 0

738. La ecuación de la recta que pasa por el punto (−1 , 3) y es perpendicular a la recta pasa por los puntos (3 , −5) y (−2 , 7) es: a) 𝑦 − 5𝑥 = 41 c) 12𝑦 = 5𝑥 − 41 e) 12𝑦 + 41 = −5𝑥 b) 5𝑥 − 12𝑦 + 41 = 0 d) 𝑦 = 5𝑥 − 41 739. Al observar la figura y sabiendo que las rectas 𝑟 y 𝑠 son perpendiculares. La ecuación reducida de la recta 𝑟 es: a) 𝑦 = −

𝑥

+

5

b) 𝑦 = −𝑥 + 𝑥

1

2

2 5

c) 𝑦 = +

d) 𝑦 = 𝑥 + 𝑥

2

e) 𝑦 = − + 2

13 5 13 5

5 2

740. Las rectas 𝑟 y 𝑠, abajo representado gráficamente, son paralelas. La ecuación general de la recta 𝑟, es: a) 𝑥 − 𝑦 + 5 = 0 b) 𝑥 + 𝑦 − 5 = 0 c) 𝑥 − 𝑦 − 5 = 0 d) 𝑥 + 𝑦 + 5 = 0 e) 𝑥 − 𝑦 = 0

741. Dadas las rectas paralelas 𝐴1 𝑥 + 𝐵2 𝑦 + 𝐶1 = 0 y 𝐴2 𝑥 + 𝐵2 𝑦 + 𝐶2 = 0, podemos afirmar que: a) 𝐴1 𝐵2 + 𝐴2 𝐵1 = 0 c) 𝐴2 𝐵2 + 𝐴2 𝐵2 = 0 e) 𝐴1 𝐵1 + 𝐴2 𝐵1 = 0 b) 𝐴1 𝐵1 + 𝐴2 𝐵2 = 0 d) 𝐴1 𝐵2 − 𝐴2 𝐵1 = 0

Cursillo Pi

120

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742. Considerando las afirmaciones referentes a las rectas 𝑟: 𝑥 − 𝑦 + 1 = 0, 𝑠: 𝑥 + 𝑦 − 3 = 0 y 𝑡: 𝑦 − 1 = 0, asignando 𝑉 a las afirmaciones verdaderas y 𝐹 a las falsas: I) ( ) Las rectas 𝑟 y 𝑠 son perpendiculares II) ( ) El ángulo formando por las rectas 𝑟 y 𝑡 es de 30° IV) ( ) El área del triangulo cuyos lados están contenidos en las rectas r, s y t es 1 unidades cuadradas de área. La secuencia correcta es: a) 𝑉𝐹𝐹 c) 𝐹𝑉𝐹 e) 𝐹𝑉𝑉 b) 𝑉𝐹𝑉 d) 𝑉𝑉𝐹 743. Si las rectas 𝑟 y 𝑠 de la figura, son perpendiculares, entonces el área del triangulo 𝑃𝑄𝑅 es: a) 18 b) −3 c) 8 d) 9 e) 12

744. El punto A es la intersección de la recta 2𝑥 + 3𝑦 − 24 = 0 con el eje de las abscisas y el punto B es la intersección de las rectas 𝑥 + 𝑦 − 3 = 0 y 3𝑥 − 2𝑦 − 4 = 0. La pendiente de la recta determinada por A y B es: a) − b) −

1 10 1 5

c) − d) −

3 10 2

e) −

1 2

5

745. Si 𝐴 = 1 , −2 , 𝐵 2 , 3 𝑦 𝐶 = (1 , 12) entonces los valores de 𝑚 y 𝑛 tales 𝑚𝐴 + 𝑛𝐵 = 𝐶 son respectivamente: a) 3 𝑦 2 c) −3 𝑦 − 2 e) −2 𝑦 3 b) 2 y 3 d)−3 𝑦 2 746. La magnitud del vector resultante, según la grafica; si cada cuadrado tiene 10 m de lado es: a) 10 𝑚 b) 20 2 𝑚 c) 10 2 𝑚 d) 2 2 𝑚 e) 20 𝑚

