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FINALES DE ALGEBRA Y GEOMETRIA ANALITICA Secretaria Gremial: Digitalizando apuntes para conseguir el centro de apuntes que todos queremos y necesitamos.

CET AETI

A.E.T.I. Todo el año junto a vos!!! MODELO 1: 1) Sea la transformación lineal T : R 2 → R 2 dada por T ( x, y ) = ( x − 5 y, − 5 x + y ) expresar la matriz asociada a la misma en base de autovectores. 2)Dada la ecuación: x 2 − 10 xy + y 2 + x + y + 1 = 0 a)Analizarla para identificar el genero de posible cónica. b)Decidir si es cónica real o no. c)Hallar la forma canónica y representar esta, a mano alzada. r r r r r B = a , b , c siendo: a = ( − 1,2,3) , b = ( 0,1,1) , 3)Dado el conjunto de vectores r c = ( − 1, − 1,2 ) r r r r d a)Hallar el vector = a × b × c r b)Expresar el vector d como combinación lineal de 2 (dos) de los vectores del conjunto B.

{

(

}

)

4)Dados los puntos A ( 0,0,2 ) , B ( 1, − 1,1) , C ( 2, − 1,0 ) a)Hallar la recta perpendicular al plano formado por esos puntos y que pase por el punto P ( 1,1,1) . Graficar la recta hallada. b)Hallar la distancia de la recta anterior al origen de coordenadas. c)Hallar la intersección de dicha recta con los planos coordenados. 5)Dado el siguiente sistema de ecuaciones lineales:  − u + 4v − 2w = 13  2u + 7v + w = 10    2u − 3v + 3w = − 14  u + v + w = − 1 a)Analizarlo b)Si es compatible determinado, hallar la solución. c)Si es compatible indeterminado, hallar 2 (dos) soluciones d)si es incompatible, demostrar el teorema que le permitió dicho análisis. 6)A una escuela con 4 aulas de 1º año arriban 6 alumnos. De cuantas formas distintas pueden distribuirse esos alumnos en las aulas si: a)No se distinguen un alumno de otro. b)Se hace distinción entre un alumno y otro. 2-5

A.E.T.I. Todo el año junto a vos!!! MODELO 2: 1) Sea la transformación lineal T : R 2 → R 2 dada por T ( x, y ) = ( 5 x + 3 y,3x + 5 y ) expresar la matriz asociada a la misma en base de autovectores. 2)Dada la ecuación: 5 x 2 + 6 xy + 5 y 2 − 4 x + 4 y − 4 = 0 a)Analizarla para identificar el genero de posible cónica. b)Decidir si es cónica real o no. c)Hallar la forma canónica y representar esta, a mano alzada. r r r r r B = a , b , c siendo: a = ( − 1,2,3) , b = ( 0,1,1) , 3)Dado el conjunto de vectores r c = ( − 1, − 1,2 ) r r r r d a)Hallar el vector = a × b × c r b)Expresar el vector d como combinación lineal de 2 (dos) de los vectores del conjunto B.

{

(

}

)

4)Dados los puntos A ( 1,. − 1,1) , B ( 2, − 1,0 ) , C ( 0,0,2 ) a)Hallar la recta perpendicular al plano formado por esos puntos y que pase por el punto P ( 1,. − 1,1) . Graficar la recta hallada. b)Hallar la distancia de la recta anterior al origen de coordenadas. c)Hallar la intersección de dicha recta con los planos coordenados. 5)Dado el siguiente sistema de ecuaciones lineales:  2 x − 3 y + 3z = − 14  x+ y+ z= −1    − x + 4 y − 2 z = 13  2 x + 7 y + z = 10 a)Analizarlo b)Si es compatible determinado, hallar la solución. c)Si es compatible indeterminado, hallar 2 (dos) soluciones d)si es incompatible, demostrar el teorema que le permitió dicho análisis. 6)A una escuela con 3 aulas de 1º año arriban 5 alumnos. De cuantas formas distintas pueden distribuirse esos alumnos en las aulas si: a)No se distinguen un alumno de otro. b)Se hace distinción entre un alumno y otro. 3-5

A.E.T.I. Todo el año junto a vos!!! MODELO 3: 1)Dada la ecuación: x2 y 2 z 2 + − =1 a2 a2 a 2 a)Decidir si se trata de una superficie reglada o no, justificando la respuesta. b)¿Cual seria la superficie asintótica de la dada? 2)Si una Transformación Lineal TL : R 2 → R 2 , otorga, el siguiente operador en base canónica:  4 − 3 A=  ÷  −1 2  a)Hallar la ley de Transformación T ( x, y ) b)Hallar los autovalores y autovectores de la transformación.

3)

r r r a)Dados los vectores v = ( 4, − 2 ) y w = ( 5, − 3) , expresar el vector a = ( − 3,5 ) en base r r B = { v , w} . r r r b)Decidir si el conjunto { a , v , w} es LI, justificando la respuesta.

4)Encontrar la ecuación de la parábola de eje paralelo al eje coordenado x, y que pase por los puntos: A ( 3,3) ; B ( 6,5 ) ; C ( 6, − 3) ; D ( 2,1) 2 ( 1 − cos α ) a)Hallar la expresión correspondiente en coordenadas cartesianas rectangulares. b)Grafique a mano alzada la expresión obtenida en A.

5)Dada la expresión en coordenadas polares: ρ =

6)Dado el siguiente sistema de 3 (tres) ecuaciones con 2 (dos) incógnitas que resulta incompatible, por errores de medición, deduzca las expresiones que permiten resolverlo en forma aproximada.  a1x + b1 y = c1   a2 x + b2 y = c2 a x+ b y= c 3 3  3

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A.E.T.I. Todo el año junto a vos!!! MODELO 4: 1)Dada la ecuación: x2 y 2 z 2 − + =1 a2 a2 a2 a)Decidir si se trata de una superficie reglada o no, justificando la respuesta. b)¿Cual seria la superficie asintótica de la dada? 2)Si una Transformación Lineal TL : R 2 → R 2 , otorga, el siguiente operador en base canónica:  −2 2  A=  ÷  4 − 3 a)Hallar la ley de Transformación T ( x, y ) b)Hallar los autovalores y autovectores de la transformación.

3)

r r r a)Dados los vectores v = ( − 2,4 ) y w = ( − 3,5 ) , expresar el vector a = ( 5, − 3) en base r r B = { v , w} . r r r b)Decidir si el conjunto { a , v , w} es LI, justificando la respuesta.

4)Encontrar la ecuación de la parábola de eje paralelo al eje coordenado x, y que pase por los puntos: A ( 3,3) ; B ( 5,6 ) ; C ( − 3,6 ) ; D ( 1,2 ) 2 ( 1 − 2 senα ) a)Hallar la expresión correspondiente en coordenadas cartesianas rectangulares. b)Grafique a mano alzada la expresión obtenida en A.

5)Dada la expresión en coordenadas polares: ρ =

6)Dado el siguiente sistema de 3 (tres) ecuaciones con 2 (dos) incógnitas que resulta incompatible, por errores de medición, deduzca las expresiones que permiten resolverlo en forma aproximada.  a1x + b1 y = c1   a2 x + b2 y = c2 a x+ b y= c 3 3  3

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