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• UlisesHuayascachi

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Vigas en fundación elástica

J. T. Celigüeta

Definición Q

Viga conectada en toda su longitud en algún medio material deformable (terreno) que interacciona con ella. X Se transmite fuerza transversal entre la viga y el medio material. X La fuerza transmitida es debida a la deformación del terreno.

1

Definición Q

Q

Raíles de ferrocarril, vigas de cimentación, tuberías enterradas Primeros estudios: ) )

Q

Winkler (1875): viga continua de infinitos vanos muy próximos. Zimmerman (1906) viga continua sobre muelles discretos.

Teoría actual )

2

Timoshenko (1915).

Comportamiento del terreno Q

Modelo lineal: proporcionalidad entre la presión sobre el terreno y la deformación lateral de la viga. Kt =

p δ

Kt: Coeficiente de balasto del terreno |Kt| : F/L3

Habitualmente kg/cm3

Depende fuertemente de la naturaleza del terreno Determinación: experimental, bibliografía

3

Comportamiento del terreno Terreno

Kt (kg/cm3)

Arcilla arenosa húmeda

2 - 3

Arcilla arenosa seca

6 - 8

Grava arenosa fina

8 - 10

Grava arenosa seca

15 - 20

Otras fórmulas y valores en la bibliografía Otros modelos más sofisticados (casos muy especiales) d 2δ p = Kt δ + K1 2 dx 4

Teoría básica (1) Hipótesis de Navier: secciones planas se mantienen d 2v perpendiculares a la fibra neutra ε = −y 2

Q

) )

Deformación unitaria lineal, proporcional a la curvatura Curvatura = derivada segunda

Momento flector

Q

d 2v M ≡ −∫ σydA = EI 2 dx Se supone comportamiento bidireccional de la fundación (terreno empuja en ambos sentidos)

Equilibrio de momentos

Q

5

dM Q =− dx

dx

Teoría básica (2) Equilibrio vertical

Q

dQ = Ktvbdx + qdx

Sustituyendo Q y M d 4v EI 4 + Kt b v + q = 0 dx

K = Kt b

Q

Coeficiente de balasto de la viga:

Q

Ecuación de equilibrio de la viga en fundación elástica d 4v EI 4 + K v + q = 0 dx 6

Solución general de la ecuación homogénea Sin carga exterior

d 4v EI 4 + K v = 0 dx

Soluciones del tipo:

v = e ax 1/ 4

Sustituyendo

a 4EIe ax + Ke ax = 0 a = (±1 ± i ) β

⎛ K ⎞⎟ a = ⎜⎜ ⎟ ⎝ EI ⎠

4 números complejos módulo 1

1/ 4

Siendo

⎛ K ⎞⎟ β = ⎜⎜ ⎝ 4EI ⎠⎟

Solución final

v=

∑ Ae i

i =1,4 7

“Rigidez relativa” viga - terreno

ai x

1/ 4

(−1)

Solución general de la ecuación homogénea Sustituyendo exponenciales por trigonométricas

v = e βx (C 1 cos βx + C 2 sin βx ) + e −βx (C 3 cos βx + C 4 sin βx ) Deformación según funciones trigonométricas con amplitud variable de forma exponencial Sólo válido para tramos de la viga sin cargas Las magnitudes restantes (M, Q) tendrán variaciones similares, al ser derivadas de la deformada Longitud de onda de la respuesta: β “Amortiguamiento” de la respuesta: β Hallar las constantes de integración en cada caso particular 8

Viga infinita con carga puntual Aplicable la solución general de la homogénea, salvo en x=0

v = e βx (C 1 cos βx + C 2 sin βx ) + e −βx (C 3 cos βx + C 4 sin βx )

Condiciones de contorno Infinito:

x =∞

Simetría:

v ′ (x = 0) = 0

Equilibrio en x=0

→ →

C1 = C 2 = 0

−C 3 + C 4 = 0

Q(x = 0) = −EIv ′′′(x = 0) =

v =− 9

v=0

P 2

P β −β x e (cos βx + sin βx ) 2K

→

C3 = −

Pβ 2K

Viga infinita con carga puntual. Deformada

v =−

P β −β x e (cos βx + sin βx ) 2K

Deformada oscilante de amplitud decreciente La viga se levanta en una serie de tramos. El primer punto está en x=3π/4β. Solución sólo válida si el terreno es bidireccional. En todo caso el error cometido si el terreno no es bidireccional es del orden del 4%, en los casos habituales en ingeniería 10

Viga infinita con carga puntual. Resultados v =−

P β −β x e (cos βx + sin βx ) 2K v =−

Pβ F1(βx ) 2K

d 2v P −β x M = EI 2 = e (cos βx − sin βx ) dx 4β

M=

P F3 (βx ) 4β

d 3v P Q = −EI 3 = e −βx cos(βx ) dx 2

Q= 11

P F4 (βx ) 2

Funciones típicas F1 (β x ) = e −βx (cos β x + sin β x ) F2 (β x ) = e −βx sin β x F3 (β x ) = e −βx (cos β x − sin β x ) F4 (β x ) = e −βx cos β x

Aparecen en todos los casos de vigas infinitas… 12

Viga infinita con carga puntual. Influencia de K Misma viga, sobre dos terrenos diferentes v max =

Pβ 2K

K2 K1

K2>K1

3/ 4

v1 β1K 2 ⎛⎜ K 2 ⎞⎟ = = ⎜ ⎟⎟ v2 K 1β2 ⎜⎝ K 1 ⎠⎟

K1

M max = K2

El terreno más duro produce menor deformación y menor momento. El efecto de la fuerza está más concentrado bajo ella. 13

P 4β 1/ 4

M1 β2 ⎛⎜ K 2 ⎞⎟ = =⎜ ⎟ β1 ⎜⎝ K1 ⎠⎟⎟ M2

Ejemplo: viga infinita con dos cargas

A = 1.25 m2

I = 226 ⋅ 105 cm 4

K t = 10 kg/cm 3 1/ 4

K = 10 ⋅ 150 = 1500 kg/cm

vA = vAA + vAB = −

2

⎛ 1500 ⎞⎟ β = ⎜⎜ ⎝ 4 ⋅ 200000 ⋅ 226 ⋅ 105 ⎠⎟

= 0.003 cm−1

P β P β −750 β e − (cos 750β + sin 750β ) = −0.0254 cm 2K 2K pA = KvA = 0.254 kg / cm 2

vC = vCA + vCB = 2vCA = −

P β −375 β e (cos 375β + sin 375β ) = −0.0216 cm 2K

pC = KvC = 0.216 kg / cm 2 14

vB = vA

Ejemplo: viga infinita con dos cargas M A = M AA + M AB =

P P −750 β e + (cos 750β − sin 750β ) = 1.774 ⋅ 106 cmkg 4β 4β

MC = MCA + MCB = 2MCA = 2

15

P −375 β e (cos 375β − sin 375β ) = −0.637 ⋅ 106 cmkg 4β

Distancia mínima para no separación del terreno La separación de la viga del terreno se produce en x=3π/4β Para que no haya separación en la zona entre las cargas se debe cumplir: ⎛ 3π ⎞⎟ L < 2 ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎝ 4β ⎠

16

→

L