Cursillo Pi

121

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747. En la siguiente figura se sabe que 𝑢 = (𝑎 , 𝑏), 𝑣 = (𝑐 , 𝑑) y 𝑟 = (𝑒 , 𝑓). Las componentes del vector 𝑠 son: a) (𝑎 + 𝑐 + 𝑒 , 𝑏 + 𝑑 + 𝑓) b) (𝑒 − 𝑎 − 𝑐 , 𝑓 − 𝑏 − 𝑑) c) (𝑎 − 𝑐 + 𝑒 , 𝑏 − 𝑑 + 𝑓) d) (𝑒 − 𝑎 + 𝑐 , 𝑑 + 𝑓 − 𝑏) e) (𝑎 − 𝑐 − 𝑒, 𝑏 − 𝑑 − 𝑓) 748. Dados los vectores 𝑝 = 3 , 2 , 𝑞 = (2 , −3) y 𝑟 = (4 , 6) : I) 𝑝 − 𝑞 está en la dirección de 𝑞 − 𝑟 II) 𝑝 + 𝑞 + 𝑟 no está en la dirección de 3𝑞 III) 𝑝 + 𝑞 tiene sentido contrario al del vector (−10 , 2) De las proposiciones anteriores es(son) verdadera(s): a) solo I c) solo III b) solo II d) solo I y II

e) solo II y III

749. Dados los vectores 𝑢 = (𝑎 , 𝑏) y 𝑣 = (𝑐 , 𝑑) dos vectores de 𝑅2 y además: I) Si 𝑢 = −𝑣 , entonces 𝑢 y 𝑣 tienen la misma dirección. II) Si 𝑢 = −𝑣 , entonces 𝑢. 𝑣 = −1 𝑎

𝑏

𝑐

𝑑

III) Si = , entonces 𝑢 y 𝑣 son perpendiculares IV) Si 𝑎𝑐 + 𝑏𝑑 = 0 entonces 𝑢 y 𝑣 son paralelos De las proposiciones anteriores es(son) verdadera(s): a) Solo I c) Solo III b) Solo II d) Solo I y II

e) Solo II y III

750. De las siguientes, la falsa es: a) Dos vectores no nulos que forman un ángulo de 0° son colineales b) Dos vectores no nulos que forman un ángulo de 180° son colineales c) Dos vectores colineales pueden tener sentidos opuestos d) Si dos vectores no nulos tienen el mismo versor, dichos vectores son iguales e) Dados los vectores 𝑢 ≠ 0 y 𝑣 ≠ 0, el vector 𝑝𝑟𝑜𝑦𝑣 𝑢 es el producto de un escalar por el vector 𝑣

Cursillo Pi

122

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751. Dados los vectores 𝑢 = (1 , 𝑎) y 𝑣 = (−𝑎 , 1), donde 𝑎 pertenece a los números enteros positivos: I) El producto escalar de 𝑢 por 𝑣 es 𝑎 II) El coseno del ángulo que forman los vectores 𝑢 y 𝑣 es 0 III) El modulo de 𝑢 es igual al modulo de 𝑣 IV) Los vectores son paralelos De las afirmaciones anteriores, es(son) falsa(s): a) una c) tres b) dos d) todas

e) ninguna

752. De las siguientes proposiciones: I) El ángulo formando por los vectores no nulos 𝑢 y 𝑣 es el suplemento del ángulo formado por −𝑢 y 𝑣 . II) Si los vectores no nulos 𝑢 y 𝑣 son perpendiculares, entonces 𝑢 + 𝑣 2 = 𝑢 2 + 𝑣 2 III) Si 𝑢 y 𝑣 son vectores paralelos, entonces el ángulo formado por ellos es siempre de 180° Es(son) falsa(s): a) una c) tres e) ninguna b) dos d) todas 753. Siendo 𝑎 y 𝑏 números reales positivos. De las siguientes afirmaciones: I) El vector 𝑣 = (𝑎 , 𝑏) es paralelo al vector 𝑢1 = 1 ,

𝑏 𝑎

II) El vector 𝑣 = (𝑎 , 𝑏) es perpendicular al vector 𝑢2 = −𝑏 , 𝑎 III) El versor del vector 𝑣 = (𝑎 , 𝑏) es 𝑢3 =

𝑎 𝑎 2 +𝑏 2

,

𝑏 𝑎 2 +𝑏 2

IV) El vector 𝑣 = (𝑎 , 𝑏) es opuesto al vector 𝑢4 = −𝑏 , − 𝑎 Es(son) verdadera(s): a) Sólo una c) Solo dos b) Ninguna d) Todas

e) Solo tres

754. De las afirmaciones siguientes: I) Para convertir un vector en unitario, se multiplica cada una de las componentes del vector por el módulo II) Dos vectores son paralelas cuando sus componentes correspondientes son proporcionales III) La condición de igualdad de dos vectores consiste en tener el mismo modulo, la misma dirección y el producto escalar igual a uno IV) Para el modulo de un vector, es hallar el producto escalar del vector consigo mismo La cantidad de opción(es) es( son) falsa(s): a) una c) dos e) ninguna b) tres d) todas

Cursillo Pi

123

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755. Dado los vectores −𝑢 = 1 , −2 y 𝑣 = (−3 , 6). De los vectores 𝑢 y 𝑣 , se deduce que: a) Son colineales y del mismo sentido b) Los vectores forman un ángulo agudo mayor que 50° c) Son perpendiculares d) Forman un ángulo agudo menor que 30° e) son colineales y de sentido opuestos 756. Dado los vectores 𝑢 = 𝑥 , 𝑥 , siendo 𝑥 > 0, entonces la proyección del versor de 𝑢 sobre el eje X, es: 2 a) (1 , 0) c) (−1 , 0) e) − , 0 2

b)

,

2

2

d)

2

757. Un vector 𝐴 es tal que 𝐴

2

2

,0

2

= 1 y forma un ángulo de 120° con el eje X positivo, en esas

condiciones, el extremo de 𝐴 es: 1

a) − , − 2

b) −

3 2

3 2

,−

1

1

2

2

c) − ,

1

3

d)

2

2

,

1

e) − , 2

3 2

1 2

758. Sea el 𝛼 ángulo entre dos vectores 𝑅 y 𝑃 que satisfacen las relaciones 𝑅 + 𝑃 = 3 𝑃 y 𝑃 = 𝑅 . El 𝑐𝑜𝑠𝛼 es: a) 1/3 b) −7/8

c) −1/2 d) 7/8

e) 1/2

759. Los vectores 𝐴 y 𝐵 de la figura forman dos lados de un triangulo equilátero de lado L. El producto escalar de 𝐵 con (𝐴. 𝐵) es: 3𝐿2

a)

2 3𝐿2

b)

2

d) − e) −

𝐿2 2 3𝐿2 2

𝐿2

c)

2

760. Sean los vectores 𝐴 y 𝐵

que satisfacen

la relación 𝑐 = 𝐴 = 𝐵 = 2 𝐴 − 𝐵 . El

producto escalar 𝐴. 𝐵 es: a)

7𝑐 2

b)

Cursillo Pi

8 3𝑐 4

c)−

7𝑐 2 8

e)

3𝑐 2 4

d) 𝑐 2

124

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761. En la figura muestra cuatro vectores de la misma magnitud que se encuentran sobre dos rectas paralelas. Se pueden afirmar que: a) 𝐴 = 𝐷 y 𝐴 + 𝐶 = 𝑂 b) Los cuatros vectores son diferentes c) Los cuatros vectores son iguales d) 𝐴 + 𝐵 = 𝑂 y 𝐴 ≠ 𝐷 e) 𝐶 + 𝐷 = 𝑂 y 𝐶 ≠ 𝐵 762. Dos vectores tienen módulos 10 y 16 , el ángulo entre ellos es de 30° . Sea H la medida de la proyección del vector más corto sobre la línea que es perpendicular al más largo y se encuentre en el plano de los dos vectores. Entonces el valor de H es: a) 8 b) 5

e) 8 3

c) 0 d) 5 3

763. El vector 𝐵 de la figura tiene un modulo de 60 𝑐𝑚/𝑠. Su expresión en base cartesiana y unidades 𝑚/𝑠, es: a) −0,3 3 𝑖 + 0,3𝑗 𝑚/𝑠 b) −3.000 3 𝑖 + 3.000𝑗 𝑚/𝑠 c) −3.000 𝑖 + 3.000 3𝑗 𝑚/𝑠 d) −0,3 𝑖 + 0,3 3𝑗 𝑚/𝑠 e) 0,3 𝑖 − 0,3 3𝑗 𝑚/𝑠 764. Los 7 vectores de la figura unen el centro de una circunferencia con algún punto de la misma. La suma de los 7 vectores de la figura es: a) es igual a −𝑀 b) es igual 𝐽 + 𝑁 c) es igual 𝑀 d) es igual a 𝑂 e) es igual a −𝑅 765. Los vectores 𝐴 y 𝐵 forman entre si un ángulo de 45° y el modulo de 𝐴 vale 3. El valor de la magnitud de 𝐵 para que la diferencia 𝐴 − 𝐵 sea perpendicular a 𝐴 es: a) 3 c) 3 2 b)

2

e) 6

d) 2 2

766. Dados dos vectores 𝐴 = 𝑃 − 𝑄 y 𝐵 = 𝑃 + 𝑄, además si 𝐴 = 𝐵 = 6 determinar 𝑃. 𝑄 a) 5 b) 18 Cursillo Pi

c) −18 d) 0 125

e) −36

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767. En la figura 𝐴 = 𝐵 = 𝐶 = 𝐷 vectores mostrados.

y

𝐸 = 𝐹 . Encuentre el vector resultante de los

a) 𝐷 b)2𝐴 c) 𝐸 d) 2𝐷 e) 𝐴 768. De las siguientes graficas:

Representa una función: a) I y II b) I y III

c) II y III d) I, II y III

e) I y IV

769. Sean 𝑔 y 𝑕 dos funciones definidas en ℜ por: 𝑔 𝑥 = 𝑎𝑥 − 1 ; 𝑕 𝑥 = 3𝑥 + 𝑏 tales que: 𝑔 1 = 𝑕(−1); 𝑔 −1 = 𝑕(1). Entonces el valor de 𝑔(2) + 𝑕(3) es: a) −2 b) −1 770. La función 𝑔(𝑥) =

c) 0 d) 1 𝑥2 2𝑥−2

e) 2

es:

a) par b) impar c) es par e impar a la vez d) no es par ni impar e) no se puede determinar la paridad de la función 771. Dada la función 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 + 2𝑥 + 1, de las siguientes afirmaciones: I) El dominio de 𝑓 es el conjunto de los números reales II) El rango de 𝑓 es el conjunto de los números reales III) La función 𝑓 es inyectiva IV) La función 𝑓 es creciente en el intervalo ]0 , +∞[ Es (son) falsa(s): a) Sólo una b) Sólo tres Cursillo Pi

c) Sólo dos d) Todas 126

e) Ninguna Ing. Raúl Martínez

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772. Del siguiente grafico, se deduce que: a) 𝐷(𝑓) = [−1 , 2] b) 𝑅 𝑓 = −1 , 1 ∪ [2 , 3] c) 𝑅 𝑓 = −1,1 ∪ [2 , 3) d) 𝑅 𝑓 = −1 , 1 ∪ (1 , 2] e) 𝐷 𝑓 = −1 , 1 ∪ [2 , 3] 773. La suma de los elementos que no están en el dominio de la función 𝑓(𝑥) = c) −2 d) 0

a) 2 b) 1

2(𝑥 2 −4)

es:

e) −1

𝑥

774. El dominio de la siguiente función 𝑕 𝑥 = 9 − 𝑥 2 + a) −1 , +∞ ∪ (−∞ , 1) b) −∞ , −1 ∪ (1 , +∞) c) 𝑅 − −1 , 1

𝑥3

𝑥 2 −4

es:

d) −∞ , 1 ∪ 1 , +∞ e) −∞, −1 ∪ [1 , +∞)

775. Si 𝑓(𝑥) = 𝑥 y 𝑔(𝑥) = 2 − 𝑥. Entonces la opción verdadera es: a) 𝑓 ∘ 𝑔 𝑥 = 2 − 𝑥 b) 𝑓 ∘ 𝑔 𝑥 = −𝑥 c) 𝑓 ∘ 𝑔 𝑥 = 2 − 𝑥 d) 𝑓 ∘ 𝑔 𝑥 =

4

𝑥

e) 𝑓 ∘ 𝑔 25 = −3 776. Dadas las funciones 𝑓 𝑥 = 2𝑥 2 + 2𝑥 − 5 y 𝑔 𝑥 = a) 22 b) 28

c) 14 d) −28

1 𝑥+1

. El valor de

𝑓∘𝑔 −3 𝑔(3)

es:

e) −22

777. Siendo 𝑕(𝑥) = 𝑥 2 . La función 𝑡(𝑥) para que 𝑕 ∘ 𝑡 𝑥 = 4𝑥 4 + 32𝑥 2 + 64 es: a) 𝑡 𝑥 = 𝑥 4 b) 𝑡 𝑥 = 4𝑥 2 + 32𝑥 + 64 c) 𝑡 𝑥 = 2𝑥 2 + 8 d) 2𝑥 + 8 e) 𝑡 𝑥 = 2𝑥 2 − 8

Cursillo Pi

127

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778. Para cualquier función 𝑓: 𝑅 → 𝑅 se cumple que: I) 𝑓 𝑘𝑥 = 𝑘𝑓(𝑥) para todo 𝑥 del dominio de 𝑓 y cualquier constante 𝑘 II) Si 𝑓(𝑎) = 𝑓(𝑏), entonces 𝑎 = 𝑏 III) Si 𝑓(𝑥) es una función par, entonces la función 𝑔 definida por 𝑔(𝑥) = −𝑓(𝑥) es impar IV) Si 𝑓(𝑥) = 𝑓(−𝑥) para todo 𝑥 en el dominio de 𝑓, entonces la grafica de 𝑓 es simétrica respecto al eje 𝑦 De las afirmaciones anteriores es(son) verdadera(s): a) Sólo I y II b) Sólo II y III

c) Sólo I, II y III d) Sólo IV

e) Sólo I y IV

779. Dadas las siguientes proposiciones: I) Existen funciones que no son pares ni impares II) El grafico de una función par es una curva simétrica con relación al eje Y III) La composición de funciones es una operación conmutativa IV) El gráfico cartesiano de la función 𝑦 = 5 es una recta Es(son) falsa(s): a) Ninguna b) Sólo III

c) Todas d) Sólo II, III y IV

e) Sólo I, II y III

780. Dadas las funciones reales definidas por 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 6 y 𝑔 𝑥 = 𝑥 2 + 5𝑥 + 3, el dominio de la función 𝑕(𝑥) = 𝑓 ∘ 𝑔 (𝑥) es: a) 𝑥 ∈ 𝑅/𝑥 ≤ −5 𝑜 𝑥 ≥ 0 b) 𝑥 ∈ 𝑅/𝑥 − 5 ≤ 𝑥 ≤ 0 c) 𝑥 ∈ 𝑅/𝑥 ≤ 0 d) 𝑥 ∈ 𝑅/−5 < 𝑥 < 0 e) 𝑥 ∈ 𝑅/𝑥 ≥ −5 781. El recorrido de la función 𝑓(𝑥) = a) 𝑅 − 1 b) [0 , 2]

1 𝑥−1

es:

c) 𝑅 − 0 d) [0 , 2)

e) (−∞ , 2]

782. Las funciones 𝑓 y 𝑔, de R en R, definidas por 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 3 y 𝑔(𝑥) = 3𝑥 + 𝑚. Si 𝑓(𝑔(𝑥)) = 𝑔(𝑓(𝑥)) entonces 𝑚 es un numero: a) Primo b) Negativo

Cursillo Pi

c) Cubo perfecto d) Menor que 18

128

e) Múltiplo de 12

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